अवकल समीकरण x^2 frac{dy}{dx} = x^2 + xy + y^2 | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण एक समघातीय अवकल समीकरण है: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + xy + y^2}{x^2} = 1 + \frac{y}{x} + \left( \frac{y}{x} \right)^2$. $y = vx$

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$	an^{-1} \left( \frac{y}{x} ight) = \log x + c$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया समीकरण एक समघातीय अवकल समीकरण है: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + xy + y^2}{x^2} = 1 + \frac{y}{x} + \left( \frac{y}{x} ight)^2$. $y = vx$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है। इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = 1 + v + v^2$. सरल करने पर,$x \frac{dv}{dx} = 1 + v^2$ प्राप्त होता है। चरों को पृथक करने पर: $\frac{dv}{1 + v^2} = \frac{dx}{x}$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dv}{1 + v^2} = \int \frac{dx}{x}$. इससे $	an^{-1}(v) = \log |x| + c$ प्राप्त होता है। $v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर,$	an^{-1} \left( \frac{y}{x} ight) = \log |x| + c$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $x^2 \frac{dy}{dx} = x^2 + xy + y^2$ का हल है

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यदि एक वक्र $y=f(x),$ जो बिंदु $(1,2)$ से होकर गुजरता है,अवकल समीकरण $2 x^{2} dy=\left(2 xy+y^{2}\right) dx$ का हल है,तो $f\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

दी गई शर्त को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए: $(x+y) dy + (x-y) dx = 0$; जब $x=1$ तब $y=1$.

सिद्ध कीजिए कि दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है और इसे हल कीजिए:
$y \, dx + x \log \left(\frac{y}{x}\right) dy - 2x \, dy = 0$

माना $y(x)$ अवकल समीकरण $x^2 \frac{dy}{dx} + xy = x^2 + y^2$,$x > \frac{1}{e}$,का हल है,जो $y(1) = 0$ को संतुष्ट करता है। तो $2 \frac{(y(e))^2}{y(e^2)}$ का मान $....$ है।

अवकल समीकरण $(x^2 - y^2) \, dx + 2xy \, dy = 0$ को संतुष्ट करने वाला और बिंदु $(1, 1)$ से गुजरने वाला वक्र है

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