વક્ર,જેનો ગુણધર્મ એ છે કે અભિલંબ પર ઓર્ડિનેટ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $P(x, y)$ વક્ર પરનું એક બિંદુ છે. ધારો કે $PM$ એ ઓર્ડિનેટ છે,જ્યાં $M$ એ $x$-અક્ષ પર છે. ધારો કે $P$ આગળનો અભિલંબ $x$-અક્ષને $T$ માં મળે છ

Vedclass · Accepted Answer

$x + a \ln \left( \sqrt{y^2 - a^2} + y \right) = c$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $P(x, y)$ વક્ર પરનું એક બિંદુ છે. ધારો કે $PM$ એ ઓર્ડિનેટ છે,જ્યાં $M$ એ $x$-અક્ષ પર છે. ધારો કે $P$ આગળનો અભિલંબ $x$-અક્ષને $T$ માં મળે છે. ધારો કે $	heta$ એ સ્પર્શક દ્વારા $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે. તો અભિલંબ $x$-અક્ષ સાથે $\pi - 	heta$ ખૂણો બનાવે છે. ઓર્ડિનેટ $PM$ નો અભિલંબ $PT$ પરનો પ્રક્ષેપ $PN$ છે. કાટકોણ ત્રિકોણ $	riangle PMN$ માં,ખૂણો $\angle PMN = 	heta$ છે. આમ,$PN = PM \cos 	heta = y \cos 	heta$. આપેલ છે કે $PN = a$,તેથી $y \cos 	heta = a$. કારણ કે $\cos 	heta = \frac{1}{\sqrt{1 + 	an^2 	heta}}$ અને $	an 	heta = \frac{dy}{dx} = y_1$,આપણને $y \frac{1}{\sqrt{1 + y_1^2}} = a$ મળે છે. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$y^2 = a^2(1 + y_1^2)$,જે $y_1^2 = \frac{y^2 - a^2}{a^2}$ આપે છે. આમ,$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{y^2 - a^2}}{a}$. ચલને અલગ કરતા,$\int \frac{a \, dy}{\sqrt{y^2 - a^2}} = \int dx$. સંકલન કરતા,આપણને $a \ln |y + \sqrt{y^2 - a^2}| = x + c$ મળે છે.

વક્ર,જેનો ગુણધર્મ એ છે કે અભિલંબ પર ઓર્ડિનેટ (કોટિ) નો પ્રક્ષેપ અચળ છે અને તેની લંબાઈ $a$ જેટલી છે,તે છે:

Similar Questions

બિંદુ $(2, 0)$ માંથી પસાર થતા વક્રનો $(x, y)$ આગળનો ઢાળ $x^2 - 2x$ છે. $x = 0$ આગળ $y$ ની કિંમત શોધો.

એક રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $h \ days$ છે. તેનો પ્રારંભિક ક્ષય દર (decay rate) શું હશે? (નોંધો કે $t = 0$ સમયે,$M = m_0$ છે):

વક્ર $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ ના કુળના લંબ છેદકો (orthogonal trajectories) શોધો,જ્યાં $a$ એ સ્વૈચ્છિક અચળાંક છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module