વક્રના સ્પર્શકનો x-અંતઃખંડ એ સ્પર્શબિંદુના યા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $P(x, y)$ છે. સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ છે.$P(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ છે.$x-$અંતઃખંડ મ

Vedclass · Accepted Answer

$y e^{\frac{x}{y}} = e$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $P(x, y)$ છે. સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ છે.$P(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ છે.$x-$અંતઃખંડ માટે $Y = 0$ લેતા: $-y = \frac{dy}{dx}(X - x) \Rightarrow X - x = -y \frac{dx}{dy} \Rightarrow X = x - y \frac{dx}{dy}$.પ્રશ્ન મુજબ,$x-$અંતઃખંડ એ કોટિ $y$ જેટલો છે,તેથી $x - y \frac{dx}{dy} = y$.પદોને ગોઠવતા: $x - y = y \frac{dx}{dy} \Rightarrow (x - y) dy = y dx \Rightarrow x dy - y dy = y dx$.આને $x dy - y dx = y dy$ તરીકે લખી શકાય.બંને બાજુ $y^2$ વડે ભાગતા: $\frac{x dy - y dx}{y^2} = \frac{y dy}{y^2} = \frac{dy}{y}$.આ ભાગાકારના નિયમનું વિકલન છે: $d(\frac{x}{y}) = \frac{dy}{y}$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\frac{x}{y} = \ln|y| + C$.વક્ર $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1, y=1$ મુકતા: $\frac{1}{1} = \ln(1) + C \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$.આમ,સમીકરણ $\frac{x}{y} = \ln y + 1$ છે,જે $y e = e^{x/y}$ માં પરિણમે છે.

વક્રના સ્પર્શકનો $x-$અંતઃખંડ એ સ્પર્શબિંદુના યામ (ordinate) જેટલો છે. બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થતા વક્રનું સમીકરણ શોધો.

Similar Questions

ચકાસો કે આપેલ વિધેય $y = \sqrt{a^{2} - x^{2}}$,જ્યાં $x \in (-a, a)$,એ વિકલ સમીકરણ $x + y \frac{dy}{dx} = 0$ (જ્યાં $y \neq 0$) નો ઉકેલ છે.

બિંદુ $(2, 0)$ માંથી પસાર થતા વક્રનો $(x, y)$ આગળનો ઢાળ $x^2 - 2x$ છે. $x = 0$ આગળ $y$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module