$\frac{dy}{dx} = \frac{ax + b}{cy + d}$ નું વિકલ સમીકરણ પરવલય દર્શાવે છે જો

વક્રોનું એક કુટુંબ એવું છે કે ઉગમબિંદુ અને કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પરના સ્પર્શક વચ્ચે $y$-અક્ષ પર કપાયેલ અંતર એ સંપર્ક બિંદુના કોટિ (ordinate) કરતા ત્રણ ગણું છે. તો વક્રોનું કુટુંબ કયું છે?

એક વક્ર બિંદુ $(3,2)$ માંથી પસાર થાય છે,જેના માટે યામ અક્ષો વચ્ચેના સ્પર્શક રેખાના રેખાખંડનું સ્પર્શબિંદુએ દુભાજન થાય છે. વક્રનું સમીકરણ શોધો.

બેક્ટેરિયાના એક ચોક્કસ સંવર્ધનમાં,વધારાનો દર હાજર સંખ્યાના પ્રમાણમાં છે. જો $3$ કલાકના અંતે $10^4$ અને $5$ કલાકના અંતે $4 \cdot 10^4$ બેક્ટેરિયા હોય,તો શરૂઆતમાં $\qquad$ બેક્ટેરિયા હતા.

ચકાસો કે વિધેય $y=c_{1} e^{a x} \cos b x+c_{2} e^{a x} \sin b x,$ જ્યાં $c_{1}, c_{2}$ સ્વૈર અચળાંકો છે,તે વિકલ સમીકરણ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 a \frac{d y}{d x}+\left(a^{2}+b^{2}\right) y=0$ નો ઉકેલ છે.

એક ચોક્કસ ઉંદરની પ્રજાતિની સમય $t$ પરની વસ્તી $p(t)$ વિકલ સમીકરણ $\frac{dp(t)}{dt} = 0.5p(t) - 450$ નું પાલન કરે છે. જો $p(0) = 850$ હોય,તો વસ્તી શૂન્ય થાય તે સમય છે: