दर्शाइए कि अवकल समीकरण $x \cos \left(\frac{y}{x}\right) \frac{d y}{d x}=y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+x$ समघातीय है और इसे हल कीजिए।

(N/A) दिए गए अवकल समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{d y}{d x}=\frac{y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+x}{x \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$ ............$(1)$
यह $\frac{d y}{d x}=F(x, y)$ के रूप का अवकल समीकरण है।
यहाँ $F(x, y) = \frac{y \cos \left(\frac{y}{x}\right) + x}{x \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$.
$x$ को $\lambda x$ और $y$ को $\lambda y$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$F(\lambda x, \lambda y) = \frac{\lambda y \cos \left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right) + \lambda x}{\lambda x \cos \left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right)} = \frac{\lambda [y \cos (y/x) + x]}{\lambda [x \cos (y/x)]} = \lambda^0 F(x, y)$.
चूंकि $F(x, y)$ शून्य घात का एक समघातीय फलन है,इसलिए दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
इसे हल करने के लिए,$y = vx$ प्रतिस्थापित करें,जिससे $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx \cos v + x}{x \cos v} = \frac{v \cos v + 1}{\cos v}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v \cos v + 1}{\cos v} - v = \frac{1}{\cos v}$.
चरों को पृथक करने पर: $\cos v \, dv = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \cos v \, dv = \int \frac{1}{x} \, dx$.
$\sin v = \log |x| + C$.
$v = y/x$ रखने पर,व्यापक हल $\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log |x| + C$ प्राप्त होता है।