यदि f(x) = cot^{-1} left( frac{x^x - x^{-x}}{ | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \cot^{-1} \left( \frac{x^x - x^{-x}}{2} ight)$.माना $x^x = 	an 	heta$. तब $x^{-x} = \frac{1}{	an 	heta} = \cot 	heta$.इ

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$-1$

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(A) दिया गया है $f(x) = \cot^{-1} \left( \frac{x^x - x^{-x}}{2} ight)$.माना $x^x = 	an 	heta$. तब $x^{-x} = \frac{1}{	an 	heta} = \cot 	heta$.इसे $f(x)$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:$f(x) = \cot^{-1} \left( \frac{	an 	heta - \cot 	heta}{2} ight) = \cot^{-1} \left( \frac{	an^2 	heta - 1}{2 	an 	heta} ight)$.सर्वसमिका $\cot 2	heta = \frac{1 - 	an^2 	heta}{2 	an 	heta}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{	an^2 	heta - 1}{2 	an 	heta} = -\cot 2	heta$.अतः,$f(x) = \cot^{-1} (-\cot 2	heta) = \pi - \cot^{-1} (\cot 2	heta) = \pi - 2	heta$.चूंकि $	an 	heta = x^x$,इसलिए $	heta = 	an^{-1}(x^x)$.इस प्रकार,$f(x) = \pi - 2 	an^{-1}(x^x)$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$f'(x) = -2 \cdot \frac{1}{1 + (x^x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^x)$.हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(1 + \log x)$.अतः,$f'(x) = -2 \cdot \frac{x^x(1 + \log x)}{1 + x^{2x}}$.$x = 1$ पर,$f'(1) = -2 \cdot \frac{1^1(1 + \log 1)}{1 + 1^2} = -2 \cdot \frac{1(1 + 0)}{2} = -1$.

यदि $f(x) = \cot^{-1} \left( \frac{x^x - x^{-x}}{2} \right)$ है,तो $f'(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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