Differentiation by substitution Questions in Hindi

(D) दिया गया है $y=\tan ^{-1}\left[\frac{\log \left(\frac{e}{x^2}\right)}{\log \left(ex^2\right)}\right]+\tan ^{-1}\left[\frac{3+2 \log x}{1-6 \log x}\right]$.
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए,$\log(e/x^2) = \log e - \log x^2 = 1 - 2\log x$ और $\log(ex^2) = \log e + \log x^2 = 1 + 2\log x$.
माना $u = 2\log x$. तब पहला पद $\tan^{-1}\left(\frac{1-u}{1+u}\right) = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(u) = \frac{\pi}{4} - \tan^{-1}(2\log x)$ होगा।
दूसरे पद के लिए,$\tan^{-1}\left[\frac{3+2 \log x}{1-6 \log x}\right] = \tan^{-1}(3) + \tan^{-1}(2\log x)$.
इन दोनों को जोड़ने पर,$y = \frac{\pi}{4} - \tan^{-1}(2\log x) + \tan^{-1}(3) + \tan^{-1}(2\log x) = \frac{\pi}{4} + \tan^{-1}(3)$.
चूंकि $y$ एक अचर पद है,इसलिए $\frac{dy}{dx} = 0$ और $\frac{d^2 y}{dx^2} = 0$ होगा।

(C) दिया गया है $y = \tan^{-1} \left[ \frac{x - \sqrt{1 - x^2}}{x + \sqrt{1 - x^2}} \right]$.
मान लीजिए $x = \cos \theta$,तो $\theta = \cos^{-1} x$.
$x = \cos \theta$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \tan^{-1} \left[ \frac{\cos \theta - \sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta} \right]$
अंश और हर को $\cos \theta$ से विभाजित करने पर:
$y = \tan^{-1} \left[ \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta} \right]$
सूत्र $\tan(\frac{\pi}{4} - \theta) = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1} \left[ \tan \left( \frac{\pi}{4} - \theta \right) \right] = \frac{\pi}{4} - \theta$
$\theta = \cos^{-1} x$ वापस रखने पर:
$y = \frac{\pi}{4} - \cos^{-1} x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\pi}{4} - \cos^{-1} x \right) = 0 - \left( -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \right) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.

(A) दिया गया है $f(x) = \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-x}{2}}\right)$.
विधि $1$: श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}\left[\sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-x}{2}}\right)\right] = \frac{1}{\sqrt{1-\left(\sqrt{\frac{1-x}{2}}\right)^{2}}} \cdot \frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{1-x}{2}}\right)$
$= \frac{1}{\sqrt{1-\frac{1-x}{2}}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{1-x}{2}}} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$
$= \frac{1}{\sqrt{\frac{1+x}{2}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{1-x}} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$
$= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{1-x}} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{-1}{2\sqrt{1-x^{2}}}$.
विधि $2$: प्रतिस्थापन (substitution) का उपयोग करके:
माना $x = \cos \theta$,तब $\sqrt{\frac{1-x}{2}} = \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}} = \sqrt{\frac{2\sin^{2}(\theta/2)}{2}} = \sin(\theta/2)$.
अतः,$f(x) = \sin^{-1}(\sin(\theta/2)) = \theta/2 = \frac{1}{2}\cos^{-1}(x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) = \frac{-1}{2\sqrt{1-x^{2}}}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(A) माना $x = \cos(2\theta)$,इसलिए $2\theta = \cos^{-1}(x)$ और $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1}(x)$.
तब $\sqrt{1+x} = \sqrt{1+\cos(2\theta)} = \sqrt{2\cos^2(\theta)} = \sqrt{2} \cos(\theta)$ और $\sqrt{1-x} = \sqrt{1-\cos(2\theta)} = \sqrt{2\sin^2(\theta)} = \sqrt{2} \sin(\theta)$.
इन मानों को $y$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \sin^{-1} \left[ \frac{\sqrt{2}\cos(\theta) + \sqrt{2}\sin(\theta)}{2} \right] = \sin^{-1} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \cos(\theta) + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(\theta) \right]$.
सर्वसमिका $\sin(\frac{\pi}{4} + \theta) = \sin(\frac{\pi}{4}) \cos(\theta) + \cos(\frac{\pi}{4}) \sin(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos(\theta) + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(\theta)$ का उपयोग करने पर.
अतः,$y = \sin^{-1} [\sin(\frac{\pi}{4} + \theta)] = \frac{\pi}{4} + \theta = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \cos^{-1}(x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 0 + \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) = -\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}$.

(A) दिया गया है $f(x) = \cos^{-1} \left( \frac{1 - (\log x)^2}{1 + (\log x)^2} \right)$.
माना $u = \log x$. तब व्यंजक $f(x) = \cos^{-1} \left( \frac{1 - u^2}{1 + u^2} \right)$ हो जाता है।
त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन $u = \tan \theta$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\cos^{-1} \left( \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) = \cos^{-1} (\cos 2\theta) = 2\theta = 2 \tan^{-1} u$.
अतः,$f(x) = 2 \tan^{-1} (\log x)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{1 + (\log x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{2}{1 + (\log x)^2} \cdot \frac{1}{x}$.
अब,$x = e$ पर मान ज्ञात करने पर:
$f'(e) = \frac{2}{1 + (\log e)^2} \cdot \frac{1}{e} = \frac{2}{1 + 1^2} \cdot \frac{1}{e} = \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{e} = \frac{1}{e}$.

(B) माना $y = \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\right)$ है।
$x = \cos 2\theta$ प्रतिस्थापित करने पर,जिससे $\theta = \frac{1}{2} \cos ^{-1} x$ प्राप्त होता है।
तब $y = \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\cos 2\theta}-\sqrt{1-\cos 2\theta}}{\sqrt{1+\cos 2\theta}+\sqrt{1-\cos 2\theta}}\right)$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1+\cos 2\theta = 2\cos^2\theta$ और $1-\cos 2\theta = 2\sin^2\theta$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}\cos\theta - \sqrt{2}\sin\theta}{\sqrt{2}\cos\theta + \sqrt{2}\sin\theta}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1-\tan\theta}{1+\tan\theta}\right)$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\tan(\frac{\pi}{4} - \theta) = \frac{1-\tan\theta}{1+\tan\theta}$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan ^{-1}\tan(\frac{\pi}{4} - \theta) = \frac{\pi}{4} - \theta = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cos ^{-1} x$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{2} \times \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \frac{1}{2 \sqrt{1-x^2}}$।

(B) $h(x) = f(g(x))$
$h(x) = f(\sin^{-1} x) = e^{\sin^{-1} x}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$h^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(e^{\sin^{-1} x}) = e^{\sin^{-1} x} \cdot \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)$
$h^{\prime}(x) = e^{\sin^{-1} x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
अब,अनुपात $\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)}$ की गणना करने पर:
$\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)} = \frac{e^{\sin^{-1} x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{e^{\sin^{-1} x}}$
$\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

(B) माना $u = \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)$ है। $x = \tan \theta$ रखने पर,$u = \tan ^{-1}\left(\frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}\right) = \tan ^{-1}\left(\tan \frac{\theta}{2}\right) = \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} \tan ^{-1} x$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2(1+x^2)}$।
माना $v = \tan ^{-1}\left(\frac{2 x \sqrt{1-x^2}}{1-2 x^2}\right)$ है। $x = \sin \phi$ रखने पर,$v = \tan ^{-1}\left(\frac{2 \sin \phi \cos \phi}{1-2 \sin^2 \phi}\right) = \tan ^{-1}(\tan 2\phi) = 2\phi = 2 \sin ^{-1} x$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dv}{dx} = \frac{2}{\sqrt{1-x^2}}$।
हमें $\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{1}{2(1+x^2)} \times \frac{\sqrt{1-x^2}}{2} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{4(1+x^2)}$ ज्ञात करना है।
$x=0$ पर,$\frac{du}{dv} = \frac{\sqrt{1-0}}{4(1+0)} = \frac{1}{4}$।

(D) दिया गया है $y = \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}\right)$.
सर्वसमिकाओं $1+\sin x = \left(\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}\right)^2$ और $1-\sin x = \left(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}\right)^2$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{(\cos(x/2) + \sin(x/2))^2}{(\cos(x/2) - \sin(x/2))^2}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\cos(x/2) + \sin(x/2)}{\cos(x/2) - \sin(x/2)}\right)$.
अंश और हर को $\cos(x/2)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = \tan^{-1}\left(\frac{1 + \tan(x/2)}{1 - \tan(x/2)}\right) = \tan^{-1}\left(\tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right)\right)$.
चूंकि $0 \leqslant x < \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\frac{\pi}{4} \leqslant \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2}$,अतः $y = \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$y' = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$y'\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.

(A) दिया गया है $y = \tan^{-1}(\sec x + \tan x)$.
हम प्रतिलोम स्पर्शज्या (inverse tangent) फलन के अंदर के व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1 + \sin x}{\cos x}\right)$.
अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं $\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$,$\cos x = \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}$,और $1 = \cos^2\frac{x}{2} + \sin^2\frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1}\left[\frac{\cos^2\frac{x}{2} + \sin^2\frac{x}{2} + 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}}\right]$
$y = \tan^{-1}\left[\frac{(\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2})^2}{(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2})(\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2})}\right]$
$y = \tan^{-1}\left[\frac{\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}}\right]$
अंश और हर को $\cos\frac{x}{2}$ से विभाजित करने पर:
$y = \tan^{-1}\left(\frac{1 + \tan\frac{x}{2}}{1 - \tan\frac{x}{2}}\right) = \tan^{-1}\left(\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})\right)$
$y = \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

(A) दिया गया है $u=\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{x}\right)$.
माना $x=\tan \theta$,तो $\theta=\tan ^{-1} x$.
$u=\tan ^{-1}\left(\frac{\sec \theta-1}{\tan \theta}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{2 \sin ^{2}(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)}\right) = \tan ^{-1}(\tan(\theta/2)) = \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} \tan ^{-1} x$.
अतः,$\frac{d u}{d x} = \frac{1}{2(1+x^{2})}$.
दिया गया है $v=\tan ^{-1}\left(\frac{2 x \sqrt{1-x^{2}}}{1-2 x^{2}}\right)$.
माना $x=\sin \theta$,तो $\theta=\sin ^{-1} x$.
$v=\tan ^{-1}\left(\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{1-2 \sin ^{2} \theta}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{\sin 2 \theta}{\cos 2 \theta}\right) = \tan ^{-1}(\tan 2 \theta) = 2 \theta = 2 \sin ^{-1} x$.
अतः,$\frac{d v}{d x} = \frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}}$.
तब $\frac{d u}{d v} = \frac{d u/d x}{d v/d x} = \frac{1}{2(1+x^{2})} \times \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{2} = \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{4(1+x^{2})}$.
$x=0$ पर,$\frac{d u}{d v} = \frac{\sqrt{1-0}}{4(1+0)} = \frac{1}{4}$.

(C) दिया गया है,$y = \tan^{-1} \left( \frac{1 - \cos 3x}{\sin 3x} \right)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \left( \frac{\theta}{2} \right)$ और $\sin \theta = 2 \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) \cos \left( \frac{\theta}{2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1} \left( \frac{2 \sin^2 \left( \frac{3x}{2} \right)}{2 \sin \left( \frac{3x}{2} \right) \cos \left( \frac{3x}{2} \right)} \right)$
$y = \tan^{-1} \left( \frac{\sin \left( \frac{3x}{2} \right)}{\cos \left( \frac{3x}{2} \right)} \right)$
$y = \tan^{-1} \left( \tan \left( \frac{3x}{2} \right) \right)$
$y = \frac{3x}{2}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{3x}{2} \right) = \frac{3}{2}$.

(A) दिया गया है $y=\tan ^{-1}\left(\frac{\sin 2 x}{1+\cos 2 x}\right)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ और $1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1}\left(\frac{2 \sin x \cos x}{2 \cos^2 x}\right)$
$y = \tan^{-1}(\tan x)$
$y = x$
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) = 1$.

(A) माना $y = \tan^{-1} \left( \frac{1-x}{1+x} \right)$.
हम जानते हैं कि $\tan^{-1} \left( \frac{a-b}{1+ab} \right) = \tan^{-1} a - \tan^{-1} b$.
यहाँ,$a = 1$ और $b = x$ है,इसलिए $y = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(x)$.
चूँकि $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $y = \frac{\pi}{4} - \tan^{-1}(x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\pi}{4} \right) - \frac{d}{dx} \left( \tan^{-1} x \right)$.
$\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{1+x^2} = \frac{-1}{1+x^2}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(C) माना $u = \tan^{-1} x$ और $v = \cot^{-1} x$ है।
हम जानते हैं कि सभी $x \in R$ के लिए $\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
अतः,$u + v = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है कि $u = \frac{\pi}{2} - v$ है।
अब,$u$ का $v$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{du}{dv} = \frac{d}{dv} (\frac{\pi}{2} - v) = 0 - 1 = -1$।
इस प्रकार,$\tan^{-1} x$ का $\cot^{-1} x$ के सापेक्ष अवकलज $-1$ है।

(C) माना $y = \tan^{-1} \left( \frac{x}{1+6x^2} \right)$.
हम $\tan^{-1}$ के तर्क को $\frac{3x - 2x}{1 + (3x)(2x)}$ के रूप में लिख सकते हैं।
सूत्र $\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \tan^{-1} \left( \frac{A-B}{1+AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1}(3x) - \tan^{-1}(2x)$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\tan^{-1}(3x)) - \frac{d}{dx} (\tan^{-1}(2x))$.
श्रृंखला नियम (chain rule) $\frac{d}{dx} (\tan^{-1}(u)) = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dx}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(3x)^2} \cdot 3 - \frac{1}{1+(2x)^2} \cdot 2$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{1+9x^2} - \frac{2}{1+4x^2}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया है,$y = \tan^{-1}\left(\frac{\sin x + \cos x}{\cos x - \sin x}\right)$.
अंश और हर को $\cos x$ से विभाजित करने पर:
$y = \tan^{-1}\left(\frac{\tan x + 1}{1 - \tan x}\right)$.
सूत्र $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $A = \pi/4$ और $B = x$:
$y = \tan^{-1}\left(\tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right)\right) = \frac{\pi}{4} + x$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = 0 + 1 = 1$.

(B) दिया गया है,$f(x)=\cos ^{-1}\left\{\frac{2}{\sqrt{13}} \cos x-\frac{3}{\sqrt{13}} \sin x\right\}$.
मान लीजिए $\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{13}}$ और $\sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}$.
तब,$f(x)=\cos ^{-1}(\cos \alpha \cos x - \sin \alpha \sin x)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = \cos ^{-1}(\cos(x+\alpha)) = x+\alpha$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(x+\alpha) = 1 + 0 = 1$.
अतः,$f^{\prime}(0.5) = 1$.

(A) माना $y = \cos ^{2}\left(\cot ^{-1} \sqrt{\frac{2+x}{2-x}}\right)$.
$x = 2 \cos \theta$ रखने पर,जिससे $\cos \theta = \frac{x}{2}$ प्राप्त होता है।
तब,$\sqrt{\frac{2+x}{2-x}} = \sqrt{\frac{2+2\cos \theta}{2-2\cos \theta}} = \sqrt{\frac{2(1+\cos \theta)}{2(1-\cos \theta)}} = \sqrt{\frac{2\cos^2(\theta/2)}{2\sin^2(\theta/2)}} = \cot(\theta/2)$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर,$y = \cos^2(\cot^{-1}(\cot(\theta/2))) = \cos^2(\theta/2)$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\cos^2(\theta/2) = \frac{1+\cos \theta}{2}$ का उपयोग करने पर,$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos \theta$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos \theta = \frac{x}{2}$,इसलिए $y = \frac{1}{2} + \frac{x}{4}$ होगा।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{1}{2} + \frac{x}{4}) = 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$।

(C) दिया गया है कि $u = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)$.
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $u = \sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta = 2\tan^{-1}x$.
अतः,$\frac{du}{dx} = \frac{2}{1+x^2}$.
दिया गया है कि $v = \tan^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$.
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $v = \tan^{-1}(\tan 2\theta) = 2\theta = 2\tan^{-1}x$.
अतः,$\frac{dv}{dx} = \frac{2}{1+x^2}$.
अब,$\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{2/(1+x^2)}{2/(1+x^2)} = 1$.

(B) माना $u = \tan ^{-1}\left(\frac{\sin x}{1+\cos x}\right)$ और $v = \tan ^{-1}\left(\frac{\cos x}{1+\sin x}\right)$.
$u$ के लिए:
$u = \tan ^{-1}\left(\frac{2 \sin(x/2) \cos(x/2)}{2 \cos^2(x/2)}\right) = \tan ^{-1}(\tan(x/2)) = x/2$.
अतः,$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2}$.
$v$ के लिए:
$v = \tan ^{-1}\left(\frac{\cos^2(x/2) - \sin^2(x/2)}{(\cos(x/2) + \sin(x/2))^2}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{(\cos(x/2) - \sin(x/2))(\cos(x/2) + \sin(x/2))}{(\cos(x/2) + \sin(x/2))^2}\right)$.
$v = \tan ^{-1}\left(\frac{\cos(x/2) - \sin(x/2)}{\cos(x/2) + \sin(x/2)}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1 - \tan(x/2)}{1 + \tan(x/2)}\right) = \tan ^{-1}\left(\tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}$.
अतः,$\frac{dv}{dx} = -\frac{1}{2}$.
अब,$\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{1/2}{-1/2} = -1$.

(A) दिया गया है $f(x) = \sin^{-1}\left[\frac{2 \cdot 2^x}{1 + (2^x)^2}\right]$.
मान लीजिए $2^x = \tan \theta$,तो $\theta = \tan^{-1}(2^x)$.
इसे फलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = \sin^{-1}\left[\frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}\right]$
सर्वसमिका $\sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta = 2 \tan^{-1}(2^x)$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{1 + (2^x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(2^x)$
$f'(x) = \frac{2}{1 + 4^x} \cdot 2^x \log_e 2$.
$x = 0$ पर मान ज्ञात करने पर:
$f'(0) = \frac{2}{1 + 4^0} \cdot 2^0 \log_e 2 = \frac{2}{1 + 1} \cdot 1 \cdot \log_e 2 = \frac{2}{2} \log_e 2 = \log_e 2$.

(B) हमें दिया गया है,$f(x)=\sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)$.
माना $x=\tan \theta$,तब $\theta=\tan ^{-1} x$.
इस मान को फलन में रखने पर,हमें प्राप्त होता है $f(x)=\sin ^{-1}\left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta}\right)$.
चूँकि $\sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta}$,इसलिए $f(x)=\sin ^{-1}(\sin 2 \theta) = 2 \theta = 2 \tan ^{-1} x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f^{\prime}(x) = \frac{2}{1+x^{2}}$ प्राप्त होता है।
अब $x=\sqrt{3}$ रखने पर,$f^{\prime}(\sqrt{3}) = \frac{2}{1+(\sqrt{3})^{2}} = \frac{2}{1+3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

(D) दिया गया है $y = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$.
हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2\operatorname{Tan}^{-1}(x) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$ होती है,जहाँ $|x| < 1$ है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y = 2\operatorname{Tan}^{-1}(x)$ प्राप्त होता है।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2 \times \frac{1}{1+x^2} = \frac{2}{1+x^2}$.
अवकलज में $x = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=\frac{1}{2}} = \frac{2}{1 + (\frac{1}{2})^2} = \frac{2}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{2}{\frac{5}{4}} = \frac{8}{5}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया है $y = \operatorname{Tanh}^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$.
माना $x = \cos \theta$,तब $\theta = \cos^{-1} x$.
तब $\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}} = \sqrt{\frac{2 \sin^2 (\theta/2)}{2 \cos^2 (\theta/2)}} = \tan(\theta/2)$.
अतः,$y = \operatorname{Tanh}^{-1} (\tan(\theta/2))$.
सर्वसमिका $\operatorname{Tanh}^{-1} z = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+z}{1-z} \right)$ का उपयोग करने पर:
$y = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+\tan(\theta/2)}{1-\tan(\theta/2)} \right) = \frac{1}{2} \ln \left( \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) \right) = \frac{1}{2} \left( \ln \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\cos^{-1} x}{2} \right) \right)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2})} \cdot \sec^2(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx}(\cos^{-1} x)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}) \cos(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2})} \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 \sin(\frac{\pi}{2} + \theta)} \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) = \frac{1}{2 \cos \theta} \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) = -\frac{1}{2x \sqrt{1-x^2}}$.

(B) हम जानते हैं कि $\operatorname{Tan}^{-1}(a) - \operatorname{Tan}^{-1}(b) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{a-b}{1+ab}\right)$ होता है।
हम पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{1+2x^2}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{2x-x}{1+(2x)(x)}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}(2x) - \operatorname{Tan}^{-1}(x)$.
$\operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{1+6x^2}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{3x-2x}{1+(3x)(2x)}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}(3x) - \operatorname{Tan}^{-1}(2x)$.
इन मानों को $y$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = (\operatorname{Tan}^{-1}(2x) - \operatorname{Tan}^{-1}(x)) + (\operatorname{Tan}^{-1}(3x) - \operatorname{Tan}^{-1}(2x)) = \operatorname{Tan}^{-1}(3x) - \operatorname{Tan}^{-1}(x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\operatorname{Tan}^{-1}(3x)) - \frac{d}{dx}(\operatorname{Tan}^{-1}(x)) = \frac{3}{1+(3x)^2} - \frac{1}{1+x^2} = \frac{3}{9x^2+1} - \frac{1}{x^2+1}$.

(B) माना $u = \sqrt{x^2-1}$ है। तो $y = \operatorname{Tan}^{-1}(u) + \operatorname{Sinh}^{-1}(u)$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ है।
सबसे पहले,$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(\operatorname{Tan}^{-1} u) + \frac{d}{du}(\operatorname{Sinh}^{-1} u) = \frac{1}{1+u^2} + \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}$ है।
$u^2 = x^2-1$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dy}{du} = \frac{1}{1+(x^2-1)} + \frac{1}{\sqrt{1+(x^2-1)}} = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} = \frac{1+x}{x^2}$ है।
अब,$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sqrt{x^2-1}) = \frac{1}{2\sqrt{x^2-1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$ है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \left(\frac{1+x}{x^2}\right) \cdot \left(\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\right) = \frac{1+x}{x \sqrt{x^2-1}}$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया है,$y=\tan ^{-1}\left(\frac{2-3 \sin x}{3-2 \sin x}\right)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{d y}{d x}=\frac{1}{1+\left(\frac{2-3 \sin x}{3-2 \sin x}\right)^2} \times \frac{d}{d x}\left(\frac{2-3 \sin x}{3-2 \sin x}\right)$.
हर (denominator) को सरल करने पर: $1+\left(\frac{2-3 \sin x}{3-2 \sin x}\right)^2 = \frac{(3-2 \sin x)^2 + (2-3 \sin x)^2}{(3-2 \sin x)^2} = \frac{9+4 \sin^2 x - 12 \sin x + 4 + 9 \sin^2 x - 12 \sin x}{(3-2 \sin x)^2} = \frac{13 \sin^2 x - 24 \sin x + 13}{(3-2 \sin x)^2}$.
अब,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके आंतरिक फलन का अवकलन करने पर: $\frac{d}{d x}\left(\frac{2-3 \sin x}{3-2 \sin x}\right) = \frac{(3-2 \sin x)(-3 \cos x) - (2-3 \sin x)(-2 \cos x)}{(3-2 \sin x)^2}$.
$= \frac{-9 \cos x + 6 \sin x \cos x + 4 \cos x - 6 \sin x \cos x}{(3-2 \sin x)^2} = \frac{-5 \cos x}{(3-2 \sin x)^2}$.
इन दोनों को संयोजित करने पर,$\frac{d y}{d x} = \frac{(3-2 \sin x)^2}{13 \sin^2 x - 24 \sin x + 13} \times \frac{-5 \cos x}{(3-2 \sin x)^2} = \frac{-5 \cos x}{13 \sin^2 x - 24 \sin x + 13}$.

(C) दिया गया है कि $y = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 - x^2}}{\sqrt{1 + x^2} - \sqrt{1 - x^2}} \right)$.
माना $x^2 = \cos 2\theta$,तब $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} (x^2)$.
$x^2 = \cos 2\theta$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1 + \cos 2\theta} + \sqrt{1 - \cos 2\theta}}{\sqrt{1 + \cos 2\theta} - \sqrt{1 - \cos 2\theta}} \right)$.
सर्वसमिकाओं $1 + \cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta$ और $1 - \cos 2\theta = 2 \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{2} \cos \theta + \sqrt{2} \sin \theta}{\sqrt{2} \cos \theta - \sqrt{2} \sin \theta} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{\cos \theta + \sin \theta}{\cos \theta - \sin \theta} \right)$.
अंश और हर को $\cos \theta$ से विभाजित करने पर:
$y = \tan^{-1} \left( \frac{1 + \tan \theta}{1 - \tan \theta} \right) = \tan^{-1} \left( \tan \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) \right) = \frac{\pi}{4} + \theta$.
$\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} (x^2)$ रखने पर:
$y = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \cos^{-1} (x^2)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 0 + \frac{1}{2} \left( \frac{-1}{\sqrt{1 - (x^2)^2}} \right) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = \frac{1}{2} \left( \frac{-1}{\sqrt{1 - x^4}} \right) \cdot 2x = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^4}}$.

(B) माना $y = \sin^2 \left( \cot^{-1} \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}} \right)$.
$x = \cos 2\theta$ प्रतिस्थापित करने पर,अतः $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} x$.
तब $\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}} = \sqrt{\frac{1 + \cos 2\theta}{1 - \cos 2\theta}} = \sqrt{\frac{2 \cos^2 \theta}{2 \sin^2 \theta}} = \cot \theta$.
अतः,$y = \sin^2 \left( \cot^{-1} (\cot \theta) \right) = \sin^2 \theta$.
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $y = \frac{1 - x}{2} = \frac{1}{2} - \frac{x}{2}$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} - \frac{x}{2} \right) = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.

(C) दिया गया है $y = \tan^{-1}\left(\frac{a \cos x - b \sin x}{b \cos x + a \sin x}\right)$.
अंश और हर को $b \cos x$ से विभाजित करने पर:
$y = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{a}{b} - \tan x}{1 + \frac{a}{b} \tan x}\right)$.
माना $\frac{a}{b} = \tan \theta$,जहाँ $\theta = \tan^{-1}(\frac{a}{b})$.
तब $y = \tan^{-1}\left(\frac{\tan \theta - \tan x}{1 + \tan \theta \tan x}\right)$.
सूत्र $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1}(\tan(\theta - x)) = \theta - x$.
चूंकि $\theta = \tan^{-1}(\frac{a}{b})$ एक स्थिरांक है,इसलिए इसका अवकलन $0$ होगा।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\theta - x) = 0 - 1 = -1$.

(A) दिया गया है $y = \sin^{-1}(x \sqrt{1-x^2} - \sqrt{x} \sqrt{1-x})$.
मान लीजिए $x = \sin \alpha$ और $\sqrt{x} = \sin \beta$. तब $\sqrt{1-x^2} = \cos \alpha$ और $\sqrt{1-x} = \cos \beta$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर,$y = \sin^{-1}(\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta)$.
सर्वसमिका $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$ का उपयोग करने पर,$y = \sin^{-1}(\sin(\alpha - \beta)) = \alpha - \beta$.
अतः,$y = \sin^{-1} x - \sin^{-1} \sqrt{x}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) - \frac{d}{dx}(\sin^{-1} \sqrt{x})$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x})$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{2\sqrt{x-x^2}}$.

(C) माना $y = \tan ^{-1}\left(\frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}\right)$ और $u = \sec ^{-1}\left(\frac{1}{2 x^2-1}\right)$.
$x = \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$\sqrt{1-x^2} = \cos \theta$ प्राप्त होता है।
$y = \tan ^{-1}\left(\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)}{2 \cos^2(\theta/2)}\right) = \tan ^{-1}(\tan(\theta/2)) = \frac{\theta}{2}$.
अब,$u = \sec ^{-1}\left(\frac{1}{2 \sin^2 \theta - 1}\right) = \sec ^{-1}\left(\frac{1}{-(1-2 \sin^2 \theta)}\right) = \sec ^{-1}\left(\frac{1}{-\cos 2 \theta}\right) = \sec ^{-1}(-\sec 2 \theta) = \sec ^{-1}(\sec(\pi - 2 \theta)) = \pi - 2 \theta$.
चूँकि $x = \sin \theta$,इसलिए $\theta = \sin^{-1} x$.
अतः,$y = \frac{1}{2} \sin^{-1} x$ और $u = \pi - 2 \sin^{-1} x$.
अब $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 \sqrt{1-x^2}}$ और $\frac{du}{dx} = \frac{-2}{\sqrt{1-x^2}}$.
इसलिए,$\frac{dy}{du} = \frac{dy/dx}{du/dx} = \frac{1/(2 \sqrt{1-x^2})}{-2/\sqrt{1-x^2}} = -\frac{1}{4}$.

(C) माना $y = \cos ^{-1}\left(\frac{4 x^3}{27}-x\right)$.
हम व्यंजक को $y = \cos ^{-1}\left(4\left(\frac{x}{3}\right)^3 - 3\left(\frac{x}{3}\right)\right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $\frac{x}{3} = \cos A$,तो $A = \cos ^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)$.
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y = \cos ^{-1}(4 \cos ^3 A - 3 \cos A)$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(3A) = 4 \cos ^3 A - 3 \cos A$ का उपयोग करते हुए,$y = \cos ^{-1}(\cos 3A) = 3A$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = 3 \cos ^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 3 \times \left(-\frac{1}{\sqrt{1 - (x/3)^2}}\right) \times \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{3}\right)$.
$\frac{dy}{dx} = 3 \times \left(-\frac{1}{\sqrt{(9-x^2)/9}}\right) \times \frac{1}{3} = 3 \times \left(-\frac{3}{\sqrt{9-x^2}}\right) \times \frac{1}{3} = -\frac{3}{\sqrt{9-x^2}}$.

(D) दिया गया है कि $y = \tan^{-1} \left[ \frac{\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - \sin x}}{\sqrt{1 + \sin x} - \sqrt{1 - \sin x}} \right]$.
हम जानते हैं कि $1 + \sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$ और $1 - \sin x = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2$.
अतः,$\sqrt{1 + \sin x} = |\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}|$ और $\sqrt{1 - \sin x} = |\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}|$.
इन मानों को $y$ के समीकरण में रखने पर:
$y = \tan^{-1} \left[ \frac{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}) + (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})}{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}) - (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})} \right]$ (मान लीजिए $0 < x < \frac{\pi}{2}$).
$y = \tan^{-1} \left( \frac{2 \cos \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2}} \right) = \tan^{-1} (\cot \frac{x}{2}) = \tan^{-1} \left( \tan (\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}) \right) = \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}) = -\frac{1}{2}$.
$x$ के अंतराल के आधार पर,अवकलन $\pm \frac{1}{2}$ हो सकता है।
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(B) दिया गया है,$y=\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)$.
माना $x=\tan \theta$,तो $\theta = \tan ^{-1} x$.
व्यंजक में $x$ का मान रखने पर:
$y = \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\tan ^2 \theta}-1}{\tan \theta}\right)$
$y = \tan ^{-1}\left(\frac{\sec \theta-1}{\tan \theta}\right)$
$y = \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{1}{\cos \theta}-1}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}\right)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1-\cos \theta = 2\sin ^2(\theta/2)$ और $\sin \theta = 2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan ^{-1}\left(\frac{2\sin ^2(\theta/2)}{2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}\right) = \tan ^{-1}(\tan(\theta/2)) = \theta/2$.
चूंकि $\theta = \tan ^{-1} x$,इसलिए $y = \frac{1}{2} \tan ^{-1} x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{2(1+x^2)}$.
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(D) $y = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{2}\right)$
माना $x = \cos 2\theta$,तब $2\theta = \cos^{-1} x$ या $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} x$।
व्यंजक में $x$ का मान रखने पर:
$y = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\cos 2\theta} - \sqrt{1-\cos 2\theta}}{2}\right)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1+\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta$ और $1-\cos 2\theta = 2\sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$y = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}\cos \theta - \sqrt{2}\sin \theta}{2}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{\cos \theta - \sin \theta}{\sqrt{2}}\right)$
$y = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \theta - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin \theta\right)$
$y = \sin^{-1}\left(\sin \frac{\pi}{4} \cos \theta - \cos \frac{\pi}{4} \sin \theta\right)$
$y = \sin^{-1}\left(\sin\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right)\right) = \frac{\pi}{4} - \theta$
$\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} x$ रखने पर:
$y = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cos^{-1} x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}$
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(B) दिया गया है $y = \tan^{-1} \left( \frac{5x - x}{1 + 5x^2} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{2/3 + x}{1 - (2/3)x} \right)$.
सूत्र $\tan^{-1} a - \tan^{-1} b = \tan^{-1} \left( \frac{a - b}{1 + ab} \right)$ का उपयोग करने पर,पहला पद $\tan^{-1}(5x) - \tan^{-1}(x)$ है।
सूत्र $\tan^{-1} a + \tan^{-1} b = \tan^{-1} \left( \frac{a + b}{1 - ab} \right)$ का उपयोग करने पर,दूसरा पद $\tan^{-1}(2/3) + \tan^{-1}(x)$ है।
अतः,$y = \tan^{-1}(5x) - \tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(2/3) + \tan^{-1}(x) = \tan^{-1}(5x) + \tan^{-1}(2/3)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\tan^{-1}(5x)) + \frac{d}{dx} (\tan^{-1}(2/3))$.
चूंकि $\tan^{-1}(2/3)$ एक स्थिरांक है,इसका अवकलज $0$ है।
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (5x)^2} \times \frac{d}{dx}(5x) + 0 = \frac{5}{1 + 25x^2}$.

(A) माना $y = \sin^{-1} \left( \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} + \frac{4}{5} \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right)$ है।
माना $\cos \alpha = \frac{3}{5}$,तो $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ होगा।
साथ ही,माना $\sin \theta = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$,तो $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$y = \sin^{-1} (\cos \alpha \cos \theta + \sin \alpha \sin \theta) = \sin^{-1} (\cos(\alpha - \theta)) = \sin^{-1} (\sin(\frac{\pi}{2} - (\alpha - \theta))) = \frac{\pi}{2} - \alpha + \theta$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\theta = \tan^{-1} x$ है,इसलिए $y = \frac{\pi}{2} - \alpha + \tan^{-1} x$ होगा।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 0 - 0 + \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1+x^2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,$f(x)=\cot ^{-1}\left(\frac{x^x-x^{-x}}{2}\right)$.
माना $y = \cot ^{-1}\left(\frac{x^{2x}-1}{2x^x}\right)$.
$x^x = \tan \theta$ रखने पर,$y = \cot ^{-1}\left(\frac{\tan^2 \theta - 1}{2 \tan \theta}\right)$.
चूँकि $\cot 2\theta = \frac{1-\tan^2 \theta}{2 \tan \theta}$,इसलिए $y = \cot ^{-1}(-\cot 2\theta)$.
गुणधर्म $\cot ^{-1}(-z) = \pi - \cot ^{-1}(z)$ का उपयोग करने पर,$y = \pi - \cot ^{-1}(\cot 2\theta) = \pi - 2\theta$.
$\theta = \tan ^{-1}(x^x)$ वापस रखने पर,$y = \pi - 2 \tan ^{-1}(x^x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -2 \cdot \frac{1}{1+(x^x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^x)$.
चूँकि $\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(1 + \ln x)$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x^x(1 + \ln x)}{1 + x^{2x}}$.
$x=1$ पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{2(1)^1(1 + \ln 1)}{1 + (1)^2} = -\frac{2(1)(1+0)}{2} = -1$.

(A) दिया गया फलन $f(x) = \cos^2 \left( \tan^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \right)$ है,जहाँ $-1 < x < 1$ है।
माना $x = \cos(2\theta)$,जहाँ $0 < 2\theta < \pi$,इसलिए $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ है।
तब,$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \sqrt{\frac{1-\cos(2\theta)}{1+\cos(2\theta)}} = \sqrt{\frac{2\sin^2\theta}{2\cos^2\theta}} = \tan\theta$।
इसे फलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(x) = \cos^2(\tan^{-1}(\tan\theta)) = \cos^2\theta$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\cos^2\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}$ का उपयोग करने पर,$f(x) = \frac{1+x}{2}$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} + \frac{x}{2} \right) = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $y = \cos^{-1} \left( \frac{b - a \cos x}{a - b \cos x} \right)$.
प्रतिस्थापन $\cos y = \frac{b - a \cos x}{a - b \cos x}$ का उपयोग करते हुए.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan \left( \frac{y}{2} \right) = \sqrt{\frac{1 - \cos y}{1 + \cos y}}$ का उपयोग करने पर:
$1 - \cos y = \frac{(a - b)(1 + \cos x)}{a - b \cos x}$ और $1 + \cos y = \frac{(a + b)(1 - \cos x)}{a - b \cos x}$.
अतः,$\tan^2 \left( \frac{y}{2} \right) = \frac{a - b}{a + b} \cot^2 \left( \frac{x}{2} \right)$.
इस प्रकार,$y = 2 \tan^{-1} \left( \sqrt{\frac{a - b}{a + b}} \cot \frac{x}{2} \right)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{-\sqrt{a^2 - b^2}}{a - b \cos x}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $x^2 = \cos(2\theta)$,जहाँ $2\theta \in (0, \pi)$,इसलिए $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$.
तब $\sqrt{1+x^2} = \sqrt{1+\cos(2\theta)} = \sqrt{2\cos^2\theta} = \sqrt{2}\cos\theta$ और $\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\cos(2\theta)} = \sqrt{2\sin^2\theta} = \sqrt{2}\sin\theta$.
इन मानों को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = \operatorname{Tan}^{-1} \left[ \frac{\sqrt{2}\cos\theta + \sqrt{2}\sin\theta}{\sqrt{2}\cos\theta - \sqrt{2}\sin\theta} \right] = \operatorname{Tan}^{-1} \left[ \frac{\cos\theta + \sin\theta}{\cos\theta - \sin\theta} \right] = \operatorname{Tan}^{-1} \left[ \frac{1 + \tan\theta}{1 - \tan\theta} \right] = \operatorname{Tan}^{-1} [\tan(\frac{\pi}{4} + \theta)] = \frac{\pi}{4} + \theta$.
$\theta$ का मान वापस रखने पर: $f(x) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{-1}{\sqrt{1-(x^2)^2}} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = \frac{-1}{2\sqrt{1-x^4}} \cdot 2x = \frac{-x}{\sqrt{1-x^4}}$.

(D) माना $x^2 = \cos(2\theta)$,इसलिए $2\theta = \cos^{-1}(x^2)$,जिसका अर्थ है $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$.
तब $\sqrt{1+x^2} = \sqrt{1+\cos(2\theta)} = \sqrt{2\cos^2(\theta)} = \sqrt{2}\cos(\theta)$ और $\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\cos(2\theta)} = \sqrt{2\sin^2(\theta)} = \sqrt{2}\sin(\theta)$.
इन मानों को $y$ के व्यंजक में रखने पर:
$y = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}\cos(\theta) + \sqrt{2}\sin(\theta)}{\sqrt{2}\cos(\theta) - \sqrt{2}\sin(\theta)}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{\cos(\theta) + \sin(\theta)}{\cos(\theta) - \sin(\theta)}\right)$.
अंश और हर को $\cos(\theta)$ से विभाजित करने पर:
$y = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{1 + \tan(\theta)}{1 - \tan(\theta)}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}(\tan(\frac{\pi}{4} + \theta)) = \frac{\pi}{4} + \theta$.
$\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$ रखने पर:
$y = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 0 + \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}}\right) \cdot (2x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^4}}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया है,$y = \tan^{-1} \left\{ \frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}} \right\} + \sin \left\{ 2 \tan^{-1} \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}} \right\}$.
माना $x = \cos 2\theta$,तब $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} x$.
$x = \cos 2\theta$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \tan^{-1} \left\{ \frac{\cos 2\theta}{1 + \sin 2\theta} \right\} + \sin \left\{ 2 \tan^{-1} \sqrt{\frac{1 - \cos 2\theta}{1 + \cos 2\theta}} \right\}$
$y = \tan^{-1} \left\{ \frac{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta}{(\cos \theta + \sin \theta)^2} \right\} + \sin \left\{ 2 \tan^{-1} (\tan \theta) \right\}$
$y = \tan^{-1} \left\{ \frac{\cos \theta - \sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta} \right\} + \sin 2\theta$
$y = \tan^{-1} \left\{ \tan \left( \frac{\pi}{4} - \theta \right) \right\} + \sin 2\theta$
$y = \frac{\pi}{4} - \theta + \sin 2\theta$
$\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} x$ और $\sin 2\theta = \sqrt{1 - x^2}$ रखने पर:
$y = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cos^{-1} x + \sqrt{1 - x^2}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \right) + \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} (-2x)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{1 - 2x}{2\sqrt{1 - x^2}}$.

(D) माना $u = \operatorname{Sec}^{-1}\left(\frac{1}{2x^2-1}\right)$ और $v = \sqrt{1-x^2}$ है।
सर्वसमिका $\operatorname{Sec}^{-1}(\frac{1}{z}) = \cos^{-1}(z)$ का उपयोग करने पर,हमें $u = \cos^{-1}(2x^2-1)$ प्राप्त होता है।
माना $x = \cos \theta$,तब $u = \cos^{-1}(2\cos^2 \theta - 1) = \cos^{-1}(\cos 2\theta) = 2\theta = 2\cos^{-1}x$ है।
अतः,$\frac{du}{dx} = 2 \times (-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) = -\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}$ है।
अब,$v = \sqrt{1-x^2}$ है,इसलिए $\frac{dv}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \times (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ है।
हमें $\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{-2/\sqrt{1-x^2}}{-x/\sqrt{1-x^2}} = \frac{2}{x}$ ज्ञात करना है।
$x = \frac{1}{2}$ पर,$\frac{du}{dv} = \frac{2}{1/2} = 4$ है।

(D) दिया गया है कि $px+my+n=0$ वक्र $y=f(x)$ पर $x=\alpha$ पर स्पर्श रेखा है।
स्पर्श रेखा $px+my+n=0$ की ढाल $m_t = -\frac{p}{m}$ है।
अतः,$f'(\alpha) = -\frac{p}{m}$।
अब,हमें $x=0$ पर $\frac{d}{dx} [f(\alpha e^{2x})]$ ज्ञात करना है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए:
$\frac{d}{dx} [f(\alpha e^{2x})] = f'(\alpha e^{2x}) \cdot \frac{d}{dx}(\alpha e^{2x}) = f'(\alpha e^{2x}) \cdot (2\alpha e^{2x})$।
$x=0$ पर,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$f'(\alpha e^0) \cdot (2\alpha e^0) = f'(\alpha) \cdot (2\alpha)$।
$f'(\alpha) = -\frac{p}{m}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(-\frac{p}{m}) \cdot (2\alpha) = -\frac{2p\alpha}{m}$।

(C) माना $\theta = \cos^{-1} \sqrt{\frac{1+x^2}{2}}$ है। तब $\cos \theta = \sqrt{\frac{1+x^2}{2}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\cos^2 \theta = \frac{1+x^2}{2}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta} - 1$ का उपयोग करने पर:
$y = \frac{1}{\cos^2 \theta} - 1 = \frac{1}{\frac{1+x^2}{2}} - 1 = \frac{2}{1+x^2} - 1 = \frac{2 - (1+x^2)}{1+x^2} = \frac{1-x^2}{1+x^2}$ प्राप्त होता है।
अब,भागफल नियम $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ का उपयोग करके $y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(1+x^2)(-2x) - (1-x^2)(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{-2x - 2x^3 - 2x + 2x^3}{(1+x^2)^2} = \frac{-4x}{(1+x^2)^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया है,$y=\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+a^2 x^2}-1}{a x}\right)$.
$ax = \tan \theta$ रखने पर,अतः $\theta = \tan ^{-1}(ax)$.
तब $y = \tan ^{-1}\left(\frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}\right) = \tan ^{-1}\left(\tan \frac{\theta}{2}\right) = \frac{\theta}{2}$.
अतः,$y = \frac{1}{2} \tan ^{-1}(ax)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$y^{\prime} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{1+a^2 x^2}$ प्राप्त होता है।
इससे $(1+a^2 x^2) y^{\prime} = \frac{a}{2}$ मिलता है।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$(1+a^2 x^2) y^{\prime \prime} + (2a^2 x) y^{\prime} = 0$ प्राप्त होता है।
इसे $(1+a^2 x^2) y^{\prime \prime} + g(x) y^{\prime} = 0$ से तुलना करने पर,$g(x) = 2a^2 x$ प्राप्त होता है।
समीकरण $1+a^2 x^2 + g(x) = 0$ का रूप $a^2 x^2 + 2a^2 x + 1 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के मूलों का योग $-\frac{B}{A}$ होता है।
यहाँ,मूलों का योग $-\frac{2a^2}{a^2} = -2$ है।