સમીકરણ frac{x^2 d^2y}{dx^2} = ln x નો ઉકેલ શો | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\ln x}{x^2}$.બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:$\frac{dy}{dx} = \int \frac{\ln x}{x^2} dx$.ખંડશઃ

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{1}{2}(\ln x)^2 - \ln x$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\ln x}{x^2}$.બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:$\frac{dy}{dx} = \int \frac{\ln x}{x^2} dx$.ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \ln x$ અને $dv = x^{-2} dx$ લેતા,$du = \frac{1}{x} dx$ અને $v = -\frac{1}{x}$ મળે.$\frac{dy}{dx} = -\frac{\ln x}{x} - \int (-\frac{1}{x}) \cdot \frac{1}{x} dx = -\frac{\ln x}{x} + \int x^{-2} dx = -\frac{\ln x + 1}{x} + C_1$.$x = 1$ પર $\frac{dy}{dx} = -1$ આપેલ છે:$-1 = -\frac{\ln(1) + 1}{1} + C_1 \Rightarrow -1 = -1 + C_1 \Rightarrow C_1 = 0$.તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{\ln x + 1}{x}$.ફરીથી સંકલન કરતા:$y = -\int \frac{\ln x + 1}{x} dx$.$t = \ln x$ લેતા,$dt = \frac{1}{x} dx$:$y = -\int (t + 1) dt = -(\frac{t^2}{2} + t) + C_2 = -\frac{(\ln x)^2}{2} - \ln x + C_2$.$x = 1$ પર $y = 0$ આપેલ છે:$0 = -\frac{(\ln 1)^2}{2} - \ln(1) + C_2 \Rightarrow 0 = 0 - 0 + C_2 \Rightarrow C_2 = 0$.આમ,ઉકેલ $y = -\frac{1}{2}(\ln x)^2 - \ln x$ છે.

સમીકરણ $\frac{x^2 d^2y}{dx^2} = \ln x$ નો ઉકેલ શોધો,જ્યારે $x = 1$ હોય ત્યારે $y = 0$ અને $\frac{dy}{dx} = -1$ છે.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $x dy + y dx = 0$ નું સમાધાન કરતા અને બિંદુ $(2, 8)$ માંથી પસાર થતા શંકુનું નાભિલંબ (latus rectum) શોધો:

વક્ર $y=f(x)$ ના કોઈપણ બિંદુએ ઢાળ $\frac{dy}{dx}=3x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે અને તે $(-1,1)$ માંથી પસાર થાય છે. તો વક્રનું સમીકરણ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module