(1, 0) से गुजरने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात | vedclass

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Question

(A) माना बिंदु $P$ $(x, y)$ है। $P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m = \frac{dy}{dx}$ है। $P$ पर अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{m} = -\frac{dx}{dy}$ है।$P(x, y)$ पर

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$x^2 + y^2 = x^4$

Vedclass · Answer

(A) माना बिंदु $P$ $(x, y)$ है। $P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m = \frac{dy}{dx}$ है। $P$ पर अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{m} = -\frac{dx}{dy}$ है।$P(x, y)$ पर अभिलंब का समीकरण $Y - y = -\frac{dx}{dy} (X - x)$ है।$x$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$Y = 0$ रखें:$-y = -\frac{dx}{dy} (X - x) \implies X - x = y \frac{dy}{dx} \implies X = x + y \frac{dy}{dx}$.$P$ का भुज $x$ है। अभिलंब का $x$-अंतःखंड $X = x + y \frac{dy}{dx}$ है।$P$ का त्रिज्या सदिश $\sqrt{x^2 + y^2}$ है,इसलिए इसका वर्ग $x^2 + y^2$ है।प्रश्न के अनुसार,भुज और $x$-अंतःखंड का गुणनफल त्रिज्या सदिश के वर्ग के दोगुने के बराबर है:$x \left( x + y \frac{dy}{dx} \right) = 2(x^2 + y^2)$.$x^2 + xy \frac{dy}{dx} = 2x^2 + 2y^2 \implies xy \frac{dy}{dx} = x^2 + 2y^2$.यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.$x(vx) (v + x \frac{dv}{dx}) = x^2 + 2(vx)^2 \implies x^2 v (v + x \frac{dv}{dx}) = x^2(1 + 2v^2)$.$v^2 + vx \frac{dv}{dx} = 1 + 2v^2 \implies vx \frac{dv}{dx} = 1 + v^2$.$\frac{v}{1 + v^2} dv = \frac{1}{x} dx$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{1}{2} \ln(1 + v^2) = \ln x + C \implies \ln(1 + v^2) = \ln x^2 + 2C \implies 1 + v^2 = k x^2$,जहाँ $k = e^{2C}$.$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $1 + \frac{y^2}{x^2} = k x^2 \implies x^2 + y^2 = k x^4$.वक्र $(1, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $1^2 + 0^2 = k(1)^4 \implies k = 1$.अतः,समीकरण $x^2 + y^2 = x^4$ है।

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