એક ગામની વસ્તી કોઈપણ સમયે હાજર રહેલા રહેવાસીઓની સંખ્યાના પ્રમાણમાં સતત વધે છે. જો વર્ષ $1999$ માં ગામની વસ્તી $20,000$ અને વર્ષ $2004$ માં $25,000$ હોય,તો વર્ષ $2009$ માં ગામની વસ્તી કેટલી હશે?

એક ગોળાકાર ફુગ્ગાનું કદ અચળ દરે વધે છે. જો શરૂઆતમાં તેની ત્રિજ્યા $3$ એકમ હોય અને $3$ સેકન્ડ પછી તે $6$ એકમ થાય,તો $t$ સેકન્ડ પછી ફુગ્ગાની ત્રિજ્યા શોધો.

ધારો કે $\Gamma$ એ $y = y(x)$ વક્ર દર્શાવે છે જે પ્રથમ ચરણમાં છે અને બિંદુ $(1,0)$ તેના પર આવેલું છે. ધારો કે $P$ બિંદુએ $\Gamma$ નો સ્પર્શક $y$-અક્ષને $Y_p$ માં છેદે છે. જો $\Gamma$ પરના દરેક બિંદુ $P$ માટે $PY_p$ ની લંબાઈ $1$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયો/કયા વિકલ્પ સાચો/સાચા છે?
$(1)$ $y=\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)-\sqrt{1-x^2}$
$(2)$ $xy^{\prime}+\sqrt{1-x^2}=0$
$(3)$ $y=-\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)+\sqrt{1-x^2}$
$(4)$ $xy^{\prime}-\sqrt{1-x^2}=0$

વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ તે બિંદુના યામોના ગુણાકાર જેટલો છે. જો બિંદુ $(\sqrt{2}, e)$ પર વક્રના અભિલંબનું સમીકરણ $ax + by = 1$ હોય,તો $\frac{b}{a} =$

જો કોઈ વક્રના બિંદુ $P(x, y)$ આગળનો સ્પર્શક,ઉગમબિંદુ અને બિંદુ $P$ ને જોડતી રેખાને લંબ હોય,તો તે વક્ર કયો છે?

રેડિયમનો ક્ષય દર કોઈપણ સમયે $t$ પર હાજર જથ્થાના પ્રમાણમાં છે. જો શરૂઆતમાં $60 \text{ gms}$ હાજર હોય અને રેડિયમનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $1600 \text{ years}$ હોય, તો $3200 \text{ years}$ પછી હાજર રેડિયમનો જથ્થો કેટલો હશે ($\text{ grams}$ માં)?