Differentiation by substitution Questions in Hindi

(A) माना $y = \tan^{-1} \left( \frac{\cos x}{1 + \sin x} \right)$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos x = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}$,$\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$,और $1 = \cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1} \left( \frac{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2} \right)$
$y = \tan^{-1} \left( \frac{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})}{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2} \right)$
$y = \tan^{-1} \left( \frac{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}} \right)$
अंश और हर को $\cos \frac{x}{2}$ से विभाजित करने पर:
$y = \tan^{-1} \left( \frac{1 - \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan \frac{x}{2}} \right) = \tan^{-1} \left( \tan \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) \right)$
$y = \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}$
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) = - \frac{1}{2}$.

(A) माना $y = \tan^{-1}\sqrt{\frac{1 + \cos(x/2)}{1 - \cos(x/2)}}$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 + \cos \theta = 2\cos^2(\theta/2)$ और $1 - \cos \theta = 2\sin^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1}\sqrt{\frac{2\cos^2(x/4)}{2\sin^2(x/4)}}$
$y = \tan^{-1}\sqrt{\cot^2(x/4)}$
$y = \tan^{-1}(\cot(x/4))$
चूंकि $\cot(x/4) = \tan(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{4})$,इसलिए:
$y = \tan^{-1}(\tan(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{4})) = \frac{\pi}{2} - \frac{x}{4}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{4}) = 0 - \frac{1}{4} = - \frac{1}{4}$.

(B) माना $y = \tan^{-1}(\sec x + \tan x)$.
हम प्रतिलोम स्पर्शज्या फलन के अंदर के व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\sec x + \tan x = \frac{1}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1 + \sin x}{\cos x}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin x = 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})$,$\cos x = \cos^2(\frac{x}{2}) - \sin^2(\frac{x}{2})$,और $1 = \sin^2(\frac{x}{2}) + \cos^2(\frac{x}{2})$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{1 + \sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2(\frac{x}{2}) + \sin^2(\frac{x}{2}) + 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})}{\cos^2(\frac{x}{2}) - \sin^2(\frac{x}{2})} = \frac{(\cos(\frac{x}{2}) + \sin(\frac{x}{2}))^2}{(\cos(\frac{x}{2}) - \sin(\frac{x}{2}))(\cos(\frac{x}{2}) + \sin(\frac{x}{2}))} = \frac{\cos(\frac{x}{2}) + \sin(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2}) - \sin(\frac{x}{2})}$.
अंश और हर को $\cos(\frac{x}{2})$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1 + \tan(\frac{x}{2})}{1 - \tan(\frac{x}{2})} = \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})$.
अतः,$y = \tan^{-1}(\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})) = \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

(A) माना $y = \cos^{-1}\sqrt{\cos x}$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{\cos x})^2}} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{\cos x})$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - \cos x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\cos x}} \cdot (-\sin x)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}\sqrt{1 - \cos x}}$.
चूंकि $\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}$,इसलिए:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1 - \cos x}\sqrt{1 + \cos x}}{2\sqrt{\cos x}\sqrt{1 - \cos x}}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1 + \cos x}}{2\sqrt{\cos x}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1 + \cos x}{\cos x}} = \frac{1}{2}\sqrt{\sec x + 1}$.

(B) माना $y = \tan^{-1} \left( \frac{4\sqrt{x}}{1 - 4x} \right)$.
हम व्यंजक को $y = \tan^{-1} \left( \frac{2(2\sqrt{x})}{1 - (2\sqrt{x})^2} \right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
सूत्र $2\tan^{-1}(\theta) = \tan^{-1} \left( \frac{2\theta}{1 - \theta^2} \right)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\theta = 2\sqrt{x}$ है।
अतः $y = 2\tan^{-1}(2\sqrt{x})$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1 + (2\sqrt{x})^2} \cdot \frac{d}{dx}(2\sqrt{x})$
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1 + 4x} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sqrt{x}(1 + 4x)}$.

(A) दिया गया है $y = \frac{\sqrt{a + x} - \sqrt{a - x}}{\sqrt{a + x} + \sqrt{a - x}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर,अंश और हर को $(\sqrt{a + x} - \sqrt{a - x})$ से गुणा करने पर:
$y = \frac{(\sqrt{a + x} - \sqrt{a - x})^2}{(a + x) - (a - x)} = \frac{(a + x) + (a - x) - 2\sqrt{a^2 - x^2}}{2x} = \frac{2a - 2\sqrt{a^2 - x^2}}{2x} = \frac{a - \sqrt{a^2 - x^2}}{x} \dots (i)$
अब,भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(a - \sqrt{a^2 - x^2}) - (a - \sqrt{a^2 - x^2}) \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{x \cdot [0 - \frac{1}{2\sqrt{a^2 - x^2}} \cdot (-2x)] - (a - \sqrt{a^2 - x^2})}{x^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} - a + \sqrt{a^2 - x^2}}{x^2} = \frac{x^2 - a\sqrt{a^2 - x^2} + a^2 - x^2}{x^2\sqrt{a^2 - x^2}} = \frac{a^2 - a\sqrt{a^2 - x^2}}{x^2\sqrt{a^2 - x^2}}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{a(a - \sqrt{a^2 - x^2})}{x^2\sqrt{a^2 - x^2}} = \frac{a}{x\sqrt{a^2 - x^2}} \cdot \left( \frac{a - \sqrt{a^2 - x^2}}{x} \right)$
$(i)$ से मान रखने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{ay}{x\sqrt{a^2 - x^2}}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया व्यंजक $y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए,$1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ और $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{2 \sin^2 (x/2)}{2 \cos^2 (x/2)}} = \tan^{-1} \sqrt{\tan^2 \frac{x}{2}} = \tan^{-1} \left( \tan \frac{x}{2} \right)$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \frac{x}{2}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} \right) = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $y = \frac{a^{\cos^{-1}x}}{1 + a^{\cos^{-1}x}}$ और $z = a^{\cos^{-1}x}$ है।
$y$ के व्यंजक में $z$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y = \frac{z}{1 + z}$ प्राप्त होता है।
अब,भागफल नियम $\frac{d}{dz}(\frac{u}{v}) = \frac{v \frac{du}{dz} - u \frac{dv}{dz}}{v^2}$ का उपयोग करके $y$ का $z$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dz} = \frac{(1 + z)(1) - z(1)}{(1 + z)^2}$।
$\frac{dy}{dz} = \frac{1 + z - z}{(1 + z)^2} = \frac{1}{(1 + z)^2}$।
$z = a^{\cos^{-1}x}$ को वापस रखने पर,हमें $\frac{dy}{dz} = \frac{1}{(1 + a^{\cos^{-1}x})^2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $y = \sin^{-1}(\sqrt{x})$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin^{-1}(\sqrt{x}))$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x})$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}}$.

(D) दिया गया है कि $y = \tan^{-1} \left[ \frac{\sin x + \cos x}{\cos x - \sin x} \right]$.
अंश और हर को $\cos x$ से विभाजित करने पर:
$y = \tan^{-1} \left[ \frac{\tan x + 1}{1 - \tan x} \right]$.
सूत्र $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $A = \pi/4$ और $B = x$ है:
$y = \tan^{-1} \left[ \tan(\pi/4 + x) \right]$.
चूँकि $\tan^{-1}(\tan \theta) = \theta$,इसलिए:
$y = \pi/4 + x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\pi/4) + \frac{d}{dx}(x) = 0 + 1 = 1$.

(D) माना $y = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{x}(3 - x)}{1 - 3x} \right)$ है।
$\sqrt{x} = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $\theta = \tan^{-1}(\sqrt{x})$।
अतः $x = \tan^2 \theta$,जिससे व्यंजक $\tan^{-1} \left( \frac{\tan \theta (3 - \tan^2 \theta)}{1 - 3\tan^2 \theta} \right)$ बन जाता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan(3\theta) = \frac{3\tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3\tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर,व्यंजक $\tan^{-1}(\tan 3\theta) = 3\theta$ में सरल हो जाता है।
वापस प्रतिस्थापित करने पर,$y = 3\tan^{-1}(\sqrt{x})$।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot \frac{d}{dx}(\tan^{-1}(\sqrt{x}))$
$= 3 \cdot \frac{1}{1 + (\sqrt{x})^2} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x})$
$= 3 \cdot \frac{1}{1 + x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$= \frac{3}{2(1 + x)\sqrt{x}}$।

(B) दिया गया है $y = \tan^{-1}\left( \frac{a\cos x - b\sin x}{b\cos x + a\sin x} \right)$.
अंश और हर को $b\cos x$ से विभाजित करने पर:
$y = \tan^{-1}\left( \frac{\frac{a}{b} - \tan x}{1 + \frac{a}{b}\tan x} \right)$.
माना $\frac{a}{b} = \tan \theta$,तब $y = \tan^{-1}\left( \frac{\tan \theta - \tan x}{1 + \tan \theta \tan x} \right)$.
सूत्र $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1}(\tan(\theta - x)) = \theta - x$.
चूंकि $\theta = \tan^{-1}(\frac{a}{b})$ एक स्थिरांक है,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\tan^{-1}(\frac{a}{b}) - x) = 0 - 1 = -1$.

(A) दिया गया है $y = \sin(2\sin^{-1}x)$.
मान लीजिए $x = \sin\theta$,तो $\theta = \sin^{-1}x$.
इस मान को $y$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$.
चूंकि $\sin\theta = x$,इसलिए $\cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \sqrt{1 - x^2}$.
अतः,$y = 2x\sqrt{1 - x^2}$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (गुणन नियम का उपयोग करते हुए):
$\frac{dy}{dx} = 2 \left[ x \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{1 - x^2}) + \sqrt{1 - x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x) \right]$
$\frac{dy}{dx} = 2 \left[ x \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} \cdot (-2x) + \sqrt{1 - x^2} \cdot 1 \right]$
$\frac{dy}{dx} = 2 \left[ \frac{-x^2}{\sqrt{1 - x^2}} + \sqrt{1 - x^2} \right]$
$\frac{dy}{dx} = 2 \left[ \frac{-x^2 + (1 - x^2)}{\sqrt{1 - x^2}} \right] = 2 \left[ \frac{1 - 2x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \right] = \frac{2 - 4x^2}{\sqrt{1 - x^2}}$.

(C) माना $x = \tan \theta$,जहाँ $\theta = \tan^{-1} x$ है।
व्यंजक $y = \sin^{-1} \left( \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) + \sec^{-1} \left( \frac{1 + \tan^2 \theta}{1 - \tan^2 \theta} \right)$ बन जाता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए,$\sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ और $\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ है।
अतः,$y = \sin^{-1} (\sin 2\theta) + \sec^{-1} \left( \frac{1}{\cos 2\theta} \right) = \sin^{-1} (\sin 2\theta) + \sec^{-1} (\sec 2\theta)$ है।
मुख्य मान शाखा को मानते हुए,$y = 2\theta + 2\theta = 4\theta$ है।
$\theta = \tan^{-1} x$ को वापस रखने पर,हमें $y = 4 \tan^{-1} x$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 4 \cdot \frac{d}{dx} (\tan^{-1} x) = \frac{4}{1 + x^2}$।

(C) माना $x = \cos \theta$. तब $\theta = \cos^{-1} x$.
पहला पद $y_1 = \tan^{-1} \left( \frac{\cos \theta}{1 + \sin \theta} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{\sin(\pi/2 - \theta)}{1 + \cos(\pi/2 - \theta)} \right) = \tan^{-1} \left( \tan \left( \frac{\pi/2 - \theta}{2} \right) \right) = \frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}$ है।
दूसरा पद $y_2 = \sin \left( 2 \tan^{-1} \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}} \right) = \sin \left( 2 \tan^{-1} \left( \tan \frac{\theta}{2} \right) \right) = \sin \theta = \sqrt{1 - x^2}$ है।
अतः,$y = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cos^{-1} x + \sqrt{1 - x^2}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \right) + \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} (-2x) = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{1 - 2x}{2\sqrt{1 - x^2}}$।

(D) माना $y = \tan^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}} \right)$.
$x = a \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $\theta = \sin^{-1} \left( \frac{x}{a} \right)$.
तब,$\sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{a^2 - a^2 \sin^2 \theta} = a \cos \theta$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$y = \tan^{-1} \left( \frac{a \sin \theta}{a \cos \theta} \right) = \tan^{-1} (\tan \theta) = \theta$.
अतः,$y = \sin^{-1} \left( \frac{x}{a} \right)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \sin^{-1} \left( \frac{x}{a} \right) \right) = \frac{1}{\sqrt{1 - (x/a)^2}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{\frac{a^2 - x^2}{a^2}}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{a}{\sqrt{a^2 - x^2}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$.

(C) माना $y = \cos^{-1} \sqrt{\frac{1 + x^2}{2}}$.
$x^2 = \cos 2\theta$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$.
तब,$\sqrt{\frac{1 + x^2}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \cos 2\theta}{2}} = \sqrt{\frac{2\cos^2 \theta}{2}} = \cos \theta$.
अतः,$y = \cos^{-1}(\cos \theta) = \theta = \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx}(\cos^{-1}(x^2)) = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{1 - (x^2)^2}} \right) \cdot \frac{d}{dx}(x^2)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{1 - x^4}} \right) \cdot 2x = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^4}}$.

(B) माना $x = \sin \theta$ और $y = \sin \phi$ है।
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos \theta + \cos \phi = a(\sin \theta - \sin \phi)$
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \cos \left( \frac{\theta + \phi}{2} \right) \cos \left( \frac{\theta - \phi}{2} \right) = a \left[ 2 \cos \left( \frac{\theta + \phi}{2} \right) \sin \left( \frac{\theta - \phi}{2} \right) \right]$
यह मानते हुए कि $\cos \left( \frac{\theta + \phi}{2} \right) \neq 0$,दोनों पक्षों को विभाजित करने पर:
$\cot \left( \frac{\theta - \phi}{2} \right) = a$
$\frac{\theta - \phi}{2} = \cot^{-1} a \Rightarrow \theta - \phi = 2 \cot^{-1} a$
वापस $\theta = \sin^{-1} x$ और $\phi = \sin^{-1} y$ रखने पर:
$\sin^{-1} x - \sin^{-1} y = 2 \cot^{-1} a$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1 - y^2}}{\sqrt{1 - x^2}} = \sqrt{\frac{1 - y^2}{1 - x^2}}$.

(C) माना $y = \sin^{-1}(2ax\sqrt{1 - a^2x^2})$ है।
$ax = \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $\theta = \sin^{-1}(ax)$।
तब $y = \sin^{-1}(2 \sin \theta \sqrt{1 - \sin^2 \theta}) = \sin^{-1}(2 \sin \theta \cos \theta) = \sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta$।
मान वापस रखने पर,$y = 2 \sin^{-1}(ax)$।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - (ax)^2}} \cdot \frac{d}{dx}(ax) = \frac{2}{\sqrt{1 - a^2x^2}} \cdot a = \frac{2a}{\sqrt{1 - a^2x^2}}$।

(D) माना $y = \cos^{-1} \left( \frac{1 - x^2}{1 + x^2} \right)$.
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापन करें,जहाँ $\theta = \tan^{-1} x$ है।
तब,$\frac{1 - x^2}{1 + x^2} = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \cos(2\theta)$ होगा।
अतः,$y = \cos^{-1}(\cos(2\theta)) = 2\theta = 2 \tan^{-1} x$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = 2 \cdot \frac{1}{1 + x^2} = \frac{2}{1 + x^2}$.

(C) दिया गया है $y = \sin^{-1}(\sqrt{1 - x^2})$.
माना $\sqrt{1 - x^2} = \sin \theta$,जिसका अर्थ है $1 - x^2 = \sin^2 \theta$.
तब $x^2 = 1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$,अतः $x = \cos \theta$ (मुख्य मान सीमा के लिए $x > 0$ मानते हुए)।
इस प्रकार,$\theta = \cos^{-1} x$.
इस मान को $y$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $y = \sin^{-1}(\sin \theta) = \theta = \cos^{-1} x$.
अब,$y = \cos^{-1} x$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.

(D) दिया गया है $y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{a - x}{a + x}}$.
माना $x = a \cos \theta$,तो $\theta = \cos^{-1}(\frac{x}{a})$.
व्यंजक में $x$ का मान रखने पर:
$y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{a - a \cos \theta}{a + a \cos \theta}} = \tan^{-1} \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\frac{\theta}{2})$ और $1 + \cos \theta = 2 \cos^2(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{2 \sin^2(\frac{\theta}{2})}{2 \cos^2(\frac{\theta}{2})}} = \tan^{-1} \sqrt{\tan^2(\frac{\theta}{2})} = \frac{\theta}{2}$
$\theta$ का मान वापस रखने पर:
$y = \frac{1}{2} \cos^{-1}(\frac{x}{a})$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{a})^2}} \right) \cdot \frac{1}{a}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{a^2 - x^2}{a^2}}} \cdot \frac{1}{a} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{\sqrt{a^2 - x^2}} \cdot \frac{1}{a} = -\frac{1}{2\sqrt{a^2 - x^2}}$.

(A) दिया गया है $f(x) = \cot^{-1} \left( \frac{x^x - x^{-x}}{2} \right)$.
माना $x^x = \tan \theta$. तब $x^{-x} = \frac{1}{\tan \theta} = \cot \theta$.
इसे $f(x)$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = \cot^{-1} \left( \frac{\tan \theta - \cot \theta}{2} \right) = \cot^{-1} \left( \frac{\tan^2 \theta - 1}{2 \tan \theta} \right)$.
सर्वसमिका $\cot 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{2 \tan \theta}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{\tan^2 \theta - 1}{2 \tan \theta} = -\cot 2\theta$.
अतः,$f(x) = \cot^{-1} (-\cot 2\theta) = \pi - \cot^{-1} (\cot 2\theta) = \pi - 2\theta$.
चूंकि $\tan \theta = x^x$,इसलिए $\theta = \tan^{-1}(x^x)$.
इस प्रकार,$f(x) = \pi - 2 \tan^{-1}(x^x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = -2 \cdot \frac{1}{1 + (x^x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^x)$.
हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(1 + \log x)$.
अतः,$f'(x) = -2 \cdot \frac{x^x(1 + \log x)}{1 + x^{2x}}$.
$x = 1$ पर,$f'(1) = -2 \cdot \frac{1^1(1 + \log 1)}{1 + 1^2} = -2 \cdot \frac{1(1 + 0)}{2} = -1$.

(B) माना $y = \sin^2 \cot^{-1} \left( \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \right)$.
$x = \cos \theta$ रखने पर,अतः $\theta = \cos^{-1} x$.
तब $y = \sin^2 \cot^{-1} \left( \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}} \right) = \sin^2 \cot^{-1} \left( \tan \frac{\theta}{2} \right)$.
चूंकि $\cot^{-1}(\tan \alpha) = \frac{\pi}{2} - \alpha$,इसलिए $y = \sin^2 \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2} \right) = \cos^2 \frac{\theta}{2}$.
सर्वसमिका $\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1+\cos \theta}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $y = \frac{1+x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{x}{2}$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} + \frac{x}{2} \right) = \frac{1}{2}$.

(A) दिया गया है $y = \tan^{-1}\left( \frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}} \right)$.
$x = \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,जहाँ $\theta = \sin^{-1} x$.
तब $y = \tan^{-1}\left( \frac{\sin \theta}{1 + \sqrt{1 - \sin^2 \theta}} \right) = \tan^{-1}\left( \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \right)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ और $1 + \cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1}\left( \frac{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{2 \cos^2 \frac{\theta}{2}} \right) = \tan^{-1}\left( \tan \frac{\theta}{2} \right) = \frac{\theta}{2}$.
$\theta = \sin^{-1} x$ रखने पर,हमें $y = \frac{1}{2} \sin^{-1} x$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}}$.

(C) दिया गया है $y = \tan^{-1}\left( \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \right)$.
मान लीजिए $x = \sin \theta$,तो $\theta = \sin^{-1} x$.
$y$ के व्यंजक में $x = \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \tan^{-1}\left( \frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}} \right)$
$y = \tan^{-1}\left( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \right)$
$y = \tan^{-1}(\tan \theta) = \theta$
चूंकि $\theta = \sin^{-1} x$,इसलिए $y = \sin^{-1} x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.

(C) दिया गया है $y = \sin^{-1}\left( \frac{1 - x^2}{1 + x^2} \right)$।
मान लीजिए $x = \tan \theta$,तो $\theta = \tan^{-1} x$ होगा।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y = \sin^{-1}(\cos 2\theta)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos 2\theta = \sin\left( \frac{\pi}{2} - 2\theta \right)$ या $\sin\left( 2\theta - \frac{\pi}{2} \right)$ होता है,इसलिए $y = \frac{\pi}{2} \pm 2\theta$ होगा।
$\theta = \tan^{-1} x$ रखने पर,$y = \frac{\pi}{2} \pm 2 \tan^{-1} x$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \pm 2 \cdot \frac{1}{1 + x^2} = \pm \frac{2}{1 + x^2}$ प्राप्त होता है।

(C) माना $y = \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}} \right)$ है।
$x = \cos 2\theta$ रखने पर,जिसका अर्थ है $\theta = \frac{1}{2}\cos^{-1}x$।
व्यंजक में $x$ का मान रखने पर:
$y = \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{1+\cos 2\theta} - \sqrt{1-\cos 2\theta}}{\sqrt{1+\cos 2\theta} + \sqrt{1-\cos 2\theta}} \right)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1+\cos 2\theta = 2\cos^2\theta$ और $1-\cos 2\theta = 2\sin^2\theta$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{2\cos^2\theta} - \sqrt{2\sin^2\theta}}{\sqrt{2\cos^2\theta} + \sqrt{2\sin^2\theta}} \right) = \tan^{-1}\left( \frac{\cos\theta - \sin\theta}{\cos\theta + \sin\theta} \right)$
अंश और हर को $\cos\theta$ से विभाजित करने पर:
$y = \tan^{-1}\left( \frac{1 - \tan\theta}{1 + \tan\theta} \right) = \tan^{-1}(\tan(\pi/4 - \theta))$
अतः,$y = \frac{\pi}{4} - \theta = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\cos^{-1}x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}$।

(B) माना $y = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1 + x^2} - 1}{x} \right)$ है।
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$\theta = \tan^{-1} x$ प्राप्त होता है।
$y = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1 + \tan^2 \theta} - 1}{\tan \theta} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta} \right)$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर,$\frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{2 \sin^2(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)} = \tan(\theta/2)$।
अतः,$y = \tan^{-1}(\tan(\theta/2)) = \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} \tan^{-1} x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x^2} = \frac{1}{2(1 + x^2)}$ प्राप्त होता है।

(D) माना $y = \sin^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$.
$x$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करने के लिए,हम श्रृंखला नियम का उपयोग करते हैं: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{1-x}{1+x})^2}} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{\frac{(1+x)^2 - (1-x)^2}{(1+x)^2}}} \cdot \frac{-(1+x) - (1-x)}{(1+x)^2} = \frac{1+x}{\sqrt{4x}} \cdot \frac{-2}{(1+x)^2} = \frac{-2}{2\sqrt{x}(1+x)} = \frac{-1}{\sqrt{x}(1+x)}$.
अब,माना $z = \sqrt{x}$. तब $\frac{dz}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
हमें $\frac{dy}{dz} = \frac{dy/dx}{dz/dx} = \frac{-1}{\sqrt{x}(1+x)} \div \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{-1}{\sqrt{x}(1+x)} \cdot 2\sqrt{x} = \frac{-2}{1+x}$ ज्ञात करना है।
चूंकि यह परिणाम विकल्पों $A$,$B$ या $C$ में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) माना ${y_1} = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} - 1}}{x}} \right)$ और ${y_2} = {\tan ^{ - 1}}x$ है।
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,अतः $\theta = {\tan ^{ - 1}}x$।
तब ${y_1} = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\theta } - 1}}{{\tan \theta }}} \right) = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{\sec \theta - 1}}{{\tan \theta }}} \right) = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{1 - \cos \theta }}{{\sin \theta }}} \right) = {\tan ^{ - 1}}\left( {\tan \frac{\theta }{2}} \right) = \frac{\theta }{2} = \frac{1}{2}{\tan ^{ - 1}}x$।
अब,${y_2} = {\tan ^{ - 1}}x$ के सापेक्ष ${y_1}$ का अवकलन करने पर:
$\frac{{d{y_1}}}{{d{y_2}}} = \frac{d}{{d{y_2}}}\left( {\frac{1}{2}{y_2}} \right) = \frac{1}{2}$।

(D) माना $y_1 = \tan^{-1}\sqrt{x}$ और $y_2 = \sqrt{x}$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $y_1$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dy_1}{dx} = \frac{1}{1+(\sqrt{x})^2} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$x$ के सापेक्ष $y_2$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dy_2}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
अब,$y_2$ के सापेक्ष $y_1$ का अवकल गुणांक इस प्रकार है:
$\frac{dy_1}{dy_2} = \frac{dy_1/dx}{dy_2/dx} = \frac{\frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \frac{1}{1+x}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) माना $y = {\sec ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{2{x^2} - 1}}} \right) = {\cos ^{ - 1}}(2{x^2} - 1)$.
$x = \cos \theta$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,$y = {\cos ^{ - 1}}(\cos 2\theta) = 2\theta = 2{\cos ^{ - 1}}x$ प्राप्त होता है।
अब,माना $z = \sqrt {1 + 3x} $.
हमें $\frac{{dy}}{{dz}} = \frac{{dy/dx}}{{dz/dx}}$ ज्ञात करना है।
अवकलन करने पर:
$\frac{{dy}}{{dx}} = 2 \times \left( { - \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} \right) = - \frac{2}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}$.
$\frac{{dz}}{{dx}} = \frac{1}{{2\sqrt {1 + 3x} }} \times 3 = \frac{3}{{2\sqrt {1 + 3x} }}$.
$x = - \frac{1}{3}$ पर,$\sqrt {1 + 3x} = \sqrt {1 + 3(-1/3)} = \sqrt 0 = 0$ होता है।
यहाँ $\frac{{dz}}{{dx}}$ में हर में $\sqrt {1 + 3x}$ होने के कारण,$x = - \frac{1}{3}$ पर $\frac{{dz}}{{dx}}$ अपरिभाषित है।
ऐसे प्रश्नों में,जहाँ अंश का अवकलज निश्चित हो और हर अनंत की ओर अग्रसर हो,वहाँ अवकलज को $0$ माना जाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) माना $y = {\tan ^{ - 1}}\sqrt {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} $ और $z = {\cos ^{ - 1}}({x^2})$ है।
${x^2} = \cos 2\theta $ प्रतिस्थापित करें,जहाँ $0 \le \theta \le \pi/2$ है।
तब $y = {\tan ^{ - 1}}\sqrt {\frac{{1 - \cos 2\theta }}{{1 + \cos 2\theta }}} = {\tan ^{ - 1}}\sqrt {\frac{{2{{\sin }^2}\theta }}{{2{{\cos }^2}\theta }}} = {\tan ^{ - 1}}(\tan \theta ) = \theta $ प्राप्त होता है।
साथ ही,$z = {\cos ^{ - 1}}(\cos 2\theta ) = 2\theta $ है।
हमें $\frac{{dy}}{{dz}}$ ज्ञात करना है।
चूँकि $y = \theta $ और $z = 2\theta $ है,इसलिए $\frac{{dy}}{{d\theta }} = 1$ और $\frac{{dz}}{{d\theta }} = 2$ होगा।
अतः,$\frac{{dy}}{{dz}} = \frac{{dy/d\theta }}{{dz/d\theta }} = \frac{1}{2}$।

(A) माना $y = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{x}{{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }}} \right)$ और $z = {\sin ^{ - 1}}x$ है।
$x = \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,जहाँ $\theta = {\sin ^{ - 1}}x$ है।
तब $y = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{\sin \theta }}{{1 + \cos \theta }}} \right)$ होगा।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin \theta = 2\sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ और $1 + \cos \theta = 2\cos^2 \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$y = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{2\sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}}{{2\cos^2 \frac{\theta}{2}}}} \right) = {\tan ^{ - 1}}\left( {\tan \frac{\theta}{2}} \right) = \frac{\theta}{2}$.
चूँकि $\theta = {\sin ^{ - 1}}x$ है,इसलिए $y = \frac{1}{2}{\sin ^{ - 1}}x$ प्राप्त होता है।
अब,$z$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करने पर:
$\frac{{dy}}{{dz}} = \frac{d}{{dz}}\left( {\frac{1}{2}z} \right) = \frac{1}{2}$.
अतः,अवकल गुणांक $\frac{1}{2}$ है।

(C) माना ${y_1} = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} \right)$.
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है ${y_1} = {\cos ^{ - 1}}(\cos 2\theta) = 2\theta = 2{\tan ^{ - 1}}x$.
अतः,$\frac{{d{y_1}}}{{dx}} = \frac{2}{{1 + {x^2}}}$.
माना ${y_2} = {\cot ^{ - 1}}\left( {\frac{{1 - 3{x^2}}}{{3x - {x^3}}}} \right)$.
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है ${y_2} = {\cot ^{ - 1}}\left( {\frac{{1 - 3\tan^2 \theta}}{{3\tan \theta - \tan^3 \theta}}} \right) = {\cot ^{ - 1}}(\cot 3\theta) = 3\theta = 3{\tan ^{ - 1}}x$.
अतः,$\frac{{d{y_2}}}{{dx}} = \frac{3}{{1 + {x^2}}}$.
इसलिए,${y_1}$ का ${y_2}$ के सापेक्ष अवकलज $\frac{{d{y_1}}}{{d{y_2}}} = \frac{{d{y_1}/dx}}{{d{y_2}/dx}} = \frac{2/(1 + {x^2})}{3/(1 + {x^2})} = \frac{2}{3}$ है।

(D) माना $y = \tan^{-1} \left[ \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} \right]$ है।
अंश और हर को $\cos x$ से विभाजित करने पर:
$y = \tan^{-1} \left[ \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x} \right]$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan(\frac{\pi}{4} - x) = \frac{\tan(\frac{\pi}{4}) - \tan x}{1 + \tan(\frac{\pi}{4}) \tan x} = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1} [\tan(\frac{\pi}{4} - x)]$।
उपयुक्त सीमा के लिए $\tan^{-1}(\tan \theta) = \theta$ होता है,इसलिए:
$y = \frac{\pi}{4} - x$।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{\pi}{4} - x) = 0 - 1 = -1$।

(A) दिया गया है $y = \cot^{-1}(\sqrt{\cos 2x})$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1 + (\sqrt{\cos 2x})^2} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{\cos 2x})$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1 + \cos 2x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\cos 2x}} \cdot (-\sin 2x \cdot 2)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin 2x}{(1 + \cos 2x)\sqrt{\cos 2x}}$.
सर्वसमिकाओं $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ और $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x \sqrt{\cos 2x}} = \frac{\tan x}{\sqrt{\cos 2x}}$.
$x = \frac{\pi}{6}$ पर,$\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ और $\cos 2(\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
इन मानों को रखने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{1/2}$.

(A) माना $y = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 - x^2}}{\sqrt{1 + x^2} - \sqrt{1 - x^2}} \right)$.
$x^2 = \cos 2\theta$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $2\theta = \cos^{-1}(x^2)$ या $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$.
अतः,$\sqrt{1 + x^2} = \sqrt{1 + \cos 2\theta} = \sqrt{2} \cos \theta$ और $\sqrt{1 - x^2} = \sqrt{1 - \cos 2\theta} = \sqrt{2} \sin \theta$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$y = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{2} \cos \theta + \sqrt{2} \sin \theta}{\sqrt{2} \cos \theta - \sqrt{2} \sin \theta} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{\cos \theta + \sin \theta}{\cos \theta - \sin \theta} \right)$.
अंश और हर को $\cos \theta$ से विभाजित करने पर:
$y = \tan^{-1} \left( \frac{1 + \tan \theta}{1 - \tan \theta} \right) = \tan^{-1} \left( \tan \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) \right) = \frac{\pi}{4} + \theta$.
$\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$ वापस रखने पर:
$y = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 0 + \frac{1}{2} \left( \frac{-1}{\sqrt{1 - (x^2)^2}} \right) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = \frac{1}{2} \left( \frac{-1}{\sqrt{1 - x^4}} \right) \cdot 2x = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^4}}$.

(C) माना $x^3 = \sin \theta$ और $y^3 = \sin \phi$ है।
तब समीकरण $\sqrt{1 - \sin^2 \theta} + \sqrt{1 - \sin^2 \phi} = a^3(\sin \theta - \sin \phi)$ हो जाता है।
यह सरल होकर $\cos \theta + \cos \phi = a^3(\sin \theta - \sin \phi)$ बन जाता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए,$2 \cos \frac{\theta + \phi}{2} \cos \frac{\theta - \phi}{2} = 2 a^3 \sin \frac{\theta - \phi}{2} \cos \frac{\theta + \phi}{2}$.
इससे $\cos \frac{\theta + \phi}{2} [\cos \frac{\theta - \phi}{2} - a^3 \sin \frac{\theta - \phi}{2}] = 0$ प्राप्त होता है।
यदि $\cos \frac{\theta + \phi}{2} = 0$ है,तो $\theta + \phi = \pi$ होगा,जो $x^3 = \sin \theta = \sin(\pi - \phi) = \sin \phi = y^3$ की ओर ले जाता है,अर्थात $x = y$। मूल समीकरण में $x = y$ रखने पर $2\sqrt{1-x^6} = 0$ प्राप्त होता है,जो सभी $x$ के लिए सत्य नहीं है।
अतः,हमें $\cos \frac{\theta - \phi}{2} - a^3 \sin \frac{\theta - \phi}{2} = 0$ लेना होगा,या $\cot \frac{\theta - \phi}{2} = a^3$।
इसका अर्थ है $\theta - \phi = 2 \cot^{-1}(a^3)$,या $\sin^{-1}(x^3) - \sin^{-1}(y^3) = 2 \cot^{-1}(a^3)$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{3x^2}{\sqrt{1 - x^6}} - \frac{3y^2}{\sqrt{1 - y^6}} \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ के लिए हल करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{y^2} \sqrt{\frac{1 - y^6}{1 - x^6}}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $\theta = a + b \cos(x - \alpha)$ है। दिया गया व्यंजक $y = \frac{1}{\sqrt{a^2 - b^2}} \cos^{-1} \left( \frac{a \cos(x - \alpha) + b}{\theta} \right)$ है।
दोनों पक्षों में $\cos$ लेने पर: $\cos(y \sqrt{a^2 - b^2}) = \frac{a \cos(x - \alpha) + b}{a + b \cos(x - \alpha)}$।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$-\sqrt{a^2 - b^2} \sin(y \sqrt{a^2 - b^2}) \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{a \cos(x - \alpha) + b}{a + b \cos(x - \alpha)} \right)$।
भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करने पर,दाईं ओर का अवकलन $\frac{-(a^2 - b^2) \sin(x - \alpha)}{\theta^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$-\sqrt{a^2 - b^2} \sin(y \sqrt{a^2 - b^2}) \frac{dy}{dx} = \frac{-(a^2 - b^2) \sin(x - \alpha)}{\theta^2}$।
सरल करने पर,$\sin(y \sqrt{a^2 - b^2}) \frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{a^2 - b^2} \sin(x - \alpha)}{\theta^2}$।
चूंकि $\sin(y \sqrt{a^2 - b^2}) = \frac{\sqrt{a^2 - b^2} \sin(x - \alpha)}{\theta}$ है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर: $\left( \frac{\sqrt{a^2 - b^2} \sin(x - \alpha)}{\theta} \right) \frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{a^2 - b^2} \sin(x - \alpha)}{\theta^2}$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\theta} = \frac{1}{a + b \cos(x - \alpha)}$।

(D) माना $t = \frac{2x + 3}{3 - 2x}$. तब $y = f(t)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) के अनुसार,$\frac{dy}{dx} = f'(t) \cdot \frac{dt}{dx}$.
दिया है $f'(x) = \sin(\log x)$,इसलिए $f'(t) = \sin(\log t) = \sin\left(\log \frac{2x + 3}{3 - 2x}\right)$.
अब,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $\frac{dt}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dt}{dx} = \frac{(3 - 2x)(2) - (2x + 3)(-2)}{(3 - 2x)^2} = \frac{6 - 4x + 4x + 6}{(3 - 2x)^2} = \frac{12}{(3 - 2x)^2}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \sin\left(\log \frac{2x + 3}{3 - 2x}\right) \cdot \frac{12}{(3 - 2x)^2}$.
यह परिणाम दिए गए विकल्पों में से किसी से मेल नहीं खाता है। अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(B) माना ${y_1} = {\sec ^{ - 1}}\left( \frac{1}{{2{x^2} - 1}} \right)$ और ${y_2} = \sqrt {1 - {x^2}} $ है।
$x = \cos \theta$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,${y_1} = {\sec ^{ - 1}}\left( \frac{1}{{2\cos^2 \theta - 1}} \right) = {\sec ^{ - 1}}(\sec 2\theta) = 2\theta = 2\cos^{-1}x$ प्राप्त होता है।
अब,${y_1}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{{d{y_1}}}{{dx}} = 2 \times \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) = -\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}$।
${y_2}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{{d{y_2}}}{{dx}} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \times (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$।
अतः,अवकल गुणांक $\frac{{d{y_1}}}{{d{y_2}}} = \frac{d{y_1}/dx}{d{y_2}/dx} = \frac{-2/\sqrt{1-x^2}}{-x/\sqrt{1-x^2}} = \frac{2}{x}$ होगा।
$x = \frac{1}{2}$ पर,$\frac{{d{y_1}}}{{d{y_2}}} = \frac{2}{1/2} = 4$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए $L = \lim_{x \rightarrow 1} \int_{4}^{f(x)} \frac{2t \, dt}{x - 1}$ है।
चूंकि $f(1) = 4$,जैसे ही $x \rightarrow 1$,समाकलन $\int_{4}^{4} \frac{2t \, dt}{0}$ हो जाता है,जो $\frac{0}{0}$ प्रकार का एक अनिर्धारित रूप है।
हम एल-हॉस्पिटल नियम और लाइबनिज समाकलन नियम लागू करते हैं:
$L = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\frac{d}{dx} \int_{4}^{f(x)} 2t \, dt}{\frac{d}{dx} (x - 1)}$
लाइबनिज नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx} \int_{4}^{f(x)} 2t \, dt = 2f(x) \cdot f'(x)$ है।
अतः,$L = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{2f(x) \cdot f'(x)}{1}$ है।
$x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $L = 2f(1) \cdot f'(1)$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $f(1) = 4$,इसलिए $L = 2(4) \cdot f'(1) = 8f'(1)$ है।

(C) मान लीजिए $L = \lim_{x \to 2} \int_{2}^{f(x)} \frac{4t^3}{x - 2} dt$ है।
चूंकि $f(2) = 2$,जब $x \to 2$ होता है,तो समाकलन $\int_{2}^{2} \frac{4t^3}{0} dt$ बन जाता है,जो $\frac{0}{0}$ प्रकार का एक अनिर्धारित रूप है।
हम लेबनीज नियम और एल'हॉपिटल नियम का उपयोग करते हैं:
$L = \lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{dx} \int_{2}^{f(x)} 4t^3 dt}{\frac{d}{dx} (x - 2)}$.
लेबनीज नियम के अनुसार: $\frac{d}{dx} \int_{2}^{f(x)} 4t^3 dt = 4(f(x))^3 \cdot f'(x)$.
हर में $\frac{d}{dx} (x - 2) = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$L = \lim_{x \to 2} \frac{4(f(x))^3 \cdot f'(x)}{1}$.
$x = 2$ रखने पर: $L = 4(f(2))^3 \cdot f'(2)$.
दिया गया है कि $f(2) = 2$,इसलिए $L = 4(2)^3 \cdot f'(2) = 4(8) \cdot f'(2) = 32 f'(2)$.

(C) दिया गया है $y = \sin^{-1}(\frac{2x}{1 + x^2})$.
माना $x = \tan \theta$,तब $\theta = \tan^{-1} x$.
जब $x = -2$,तब $\theta = \tan^{-1}(-2)$.
व्यंजक $y = \sin^{-1}(\frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}) = \sin^{-1}(\sin 2\theta) = -\pi - 2\theta$ हो जाता है (क्योंकि $2\theta$ अंतराल $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$ में है)।
अतः $y = -\pi - 2\tan^{-1} x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{1 + x^2}$.
$x = -2$ पर:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x = -2} = -\frac{2}{1 + (-2)^2} = -\frac{2}{1 + 4} = -\frac{2}{5}$.

(A) माना $u = \sec^{-1}\left( \frac{1}{2x^2 - 1} \right) = \cos^{-1}(2x^2 - 1)$.
$x = \cos \theta$ रखने पर,$u = \cos^{-1}(2\cos^2 \theta - 1) = \cos^{-1}(\cos 2\theta) = 2\theta = 2\cos^{-1} x$.
अतः,$\frac{du}{dx} = 2 \times \left( -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \right) = -\frac{2}{\sqrt{1 - x^2}}$.
माना $v = \sqrt{1 - x^2}$.
तब $\frac{dv}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} \times (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$.
अब,$\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{-2/\sqrt{1 - x^2}}{-x/\sqrt{1 - x^2}} = \frac{2}{x}$.
$x = \frac{1}{2}$ पर,$\frac{du}{dv} = \frac{2}{1/2} = 4$.

(D) माना $L = \lim_{x \to 2} \frac{f(4) - f(x^2)}{2 - x}$ है।
चूंकि $x \to 2$ पर सीमा $\frac{0}{0}$ के रूप में है,इसलिए हम $L$'$H$ôpital नियम का उपयोग करेंगे।
अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$L = \lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{dx}(f(4) - f(x^2))}{\frac{d}{dx}(2 - x)}$
$L = \lim_{x \to 2} \frac{0 - f'(x^2) \cdot (2x)}{-1}$
$L = \lim_{x \to 2} (2x \cdot f'(x^2))$
$x = 2$ रखने पर:
$L = 2(2) \cdot f'(2^2) = 4 \cdot f'(4)$
दिया गया है कि $f'(4) = 5$,इसलिए:
$L = 4 \cdot 5 = 20$.

(B) श्रेणी का सामान्य पद $T_r = \tan^{-1}\left(\frac{1}{x^2 + (2r-1)x + (r^2-r+1)}\right)$ है।
हम तर्क को $\frac{(x+r) - (x+r-1)}{1 + (x+r)(x+r-1)}$ के रूप में लिख सकते हैं।
सूत्र $\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ का उपयोग करने पर,हमें $T_r = \tan^{-1}(x+r) - \tan^{-1}(x+r-1)$ प्राप्त होता है।
$n$ पदों तक योग करने पर:
$y = \sum_{r=1}^{n} (\tan^{-1}(x+r) - \tan^{-1}(x+r-1)) = \tan^{-1}(x+n) - \tan^{-1}(x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\tan^{-1}(x+n)) - \frac{d}{dx}(\tan^{-1}(x)) = \frac{1}{1 + (x+n)^2} - \frac{1}{1 + x^2}$.

(B) माना $u = \tan^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ और $v = \sin^{-1} x$ है।
$x = \cos \theta$ प्रतिस्थापित करें,जहाँ $\theta = \cos^{-1} x$ है।
तब $\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}} = \sqrt{\frac{2\sin^2(\theta/2)}{2\cos^2(\theta/2)}} = \tan(\theta/2)$ होगा।
अतः,$u = \tan^{-1}(\tan(\theta/2)) = \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} \cos^{-1} x$ होगा।
चूँकि $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$,इसलिए $u = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} - v) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} v$ होगा।
अब,$u$ का $v$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{du}{dv} = \frac{d}{dv} (\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} v) = -\frac{1}{2}$।