अवकल समीकरण (x + y)dx + xdy = 0 का व्यापक हल | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(x + y)dx + xdy = 0$ है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$xdy = -(x + y)dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = -\

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$x^2 + 2xy = c$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण $(x + y)dx + xdy = 0$ है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$xdy = -(x + y)dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = -\frac{x + y}{x} = -(1 + \frac{y}{x})$। यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$। इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = -(1 + v) = -1 - v$। $x\frac{dv}{dx} = -1 - 2v$। चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{1 + 2v} = -\frac{dx}{x}$। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dv}{1 + 2v} = -\int \frac{dx}{x}$। $\frac{1}{2} \ln|1 + 2v| = -\ln|x| + C_1$। $\ln|1 + 2v| = -2\ln|x| + 2C_1 = \ln|x^{-2}| + \ln|C|$। $1 + 2v = \frac{C}{x^2}$। $v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $1 + 2(\frac{y}{x}) = \frac{C}{x^2}$। $\frac{x + 2y}{x} = \frac{C}{x^2} \implies x(x + 2y) = C \implies x^2 + 2xy = C$।

अवकल समीकरण $(x + y)dx + xdy = 0$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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