Mix Examples-Continuity and Differentiation Questions in Hindi

(B) यह पद $1^\infty$ रूप में है जब $x \to 0$ है।
मान लीजिए $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{1 + f\left( {3 + x} \right) - f\left( 3 \right)}}{{1 + f\left( {2 - x} \right) - f\left( 2 \right)}}} \right)^{\frac{1}{x}}}$.
सूत्र $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} {\left( {f(x)} \right)^{g(x)}} = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x)(f(x) - 1)}$ का उपयोग करने पर:
$L = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{f(3+x) - f(3) - f(2-x) + f(2)}{1 + f(2-x) - f(2)} \right)}$
घातांक के लिए $L$'Hopital नियम का उपयोग करने पर:
घातांक $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{f'(3+x) + f'(2-x)}{1 + f(2-x) - f(2) - xf'(2-x)} = \frac{f'(3) + f'(2)}{1} = 0$.
अतः,$L = e^0 = 1$.

(B) दिया गया समीकरण $\int_6^{f(x)} 4t^3 \,dt = (x - 2)g(x)$ है।
हमें $\lim_{x \to 2} g(x) = \lim_{x \to 2} \frac{\int_6^{f(x)} 4t^3 \,dt}{x - 2}$ ज्ञात करना है।
चूंकि $f(2) = 6$,यह सीमा $\frac{0}{0}$ के रूप में है। ला-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \to 2} g(x) = \lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{dx} \int_6^{f(x)} 4t^3 \,dt}{\frac{d}{dx} (x - 2)}$.
लीबनीज़ के समाकलन नियम के अनुसार,अंश का अवकलज $4(f(x))^3 \cdot f'(x)$ है।
अतः,$\lim_{x \to 2} g(x) = \lim_{x \to 2} \frac{4(f(x))^3 \cdot f'(x)}{1} = 4(f(2))^3 \cdot f'(2)$.
दिए गए मान $f(2) = 6$ और $f'(2) = \frac{1}{48}$ रखने पर:
$\lim_{x \to 2} g(x) = 4 \cdot (6)^3 \cdot \frac{1}{48} = 4 \cdot 216 \cdot \frac{1}{48} = \frac{864}{48} = 18$.

(A) माना $\tan^{-1} x = \theta$ है। तब $\sin(\tan^{-1} x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ और $\sin(\cot^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ होगा।
$f(x) = (\frac{x+1}{\sqrt{1+x^2}})^2 - 1 = \frac{x^2+1+2x}{1+x^2} - 1 = \frac{2x}{1+x^2}$ प्राप्त होता है।
दिया है $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{d}{dx}(\sin^{-1}(\frac{2x}{1+x^2}))$.
$|x| > 1$ के लिए,$\sin^{-1}(\frac{2x}{1+x^2}) = \pi - 2\tan^{-1} x$ यदि $x > 1$ और $-\pi - 2\tan^{-1} x$ यदि $x < -1$ होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{d}{dx}(\pi - 2\tan^{-1} x) = -\frac{1}{1+x^2}$ जब $x > 1$ हो।
और $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{d}{dx}(-\pi - 2\tan^{-1} x) = -\frac{1}{1+x^2}$ जब $x < -1$ हो।
समाकलन करने पर,$y = -\tan^{-1} x + C_1$ जब $x > 1$ और $y = -\tan^{-1} x + C_2$ जब $x < -1$ प्राप्त होता है।
दिया है $y(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6} \Rightarrow -\frac{\pi}{3} + C_1 = \frac{\pi}{6} \Rightarrow C_1 = \frac{\pi}{2}$।
यदि हम मान लें कि $C_2 = C_1 = \frac{\pi}{2}$ है,तो $y(-\sqrt{3}) = -\tan^{-1}(-\sqrt{3}) + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{6}$ होगा।

दी गई सर्वसमिका: $\sin (A+B)=\sin A \cos B+\cos A \sin B$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हम गुणन नियम और श्रृंखला नियम लागू करते हैं:
$\frac{d}{d x}[\sin (A+B)]=\frac{d}{d x}(\sin A \cos B)+\frac{d}{d x}(\cos A \sin B)$
$\cos (A+B) \cdot \frac{d}{d x}(A+B) = \cos B \cdot \frac{d}{d x}(\sin A) + \sin A \cdot \frac{d}{d x}(\cos B) + \sin B \cdot \frac{d}{d x}(\cos A) + \cos A \cdot \frac{d}{d x}(\sin B)$
श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx}(\sin A) = \cos A \frac{dA}{dx}$,$\frac{d}{dx}(\cos A) = -\sin A \frac{dA}{dx}$,आदि:
$\cos (A+B) \left( \frac{dA}{dx} + \frac{dB}{dx} \right) = \cos B (\cos A \frac{dA}{dx}) + \sin A (-\sin B \frac{dB}{dx}) + \sin B (-\sin A \frac{dA}{dx}) + \cos A (\cos B \frac{dB}{dx})$
$\cos (A+B) \left( \frac{dA}{dx} + \frac{dB}{dx} \right) = \cos A \cos B \frac{dA}{dx} - \sin A \sin B \frac{dB}{dx} - \sin A \sin B \frac{dA}{dx} + \cos A \cos B \frac{dB}{dx}$
$\cos (A+B) \left( \frac{dA}{dx} + \frac{dB}{dx} \right) = \cos A \cos B \left( \frac{dA}{dx} + \frac{dB}{dx} \right) - \sin A \sin B \left( \frac{dA}{dx} + \frac{dB}{dx} \right)$
$\cos (A+B) \left( \frac{dA}{dx} + \frac{dB}{dx} \right) = (\cos A \cos B - \sin A \sin B) \left( \frac{dA}{dx} + \frac{dB}{dx} \right)$
सामान्य पद $\left( \frac{dA}{dx} + \frac{dB}{dx} \right)$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\cos (A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$

(D) दिया गया है कि $f(x)$,$x=1$ और $x=3$ पर सतत है।
$x=1$ पर सांतत्य के लिए: $\lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x) \Rightarrow a e + b e^{-1} = c(1)^2 \Rightarrow a e + b/e = c \Rightarrow b = c e - a e^2 \quad (1)$.
$x=3$ पर सांतत्य के लिए: $\lim_{x \rightarrow 3^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 3^{+}} f(x) \Rightarrow c(3)^2 = a(3)^2 + 2c(3) \Rightarrow 9c = 9a + 6c \Rightarrow 3c = 9a \Rightarrow c = 3a \quad (2)$.
$(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $b = (3a)e - a e^2 = a(3e - e^2) \quad (3)$.
अब,$f^{\prime}(x) = \begin{cases} a e^x - b e^{-x}, & -1 < x < 1 \\ 2cx, & 1 < x < 3 \\ 2ax + 2c, & 3 < x < 4 \end{cases}$.
दिया गया है कि $f^{\prime}(0) + f^{\prime}(2) = e$.
$f^{\prime}(0) = a e^0 - b e^0 = a - b$.
$f^{\prime}(2) = 2c(2) = 4c$.
अतः,$a - b + 4c = e$.
$b = 3ae - ae^2$ और $c = 3a$ को समीकरण में रखने पर:
$a - (3ae - ae^2) + 4(3a) = e$.
$a - 3ae + ae^2 + 12a = e$.
$a(e^2 - 3e + 13) = e$.
इसलिए,$a = \frac{e}{e^2 - 3e + 13}$.

(A) फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$f(x) = \begin{cases} \frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x, & x \in [-1, 1] \\ \frac{1}{2}(-x-1), & x < -1 \\ \frac{1}{2}(x-1), & x > 1 \end{cases}$
$x = -1$ पर सांतत्य की जाँच:
$LHL = \lim_{x \to -1^-} \frac{1}{2}(-x-1) = 0$
$RHL = \lim_{x \to -1^+} (\frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 0$
चूँकि $LHL = RHL = f(-1)$,फलन $x = -1$ पर सतत है।
$x = 1$ पर सांतत्य की जाँच:
$LHL = \lim_{x \to 1^-} (\frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$
$RHL = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{2}(x-1) = 0$
चूँकि $LHL \neq RHL$,फलन $x = 1$ पर असतत है।
$x = -1$ पर अवकलनीयता की जाँच:
$LHD = \frac{d}{dx} [\frac{1}{2}(-x-1)] = -\frac{1}{2}$
$RHD = \frac{d}{dx} [\frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x] = \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1+(-1)^2} = \frac{1}{2}$
चूँकि $LHD \neq RHD$,फलन $x = -1$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,फलन $R - \{1\}$ पर सतत है और $R - \{-1, 1\}$ पर अवकलनीय है।

(B) दिया गया है $f(x) = \sin \left(\cos ^{-1}\left(\frac{1-2^{2x}}{1+2^{2x}}\right)\right)$.
मान लीजिए $2^x = t$. तब $f(x) = \sin(\cos^{-1}(\frac{1-t^2}{1+t^2}))$.
हम जानते हैं कि $t \ge 0$ के लिए $\cos^{-1}(\frac{1-t^2}{1+t^2}) = 2\tan^{-1}(t)$ होता है।
अतः,$f(x) = \sin(2\tan^{-1}(2^x))$.
सर्वसमिका $\sin(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\theta = \tan^{-1}(2^x)$,हमें $\tan\theta = 2^x$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$f(x) = \frac{2(2^x)}{1+(2^x)^2} = \frac{2 \cdot 2^x}{1+2^{2x}}$.
अब,भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{(1+2^{2x}) \cdot \frac{d}{dx}(2 \cdot 2^x) - (2 \cdot 2^x) \cdot \frac{d}{dx}(1+2^{2x})}{(1+2^{2x})^2}$.
$f'(x) = \frac{(1+2^{2x})(2 \cdot 2^x \ln 2) - (2 \cdot 2^x)(2^{2x} \ln 2 \cdot 2)}{(1+2^{2x})^2}$.
$x=1$ पर,$2^x = 2$ और $2^{2x} = 4$.
$f'(1) = \frac{(1+4)(2 \cdot 2 \ln 2) - (2 \cdot 2)(4 \ln 2 \cdot 2)}{(1+4)^2} = \frac{5(4 \ln 2) - 4(8 \ln 2)}{25} = \frac{20 \ln 2 - 32 \ln 2}{25} = -\frac{12}{25} \ln 2$.
$-\frac{b}{a} \ln 2$ से तुलना करने पर,$b=12$ और $a=25$ प्राप्त होता है।
अतः,$|a^2 - b^2| = |25^2 - 12^2| = |625 - 144| = 481$.

(B) फलन इस प्रकार परिभाषित है: $f(x) = \begin{cases} -x(2 - \sin(\frac{1}{x})), & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ x(2 - \sin(\frac{1}{x})), & x > 0 \end{cases}$.
$x > 0$ के लिए,$f'(x) = (2 - \sin(\frac{1}{x})) + x(-\cos(\frac{1}{x}) \cdot (-\frac{1}{x^2})) = 2 - \sin(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}\cos(\frac{1}{x})$.
जैसे-जैसे $x \to 0^+$,पद $\frac{1}{x}\cos(\frac{1}{x})$ अत्यधिक बड़े धनात्मक और ऋणात्मक मानों के बीच दोलन करता है। इस प्रकार,$f'(x)$ $0$ के किसी भी पड़ोस में अनंत बार अपना चिह्न बदलता है,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ $(0, \infty)$ पर मोनोटोनिक नहीं है।
$x < 0$ के लिए,$f'(x) = -(2 - \sin(\frac{1}{x})) - x(-\cos(\frac{1}{x}) \cdot (-\frac{1}{x^2})) = -2 + \sin(\frac{1}{x}) - \frac{1}{x}\cos(\frac{1}{x})$.
इसी तरह,जैसे-जैसे $x \to 0^-$,पद $-\frac{1}{x}\cos(\frac{1}{x})$ दोलन करता है,जिससे $f'(x)$ अनंत बार अपना चिह्न बदलता है। इसलिए,$f(x)$ $(-\infty, 0)$ पर मोनोटोनिक नहीं है।
अतः,$f$ $(-\infty, 0)$ और $(0, \infty)$ पर मोनोटोनिक नहीं है।

(B) मान लीजिए $f(x) = x^{6} + ax^{5} + bx^{4} + cx^{3} + dx^{2} + ex + f$.
चूंकि $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{3}} = 1$ एक शून्येतर वास्तविक मान है,इसलिए $d = e = f = 0$ होना चाहिए।
अतः,$f(x) = x^{6} + ax^{5} + bx^{4} + cx^{3}$.
तब $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{3}} = \lim_{x \rightarrow 0} (x^{3} + ax^{2} + bx + c) = c = 1$.
इसलिए,$f(x) = x^{6} + ax^{5} + bx^{4} + x^{3}$.
अवकलन करने पर $f'(x) = 6x^{5} + 5ax^{4} + 4bx^{3} + 3x^{2}$.
चूंकि $f(x)$ के $x = 1$ और $x = -1$ पर चरम बिंदु हैं,इसलिए $f'(1) = 0$ और $f'(-1) = 0$.
$f'(1) = 6 + 5a + 4b + 3 = 0 \Rightarrow 5a + 4b = -9$.
$f'(-1) = -6 + 5a - 4b + 3 = 0 \Rightarrow 5a - 4b = 3$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $10a = -6 \Rightarrow a = -\frac{3}{5}$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $8b = -12 \Rightarrow b = -\frac{3}{2}$.
अतः,$f(x) = x^{6} - \frac{3}{5}x^{5} - \frac{3}{2}x^{4} + x^{3}$.
$5 \cdot f(2) = 5 \left( 2^{6} - \frac{3}{5} \cdot 2^{5} - \frac{3}{2} \cdot 2^{4} + 2^{3} \right)$ की गणना करने पर।
$5 \cdot f(2) = 5 \left( 64 - \frac{3}{5} \cdot 32 - \frac{3}{2} \cdot 16 + 8 \right) = 320 - 96 - 120 + 40 = 144$.

(A) दिया गया है $f(x) = 3(1 - \frac{|x|}{2})$ जब $|x| \leq 2$ और अन्यथा $0$ है।
$f(x+2) = 3(1 - \frac{|x+2|}{2})$ जब $|x+2| \leq 2$ (अर्थात $-4 \leq x \leq 0$) और अन्यथा $0$ है।
$f(x-2) = 3(1 - \frac{|x-2|}{2})$ जब $|x-2| \leq 2$ (अर्थात $0 \leq x \leq 4$) और अन्यथा $0$ है।
अतः,$g(x) = f(x+2) - f(x-2)$ इस प्रकार परिभाषित है:
$g(x) = \begin{cases} 3(1 - \frac{|x+2|}{2}) & -4 \leq x < 0 \\ -3(1 - \frac{|x-2|}{2}) & 0 \leq x \leq 4 \\ 0 & \text{अन्यथा} \end{cases}$
$g(x)$ का सरलीकरण:
$g(x) = \begin{cases} \frac{3x}{2} + 6 & -4 \leq x \leq -2 \\ -\frac{3x}{2} & -2 < x < 2 \\ \frac{3x}{2} - 6 & 2 \leq x \leq 4 \\ 0 & \text{अन्यथा} \end{cases}$
सांतत्य की जाँच: फलन $g(x)$ हर जगह संतत है क्योंकि $x = -4, -2, 2, 4$ पर सीमाएँ फलन के मानों से मेल खाती हैं (सभी सीमाओं पर $0$ है)।
अतः,$n = 0$.
अवकलनीयता की जाँच: फलन $g(x)$ उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है जहाँ ढाल अचानक बदलती है: $x = -4, -2, 2, 4$.
अतः,$m = 4$.
इसलिए,$n + m = 0 + 4 = 4$.

(D) दिया गया समीकरण: $e^{6x} - e^{4x} - 2e^{3x} - 12e^{2x} + e^{x} + 1 = 0$
पूरे समीकरण को $e^{3x}$ से विभाजित करने पर (चूंकि $e^{3x} \neq 0$):
$e^{3x} - e^{x} - 2 - 12e^{-x} + e^{-2x} + e^{-3x} = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$(e^{3x} + e^{-3x}) - (e^{x} - e^{-2x}) - (e^{-x} - e^{x}) - 2 = 0$
वैकल्पिक रूप से,$e^{3x}$ से विभाजित करके समूह बनाने पर:
$e^{3x} - 12 - e^{-3x} = e^{x} + 2 - e^{-x}$
मान लीजिए $f(x) = e^{3x} - 12 - e^{-3x}$ और $g(x) = e^{x} + 2 - e^{-x}$ है।
$f'(x) = 3e^{3x} + 3e^{-3x} > 0$ (निरंतर वर्धमान फलन)।
$g'(x) = e^{x} + e^{-x} > 0$ (निरंतर वर्धमान फलन)।
$f(x)$ और $g(x)$ के ग्राफ के प्रतिच्छेदन का अवलोकन करने पर,या फलन $h(x) = e^{6x} - e^{4x} - 2e^{3x} - 12e^{2x} + e^{x} + 1$ के व्यवहार का विश्लेषण करने पर,हम पाते हैं कि फलन $x$-अक्ष को ठीक $2$ बिंदुओं पर काटता है।
अतः,वास्तविक मूलों की संख्या $2$ है।

(B) $x > 2$ के लिए,$f(x) = \int_{0}^{1} (5 + (1-t)) \, dt + \int_{1}^{x} (5 + (t-1)) \, dt$.
समाकलनों का मूल्यांकन करने पर:
$f(x) = \int_{0}^{1} (6-t) \, dt + \int_{1}^{x} (4+t) \, dt = [6t - \frac{t^2}{2}]_{0}^{1} + [4t + \frac{t^2}{2}]_{1}^{x}$.
$f(x) = (6 - \frac{1}{2}) + (4x + \frac{x^2}{2} - 4 - \frac{1}{2}) = \frac{11}{2} + 4x + \frac{x^2}{2} - \frac{9}{2} = \frac{x^2}{2} + 4x + 1$.
$x=2$ पर सांतत्य की जाँच:
$f(2^-) = 5(2) + 1 = 11$.
$f(2^+) = \frac{2^2}{2} + 4(2) + 1 = 2 + 8 + 1 = 11$.
चूंकि $f(2^-) = f(2^+) = 11$,इसलिए $f(x)$,$x=2$ पर सतत है।
$x=2$ पर अवकलनीयता की जाँच:
$Lf'(2) = \frac{d}{dx}(5x+1)|_{x=2} = 5$.
$Rf'(2) = \frac{d}{dx}(\frac{x^2}{2} + 4x + 1)|_{x=2} = (x+4)|_{x=2} = 2+4 = 6$.
चूंकि $Lf'(2) \neq Rf'(2)$,इसलिए $f(x)$,$x=2$ पर अवकलनीय नहीं है।

(A) दिया गया है $f(x) = \min \{x-[x], 1+[x]-x\}$। मान लीजिए ${x} = x-[x]$। तब $f(x) = \min \{\{x\}, 1-\{x\}\}$।
$x \in [0, 3)$ के लिए,फलन ${x}$ का आवर्तकाल $1$ है। $f(x)$ का आरेख $0$ और $3$ के बीच त्रिकोणीय तरंगों जैसा है।
विशेष रूप से,$f(x) = \{x\}$ जब $0 \le \{x\} \le 1/2$ और $f(x) = 1-\{x\}$ जब $1/2 < \{x\} < 1$।
$1$. सांतत्य: फलन $f(x)$ अंतराल $[0, 3]$ पर हर जगह सतत है क्योंकि ${x}$ पूर्णांकों को छोड़कर सतत है,लेकिन $\min$ फलन इसे पूर्णांकों पर भी सतत बनाता है। अतः,$P = \emptyset$ और $P$ में अवयवों की संख्या $0$ है।
$2$. अवकलनीयता: फलन $f(x)$ उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है जहाँ दोनों व्यंजक समान हैं,अर्थात ${x} = 1/2$,और जहाँ ${x}$ असतत है,अर्थात $x \in \{1, 2\}$।
अंतराल $(0, 3)$ में,${x} = 1/2$ का मान $x \in \{1/2, 3/2, 5/2\}$ पर प्राप्त होता है।
वे बिंदु जहाँ $f$ अवकलनीय नहीं है,वे $Q = \{1/2, 1, 3/2, 2, 5/2\}$ हैं।
$Q$ में अवयवों की संख्या $5$ है।
$P$ और $Q$ में अवयवों की संख्या का योग = $0 + 5 = 5$।

(A) $0 \leq x \leq \pi$ के लिए,$f(x) = \max \{\sin t : 0 \leq t \leq x\}$ है। चूंकि $\sin t$,$[0, \pi/2]$ पर $0$ से $1$ तक बढ़ता है और $[\pi/2, \pi]$ पर $1$ से $0$ तक घटता है,इसलिए:
$f(x) = \sin x$ जब $0 \leq x \leq \pi/2$,और $f(x) = 1$ जब $\pi/2 < x \leq \pi$.
$x > \pi$ के लिए,$f(x) = 2 + \cos x$.
अब,$x = \pi$ पर सांतत्य की जाँच करें:
बाएँ हाथ की सीमा: $\lim_{x \to \pi^-} f(x) = 1$.
दाएँ हाथ की सीमा: $\lim_{x \to \pi^+} f(x) = 2 + \cos(\pi) = 2 - 1 = 1$.
चूंकि $f(\pi) = 1$,फलन $x = \pi$ पर सतत है।
अवकलनीयता की जाँच करें:
$x = \pi/2$ पर: बायाँ अवकलज $\cos(\pi/2) = 0$ है,दायाँ अवकलज $0$ है। अतः,$f$,$x = \pi/2$ पर अवकलनीय है।
$x = \pi$ पर: बायाँ अवकलज $0$ है (क्योंकि $x \in [\pi/2, \pi]$ के लिए $f(x)=1$)। दायाँ अवकलज $-\sin(\pi) = 0$ है। अतः,$f$,$x = \pi$ पर अवकलनीय है।
$x > \pi$ के लिए,$f(x) = 2 + \cos x$,जो हर जगह अवकलनीय है। इस प्रकार,$f$ $(0, \infty)$ में हर जगह अवकलनीय है।

(C) $x \in (-2, -1)$ के लिए,$[x] = -2$,अतः $f(x) = \frac{\sin(x+2)}{x+2}$।
$x \in (-1, 0)$ के लिए,$[|x|] = 0$,अतः $f(x) = \max\{2x, 0\} = 0$। $x \in [0, 1)$ के लिए,$[|x|] = 0$,अतः $f(x) = \max\{2x, 0\} = 2x$।
इस प्रकार,$f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x+2)}{x+2} & , x \in (-2, -1) \\ 0 & , x \in (-1, 0) \\ 2x & , x \in [0, 1) \\ 1 & , \text{अन्यथा} \end{cases}$।
सांतत्य की जाँच:
$x = -1$ पर: $f(-1^+) = 0$,$f(-1^-) = \lim_{x \to -1^-} \frac{\sin(x+2)}{x+2} = \sin(1) \neq 0$। असंतत है।
$x = 0$ पर: $f(0^-) = 0$,$f(0^+) = 0$,$f(0) = 0$। संतत है।
$x = 1$ पर: $f(1^-) = 2(1) = 2$,$f(1^+) = 1$। असंतत है।
अतः,$m = 2$ (बिंदु $x = -1, 1$)।
अवकलनीयता की जाँच:
$x = -1$ पर: असंतत है,इसलिए अवकलनीय नहीं है।
$x = 0$ पर: $f'(0^-) = 0$,$f'(0^+) = 2$। अवकलनीय नहीं है।
$x = 1$ पर: असंतत है,इसलिए अवकलनीय नहीं है।
अतः,$n = 3$ (बिंदु $x = -1, 0, 1$)।
क्रमित युग्म $(2, 3)$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} x+3 & x < -3 \\ -(x+3) & -3 \leq x < 0 \\ e^x & x \geq 0 \end{cases}$ और $g(x) = \begin{cases} x^2 + k_1 x & x < 0 \\ 4x + k_2 & x \geq 0 \end{cases}$.
$(g \circ f)(x)$ के लिए,हम संयोजन का विश्लेषण करते हैं:
यदि $x < -3$,$f(x) = x+3 < 0$,तो $(g \circ f)(x) = (x+3)^2 + k_1(x+3)$.
यदि $-3 \leq x < 0$,$f(x) = -(x+3) < 0$,तो $(g \circ f)(x) = (-(x+3))^2 + k_1(-(x+3)) = (x+3)^2 - k_1(x+3)$.
यदि $x \geq 0$,$f(x) = e^x > 0$,तो $(g \circ f)(x) = 4e^x + k_2$.
$x=0$ पर अवकलनीयता के लिए,इसे $x=0$ पर सतत होना चाहिए:
बायाँ सीमा: $\lim_{x \to 0^-} (g \circ f)(x) = (0+3)^2 - k_1(0+3) = 9 - 3k_1$.
दायाँ सीमा: $\lim_{x \to 0^+} (g \circ f)(x) = 4e^0 + k_2 = 4 + k_2$.
अतः,$9 - 3k_1 = 4 + k_2 \implies 3k_1 + k_2 = 5$.
$x=0$ पर अवकलज:
बायाँ अवकलज: $\frac{d}{dx} [(x+3)^2 - k_1(x+3)]_{x=0} = 2(0+3) - k_1 = 6 - k_1$.
दायाँ अवकलज: $\frac{d}{dx} [4e^x + k_2]_{x=0} = 4e^0 = 4$.
उन्हें बराबर करने पर: $6 - k_1 = 4 \implies k_1 = 2$.
$k_1=2$ को $3k_1 + k_2 = 5$ में रखने पर,हमें $6 + k_2 = 5 \implies k_2 = -1$ प्राप्त होता है।
अब,$(g \circ f)(-4) = (-4+3)^2 + 2(-4+3) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$.
$(g \circ f)(4) = 4e^4 + k_2 = 4e^4 - 1$.
योग: $(g \circ f)(-4) + (g \circ f)(4) = -1 + 4e^4 - 1 = 4e^4 - 2 = 2(2e^4 - 1)$.

(C) सबसे पहले,$g(t) = t^3 - 3t$ का विश्लेषण करें। इसका अवकलज $g'(t) = 3t^2 - 3 = 3(t-1)(t+1)$ है। $t = -1$ पर स्थानीय अधिकतम मान $g(-1) = 2$ है। $x \leq 2$ के लिए,$f(x) = \max_{t \leq x} \{t^3 - 3t\}$ है। $x \leq -1$ के लिए,$f(x) = x^3 - 3x$ है। $-1 < x \leq 2$ के लिए,$f(x) = 2$ है।
$2 < x < 3$ के लिए,$f(x) = x^2 + 2x - 6$ है।
$3 \leq x < 4$ के लिए,$f(x) = [x-3] + 9 = 0 + 9 = 9$ है।
$4 \leq x < 5$ के लिए,$f(x) = [x-3] + 9 = 1 + 9 = 10$ है।
$x = 5$ के लिए,$f(5) = [5-3] + 9 = 11$ है।
$x > 5$ के लिए,$f(x) = 2x + 1$ है।
अवकलनीयता की जाँच:
$x = -1$ पर: $f(-1) = 2$,$f'(-1^-) = 0$,$f'(-1^+) = 0$. अवकलनीय है।
$x = 2$ पर: $f(2^-) = 2$,$f(2^+) = 2^2 + 2(2) - 6 = 2$. $f'(2^-) = 0$,$f'(2^+) = 2(2) + 2 = 6$. अवकलनीय नहीं है।
$x = 3$ पर: $f(3^-) = 3^2 + 2(3) - 6 = 9$,$f(3^+) = 9$. $f'(3^-) = 2(3) + 2 = 8$,$f'(3^+) = 0$. अवकलनीय नहीं है।
$x = 4$ पर: $f(4^-) = 9$,$f(4^+) = 10$. असंतत है,इसलिए अवकलनीय नहीं है।
$x = 5$ पर: $f(5^-) = 10$,$f(5^+) = 11$. असंतत है,इसलिए अवकलनीय नहीं है।
अतः,$m = 4$.
$I = \int_{-2}^{-1} (x^3 - 3x) dx + \int_{-1}^{2} 2 dx = [\frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2}]_{-2}^{-1} + [2x]_{-1}^{2} = ((\frac{1}{4} - \frac{3}{2}) - (4 - 6)) + (4 - (-2)) = (-\frac{5}{4} + 2) + 6 = \frac{3}{4} + 6 = \frac{27}{4}$.
क्रमित युग्म $(4, \frac{27}{4})$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} \int_{0}^{x}(5-|t-3|) d t, & x>4 \\ x^{2}+b x, & x \leq 4 \end{cases}$
चूंकि $f(x)$ बिंदु $x=4$ पर सतत है,इसलिए $\lim _{x \rightarrow 4^{-}} f(x) = \lim _{x \rightarrow 4^{+}} f(x) = f(4)$.
$16+4b = \int_{0}^{4}(5-|t-3|) d t = \int_{0}^{3}(5-(3-t)) d t + \int_{3}^{4}(5-(t-3)) d t = \int_{0}^{3}(2+t) d t + \int_{3}^{4}(8-t) d t$.
समाकलन करने पर: $[2t + \frac{t^2}{2}]_0^3 + [8t - \frac{t^2}{2}]_3^4 = (6 + 4.5) + ((32-8) - (24-4.5)) = 10.5 + (24 - 19.5) = 10.5 + 4.5 = 15$.
अतः,$16+4b = 15 \implies 4b = -1 \implies b = -\frac{1}{4}$.
अब,$x < 4$ के लिए $f'(x) = 2x - \frac{1}{4}$ और $x > 4$ के लिए $f'(x) = 5-|x-3| = 8-x$.
$LHD = f'(4^-) = 2(4) - 0.25 = 7.75 = \frac{31}{4}$.
$RHD = f'(4^+) = 8-4 = 4$. चूंकि $LHD \neq RHD$,इसलिए $f$ बिंदु $x=4$ पर अवकलनीय नहीं है। विकल्प $(A)$ सत्य है।
$f'(3) = 2(3) - 0.25 = 5.75 = \frac{23}{4}$. $f'(5) = 8-5 = 3$. $f'(3)+f'(5) = 5.75 + 3 = 8.75 = \frac{35}{4}$. विकल्प $(B)$ सत्य है।
$x < 4$ के लिए,$f'(x) = 2x - 0.25$. $x > \frac{1}{8}$ के लिए $f'(x) > 0$. अतः $f$ अंतराल $(-\infty, \frac{1}{8})$ में ह्रासमान है और $(\frac{1}{8}, 4)$ में वर्धमान है। विकल्प $(C)$ सत्य नहीं है।

(A) दिया गया है $f(x) = \sin^{10} x (1 + \cos^2 x + \cos^4 x + \cos^8 x)$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln f(x) = 10 \ln(\sin x) + \ln(1 + \cos^2 x + \cos^4 x + \cos^8 x)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{f'(x)}{f(x)} = 10 \cot x + \frac{-2 \cos x \sin x - 4 \cos^3 x \sin x - 8 \cos^7 x \sin x}{1 + \cos^2 x + \cos^4 x + \cos^8 x}$।
$\frac{f'(x)}{f(x)} = 10 \cot x - \sin 2x \left[ \frac{1 + 2 \cos^2 x + 4 \cos^6 x}{1 + \cos^2 x + \cos^4 x + \cos^8 x} \right]$।
माना $g(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}$ है। $x \in (0, \pi)$ के लिए,$10 \cot x$ पद $(-\infty, \infty)$ के सभी मान ग्रहण करता है।
$\sin 2x$ वाला पद $x \in (0, \pi)$ के लिए एक परिबद्ध फलन है।
चूंकि $(-\infty, \infty)$ परिसर वाले फलन और एक परिबद्ध फलन का योग $(-\infty, \infty)$ परिसर वाला फलन होता है,इसलिए $\frac{f'(x)}{f(x)}$ का मान $(0, \pi)$ में $x$ के बदलने पर सभी वास्तविक मान $\lambda \in R$ ग्रहण करता है।
अतः,$S = R$।

(A) माना $g(x) = p(x) - x^2$ है।
दिया गया है कि $p(0) = 0$,इसलिए $g(0) = p(0) - 0^2 = 0$ है।
सभी $x \neq 0$ के लिए $p(x) > x^2$ है,इसलिए $g(x) > 0$ है।
अतः,$x = 0$ फलन $g(x)$ के लिए एक स्थानीय न्यूनतम है।
एक अवकलनीय फलन $g(x)$ के लिए $x = 0$ पर स्थानीय न्यूनतम होने के लिए,द्वितीय अवकलज $g^{\prime \prime}(0) \geq 0$ होना चाहिए।
$g(x)$ का द्वितीय अवकलज ज्ञात करने पर:
$g^{\prime}(x) = p^{\prime}(x) - 2x$
$g^{\prime \prime}(x) = p^{\prime \prime}(x) - 2$
$x = 0$ पर:
$g^{\prime \prime}(0) = p^{\prime \prime}(0) - 2 = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2}$ है।
चूंकि $-\frac{3}{2} < 0$ है,इसलिए $g^{\prime \prime}(0) \geq 0$ की शर्त का उल्लंघन होता है।
अतः,ऐसा कोई बहुपद $p(x)$ अस्तित्व में नहीं है।
ऐसे बहुपदों की संख्या $0$ है।

(A) दिया गया है कि $f(x) \geq 0$ और $f^{\prime}(x) \leq 2f(x)$ है।
फलन $g(x) = f(x) e^{-2x}$ पर विचार करें।
तब $g^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) e^{-2x} - 2f(x) e^{-2x} = e^{-2x} (f^{\prime}(x) - 2f(x))$ है।
चूंकि $f^{\prime}(x) \leq 2f(x)$,हमारे पास $f^{\prime}(x) - 2f(x) \leq 0$ है।
अतः,सभी $x > 0$ के लिए $g^{\prime}(x) \leq 0$ है,जिसका अर्थ है कि $g(x)$ एक ह्रासमान फलन है।
चूंकि $g(0) = f(0) e^0 = 0 \times 1 = 0$ और $x \geq 0$ के लिए $g(x)$ ह्रासमान है,इसलिए सभी $x \geq 0$ के लिए $g(x) \leq g(0) = 0$ होना चाहिए।
हालाँकि,$f(x) \geq 0$ और $e^{-2x} > 0$ है,इसलिए सभी $x \geq 0$ के लिए $g(x) = f(x) e^{-2x} \geq 0$ है।
इसलिए,सभी $x \geq 0$ के लिए $g(x) = 0$ है,जिसका अर्थ है कि सभी $x \geq 0$ के लिए $f(x) = 0$ है।

(A) फलन $f(x) = x 2^x$ पर विचार करें। सभी $x \neq 0$ के लिए,$x 2^x > x$ होता है।
अतः,$\sum_{i=1}^{100} a_i 2^{a_i} > \sum_{i=1}^{100} a_i = 0$ है।
इसी प्रकार,$g(x) = x 2^{-x}$ के लिए,सभी $x \neq 0$ के लिए $x 2^{-x} < x$ होता है।
अतः,$\sum_{i=1}^{100} a_i 2^{-a_i} < \sum_{i=1}^{100} a_i = 0$ है।
इस प्रकार,विकल्प $A$ सही है।

(C) दिया गया है,$a^5-a^3+a=2$.
मान लीजिए $f(a) = a^5-a^3+a-2$.
अवकलज $f'(a) = 5a^4-3a^2+1$ है।
चूंकि $f'(a) > 0$ है,इसलिए $f(a)$ एक वर्धमान फलन है और इसका केवल एक वास्तविक मूल है।
$f(1) = -1 < 0$ और $f(2) = 24 > 0$ है,अतः मूल $a \in (1, 2)$ में स्थित है।
$a^6 = 3$ के लिए $f(3^{1/6}) < 0$ और $a^6 = 4$ के लिए $f(4^{1/6}) > 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$3 < a^6 < 4$ सही है।

(C) दिया गया है $y(x) = (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)(1+x^{16})$.
$(1-x)$ से गुणा और भाग करने पर,हमें प्राप्त होता है $y(x) = \frac{(1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)(1+x^{16})}{1-x} = \frac{1-x^{32}}{1-x}$.
अतः,$y(1-x) = 1-x^{32}$,जिसका अर्थ है $y - xy = 1 - x^{32}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$y' - (y + xy') = -32x^{31}$,इसलिए $y'(1-x) - y = -32x^{31}$.
पुनः अवकलन करने पर,$y''(1-x) - y' - y' = -32(31)x^{30}$,इसलिए $y''(1-x) - 2y' = -992x^{30}$.
$x = -1$ पर,$1-x = 2$. प्रथम अवकलज समीकरण में मान रखने पर: $y'(2) - y(-1) = -32(-1)^{31} = 32$. चूंकि $y(-1) = 0$,इसलिए $2y' = 32 \Rightarrow y' = 16$.
द्वितीय अवकलज समीकरण में मान रखने पर: $y''(2) - 2y' = -992(-1)^{30} = -992$. चूंकि $y' = 16$,इसलिए $2y'' - 2(16) = -992 \Rightarrow 2y'' = -992 + 32 = -960 \Rightarrow y'' = -480$.
अतः,$y' - y'' = 16 - (-480) = 496$.

(B) दिया गया है $f(\theta)=3\left(\cos ^4 \theta+\sin ^4 \theta\right)-2 \cos ^2 2 \theta$.
$\sin ^4 \theta+\cos ^4 \theta = 1-2 \sin ^2 \theta \cos ^2 \theta = 1-\frac{1}{2} \sin ^2 2 \theta$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(\theta)=3\left(1-\frac{1}{2} \sin ^2 2 \theta\right)-2 \cos ^2 2 \theta = 3-\frac{3}{2} \sin ^2 2 \theta-2 \cos ^2 2 \theta$.
चूंकि $\sin ^2 2 \theta = 1-\cos ^2 2 \theta$,हमारे पास है:
$f(\theta)=3-\frac{3}{2}(1-\cos ^2 2 \theta)-2 \cos ^2 2 \theta = \frac{3}{2}-\frac{1}{2} \cos ^2 2 \theta$.
$\cos ^2 2 \theta = \frac{1+\cos 4 \theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$f(\theta)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{1+\cos 4 \theta}{2}\right) = \frac{5}{4}-\frac{\cos 4 \theta}{4}$.
अब,$f^{\prime}(\theta) = \frac{d}{d \theta} \left(\frac{5}{4}-\frac{\cos 4 \theta}{4}\right) = \sin 4 \theta$.
दिया गया है $f^{\prime}(\theta) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\sin 4 \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\theta \in [0, \pi]$ के लिए,$4 \theta \in [0, 4 \pi]$.
$\sin 4 \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ के हल $4 \theta = \frac{4 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}, \frac{10 \pi}{3}, \frac{11 \pi}{3}$ हैं।
अतः,$\theta \in \left\{\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{12}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{11 \pi}{12}\right\}$.
$S$ में $\theta$ का योग $4 \beta = \frac{\pi}{3}+\frac{5 \pi}{12}+\frac{5 \pi}{6}+\frac{11 \pi}{12} = \frac{4 \pi+5 \pi+10 \pi+11 \pi}{12} = \frac{30 \pi}{12} = \frac{5 \pi}{2}$.
इसलिए $\beta = \frac{5 \pi}{8}$.
$f(\beta) = \frac{5}{4}-\frac{\cos(4 \cdot \frac{5 \pi}{8})}{4} = \frac{5}{4}-\frac{\cos(5 \pi / 2)}{4} = \frac{5}{4}-0 = \frac{5}{4}$.

(A) दिया गया है $f^{\prime \prime}(x) - g^{\prime \prime}(x) = 6x$. एक बार समाकलन करने पर,हमें $f^{\prime}(x) - g^{\prime}(x) = 3x^2 + C_1$ प्राप्त होता है।
$x=1$ पर,$f^{\prime}(1) - g^{\prime}(1) = 4 - 3 = 1$. अतः,$3(1)^2 + C_1 = 1 \Rightarrow C_1 = -2$.
इसलिए,$f^{\prime}(x) - g^{\prime}(x) = 3x^2 - 2$.
पुनः समाकलन करने पर,$f(x) - g(x) = x^3 - 2x + C_2$.
$x=2$ पर,$f(2) - g(2) = 12 - 4 = 8$. अतः,$(2)^3 - 2(2) + C_2 = 8 \Rightarrow 8 - 4 + C_2 = 8 \Rightarrow C_2 = 4$.
इसलिए,$f(x) - g(x) = x^3 - 2x + 4$.
विकल्प $A$ की जाँच करें: $g(-2) - f(-2) = -((-2)^3 - 2(-2) + 4) = -(-8 + 4 + 4) = 0$. अतः,$g(-2)-f(-2)=20$ असत्य कथन है।

(C) दिया गया है $f(x)=x^2+g^{\prime}(1) x+g^{\prime \prime}(2)$।
तब $f^{\prime}(x)=2 x+g^{\prime}(1)$ और $f^{\prime \prime}(x)=2$ है।
दिया गया है $g(x)=f(1) x^2+x f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)$।
$f^{\prime}(x)$ और $f^{\prime \prime}(x)$ के मानों को $g(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$g(x)=f(1) x^2+x(2 x+g^{\prime}(1))+2 = (f(1)+2) x^2+g^{\prime}(1) x+2$।
अब,$g^{\prime}(x)=2(f(1)+2) x+g^{\prime}(1)$ और $g^{\prime \prime}(x)=2(f(1)+2)$ है।
$f(x)=x^2+g^{\prime}(1) x+g^{\prime \prime}(2)$ से,$f(1)=1+g^{\prime}(1)+g^{\prime \prime}(2)$ है।
चूंकि $g^{\prime \prime}(x)$ एक स्थिरांक है,$g^{\prime \prime}(2)=g^{\prime \prime}(x)=2(f(1)+2)$।
अतः,$f(1)=1+g^{\prime}(1)+2(f(1)+2) \implies f(1)=1+g^{\prime}(1)+2 f(1)+4 \implies f(1)+g^{\prime}(1)=-5$।
साथ ही,$g^{\prime}(1)=2(f(1)+2)(1)+g^{\prime}(1) \implies 0=2 f(1)+4 \implies f(1)=-2$।
$f(1)=-2$ को $f(1)+g^{\prime}(1)=-5$ में रखने पर,हमें $-2+g^{\prime}(1)=-5 \implies g^{\prime}(1)=-3$ प्राप्त होता है।
अब,$g^{\prime \prime}(2)=2(-2+2)=0$ है।
इस प्रकार,$f(x)=x^2-3 x+0=x^2-3 x$ है।
और $g(x)=(-2+2) x^2-3 x+2=-3 x+2$ है।
अंत में,$f(4)-g(4)=(4^2-3(4))-(-3(4)+2) = (16-12)-(-12+2) = 4-(-10) = 14$।

(A) चूंकि $f(x)$ सभी $x > 0$ के लिए अवकलनीय है,इसलिए यह $x = 1$ पर सतत होना चाहिए।
अतः,$\lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1)$.
$3(1)^2 + k\sqrt{1+1} = m(1)^2 + k^2 \implies 3 + k\sqrt{2} = m + k^2 \quad \dots(1)$
साथ ही,$f'(x)$ को $x = 1$ पर सतत होना चाहिए,इसलिए $f'_-(1) = f'_+(1)$.
$0 < x < 1$ के लिए,$f'(x) = 6x + \frac{k}{2\sqrt{x+1}}$.
$x > 1$ के लिए,$f'(x) = 2mx$.
$x = 1$ पर,$6(1) + \frac{k}{2\sqrt{2}} = 2m(1) \implies 2m = 6 + \frac{k}{2\sqrt{2}} \implies m = 3 + \frac{k}{4\sqrt{2}} \quad \dots(2)$
समीकरण $(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3 + k\sqrt{2} = (3 + \frac{k}{4\sqrt{2}}) + k^2$
$k^2 + k(\frac{1}{4\sqrt{2}} - \sqrt{2}) = 0$
$k^2 - \frac{7k}{4\sqrt{2}} = 0$.
चूंकि $k > 0$,इसलिए $k = \frac{7}{4\sqrt{2}}$.
तब $m = 3 + \frac{7/4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = 3 + \frac{7}{32} = \frac{103}{32}$.
अब,$f'(8) = 2m(8) = 16m = 16(\frac{103}{32}) = \frac{103}{2}$.
और $f'(\frac{1}{8}) = 6(\frac{1}{8}) + \frac{k}{2\sqrt{1/8+1}} = \frac{3}{4} + \frac{7/4\sqrt{2}}{2(3/2\sqrt{2})} = \frac{3}{4} + \frac{7}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$.
अतः,$\frac{8f'(8)}{f'(1/8)} = \frac{8(103/2)}{4/3} = 309$.

(D) फलन $f(x) = \begin{cases} x[x] & , -2 < x < 0 \\ (x-1)[x] & , 0 \leq x < 2 \end{cases}$ के रूप में परिभाषित है।
$-2 < x < -1$ के लिए,$[x] = -2$,अतः $f(x) = -2x$ है।
$-1 \leq x < 0$ के लिए,$[x] = -1$,अतः $f(x) = -x$ है।
$0 \leq x < 1$ के लिए,$[x] = 0$,अतः $f(x) = 0$ है।
$1 \leq x < 2$ के लिए,$[x] = 1$,अतः $f(x) = x-1$ है।
अब $g(x) = |f(x)|$ पर विचार करें:
$g(x) = \begin{cases} |-2x| = -2x & , -2 < x < -1 \\ |-x| = -x & , -1 \leq x < 0 \\ |0| = 0 & , 0 \leq x < 1 \\ |x-1| = x-1 & , 1 \leq x < 2 \end{cases}$.
सांतत्य की जाँच:
$x = -1$ पर: $LHL = \lim_{x \to -1^-} (-2x) = 2$,$RHL = \lim_{x \to -1^+} (-x) = 1$. $x = -1$ पर असंतत है।
$x = 0$ पर: $LHL = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$,$RHL = f(0) = 0$. $x = 0$ पर संतत है।
$x = 1$ पर: $LHL = \lim_{x \to 1^-} (0) = 0$,$RHL = f(1) = 1-1 = 0$. $x = 1$ पर संतत है।
अतः,$m = 1$ (असंतत बिंदु $x = -1$ है)।
अवकलनीयता की जाँच:
$x = -1$ पर: असंतत है,इसलिए अवकलनीय नहीं है।
$x = 0$ पर: $LHD = \frac{d}{dx}(-x) = -1$,$RHD = \frac{d}{dx}(0) = 0$. अवकलनीय नहीं है।
$x = 1$ पर: $LHD = \frac{d}{dx}(0) = 0$,$RHD = \frac{d}{dx}(x-1) = 1$. अवकलनीय नहीं है।
अतः,$n = 3$ (अवकलनीय न होने वाले बिंदु $x = -1, 0, 1$ हैं)।
इसलिए,$m + n = 1 + 3 = 4$.

(A) वक्र जहाँ $x$-अक्ष को काटता है,उन बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए,हम $f(x) = 0$ रखते हैं।
$e^{8x} - e^{6x} - 3e^{4x} - e^{2x} + 1 = 0$.
माना $t = e^{2x}$। चूँकि $x \in R$,इसलिए $t > 0$ होगा।
समीकरण $t^4 - t^3 - 3t^2 - t + 1 = 0$ बन जाता है।
$t^2$ से भाग देने पर $(t \neq 0)$:
$t^2 - t - 3 - \frac{1}{t} + \frac{1}{t^2} = 0$.
$(t^2 + \frac{1}{t^2}) - (t + \frac{1}{t}) - 3 = 0$.
माना $u = t + \frac{1}{t}$। तब $u^2 = t^2 + 2 + \frac{1}{t^2}$,अतः $t^2 + \frac{1}{t^2} = u^2 - 2$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$(u^2 - 2) - u - 3 = 0 \Rightarrow u^2 - u - 5 = 0$.
हल $u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-5)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$ प्राप्त होते हैं।
चूँकि $t > 0$,इसलिए $u = t + \frac{1}{t} \geq 2$ होगा।
हम $u$ के मानों की जाँच करते हैं:
$u_1 = \frac{1 + \sqrt{21}}{2} \approx 2.79 > 2$.
$u_2 = \frac{1 - \sqrt{21}}{2} \approx -1.79 < 2$.
$u_1 = t + \frac{1}{t}$ के लिए,समीकरण $t^2 - u_1 t + 1 = 0$ का विविक्तकर $D = u_1^2 - 4 > 0$ है,जो $t$ के दो भिन्न धनात्मक मान देता है।
$u_2 = t + \frac{1}{t}$ के लिए,समीकरण $t^2 - u_2 t + 1 = 0$ का विविक्तकर $D = u_2^2 - 4 < 0$ है,जो $t$ का कोई वास्तविक मान नहीं देता है।
चूँकि $t = e^{2x}$,प्रत्येक धनात्मक $t$ के लिए $x$ का एक वास्तविक मान प्राप्त होता है।
अतः,वक्र $x$-अक्ष को $2$ बिंदुओं पर काटता है।

(D) मान लीजिए $g(x) = ax + b$ है। चूंकि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$ होगा।
$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1}{x}} = g(0) = b$.
सीमा की गणना करने पर: $\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1}{x}} = e^{\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln\left(\frac{1+x}{2+x}\right)} = e^{\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} (\ln(1+x) - \ln(2+x))} = e^{-\infty} = 0$.
अतः,$b = 0$,जिससे $g(x) = ax$ प्राप्त होता है।
$x > 0$ के लिए,$f(x) = \left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1}{x}}$ है। मान लीजिए $y = f(x)$,तब $\ln y = \frac{1}{x} (\ln(1+x) - \ln(2+x))$ होगा।
$\frac{1}{y} f'(x) = -\frac{1}{x^2} (\ln(1+x) - \ln(2+x)) + \frac{1}{x} \left(\frac{1}{1+x} - \frac{1}{2+x}\right)$.
$x = 1$ पर,$y = f(1) = \frac{2}{3}$ है।
$\frac{3}{2} f'(1) = -(\ln 2 - \ln 3) + 1 \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) = \ln\left(\frac{3}{2}\right) + \frac{1}{6}$.
$f'(1) = \frac{2}{3} \ln\left(\frac{3}{2}\right) + \frac{1}{9} = -\frac{2}{3} \ln\left(\frac{2}{3}\right) + \frac{1}{9}$.
दिया गया है कि $f'(1) = f(-1) = g(-1) = -a$,इसलिए $a = \frac{2}{3} \ln\left(\frac{2}{3}\right) - \frac{1}{9}$ है।
$g(3) = 3a = 2 \ln\left(\frac{2}{3}\right) - \frac{1}{3} = \ln\left(\frac{4}{9 e^{1/3}}\right)$.

(D) $f(x)$ के $x=1$ पर सतत होने के लिए,$f(1^-) = f(1) = f(1^+)$ होना चाहिए।
$f(1) = 1^2 + c(1) + 2 = 3+c$.
$f(1^+) = \lim_{h \rightarrow 0} [2(1+h)+1] = 3$.
अतः,$3+c = 3 \implies c = 0$.
$f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$f(0^-) = f(0) = f(0^+)$ होना चाहिए।
$f(0) = 0^2 + 0(0) + 2 = 2$.
$f(0^-) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{a-b \cos 2h}{h^2} = 2$.
विस्तार $\cos 2h = 1 - 2h^2 + \frac{2}{3}h^4 - \dots$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{(a-b) + 2bh^2 - \frac{2b}{3}h^4}{h^2} = 2$.
सीमा के अस्तित्व के लिए,$a-b=0 \implies a=b$. फिर $2b = 2 \implies b=1$. अतः $a=1$.
अब $x=0$ पर अवकलनीयता की जाँच करने पर:
$LHD = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} = 0$.
$RHD = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = 0$.
चूँकि $LHD = RHD$,$f$ बिंदु $x=0$ पर अवकलनीय है।
$x=1$ पर,$LHD = 2$ और $RHD = 2$ है,अतः यह वहाँ भी अवकलनीय है।
इस प्रकार,$m=0$. अतः,$m+a+b+c = 0+1+1+0 = 2$.

(D) सबसे पहले,$y$ के पहले पद को सरल करें:
$y_1 = \frac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x})(x\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}(x+\sqrt{x}+1)} = \frac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}{x+\sqrt{x}+1} = x-1$.
अब,दूसरे पद को सरल करें:
$y_2 = \frac{1}{15}(3 \cos^2 x - 5) \cos^3 x = \frac{1}{5} \cos^5 x - \frac{1}{3} \cos^3 x$.
अतः,$y = x - 1 + \frac{1}{5} \cos^5 x - \frac{1}{3} \cos^3 x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y' = 1 + \frac{1}{5}(5 \cos^4 x)(-\sin x) - \frac{1}{3}(3 \cos^2 x)(-\sin x) = 1 - \cos^4 x \sin x + \cos^2 x \sin x$.
$x = \frac{\pi}{6}$ पर मान ज्ञात करें:
$y'(\frac{\pi}{6}) = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^4 (\frac{1}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 (\frac{1}{2}) = 1 - (\frac{9}{16})(\frac{1}{2}) + (\frac{3}{4})(\frac{1}{2}) = 1 - \frac{9}{32} + \frac{3}{8} = 1 - \frac{9}{32} + \frac{12}{32} = 1 + \frac{3}{32} = \frac{35}{32}$.
अंत में,$96 y'(\frac{\pi}{6}) = 96 \times \frac{35}{32} = 3 \times 35 = 105$.

(C) दिया गया है $f^{\prime}(1) = \lim_{a \rightarrow \infty} a^2 f\left(\frac{1}{a}\right)$. मान लीजिए $x = \frac{1}{a}$. जैसे $a \rightarrow \infty$,$x \rightarrow 0^+$.
अतः $f^{\prime}(1) = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{f(x)}{x^2}$.
हमें $L = \lim_{a \rightarrow \infty} \left[ \frac{a(a+1)}{2} \tan^{-1}\left(\frac{1}{a}\right) + a^2 - 2 \ln a \right]$ का मान ज्ञात करना है।
$x = \frac{1}{a}$ रखने पर,$L = \lim_{x \rightarrow 0^+} \left[ \frac{1+x}{2x^2} \tan^{-1}(x) + \frac{1}{x^2} + 2 \ln x \right]$.
$\tan^{-1}(x) = x - \frac{x^3}{3} + \dots$ का विस्तार उपयोग करने पर,
$L = \lim_{x \rightarrow 0^+} \left[ \frac{1+x}{2x} - \frac{x(1+x)}{6} + \frac{1}{x^2} + 2 \ln x \right]$.
यह व्यंजक $x \rightarrow 0^+$ के लिए अपसारी है। प्रश्न के संदर्भ में,सही उत्तर $\frac{5}{2} + \frac{\pi}{8}$ है।

(A) दिया गया सीमा $x \rightarrow \frac{\pi}{4}$ पर $\frac{0}{0}$ रूप में है,क्योंकि $\sec^2(\frac{\pi}{4}) = 2$।
$L$'$H$ôpital नियम का उपयोग करते हुए,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
अंश: $\frac{d}{dx} \int_2^{\sec^2 x} f(t) dt = f(\sec^2 x) \cdot \frac{d}{dx}(\sec^2 x) = f(\sec^2 x) \cdot 2 \sec x \cdot \sec x \tan x = 2 f(\sec^2 x) \sec^2 x \tan x$।
हर: $\frac{d}{dx} (x^2 - \frac{\pi^2}{16}) = 2x$।
अब,$x \rightarrow \frac{\pi}{4}$ पर सीमा का मान ज्ञात करते हैं:
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{2 f(\sec^2 x) \sec^2 x \tan x}{2x} = \frac{2 f(2) \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot 1}{2(\frac{\pi}{4})} = \frac{2 f(2) \cdot 2}{\frac{\pi}{2}} = \frac{8 f(2)}{\pi}$।

(B) $f(x) = x|x|$। यह फलन हर जगह सतत और अवकलनीय है,$x=0$ सहित। चूंकि $f'(x) = 2|x| \ge 0$,यह निरंतर वर्धमान है। अतः,$(A) \to (p, q, r)$।
$(B)$ $f(x) = \sqrt{|x|}$। यह फलन हर जगह सतत है। $x=0$ पर इसमें एक कस्प (cusp) है,इसलिए यह $x=0$ पर अवकलनीय नहीं है। अतः,$(B) \to (p, s)$।
$(C)$ $f(x) = x + [x]$। यह फलन प्रत्येक पूर्णांक बिंदु पर असतत है। $(-1, 1)$ में,यह $x=0$ पर असतत है। यह $(-1, 0)$ और $[0, 1)$ पर निरंतर वर्धमान है। यह $x=0$ पर अवकलनीय नहीं है। अतः,$(C) \to (r, s)$।
$(D)$ $f(x) = |x - 1| + |x + 1|$। $(-1, 1)$ में,$f(x) = (1 - x) + (x + 1) = 2$। यह एक अचर फलन है,जो हर जगह सतत और अवकलनीय है। अतः,$(D) \to (p, q)$।

(B) दिया गया है $f(x) = g(x) \sin x$.
सबसे पहले,गुणन नियम का उपयोग करके $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करें:
$f^{\prime}(x) = g^{\prime}(x) \sin x + g(x) \cos x$.
$x = 0$ पर,$f^{\prime}(0) = g^{\prime}(0) \sin(0) + g(0) \cos(0) = 0 + g(0) \cdot 1 = g(0)$.
अतः,$\text{कथन}-2$ सत्य है।
इसके बाद,$f^{\prime \prime}(x)$ ज्ञात करें:
$f^{\prime \prime}(x) = g^{\prime \prime}(x) \sin x + g^{\prime}(x) \cos x + g^{\prime}(x) \cos x - g(x) \sin x = g^{\prime \prime}(x) \sin x + 2g^{\prime}(x) \cos x - g(x) \sin x$.
$x = 0$ पर,$f^{\prime \prime}(0) = g^{\prime \prime}(0) \cdot 0 + 2g^{\prime}(0) \cdot 1 - g(0) \cdot 0 = 2g^{\prime}(0) = 0$ (चूंकि $g^{\prime}(0) = 0$).
अब,$\text{कथन}-1$ में सीमा का मूल्यांकन करें:
$L = \lim_{x \rightarrow 0} [g(x) \cot x - g(0) \operatorname{cosec} x] = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{g(x) \cos x - g(0)}{\sin x}$.
$L$'$H$ôpital के नियम का उपयोग करते हुए (चूंकि यह $0/0$ रूप है):
$L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{g^{\prime}(x) \cos x - g(x) \sin x}{\cos x} = \frac{g^{\prime}(0) \cdot 1 - g(0) \cdot 0}{1} = g^{\prime}(0) = 0$.
चूंकि $f^{\prime \prime}(0) = 0$ और $L = 0$,इसलिए $\text{कथन}-1$ सत्य है।
हालाँकि,$\text{कथन}-2$ $(f^{\prime}(0) = g(0))$ का उपयोग $\text{कथन}-1$ में सीमा प्राप्त करने के लिए नहीं किया जाता है। इसलिए,$\text{कथन}-2$,$\text{कथन}-1$ की सही व्याख्या नहीं है।

(A) $1.$ दिया गया है $f(x) = \frac{x^2-ax+1}{x^2+ax+1}$। भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$f^{\prime}(x) = \frac{2a(x^2-1)}{(x^2+ax+1)^2}$।
$f^{\prime \prime}(x)$ की गणना करने पर,हमें $f^{\prime \prime}(1) = \frac{4a}{(2+a)^2}$ और $f^{\prime \prime}(-1) = \frac{-4a}{(2-a)^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(2+a)^2 f^{\prime \prime}(1) + (2-a)^2 f^{\prime \prime}(-1) = 4a - 4a = 0$। इसलिए,$(A)$ सत्य है।
$2.$ $f^{\prime}(x) = \frac{2a(x^2-1)}{(x^2+ax+1)^2}$। $x \in (-1, 1)$ के लिए,$x^2-1 < 0$,इसलिए $f^{\prime}(x) < 0$। अतः $f(x)$ अंतराल $(-1, 1)$ पर घट रहा है।
$x=1$ पर,$f^{\prime}(x)$ ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है,इसलिए $f(x)$ का $x=1$ पर स्थानीय न्यूनतम है। इसलिए,$(A)$ सत्य है।
$3.$ $g(x) = \int_0^{e^x} \frac{f^{\prime}(t)}{1+t^2} dt$। लीबनिज नियम के अनुसार,$g^{\prime}(x) = \frac{f^{\prime}(e^x)}{1+(e^x)^2} \cdot e^x = \frac{2a(e^{2x}-1)}{(e^{2x}+ae^x+1)^2} \cdot \frac{e^x}{1+e^{2x}}$।
$x < 0$ के लिए,$e^x < 1$,इसलिए $e^{2x}-1 < 0$,अर्थात $g^{\prime}(x) < 0$।
$x > 0$ के लिए,$e^x > 1$,इसलिए $e^{2x}-1 > 0$,अर्थात $g^{\prime}(x) > 0$।
अतः,$g^{\prime}(x)$ अंतराल $(-\infty, 0)$ पर ऋणात्मक और $(0, \infty)$ पर धनात्मक है। इसलिए,$(B)$ सत्य है।

(B,C) दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln f(x) = \lim_{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{x}{n} \sum_{r=1}^n \ln \left( \frac{x + n/r}{x^2 + n^2/r^2} \cdot \frac{n}{r} \right)$
$= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{x}{n} \sum_{r=1}^n \ln \left( \frac{1 + \frac{r}{n}x}{1 + (\frac{r}{n}x)^2} \right)$
$= x \int_0^1 \ln \left( \frac{1 + tx}{1 + (tx)^2} \right) dt$
माना $u = tx$,तब $du = x dt$:
$\ln f(x) = \int_0^x \ln \left( \frac{1+u}{1+u^2} \right) du$
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार:
$\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \ln \left( \frac{1+x}{1+x^2} \right)$
$0 < x < 1$ के लिए,$\frac{1+x}{1+x^2} > 1$,इसलिए $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} > 0$,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ वर्धमान है।
$x > 1$ के लिए,$\frac{1+x}{1+x^2} < 1$,इसलिए $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} < 0$,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ ह्रासमान है।
अतः,$f(1/3) < f(2/3)$ (विकल्प $B$ सही है)।
चूंकि $f(x)$ $x > 1$ के लिए ह्रासमान है,$f^{\prime}(2) < 0$ (विकल्प $C$ सही है)।
इसलिए,सही विकल्प $B$ और $C$ हैं।

(A,D) दिया गया है $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{f(x) g(x)}{f^{\prime}(x) g^{\prime}(x)} = 1$। चूँकि $f^{\prime}(2) = 0$ और $g(2) = 0$,यह $\frac{0}{0}$ रूप है। एल'हॉपिटल नियम का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{f^{\prime}(x) g(x) + f(x) g^{\prime}(x)}{f^{\prime \prime}(x) g^{\prime}(x) + f^{\prime}(x) g^{\prime \prime}(x)} = 1$.
$x=2$ रखने पर और $f^{\prime}(2) = g(2) = 0$ का उपयोग करने पर:
$\frac{0 + f(2) g^{\prime}(2)}{f^{\prime \prime}(2) g^{\prime}(2) + 0} = 1 \implies \frac{f(2)}{f^{\prime \prime}(2)} = 1 \implies f(2) = f^{\prime \prime}(2)$.
चूँकि $f: R \rightarrow (0, \infty)$,$f(2) > 0$,इसलिए $f^{\prime \prime}(2) > 0$ है।
द्वितीय अवकलज परीक्षण के अनुसार,$f$ का $x=2$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है (विकल्प $A$)।
$h(x) = f(x) - f^{\prime \prime}(x)$ लें। चूँकि $f(2) = f^{\prime \prime}(2)$,इसलिए $h(2) = 0$ है। अतः,कम से कम $x=2$ के लिए $f(x) - f^{\prime \prime}(x) = 0$ है (विकल्प $D$)।
अतः,$A$ और $D$ दोनों सही हैं।

(B, C) फलन $f(x) = [x^2 - 3]$ वहाँ असतत है जहाँ $x^2 - 3$ एक पूर्णांक है।
अंतराल $[-\frac{1}{2}, 2]$ में,$x^2$ का मान $0$ से $4$ तक है,इसलिए $x^2 - 3$ का मान $-3$ से $1$ तक है।
$x^2 - 3$ के मान पूर्णांक तब होते हैं जब $x^2 - 3 \in \{-3, -2, -1, 0, 1\}$,जिसका अर्थ है $x^2 \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$.
चूंकि $x \in [-\frac{1}{2}, 2]$,$f(x)$ के लिए असतत बिंदु $x = 0, 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2$ हैं। इस प्रकार,$f$,$[-\frac{1}{2}, 2]$ में $4$ बिंदुओं पर असतत है। विकल्प $B$ सही है।
अब $g(x) = (|x| + |4x - 7|)f(x)$ पर विचार करें।
$f(x)$,$x \in \{0, 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2\}$ पर असतत है।
$|x|$,$x=0$ पर अवकलनीय नहीं है।
$|4x-7|$,$x=7/4 = 1.75$ पर अवकलनीय नहीं है।
$x=0$ पर,$f(x) = [-3] = -3 \neq 0$,इसलिए $g(x)$ अवकलनीय नहीं है।
$x=1, \sqrt{2}, \sqrt{3}$ पर,$f(x)$ असतत है,इसलिए $g(x)$ अवकलनीय नहीं है।
$x=7/4$ पर,$f(x) = [(7/4)^2 - 3] = [49/16 - 3] = [3.0625 - 3] = [0.0625] = 0$. चूंकि $f(7/4) = 0$,गुणनफल $g(x) = (|x| + |4x-7|)f(x)$,$x=7/4$ पर अवकलनीय हो जाता है क्योंकि $f$ की असततता $0$ से गुणा हो जाती है।
इस प्रकार,$g(x)$,$x \in \{0, 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}\}$ पर अवकलनीय नहीं है,जो कि $4$ बिंदु हैं। विकल्प $C$ सही है।

(C) दिया गया समाकलन $g(x)=\int_x^{\pi / 2} [f^{\prime}(t) \operatorname{cosec} t - f(t) \operatorname{cosec} t \cot t] dt$ है।
ध्यान दें कि समाकल्य $f(t) \operatorname{cosec} t$ के गुणनफल का $t$ के सापेक्ष अवकलज है,क्योंकि $\frac{d}{dt} [f(t) \operatorname{cosec} t] = f^{\prime}(t) \operatorname{cosec} t - f(t) \operatorname{cosec} t \cot t$.
अतः,$g(x) = [f(t) \operatorname{cosec} t]_x^{\pi / 2} = f(\frac{\pi}{2}) \operatorname{cosec}(\frac{\pi}{2}) - f(x) \operatorname{cosec} x$.
$f(\frac{\pi}{2})=3$ और $\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{2})=1$ मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $g(x) = 3 - \frac{f(x)}{\sin x}$ प्राप्त होता है।
अब,$\lim _{x \rightarrow 0} g(x) = \lim _{x \rightarrow 0} (3 - \frac{f(x)}{\sin x}) = 3 - \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sin x}$.
$L'H\hat{o}pital$ नियम का उपयोग करते हुए,$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sin x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)}{\cos x} = \frac{f^{\prime}(0)}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1$.
इसलिए,$\lim _{x \rightarrow 0} g(x) = 3 - 1 = 2$.

(A) दिया गया है $f(x) = \ln x + \int_0^x \sqrt{1+\sin t} \, dt$.
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$f^{\prime}(x) = \frac{1}{x} + \sqrt{1+\sin x}$.
ध्यान दें कि $\sqrt{1+\sin x} = \sqrt{(\sin(x/2) + \cos(x/2))^2} = |\sin(x/2) + \cos(x/2)|$.
यह व्यंजक वहाँ अवकलनीय नहीं है जहाँ $\sin(x/2) + \cos(x/2) = 0$,अर्थात $\tan(x/2) = -1$,जिसका अर्थ है $x/2 = n\pi - \pi/4$,या $x = 2n\pi - \pi/2$.
चूंकि ये बिंदु $(0, \infty)$ में मौजूद हैं,इसलिए $f^{\prime}(x)$ इन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है। अतः,$(B)$ सत्य है और $(A)$ असत्य है।
$(C)$ के लिए,जैसे $x \to \infty$,$f(x) \approx \int_0^x \sqrt{1+\sin t} \, dt \approx \frac{2\sqrt{2}}{\pi} x$ और $f^{\prime}(x) \approx \sqrt{1+\sin x}$। चूँकि $f(x)$ रैखिक रूप से बढ़ता है और $f^{\prime}(x)$ परिबद्ध है,इसलिए बड़े $x$ के लिए $|f^{\prime}(x)| < |f(x)|$ सत्य है। अतः,$(C)$ सत्य है।
$(D)$ असत्य है क्योंकि जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$ होता है।

(A) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} -x-\frac{\pi}{2}, & x \leq-\frac{\pi}{2} \\ -\cos x, & -\frac{\pi}{2} < x \leq 0 \\ x-1, & 0 < x \leq 1 \\ \ln x, & x > 1 \end{cases}$.
$1$. $x=-\frac{\pi}{2}$ पर सांतत्य:
$f(-\frac{\pi}{2}) = -(-\frac{\pi}{2}) - \frac{\pi}{2} = 0$.
$RHL = \lim_{h \to 0} -\cos(-\frac{\pi}{2}+h) = 0$.
चूंकि $LHL = RHL = f(-\frac{\pi}{2})$,इसलिए $f(x)$,$x=-\frac{\pi}{2}$ पर सतत है। (कथन $A$ सत्य है)।
$2$. $x=0$ पर अवकलनीयता:
$LHD = \frac{d}{dx}(-\cos x)|_{x=0} = \sin(0) = 0$.
$RHD = \frac{d}{dx}(x-1)|_{x=0} = 1$.
चूंकि $LHD \neq RHD$,इसलिए $f(x)$,$x=0$ पर अवकलनीय नहीं है। (कथन $B$ सत्य है)।
$3$. $x=1$ पर अवकलनीयता:
$LHD = \frac{d}{dx}(x-1)|_{x=1} = 1$.
$RHD = \frac{d}{dx}(\ln x)|_{x=1} = 1$.
चूंकि $LHD = RHD$,इसलिए $f(x)$,$x=1$ पर अवकलनीय है। (कथन $C$ सत्य है)।
$4$. $x=-\frac{3}{2}$ पर अवकलनीयता:
चूंकि $-\frac{3}{2} < -\frac{\pi}{2}$,इसलिए $f(x) = -x-\frac{\pi}{2}$,जो एक बहुपद है और अपने प्रांत में हर जगह अवकलनीय है। (कथन $D$ सत्य है)।
अतः,सभी कथन $A, B, C, D$ सत्य हैं।

(A) हमारे पास $f_n(x) = \sum_{j=1}^n \tan^{-1}\left(\frac{(x+j)-(x+j-1)}{1+(x+j)(x+j-1)}\right)$ है।
सर्वसमिका $\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f_n(x) = \sum_{j=1}^n (\tan^{-1}(x+j) - \tan^{-1}(x+j-1)) = \tan^{-1}(x+n) - \tan^{-1}(x)$.
अतः,$\tan(f_n(x)) = \frac{(x+n)-x}{1+(x+n)x} = \frac{n}{1+x^2+nx}$.
$(C)$ के लिए,$\lim_{x \rightarrow \infty} \tan(f_n(x)) = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{n}{1+x^2+nx} = 0$. इसलिए $(C)$ $FALSE$ है।
$(D)$ के लिए,$\lim_{x \rightarrow \infty} \sec^2(f_n(x)) = 1 + \lim_{x \rightarrow \infty} \tan^2(f_n(x)) = 1 + 0 = 1$. इसलिए $(D)$ $TRUE$ है।
$(A)$ के लिए,$f_j(0) = \tan^{-1}(j) - \tan^{-1}(0) = \tan^{-1}(j)$. अतः $\tan^2(f_j(0)) = j^2$. $\sum_{j=1}^5 j^2 = 1+4+9+16+25 = 55$. इसलिए $(A)$ $TRUE$ है।
$(B)$ के लिए,$f_j'(x) = \frac{1}{1+(x+j)^2} - \frac{1}{1+x^2}$. $f_j'(0) = \frac{1}{1+j^2} - 1 = \frac{-j^2}{1+j^2}$.
तब $1+f_j'(0) = 1 - \frac{j^2}{1+j^2} = \frac{1}{1+j^2}$.
साथ ही $\sec^2(f_j(0)) = 1 + \tan^2(f_j(0)) = 1+j^2$.
इसलिए $(1+f_j'(0)) \sec^2(f_j(0)) = \frac{1}{1+j^2} \cdot (1+j^2) = 1$.
$\sum_{j=1}^{10} 1 = 10$. इसलिए $(B)$ $TRUE$ है।
सही विकल्प $(A), (B), (D)$ हैं।

(C) दिया गया है $\lim _{t \rightarrow x} \frac{f(x) \sin t - f(t) \sin x}{t-x} = \sin^2 x$.
$t$ के सापेक्ष $L$'$H$ôpital नियम लागू करने पर:
$\lim _{t \rightarrow x} \frac{f(x) \cos t - f^{\prime}(t) \sin x}{1} = \sin^2 x$.
$t = x$ रखने पर:
$f(x) \cos x - f^{\prime}(x) \sin x = \sin^2 x$.
$\sin^2 x$ से विभाजित करने पर:
$\frac{f^{\prime}(x) \sin x - f(x) \cos x}{\sin^2 x} = -1$.
यह $\frac{f(x)}{\sin x}$ का अवकलज है:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{\sin x} \right) = -1$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\frac{f(x)}{\sin x} = -x + C$.
$f \left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\pi}{12}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{-\pi/12}{1/2} = -\frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + C$,जिससे $C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = -x \sin x$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(A)$ असत्य है।
$(B)$ सत्य है।
$(C)$ सत्य है।
$(D)$ सत्य है।

(B) $(P)$ $f_1(x) = \sin(\sqrt{1-e^{-x^2}})$. $x=0$ पर,$f_1(0) = 0$. $f_1'(x) = \frac{x e^{-x^2} \cos(\sqrt{1-e^{-x^2}})}{\sqrt{1-e^{-x^2}}}$. $x \to 0$ के लिए,$f_1'(x) \to 0$. अतः,$f_1$ $x=0$ पर अवकलनीय है। विकल्पों को देखते हुए,$P \to 4$ सही है।
$(Q)$ $f_2(x) = \frac{|\sin x|}{\tan^{-1} x}$. $\lim_{x \to 0^+} f_2(x) = 1$ और $\lim_{x \to 0^-} f_2(x) = -1$. $LHL \neq RHL$ होने के कारण,$f_2$ $x=0$ पर सतत नहीं है। इसलिए $Q \to 1$.
$(R)$ $f_3(x) = [\sin(\log_e(x+2))]$. $x \in (-1, e^{\pi/2}-2)$ के लिए,$f_3(x) = 0$. यह एक अचर फलन है,इसलिए यह हर जगह अवकलनीय है। विकल्पों के अनुसार,$R \to 2$ लिया गया है।
$(S)$ $f_4(x) = x^2 \sin(1/x)$. $f_4'(0) = 0$. $x \neq 0$ के लिए,$f_4'(x) = 2x \sin(1/x) - \cos(1/x)$. $x \to 0$ के लिए,$f_4'(x)$ का अस्तित्व नहीं है। इसलिए $f_4$ $x=0$ पर अवकलनीय है लेकिन इसका अवकलज सतत नहीं है। इसलिए $S \to 3$.

(B) सबसे पहले,हम विभिन्न अंतरालों में फलन $f(x)$ का विश्लेषण करते हैं।
$x < 0$ के लिए,$f(x) = (x+1)^5 - 2x$। जैसे $x \rightarrow -\infty$,$f(x) \rightarrow -\infty$,और जैसे $x \rightarrow 0^-$,$f(x) \rightarrow 1$। अतः,$x < 0$ के लिए $f(x)$ का परिसर $(-\infty, 1)$ है।
$f^{\prime}(x) = 5(x+1)^4 - 2$। $f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर $(x+1)^4 = 2/5$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = -1 \pm (2/5)^{1/4}$। चूंकि $f^{\prime}(x)$ अंतराल $(-\infty, 0)$ में अपना चिह्न बदलता है,इसलिए $f(x)$ अंतराल $(-\infty, 0)$ पर एकदिष्ट (monotonic) नहीं है। अतः,कथन $(3)$ गलत है।
$x \geq 3$ के लिए,$f(x)$ सतत है,$f(3) = 1/3$,और $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \infty$। परिसर $[1/3, \infty)$ है।
सभी अंतरालों के परिसरों को मिलाने पर,हम पाते हैं कि $f(x)$ का परिसर $R$ है,इसलिए $f$ आच्छादक है। कथन $(2)$ सही है।
अब,$x = 1$ के निकट $f^{\prime}(x)$ पर विचार करें:
$0 \leq x < 1$ के लिए,$f^{\prime}(x) = 2x - 1$। अतः,$\lim_{x \rightarrow 1^-} f^{\prime}(x) = 2(1) - 1 = 1$।
$1 \leq x < 3$ के लिए,$f^{\prime}(x) = 2x^2 - 8x + 7$। अतः,$f^{\prime}(1) = 2(1)^2 - 8(1) + 7 = 1$।
जब $x, 1$ से थोड़ा बड़ा होता है,तो $f^{\prime}(x) = 2x^2 - 8x + 7$। $f^{\prime}(x)$ का अवकलज $f^{\prime\prime}(x) = 4x - 8$ है। $x=1$ पर,$f^{\prime\prime}(1^+) = -4$।
चूंकि $x=1$ पर $f^{\prime}$ का बायां अवकलज $2$ है और दायां अवकलज $-4$ है,इसलिए $f^{\prime}$,$x=1$ पर अवकलनीय नहीं है। कथन $(4)$ सही है।
साथ ही,चूंकि $f^{\prime}(x)$ बढ़कर $x=1$ पर $1$ हो जाता है और $x > 1$ के लिए घटता है,इसलिए $f^{\prime}$ का $x=1$ पर स्थानीय अधिकतम है। कथन $(1)$ सही है।
अतः,कथन $(1), (2),$ और $(4)$ सही हैं।

(C) फलन $f(x) = [x] + |x - 2|$ अंतराल $-2 < x < 3$ के लिए दिया गया है।
$1$. सांतत्य: फलन $[x]$ अंतराल $(-2, 3)$ में सभी पूर्णांकों $x \in \{-1, 0, 1, 2\}$ पर असंतत है। फलन $|x - 2|$ हर जगह संतत है। अतः,$f(x)$ बिंदु $x = -1, 0, 1, 2$ पर असंतत है। इसलिए,$m = 4$.
$2$. अवकलनीयता: फलन $[x]$ सभी पूर्णांकों $x \in \{-1, 0, 1, 2\}$ पर अवकलनीय नहीं है। फलन $|x - 2|$ बिंदु $x = 2$ पर अवकलनीय नहीं है। अतः,$f(x)$ बिंदु $x = -1, 0, 1, 2$ पर अवकलनीय नहीं है। इसलिए,$n = 4$.
$3$. गणना: $m + n = 4 + 4 = 8$.

(D) $0 \leq x \leq 2$ के लिए,हम $f(x) = \min \{1+x+[x], x+2[x]\}$ का विश्लेषण करते हैं।
स्थिति $1$: $0 \leq x < 1$,तब $[x] = 0$. अतः,$f(x) = \min \{1+x, x\} = x$.
स्थिति $2$: $1 \leq x < 2$,तब $[x] = 1$. अतः,$f(x) = \min \{1+x+1, x+2(1)\} = \min \{x+2, x+2\} = x+2$.
स्थिति $3$: $x = 2$ पर,$[x] = 2$. अतः,$f(2) = \min \{1+2+2, 2+2(2)\} = \min \{5, 6\} = 5$.
इस प्रकार,फलन है:
$f(x) = \begin{cases} 3x, & x < 0 \\ x, & 0 \leq x < 1 \\ x+2, & 1 \leq x < 2 \\ 5, & x \geq 2 \end{cases}$
सांतत्य की जाँच:
$x=0$ पर: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$,$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$,$f(0) = 0$. संतत है।
$x=1$ पर: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1$,$\lim_{x \to 1^+} f(x) = 3$. असंतत है।
$x=2$ पर: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 4$,$\lim_{x \to 2^+} f(x) = 5$. असंतत है।
अतः,$\alpha = 2$ (बिंदु $x=1, 2$ हैं)।
अवकलनीयता की जाँच:
$x=0$ पर: $f'(0^-) = 3$,$f'(0^+) = 1$. अवकलनीय नहीं है।
$x=1$ पर: असंतत होने के कारण,अवकलनीय नहीं है।
$x=2$ पर: असंतत होने के कारण,अवकलनीय नहीं है।
अतः,$\beta = 3$ (बिंदु $x=0, 1, 2$ हैं)।
इसलिए,$\alpha + \beta = 2 + 3 = 5$.