Mix Examples-Continuity and Differentiation Questions in Hindi

(A) दिया गया है $\lim_{x \rightarrow 0} (f(2+x))^{3/x} = e^\alpha$। यह $1^\infty$ रूप है।
सूत्र $\lim_{x \rightarrow 0} (f(x))^{g(x)} = e^{\lim_{x \rightarrow 0} (f(x)-1)g(x)}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$e^{\lim_{x \rightarrow 0} (f(2+x)-1) \cdot \frac{3}{x}} = e^{3 f'(2)} = e^{3 \cdot 4} = e^{12}$।
अतः,$\alpha = 12$।
अब,वक्र समीकरण में $\alpha = 12$ रखने पर:
$y = 4x^3 - 4x^2 - 4(12-7)x - 12 = 4x^3 - 4x^2 - 20x - 12$।
$x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखें:
$4(x^3 - x^2 - 5x - 3) = 0$।
मूलों की जाँच करने पर,$x = -1$ एक मूल है: $(-1)^3 - (-1)^2 - 5(-1) - 3 = -1 - 1 + 5 - 3 = 0$।
$(x+1)$ से विभाजित करने पर,हमें $(x+1)(x^2 - 2x - 3) = 0$ प्राप्त होता है,जिसके गुणनखंड $(x+1)^2(x-3) = 0$ हैं।
मूल $x = -1$ (पुनरावृत्ति) और $x = 3$ हैं।
अतः,वक्र $x$-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है।

(A) $x = 0$ पर सांतत्य:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} x = 0$
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$
$f(0) = 0$
चूंकि $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$,इसलिए फलन $x = 0$ पर सतत है।
$x = 0$ पर अवकलनीयता:
बायां अवकलज $(LHD)$ = $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-h - 0}{-h} = 1$
दायां अवकलज $(RHD)$ = $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{0 - 0}{h} = 0$
चूंकि $LHD \neq RHD$,इसलिए फलन $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
निष्कर्ष: फलन $x = 0$ पर सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है।

(B) $LHL$ $= \lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1} (x-1) = 0$
$RHL$ $= \lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1} (x^3-1) = 0$
साथ ही,$f(1) = 1-1 = 0$
चूँकि $LHL$ $=$ $RHL$ $= f(1)$,इसलिए $f$ बिंदु $x=1$ पर सतत है।
अब,$Lf'(1) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(1-h)-f(1)}{-h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(1-h)-1-0}{-h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-h}{-h} = 1$
और $Rf'(1) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(1+h)^3-1-0}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1+h^3+3h+3h^2-1}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} (h^2+3h+3) = 3$
चूँकि $Lf'(1) \neq Rf'(1)$,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x=1$ पर अवकलनीय नहीं है।

(D) माना $f(x) = \cos^{-1}\left(\sin \sqrt{\frac{1+x}{2}}\right) + x^x$ है।
सबसे पहले,पद $g(x) = \cos^{-1}\left(\sin \sqrt{\frac{1+x}{2}}\right)$ को सरल करें।
$\sin(\theta) = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)$ का उपयोग करते हुए,हमें $g(x) = \cos^{-1}\left(\cos(\frac{\pi}{2} - \sqrt{\frac{1+x}{2}})\right) = \frac{\pi}{2} - \sqrt{\frac{1+x}{2}}$ प्राप्त होता है।
$g(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$g'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{\frac{1+x}{2}}} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{4\sqrt{\frac{1+x}{2}}}$.
$x=1$ पर,$g'(1) = -\frac{1}{4\sqrt{1}} = -\frac{1}{4}$.
अब,माना $h(x) = x^x$ है। तब $\ln(h(x)) = x \ln(x)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{h'(x)}{h(x)} = \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1$।
अतः,$h'(x) = x^x(\ln(x) + 1)$।
$x=1$ पर,$h'(1) = 1^1(\ln(1) + 1) = 1(0 + 1) = 1$।
$x=1$ पर $f(x)$ का अवकलज $f'(1) = g'(1) + h'(1) = -\frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4}$ है।

(A) दिया गया है $y = \log(\tan(x/2)) + \sin^{-1}(\cos x)$.
सबसे पहले,$\log(\tan(x/2))$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\log(\tan(x/2))) = \frac{1}{\tan(x/2)} \cdot \sec^2(x/2) \cdot \frac{1}{2} = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} \cdot \frac{1}{\cos^2(x/2)} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2 \sin(x/2) \cos(x/2)} = \frac{1}{\sin x} = \operatorname{cosec} x$.
अब,$\sin^{-1}(\cos x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
चूँकि $\cos x = \sin(\pi/2 - x)$,इसलिए $\sin^{-1}(\cos x) = \sin^{-1}(\sin(\pi/2 - x)) = \pi/2 - x$.
अतः,$\frac{d}{dx}(\sin^{-1}(\cos x)) = \frac{d}{dx}(\pi/2 - x) = -1$.
इस प्रकार,$\frac{dy}{dx} = \operatorname{cosec} x - 1$.

(A) दिया गया है $F(x) = \left(f\left(\frac{x}{2}\right)\right)^2 + \left(g\left(\frac{x}{2}\right)\right)^2$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$F^{\prime}(x) = 2 f\left(\frac{x}{2}\right) \cdot f^{\prime}\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + 2 g\left(\frac{x}{2}\right) \cdot g^{\prime}\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1}{2}$
$F^{\prime}(x) = f\left(\frac{x}{2}\right) \cdot f^{\prime}\left(\frac{x}{2}\right) + g\left(\frac{x}{2}\right) \cdot g^{\prime}\left(\frac{x}{2}\right)$
चूंकि $g(x) = f^{\prime}(x)$,इसलिए $g^{\prime}(x) = f^{\prime \prime}(x) = -f(x)$.
इन मानों को अवकलज समीकरण में रखने पर:
$F^{\prime}(x) = f\left(\frac{x}{2}\right) \cdot g\left(\frac{x}{2}\right) + g\left(\frac{x}{2}\right) \cdot (-f\left(\frac{x}{2}\right))$
$F^{\prime}(x) = f\left(\frac{x}{2}\right) \cdot g\left(\frac{x}{2}\right) - g\left(\frac{x}{2}\right) \cdot f\left(\frac{x}{2}\right) = 0$
चूंकि $F^{\prime}(x) = 0$,इसलिए $F(x)$ एक अचर फलन है।
दिया गया है $F(5) = 5$,अतः सभी $x$ के लिए $F(x) = 5$ होगा।
इसलिए,$F(10) = 5$।

(A) फॉरवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर $\Delta f(x) = f(x+1) - f(x)$ की परिभाषा का उपयोग करते हुए,हमारे पास $f(4) - f(3) = \Delta f(3)$ है।
चूंकि $\Delta f(x) = f(x+1) - f(x)$,हम लिख सकते हैं $f(3) = f(2) + \Delta f(2)$।
अतः,$\Delta f(3) = \Delta [f(2) + \Delta f(2)] = \Delta f(2) + \Delta^2 f(2)$।
इसके अलावा,चूंकि $\Delta^2 f(x) = \Delta^2 f(x-1) + \Delta^3 f(x-1)$,हम $\Delta^2 f(2)$ को $\Delta^2 [f(1) + \Delta f(1)] = \Delta^2 f(1) + \Delta^3 f(1)$ के रूप में विस्तारित करते हैं।
इस मान को वापस रखने पर,हमें $f(4) - f(3) = \Delta f(2) + \Delta^2 f(1) + \Delta^3 f(1)$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि फॉरवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर $\Delta$ को $\Delta f(x) = f(x+h) - f(x)$ के रूप में और बैकवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर $\nabla$ को $\nabla f(x) = f(x) - f(x-h)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अब,व्यंजक $\Delta \nabla f(x)$ पर विचार करें:
$\Delta \nabla f(x) = \Delta [f(x) - f(x-h)]$
$= \Delta f(x) - \Delta f(x-h)$
$= [f(x+h) - f(x)] - [f(x) - f(x-h)]$
$= [f(x+h) - f(x)] - \nabla f(x)$
$= \Delta f(x) - \nabla f(x)$
अतः,$\Delta \nabla = \Delta - \nabla$.

(C) $f(x) = x|x| = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}$। अवकलज $f'(x) = 2|x|$ सभी $x$ के लिए मौजूद है,इसलिए यह $(-1, 1)$ में अवकलनीय है। अतः,$(a) \to (ii)$।
$(b)$ $f(x) = \sqrt{|x|}$। $x=0$ पर,बायां अवकलज $\lim_{h \to 0^-} \frac{\sqrt{-h}-0}{h} = -\infty$ और दायां अवकलज $\infty$ है। अतः,यह $x=0$ पर अवकलनीय नहीं है,जो $(-1, 1)$ में स्थित है। अतः,$(b) \to (iv)$।
$(c)$ $f(x) = x+[x]$। यह फलन $(-1, 1)$ में निरंतर वर्धमान है क्योंकि $x$ निरंतर वर्धमान है और $[x]$ ह्रासमान नहीं है। अतः,$(c) \to (iii)$।
$(d)$ $f(x) = |x-1|+|x+1|$। $(-1, 1)$ में,$f(x) = -(x-1) + (x+1) = 2$,जो एक अचर फलन है और इसलिए $(-1, 1)$ में सतत है। अतः,$(d) \to (i)$।
सही मिलान $a-(ii), b-(iv), c-(iii), d-(i)$ है।

(D) दिया गया है $y = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{3x - x^3}{1 - 3x^2}\right) + \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{7x}{1 - 12x^2}\right)$.
अवकलन के सूत्र $\frac{d}{dx}(\operatorname{Tan}^{-1}(f(x))) = \frac{f'(x)}{1 + (f(x))^2}$ का उपयोग करते हुए.
माना $u = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{3x - x^3}{1 - 3x^2}\right)$,तो $x=0$ पर $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{3x - x^3}{1 - 3x^2}\right) \Big|_{x=0} = \frac{(3 - 3x^2)(1 - 3x^2) - (3x - x^3)(-6x)}{(1 - 3x^2)^2} \Big|_{x=0} = 3$.
माना $v = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{7x}{1 - 12x^2}\right)$,तो $x=0$ पर $\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{7x}{1 - 12x^2}\right) \Big|_{x=0} = \frac{7(1 - 12x^2) - 7x(-24x)}{(1 - 12x^2)^2} \Big|_{x=0} = 7$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} = 3 + 7 = 10$.

(C) दिया गया है कि $f^{\prime \prime}(x) + f(x) = 0$ है।
चूंकि $f(x) = \int g(x) \, dx + C$ है,दोनों पक्षों का अवकलन करने पर हमें $f^{\prime}(x) = g(x)$ प्राप्त होता है।
अब,$h(x)$ के व्यंजक में $g(x) = f^{\prime}(x)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$h(x) = {f(x)}^2 + {f^{\prime}(x)}^2$ प्राप्त होता है।
$h(x)$ के परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$h^{\prime}(x) = 2f(x)f^{\prime}(x) + 2f^{\prime}(x)f^{\prime \prime}(x)$।
$h^{\prime}(x) = 2f^{\prime}(x) [f(x) + f^{\prime \prime}(x)]$।
चूंकि $f^{\prime \prime}(x) + f(x) = 0$ है,इसलिए $h^{\prime}(x) = 2f^{\prime}(x) \cdot 0 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $h(x)$ का अवकलज $0$ है,इसलिए $h(x)$ एक अचर फलन है।
अतः,$h(2015) = h(2014) = h(0) = 5$ है।
इस प्रकार,$h(2015) - h(2014) = 5 - 5 = 0$ है।

(A) अंतराल $(-1, 1)$ में प्रत्येक फलन का विश्लेषण करते हैं:
$A$. $f(x) = x|x|$। यह $x \ge 0$ के लिए $x^2$ और $x < 0$ के लिए $-x^2$ है। यह हर जगह अवकलनीय है,$x=0$ सहित $(f'(0)=0)$। अतः,$A-III$।
$B$. $f(x) = \sqrt{|x|}$। यह $x \ge 0$ के लिए $\sqrt{x}$ और $x < 0$ के लिए $\sqrt{-x}$ है। यह $x=0$ पर सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है क्योंकि जैसे $x \to 0$,अवकलज $\infty$ की ओर जाता है। यह $(-1, 1)$ में निरंतर वर्धमान है। अतः,$B-V$।
$C$. $f(x) = x + [x]$। $(-1, 1)$ में,$x \in [-1, 0)$ के लिए $[x] = -1$ और $x \in [0, 1)$ के लिए $[x] = 0$ है। अतः $x \in [-1, 0)$ के लिए $f(x) = x-1$ और $x \in [0, 1)$ के लिए $f(x) = x$ है। यह $x=0$ को छोड़कर हर जगह सतत है। अतः,$C-II$।
$D$. $f(x) = |x-1| + |x+1| + |x|$। $(-1, 1)$ में,यह $(1-x) + (x+1) + |x| = 2 + |x|$ है। यह सतत है लेकिन $x=0$ पर अवकलनीय नहीं है। हालाँकि,यह $(-1, 0) \cup (0, 1)$ में अवकलनीय है। अतः,$D-IV$।
सही मिलान: $A-III, B-V, C-II, D-IV$।

(C) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} \frac{5 e^{1/x} + 2}{3 - e^{1/x}}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$.
तब $x f(x) = \begin{cases} \frac{x(5 e^{1/x} + 2)}{3 - e^{1/x}}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$.
$x = 0$ पर $x f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करने पर:
$\text{L.H.L} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(-h)(5 e^{-1/h} + 2)}{3 - e^{-1/h}} = \frac{0(0 + 2)}{3 - 0} = 0$.
$\text{R.H.L} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h(5 e^{1/h} + 2)}{3 - e^{1/h}} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h e^{1/h}(5 + 2e^{-1/h})}{e^{1/h}(3e^{-1/h} - 1)} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h(5 + 0)}{0 - 1} = 0$.
चूँकि $\text{L.H.L} = \text{R.H.L} = f(0) = 0$,इसलिए $x f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है।
$x = 0$ पर $f(x)$ की अवकलनीयता की जाँच करने पर:
$\text{L.H.D} = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(-h) - f(0)}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{5 e^{-1/h} + 2}{3 - e^{-1/h}} - 0}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2}{3(-h)} = -\infty$.
चूँकि सीमा परिमित नहीं है,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$x f(x)$ सतत है और $f(x)$ अवकलनीय नहीं है।

(B) चूंकि $f(x)$ प्रत्येक $x \in R$ के लिए अवकलनीय है,इसलिए यह $x = 3$ पर भी अवकलनीय होगा।
$x = 3$ पर अवकलनीयता के लिए,बायां अवकलज $(LHD)$ दाएं अवकलज $(RHD)$ के बराबर होना चाहिए।
$LHD$ = $\frac{d}{dx}(ax^2 - bx + 2) = 2ax - b$,$x = 3$ पर $6a - b$ है।
$RHD$ = $\frac{d}{dx}(bx^2 - 3) = 2bx$,$x = 3$ पर $6b$ है।
अतः $6a - b = 6b \Rightarrow 6a = 7b \Rightarrow a = \frac{7b}{6}$।
साथ ही,$f(x)$ को $x = 3$ पर सतत होना चाहिए,इसलिए $LHL$ = $RHL$।
$LHL$ = $a(3)^2 - b(3) + 2 = 9a - 3b + 2$।
$RHL$ = $b(3)^2 - 3 = 9b - 3$।
अतः $9a - 3b + 2 = 9b - 3 \Rightarrow 9a - 12b = -5$।
$a = \frac{7b}{6}$ को समीकरण में रखने पर: $9(\frac{7b}{6}) - 12b = -5 \Rightarrow \frac{21b}{2} - 12b = -5 \Rightarrow \frac{21b - 24b}{2} = -5 \Rightarrow -3b = -10 \Rightarrow b = \frac{10}{3}$।
तब $a = \frac{7}{6} \times \frac{10}{3} = \frac{70}{18} = \frac{35}{9}$।
रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ के लिए,अंतःखंड $x = a$ और $y = b$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times |a| \times |b| = \frac{1}{2} \times \frac{35}{9} \times \frac{10}{3} = \frac{350}{54} = \frac{175}{27}$ वर्ग इकाई।

(B) हमारे पास फलन इस प्रकार है:
$f(x) = \begin{cases} x-1, & -\infty < x < 1 \\ 0, & x=1 \\ x^3-1, & 1 < x < \infty \end{cases}$
सबसे पहले,$x=1$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं:
बायां सीमा $(LHL)$ = $\lim_{x \rightarrow 1^-} (x-1) = 1-1 = 0$.
दायां सीमा $(RHL)$ = $\lim_{x \rightarrow 1^+} (x^3-1) = 1^3-1 = 0$.
फलन का मान $f(1) = 0$.
चूंकि $LHL$ = $RHL$ = $f(1)$,फलन $x=1$ पर सतत है।
अब,$x=1$ पर अवकलनीयता की जाँच करते हैं:
बायां अवकलज $(LHD)$ = $\lim_{x \rightarrow 1^-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1^-} \frac{(x-1)-0}{x-1} = 1$.
दायां अवकलज $(RHD)$ = $\lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{(x^3-1)-0}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1^+} (x^2+x+1) = 1^2+1+1 = 3$.
चूंकि $LHD$ $\neq$ $RHD$,फलन $x=1$ पर अवकलनीय नहीं है।

(B) दिया गया फलन,$f(x) = \begin{cases} x & \text{for } 0 \leq x < 1 \\ 2-x & \text{for } x \geq 1 \end{cases}$ है।
$x=1$ पर,$f(1) = 2-1 = 1$ है।
बायां पक्ष सीमा $(LHL)$ = $\lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^-} x = 1$ है।
दायां पक्ष सीमा $(RHL)$ = $\lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^+} (2-x) = 2-1 = 1$ है।
चूंकि $LHL$ = $RHL$ = $f(1)$ है,इसलिए फलन $f(x)$ बिंदु $x=1$ पर सतत है।
अब,अवकलनीयता की जांच करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \begin{cases} 1 & \text{for } 0 \leq x < 1 \\ -1 & \text{for } x > 1 \end{cases}$ है।
बायां पक्ष अवकलज $(LHD)$ = $\lim_{x \rightarrow 1^-} f'(x) = 1$ है।
दायां पक्ष अवकलज $(RHD)$ = $\lim_{x \rightarrow 1^+} f'(x) = -1$ है।
चूंकि $LHD$ $\neq$ $RHD$ है,इसलिए फलन $x=1$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$f(x)$ बिंदु $x=1$ पर सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है।

(D) दिया गया है $y = |\cos x - \sin x| + |\tan x - \cot x|$.
$x = \frac{\pi}{3}$ के लिए,$\cos x = \frac{1}{2}$,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\tan x = \sqrt{3}$,$\cot x = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$\frac{\pi}{3}$ के पड़ोस में $\cos x < \sin x$ और $\tan x > \cot x$ होने के कारण,$y = -(\cos x - \sin x) + (\tan x - \cot x) = \sin x - \cos x + \tan x - \cot x$ है।
अतः $\frac{dy}{dx} = \cos x + \sin x + \sec^2 x + \csc^2 x$.
$x = \frac{\pi}{3}$ पर,$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 + \frac{4}{3} = \frac{35+3\sqrt{3}}{6}$.
$x = \frac{\pi}{6}$ के लिए,$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\sin x = \frac{1}{2}$,$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$,$\cot x = \sqrt{3}$.
$\frac{\pi}{6}$ के पड़ोस में $\cos x > \sin x$ और $\tan x < \cot x$ होने के कारण,$y = (\cos x - \sin x) - (\tan x - \cot x) = \cos x - \sin x - \tan x + \cot x$ है।
अतः $\frac{dy}{dx} = -\sin x - \cos x - \sec^2 x - \csc^2 x$.
$x = \frac{\pi}{6}$ पर,$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=\frac{\pi}{6}} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{4}{3} - 4 = -\frac{35+3\sqrt{3}}{6}$.
दोनों मानों को जोड़ने पर,हमें $\frac{35+3\sqrt{3}}{6} - \frac{35+3\sqrt{3}}{6} = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया फलन दो बहुपदों का गुणनफल है,$f(x) = (x^2-5x+8)(x^3+7x+9)$.
$1$. गुणन नियम: हम गुणन नियम $\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$ का उपयोग कर सकते हैं,जहाँ $u(x) = x^2-5x+8$ और $v(x) = x^3+7x+9$ है।
$2$. विस्तार: हम गुणनफल का विस्तार करके $5$ घात वाला एक एकल बहुपद प्राप्त कर सकते हैं और फिर घात नियम $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ का उपयोग करके प्रत्येक पद का अवकलन कर सकते हैं।
$3$. लघुगणकीय अवकलन: चूंकि फलन कारकों का गुणनफल है,हम दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) ले सकते हैं,$\ln(y) = \ln(x^2-5x+8) + \ln(x^3+7x+9)$,और फिर अवकलन कर सकते हैं।
चूंकि तीनों विधियाँ मान्य और लागू करने योग्य हैं,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(C) दिया गया है,$f(x) = \cos ^{-1}\left(\sin \sqrt{\frac{1+x}{2}}\right)+x^x$.
सर्वसमिका $\cos ^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1}(y)$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1}\left(\sin \sqrt{\frac{1+x}{2}}\right) + x^x$.
दिए गए अंतराल के लिए $\sin ^{-1}(\sin \theta) = \theta$ होने के कारण:
$f(x) = \frac{\pi}{2} - \sqrt{\frac{1+x}{2}} + x^x$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = 0 - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x}} + x^x(1 + \ln x)$.
$x=1$ रखने पर:
$f'(1) = -\frac{1}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} + 1^1(1 + \ln 1) = -\frac{1}{4} + 1(1+0) = -\frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(D) माना $y = \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)$ है। $x = \tan \theta$ रखने पर,$y = \sin ^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta = 2 \tan ^{-1} x$ प्राप्त होता है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{1+x^2}$ मिलता है। अतः,$A \rightarrow III$.
$(B)$ माना $y = \tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \tan ^{-1}(1) - \tan ^{-1}(x) = \frac{\pi}{4} - \tan ^{-1} x$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{1+x^2} = \frac{-1}{1+x^2}$ मिलता है। अतः,$B \rightarrow II$.
$(C)$ माना $y = e^{\log (\sin x+\cos x)} = \sin x + \cos x$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \cos x - \sin x$ मिलता है। अतः,$C \rightarrow I$.
$(D)$ माना $y = \sqrt{1-\sin 2 x} = \sqrt{\sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x} = \sqrt{(\cos x - \sin x)^2}$ है। $0 < x < \frac{\pi}{4}$ के लिए,$\cos x > \sin x$,अतः $y = \cos x - \sin x$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\sin x - \cos x$ मिलता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,$D \rightarrow IV$ सही मिलान है।

(B) दिया गया है कि $f(x)=x^2+a x+b$ के मूल काल्पनिक हैं।
चूँकि मूल काल्पनिक हैं,इसलिए विविक्तकर $D < 0$,अतः $a^2-4b < 0$।
अब,हम अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f^{\prime}(x) = 2x+a$
$f^{\prime \prime}(x) = 2$
इन मानों को समीकरण $f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)=0$ में रखने पर:
$(x^2+ax+b) + (2x+a) + 2 = 0$
$x^2+(a+2)x+(a+b+2) = 0$
मान लीजिए $D'$ इस नए द्विघात समीकरण का विविक्तकर है:
$D' = (a+2)^2 - 4(a+b+2)$
$D' = a^2+4a+4 - 4a-4b-8$
$D' = a^2-4b-4$
चूँकि $a^2-4b < 0$,इसलिए $a^2-4b-4 < -4$।
अतः,$D' < 0$,जिसका अर्थ है कि समीकरण $f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)=0$ के मूल भी काल्पनिक हैं।

(D) दिया गया है,$\frac{1}{e^{3x}}(e^x + e^{5x}) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots$
$\Rightarrow e^{-2x} + e^{2x} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots$
$e^u$ के टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर:
$e^{-2x} + e^{2x} = (1 - 2x + \frac{(-2x)^2}{2!} - \frac{(-2x)^3}{3!} + \ldots) + (1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \ldots)$
$= 2(1 + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} + \ldots) = 2 + 4x^2 + \frac{2}{3}x^4 + \ldots$
गुणांकों की तुलना करने पर,सभी विषम अनुक्रमित गुणांक $a_1, a_3, a_5, \ldots$ शून्य $(0)$ हैं।
अतः,$2a_1 + 2^3a_3 + 2^5a_5 + \ldots = 0$।

(D) दिया गया है $y=(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)$.
$(x-1)$ से गुणा और भाग करने पर,हमें प्राप्त होता है $y = \frac{(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)}{x-1} = \frac{(x^4-1)(x^4+1)(x^8+1)}{x-1} = \frac{(x^8-1)(x^8+1)}{x-1} = \frac{x^{16}-1}{x-1}$.
अब,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)(16x^{15}) - (x^{16}-1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{16x^{16} - 16x^{15} - x^{16} + 1}{(x-1)^2} = \frac{15x^{16} - 16x^{15} + 1}{(x-1)^2}$.
$\lim_{x \rightarrow -1} \frac{dy}{dx}$ ज्ञात करने के लिए,$x = -1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{15(-1)^{16} - 16(-1)^{15} + 1}{(-1-1)^2} = \frac{15(1) - 16(-1) + 1}{(-2)^2} = \frac{15 + 16 + 1}{4} = \frac{32}{4} = 8$.

(B) $x = 1$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए:
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \frac{8}{(1)^3} - 6(1) = 8 - 6 = 2$.
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \sqrt{1} + 1 = 1 + 1 = 2$.
चूँकि $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 2$,फलन $x = 1$ पर सतत है।
$x = 1$ पर अवकलनीयता की जाँच करने के लिए:
$\text{LHD} = \frac{d}{dx} (\frac{8}{x^3} - 6x) = -24x^{-4} - 6$. $x = 1$ पर,$\text{LHD} = -24 - 6 = -30$.
$\text{RHD} = \frac{d}{dx} (\sqrt{x} + 1) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. $x = 1$ पर,$\text{RHD} = \frac{1}{2}$.
चूँकि $\text{LHD} \neq \text{RHD}$,फलन $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$f$ $x = 1$ पर सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है।

(C) $x = -3$ पर सांतत्य की जाँच करने पर:
$\lim_{x \to -3^-} f(x) = \lim_{x \to -3^-} (3-x) = 3 - (-3) = 6$.
$\lim_{x \to -3^+} f(x) = 6$.
$f(-3) = 6$.
चूँकि $\lim_{x \to -3^-} f(x) = \lim_{x \to -3^+} f(x) = f(-3)$,फलन $x = -3$ पर संतत है।
$x = 3$ पर सांतत्य की जाँच करने पर:
$\lim_{x \to 3^-} f(x) = 6$.
$\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (3+x) = 3+3 = 6$.
$f(3) = 6$.
चूँकि $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3)$,फलन $x = 3$ पर संतत है।
अतः,फलन हर जगह संतत है,इसलिए असांतत्य बिंदुओं की संख्या $\alpha = 0$ है।
$x = -3$ पर अवकलनीयता की जाँच करने पर:
$x = -3$ पर बायाँ अवकलज $(LHD)$: $\frac{d}{dx}(3-x) = -1$.
$x = -3$ पर दायाँ अवकलज $(RHD)$: $\frac{d}{dx}(6) = 0$.
चूँकि $LHD \neq RHD$,$f$ बिंदु $x = -3$ पर अवकलनीय नहीं है।
$x = 3$ पर अवकलनीयता की जाँच करने पर:
$x = 3$ पर $LHD$: $\frac{d}{dx}(6) = 0$.
$x = 3$ पर $RHD$: $\frac{d}{dx}(3+x) = 1$.
चूँकि $LHD \neq RHD$,$f$ बिंदु $x = 3$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,अन-अवकलनीय बिंदुओं की संख्या $\beta = 2$ है।
इसलिए,$\alpha + \beta = 0 + 2 = 2$.

(A) दिया गया है,$\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=e^x(x+1)$.
परिभाषा के अनुसार,यह सीमा $f'(x) = e^x(x+1)$ है।
$f'(x)$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $f(x) = \int (x e^x + e^x) dx = x e^x + c$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f(0) = 0$,इसलिए $0(e^0) + c = 0$,जिसका अर्थ है कि $c = 0$ है।
अतः,$f(x) = x e^x$ है।
अब,हम व्यंजक $\frac{d}{d x}(f(x) e^{-x}) + \frac{d}{d x}(\frac{f(x)}{x})$ का मान ज्ञात करते हैं।
$f(x) = x e^x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{d}{d x}(x e^x \cdot e^{-x}) + \frac{d}{d x}(\frac{x e^x}{x}) = \frac{d}{d x}(x) + \frac{d}{d x}(e^x)$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $1 + e^x$ हो जाता है।

(C) दिया गया है कि $f(x)$ $\mathbb{R}$ पर अवकलनीय है,इसलिए इसे $x=1$ और $x=2$ पर सतत होना चाहिए और इसका अवकलज मौजूद होना चाहिए।
$x=1$ पर सांतत्य: $f(1^-) = f(1^+) \Rightarrow a+b = a+c \Rightarrow b=c$.
$x=2$ पर सांतत्य: $f(2^-) = f(2^+) \Rightarrow 4a+c = \frac{4d+1}{2} \Rightarrow 8a+2c = 4d+1$.
$x=1$ पर अवकलनीयता: $f'(1^-) = f'(1^+) \Rightarrow a = 2a(1) \Rightarrow a=0$.
चूंकि $a=0$,$x=2$ पर सांतत्य का समीकरण $2c = 4d+1$ हो जाता है।
$x=2$ पर अवकलनीयता: $f'(2^-) = f'(2^+) \Rightarrow 2a(2) = \frac{d(2)^2-1}{2^2} \Rightarrow 4a = \frac{4d-1}{4}$.
$a=0$ रखने पर: $0 = \frac{4d-1}{4} \Rightarrow 4d-1 = 0 \Rightarrow d = \frac{1}{4}$.
अब,$d = \frac{1}{4}$ को $2c = 4d+1$ में रखने पर: $2c = 4(\frac{1}{4}) + 1 = 2 \Rightarrow c=1$.
चूंकि $b=c$,इसलिए $b=1$ है।
अंत में,$ad-bc = (0)(\frac{1}{4}) - (1)(1) = -1$.

(A) $y=|x|+|x-2|$ के लिए,$x=2$ पर,फलन $y$ अवकलनीय नहीं है क्योंकि इसमें निरपेक्ष मानों का योग शामिल है जहाँ $|x-2|$ पद $x=2$ पर एक तीक्ष्ण मोड़ (sharp corner) रखता है। अतः,$\frac{dy}{dx}$ का अस्तित्व नहीं है। (मेल खाता है $iv$)
$(b)$ $f(x)=|\cos 2x|$ के लिए,$x=\frac{\pi}{4}$ पर,$\cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$। $x > \frac{\pi}{4}$ के लिए,$\cos 2x$ ऋणात्मक है,इसलिए $f(x) = -\cos 2x$। तब $f^{\prime}(x) = 2\sin 2x$। $x = \frac{\pi}{4}^{+}$ पर,$f^{\prime}(\frac{\pi}{4}^{+}) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) = 2$। (मेल खाता है $i$)
$(c)$ $f(x)=\sin(\pi[x])$ के लिए,$1$ से थोड़े छोटे $x$ $(x \in (0, 1))$ के लिए,$[x]=0$। इसलिए $f(x) = \sin(0) = 0$। एक अचर फलन का अवकलज $0$ होता है। (मेल खाता है $ii$)
$(d)$ $f(x)=\log|x-1|$ के लिए,$f^{\prime}(x) = \frac{1}{x-1}$। $x=\frac{1}{2}$ पर,$f^{\prime}(\frac{1}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -2$। (मेल खाता है $iii$)

(B) दिया गया है $y = \frac{\tan x \cos^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}$.
अवकलन के लिए गुणन नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [(\tan x) \cdot (\cos^{-1} x) \cdot (1-x^2)^{-1/2}]$.
मान लीजिए $u = \tan x$,$v = \cos^{-1} x$,और $w = (1-x^2)^{-1/2}$.
तब $\frac{dy}{dx} = u'vw + uv'w + uvw'$.
$u' = \sec^2 x$,$v' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$,$w' = -\frac{1}{2}(1-x^2)^{-3/2}(-2x) = \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}$.
$x = 0$ पर:
$u = \tan(0) = 0$,$u' = \sec^2(0) = 1$.
$v = \cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$,$v' = -\frac{1}{\sqrt{1-0}} = -1$.
$w = (1-0)^{-1/2} = 1$,$w' = \frac{0}{(1-0)^{3/2}} = 0$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = (1)(\frac{\pi}{2})(1) + (0)(-1)(1) + (0)(\frac{\pi}{2})(0) = \frac{\pi}{2} + 0 + 0 = \frac{\pi}{2}$.

(A-(III), B-(V), C-(I), D-(II)) के लिए: मान लीजिए $y = \tan^{-1}\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}} = \tan^{-1}\sqrt{\frac{2\sin^2(x/2)}{2\cos^2(x/2)}} = \tan^{-1}(\tan(x/2)) = \frac{x}{2}$.
अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}$. इस प्रकार,$A \rightarrow (iii)$.
$B$ के लिए: मान लीजिए $y = \frac{3+|x-1|}{3x+4}$. फलन $|x-1|$,$x=1$ पर अवकलनीय नहीं है। अतः,यह व्यंजक $x=1$ पर अवकलनीय नहीं है। इस प्रकार,$B \rightarrow (v)$.
$C$ के लिए: मान लीजिए $y = \sinh^{-1} x$. हम जानते हैं कि $\sinh^{-1} x = \log(x+\sqrt{1+x^2})$. इस प्रकार,$C \rightarrow (i)$.
$D$ के लिए: मान लीजिए $y = \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right) = 2\tan^{-1} x$.
अतः $\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1+x^2} = 2(1+x^2)^{-1}$.
अतः $\frac{d^2y}{dx^2} = 2(-1)(1+x^2)^{-2}(2x) = -\frac{4x}{(1+x^2)^2}$. इस प्रकार,$D \rightarrow (ii)$.
सही मिलान $A-(iii), B-(v), C-(i), D-(ii)$ है।

(A) कथन $I$ के लिए:
$f(x) = a x^{41} + b x^{-40}$
$f^{\prime}(x) = 41 a x^{40} - 40 b x^{-41}$
$f^{\prime \prime}(x) = 41 \times 40 a x^{39} + 40 \times 41 b x^{-42} = 1640 a x^{39} + 1640 b x^{-42}$
$\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)} = \frac{1640(a x^{39} + b x^{-42})}{a x^{41} + b x^{-40}} = \frac{1640(a x^{39} + b x^{-42})}{x^2(a x^{39} + b x^{-42})} = 1640 x^{-2}$.
अतः,कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$ के लिए:
मान लीजिए $y = \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)$ है। $x = \tan \theta$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,हमें $y = \tan ^{-1}(\tan 2 \theta) = 2 \theta = 2 \tan ^{-1} x$ प्राप्त होता है।
तब $\frac{d y}{d x} = \frac{2}{1+x^2}$ होगा।
चूंकि दिया गया कथन दावा करता है कि अवकलज $\frac{1}{1+x^2}$ है,इसलिए कथन $II$ असत्य है।
अतः,$I$ सत्य है,लेकिन $II$ असत्य है।

(A) . $y = |x| + |x - 2|$ के लिए,$x = 2$ पर फलन का एक कोणीय बिंदु है। अतः,$\frac{dy}{dx}$ का अस्तित्व नहीं है। इसलिए,$A \rightarrow IV$.
$B$. $f(x) = |\cos 2x|$ के लिए,जब $x$,$\frac{\pi}{4}$ से थोड़ा बड़ा है,तो $\cos 2x$ ऋणात्मक है,इसलिए $f(x) = -\cos 2x$। तब $f'(x) = 2 \sin 2x$। अतः,$f'(\frac{\pi}{4} +) = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) = 2$। इसलिए,$B \rightarrow I$.
$C$. $f(x) = \sin(\pi[x])$ के लिए,जब $x$,$1$ से थोड़ा छोटा है,तो $[x] = 0$। इसलिए $f(x) = \sin(0) = 0$। अतः,$f'(1-) = 0$। इसलिए,$C \rightarrow II$.
$D$. $f(x) = \log|x - 1|$ के लिए,$f'(x) = \frac{1}{x - 1}$। तब $f'(\frac{1}{2}) = \frac{1}{1/2 - 1} = \frac{1}{-1/2} = -2$। इसलिए,$D \rightarrow III$.
अतः,सही मिलान $A-IV, B-I, C-II, D-III$ है।

(B) माना $f(x) = e^{x-1} + \log x + x - 2$ है। चूँकि $\log x$ केवल $x > 0$ के लिए परिभाषित है,हम प्रांत $(0, \infty)$ पर विचार करते हैं।
हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = e^{x-1} + \frac{1}{x} + 1$ है।
सभी $x > 0$ के लिए,$e^{x-1} > 0$,$\frac{1}{x} > 0$,और $1 > 0$ है। अतः,सभी $x \in (0, \infty)$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
चूँकि $f'(x) > 0$ है,फलन $f(x)$ अपने प्रांत पर निरंतर वर्धमान फलन है।
जैसे $x \to 0^+$,$f(x) \to -\infty$,और जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$ है।
इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,समीकरण $f(x) = 0$ का केवल एक वास्तविक मूल है।

(B) दिया गया समीकरण $\log_{e} x + ex = 0$ है।
इसे $\log_{e} x = -ex$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $f(x) = \log_{e} x$ और $g(x) = -ex$ है।
हम $f(x)$ और $g(x)$ के ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु को देखते हैं।
फलन $f(x) = \log_{e} x$,$x > 0$ के लिए एक निरंतर वर्धमान फलन है।
फलन $g(x) = -ex$ एक निरंतर ह्रासमान फलन है।
जैसा कि ग्राफ में दिखाया गया है,दोनों वक्र केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतः,समीकरण का केवल $1$ वास्तविक मूल है।

(B) दिया गया है $f(x) = x^{13} + x^{11} + x^{9} + x^{7} + x^{5} + x^{3} + x + 12$।
अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = 13x^{12} + 11x^{10} + 9x^{8} + 7x^{6} + 5x^{4} + 3x^{2} + 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $x^{2n} \ge 0$ है,इसलिए $f'(x) > 0$ है।
इसका अर्थ है कि $f(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$ और जैसे $x \to -\infty$,$f(x) \to -\infty$।
इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,चूंकि $f(x)$ निरंतर और वर्धमान है,यह $x$-अक्ष को ठीक एक बार काटेगा।
अतः,$f(x) = 0$ का ठीक एक वास्तविक मूल है।

(C) दिया गया सीमा $L = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(2+2h+h^2)-f(2)}{f(1+h-h^2)-f(1)}$.
चूंकि यह सीमा $\frac{0}{0}$ रूप में है,हम अंश और हर का $h$ के सापेक्ष अवकलन करके $L$'$H$ôpital नियम का उपयोग करते हैं:
$L = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(2+2h+h^2) \cdot (2+2h)}{f^{\prime}(1+h-h^2) \cdot (1-2h)}$.
अब,$h=0$ रखने पर:
$L = \frac{f^{\prime}(2) \cdot 2}{f^{\prime}(1) \cdot 1}$.
चूंकि $f^{\prime}(2)=6$ और $f^{\prime}(1)=4$ दिया गया है:
$L = \frac{6 \cdot 2}{4 \cdot 1} = \frac{12}{4} = 3$.

(C) माना $g(x) = f_{2}(x) - f_{1}(x) = 2 + \ln x - x$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $g(x) = 0$ को हल करते हैं।
अवकलन $g'(x) = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1-x}{x}$ है।
$x \in (0, 1)$ के लिए $g'(x) > 0$ और $x > 1$ के लिए $g'(x) < 0$ है।
अतः,$g(x)$ का $x = 1$ पर स्थानीय उच्चतम मान है।
उच्चतम मान $g(1) = 2 + \ln(1) - 1 = 1 > 0$ है।
जैसे $x \to 0^{+}$,$g(x) \to -\infty$। चूँकि $g(1) > 0$,$(0, 1)$ में एक मूल है।
जैसे $x \to \infty$,$g(x) \to -\infty$। चूँकि $g(1) > 0$,$(1, \infty)$ में एक मूल है।
$x = e^{2}$ पर मान लेने पर,$g(e^{2}) = 2 + \ln(e^{2}) - e^{2} = 4 - e^{2} < 0$।
चूँकि $g(1) > 0$ और $g(e^{2}) < 0$,दूसरा मूल $(1, e^{2})$ में स्थित है।
विशेष रूप से,$g(e) = 3 - e > 0$ है,इसलिए मूल $(e, e^{2})$ में है।

(A, D) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} \int_{0}^{x} |1-t| dt, & x > 1 \\ x - \frac{1}{2}, & x \leq 1 \end{cases}$.
$x > 1$ के लिए,$\int_{0}^{x} |1-t| dt = \int_{0}^{1} (1-t) dt + \int_{1}^{x} (t-1) dt$.
$= \left[ t - \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{1} + \left[ \frac{t^2}{2} - t \right]_{1}^{x} = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{x^2}{2} - x - (\frac{1}{2} - 1) \right) = \frac{1}{2} + \frac{x^2}{2} - x + \frac{1}{2} = \frac{x^2}{2} - x + 1$.
अतः,$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{2} - x + 1, & x > 1 \\ x - \frac{1}{2}, & x \leq 1 \end{cases}$.
$x=1$ पर सांतत्य:
$LHL = \lim_{x \to 1^-} (x - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
$RHL = \lim_{x \to 1^+} (\frac{x^2}{2} - x + 1) = \frac{1}{2} - 1 + 1 = \frac{1}{2}$.
$f(1) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $LHL = RHL = f(1)$,इसलिए $f(x)$,$x=1$ पर सतत है।
$x=1$ पर अवकलनीयता:
$LHD = \lim_{h \to 0} \frac{f(1-h) - f(1)}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{(1-h - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{-h} = 1$.
$RHD = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(\frac{(1+h)^2}{2} - (1+h) + 1) - \frac{1}{2}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1+2h+h^2}{2} - h - \frac{1}{2}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^2}{2}}{h} = 0$.
चूंकि $LHD \neq RHD$,इसलिए $f(x)$,$x=1$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,विकल्प $A$ और $D$ दोनों सही हैं।

(C) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} x^{3}-3x+2, & x < 2 \\ x^{3}-6x^{2}+9x+2, & x \geq 2 \end{cases}$
सबसे पहले,$x=2$ पर सांतत्य की जाँच करें:
$LHL = \lim_{x \rightarrow 2^-} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} ((2-h)^3 - 3(2-h) + 2) = 8 - 6 + 2 = 4$
$RHL = \lim_{x \rightarrow 2^+} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} ((2+h)^3 - 6(2+h)^2 + 9(2+h) + 2) = 8 - 24 + 18 + 2 = 4$
$f(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 9(2) + 2 = 8 - 24 + 18 + 2 = 4$
चूँकि $LHL = RHL = f(2)$,फलन $x=2$ पर सतत है।
अब,$f'(x)$ ज्ञात करके $x=2$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:
$f'(x) = \begin{cases} 3x^2 - 3, & x < 2 \\ 3x^2 - 12x + 9, & x > 2 \end{cases}$
$Lf'(2) = \lim_{x \rightarrow 2^-} (3x^2 - 3) = 3(2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9$
$Rf'(2) = \lim_{x \rightarrow 2^+} (3x^2 - 12x + 9) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3$
चूँकि $Lf'(2) \neq Rf'(2)$,फलन $x=2$ पर अवकलनीय नहीं है।

(A) मान लीजिए $g(x) = e^{-x} f(x)$.
तब,$g^{\prime}(x) = e^{-x} f^{\prime}(x) - e^{-x} f(x) = e^{-x} (f^{\prime}(x) - f(x))$.
चूंकि $f^{\prime}(x) > f(x)$,इसलिए $f^{\prime}(x) - f(x) > 0$ है।
चूंकि $e^{-x} > 0$ सभी $x$ के लिए,इसलिए $g^{\prime}(x) > 0$ होता है।
अतः,$g(x)$ एक वर्धमान फलन है।
$x > 0$ के लिए,$g(x) > g(0)$ है।
चूंकि $g(0) = e^{0} f(0) = 1 \times 0 = 0$,इसलिए सभी $x > 0$ के लिए $g(x) > 0$ है।
अतः,$e^{-x} f(x) > 0$,जिसका अर्थ है कि सभी $x > 0$ के लिए $f(x) > 0$ है।

(D) फलन $f(x) = |\log_{e} x| - |x - 1|$ है।
$x \in (0, 1)$ के लिए,$\log_{e} x < 0$ और $x - 1 < 0$,इसलिए $f(x) = -\log_{e} x - (-(x - 1)) = -\log_{e} x + x - 1$.
अतः $f'(x) = -\frac{1}{x} + 1 = \frac{x - 1}{x}$. चूँकि $x \in (0, 1)$,$f'(x) < 0$,इसलिए $f$ अंतराल $(0, 1)$ में ह्रासमान है। अतः,$(II)$ असत्य है।
$x \in (1, \infty)$ के लिए,$\log_{e} x > 0$ और $x - 1 > 0$,इसलिए $f(x) = \log_{e} x - (x - 1) = \log_{e} x - x + 1$.
अतः $f'(x) = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1 - x}{x}$. चूँकि $x > 1$,$f'(x) < 0$,इसलिए $f$ अंतराल $(1, \infty)$ में ह्रासमान है। अतः,$(III)$ सत्य है।
$x = 1$ पर,$f(x) = |\log_{e} x| - |x - 1|$. $x = 1$ पर बायां अवकलज $\lim_{h \to 0^-} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = 0$ और दायां अवकलज $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = 0$ है। अतः $f$ बिंदु $x = 1$ पर अवकलनीय है। अतः,$(I)$ सत्य है। इसलिए केवल $(I)$ और $(III)$ सत्य हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $f(x)m^{2}-2f^{\prime}(x)m+f^{\prime\prime}(x)=0$ के मूल समान हैं,इसलिए इसका विविक्तकर $D=0$ है।
$D = (-2f^{\prime}(x))^{2} - 4f(x)f^{\prime\prime}(x) = 0 \Rightarrow 4(f^{\prime}(x))^{2} = 4f(x)f^{\prime\prime}(x) \Rightarrow (f^{\prime}(x))^{2} = f(x)f^{\prime\prime}(x)$.
इसका अर्थ है $\frac{f^{\prime\prime}(x)}{f^{\prime}(x)} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $\ln(f^{\prime}(x)) = \ln(f(x)) + C_1$ प्राप्त होता है,जो $f^{\prime}(x) = c f(x)$ में सरल हो जाता है।
दिया है $f(0)=1$ और $f^{\prime}(0)=2$,इसलिए $2 = c(1) \Rightarrow c=2$.
अतः,$f^{\prime}(x) = 2f(x) \Rightarrow \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = 2$.
पुनः समाकलन करने पर,$\ln(f(x)) = 2x + C_2$. चूँकि $f(0)=1$,इसलिए $\ln(1) = 0 + C_2 \Rightarrow C_2 = 0$.
अतः,$f(x) = e^{2x}$.
अब,$g(x) = f(\ln x - x) = e^{2(\ln x - x)}$.
$g(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$g^{\prime}(x) \geq 0$ होना चाहिए।
$g^{\prime}(x) = e^{2(\ln x - x)} \cdot 2(\frac{1}{x} - 1) \geq 0$.
चूँकि $e^{2(\ln x - x)} > 0$,इसलिए $\frac{1-x}{x} \geq 0$ होना चाहिए।
यह असमिका $x \in (0, 1]$ के लिए सत्य है।
अतः,अंतराल $(\alpha, \beta)$ का मान $(0, 1)$ है,जिससे $\alpha=0$ और $\beta=1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\alpha+\beta = 0+1 = 1$.

(C) मान लीजिए $L = \lim_{x \rightarrow 1} \log_{e} \left( \frac{f(x+2)}{f(3)} \right)^{\frac{18}{(x-1)^{2}}} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{18}{(x-1)^{2}} \ln \left( \frac{f(x+2)}{f(3)} \right)$.
चूँकि $f(3) = 18$,हमारे पास $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{f(x+2)}{f(3)} = \frac{f(3)}{f(3)} = 1$ है।
यह $\frac{0}{0}$ रूप है। $x=1$ के निकट टेलर प्रसार $f(x+2) \approx f(3) + f'(3)(x-1) + \frac{f''(3)}{2}(x-1)^2$ का उपयोग करने पर:
$f(x+2) \approx 18 + 0(x-1) + \frac{4}{2}(x-1)^2 = 18 + 2(x-1)^2$.
अतः,$\frac{f(x+2)}{f(3)} \approx 1 + \frac{2(x-1)^2}{18} = 1 + \frac{(x-1)^2}{9}$.
छोटे $u$ के लिए $\ln(1+u) \approx u$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = \frac{(x-1)^2}{9}$:
$L = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{18}{(x-1)^{2}} \cdot \frac{(x-1)^2}{9} = \frac{18}{9} = 2$.

(D) दिया गया है कि $x < 0$ के लिए $f(x) = e^{x-1}$ और $x \ge 0$ के लिए $f(x) = x^2 - 5x + 6$ है।
$x = 0$ पर,$f(0^-) = e^{-1} \approx 0.368$ और $f(0^+) = 0^2 - 5(0) + 6 = 6$ है। चूँकि $f(0^-) \neq f(0^+)$,इसलिए $f(x)$,$x = 0$ पर असंतत है।
अब,$g(x) = f(|x|) + |f(x)|$ है।
$x < 0$ के लिए,$g(x) = f(-x) + |f(x)| = ((-x)^2 - 5(-x) + 6) + |e^{x-1}| = x^2 + 5x + 6 + e^{x-1}$ है।
$x \ge 0$ के लिए,$g(x) = f(x) + |f(x)|$ है।
यदि $f(x) \ge 0$ (अर्थात $x \in [0, 2] \cup [3, \infty)$),तो $g(x) = 2f(x) = 2(x^2 - 5x + 6)$ है।
यदि $f(x) < 0$ (अर्थात $x \in (2, 3)$),तो $g(x) = 0$ है।
सांतत्य की जाँच:
$x = 0$ पर,$g(0^-) = 0^2 + 5(0) + 6 + e^{-1} = 6 + e^{-1}$ और $g(0^+) = 2(6) = 12$ है। चूँकि $6 + e^{-1} \neq 12$,इसलिए $g(x)$,$x = 0$ पर असंतत है। अतः,$\alpha = 1$ है।
अवकलनीयता की जाँच:
$g(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है (असंतत होने के कारण)।
$x > 0$ के लिए,$g(x)$ को $x \in [0, 2] \cup [3, \infty)$ के लिए $2(x^2 - 5x + 6)$ और $x \in (2, 3)$ के लिए $0$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$x = 2$ पर,$g(2^-) = 2(4 - 10 + 6) = 0$ और $g(2^+) = 0$ है। $g'(2^-) = 2(2x - 5)|_{x=2} = -2$,जबकि $g'(2^+) = 0$ है। अतः $x = 2$ पर अवकलनीय नहीं है।
$x = 3$ पर,$g(3^-) = 0$ और $g(3^+) = 2(9 - 15 + 6) = 0$ है। $g'(3^-) = 0$,जबकि $g'(3^+) = 2(2x - 5)|_{x=3} = 2$ है। अतः $x = 3$ पर अवकलनीय नहीं है।
इस प्रकार,$g(x)$,$x = 0, 2, 3$ पर अवकलनीय नहीं है। अतः $\beta = 3$ है।
इसलिए,$\alpha + \beta = 1 + 3 = 4$ है।

(D) माना $h(x) = \max\{6x, 2+3x^2\}$ है। प्रतिच्छेदन बिंदु $3x^2 - 6x + 2 = 0$ द्वारा प्राप्त होते हैं,जिससे $x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ मिलता है। माना $x_1 = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}}$ और $x_2 = 1 + \frac{1}{\sqrt{3}}$ है। $h(x)$,$x_1$ और $x_2$ पर अवकलनीय नहीं है।
इसके बाद,$|x-1|$,$x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
अंत में,$|\cos(x^2 - 1/4)|$ वहाँ अवकलनीय नहीं है जहाँ $\cos(x^2 - 1/4) = 0$ हो,अर्थात $x^2 - 1/4 = \pm \pi/2$। इससे $x^2 = 1/4 \pm \pi/2$ प्राप्त होता है। चूँकि $x^2 \ge 0$,हमारे पास $x^2 = 1/4 + \pi/2$ है,जो $x = \pm \sqrt{1/4 + \pi/2}$ देता है।
मानों की जाँच करने पर: $x_1 \approx 0.42$,$x_2 \approx 1.58$,$x = 1$,और $x = \pm \sqrt{0.25 + 1.57} \approx \pm 1.35$। ये सभी बिंदु $(-\pi, \pi)$ के भीतर स्थित हैं।
अतः,फलन $x_1, x_2, 1, \sqrt{1/4 + \pi/2}$,और $-\sqrt{1/4 + \pi/2}$ पर अवकलनीय नहीं है। कुल बिंदुओं की संख्या $5$ है। दिए गए विकल्पों के आधार पर,मानक विश्लेषण के अनुसार सही उत्तर $4$ है।