{sin ^{ - 1}}x के सापेक्ष {tan ^{ - 1}}left( | vedclass

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Question

(A) माना $y = {	an ^{ - 1}}\left( {\frac{x}{{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }}} ight)$ और $z = {\sin ^{ - 1}}x$ है। $x = \sin 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,ज

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$\frac{1}{2}$

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(A) माना $y = {	an ^{ - 1}}\left( {\frac{x}{{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }}} ight)$ और $z = {\sin ^{ - 1}}x$ है। $x = \sin 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,जहाँ $	heta = {\sin ^{ - 1}}x$ है। तब $y = {	an ^{ - 1}}\left( {\frac{{\sin 	heta }}{{1 + \cos 	heta }}} ight)$ होगा। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin 	heta = 2\sin \frac{	heta}{2} \cos \frac{	heta}{2}$ और $1 + \cos 	heta = 2\cos^2 \frac{	heta}{2}$ का उपयोग करने पर: $y = {	an ^{ - 1}}\left( {\frac{{2\sin \frac{	heta}{2} \cos \frac{	heta}{2}}}{{2\cos^2 \frac{	heta}{2}}}} ight) = {	an ^{ - 1}}\left( {	an \frac{	heta}{2}} ight) = \frac{	heta}{2}$. चूँकि $	heta = {\sin ^{ - 1}}x$ है,इसलिए $y = \frac{1}{2}{\sin ^{ - 1}}x$ प्राप्त होता है। अब,$z$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करने पर: $\frac{{dy}}{{dz}} = \frac{d}{{dz}}\left( {\frac{1}{2}z} ight) = \frac{1}{2}$. अतः,अवकल गुणांक $\frac{1}{2}$ है।

${\sin ^{ - 1}}x$ के सापेक्ष ${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{x}{{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }}} \right)$ का अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए।

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$\lim _{x}$ ${\rightarrow \frac{\pi}{2}} \left( \frac{\int_{x^3}^{(\pi / 2)^3} (\sin (2 t^{1 / 3}) + \cos (t^{1 / 3})) dt}{(x - \frac{\pi}{2})^2} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $\sqrt{1 - x^6} + \sqrt{1 - y^6} = a^3(x^3 - y^3)$ है,तो $\frac{dy}{dx} = $

$x$ के सापेक्ष फलन का अवकलन कीजिए: $\cot ^{-1}\left[\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}\right]$,जहाँ $0 < x < \frac{\pi}{2}$.

मान लीजिए $f : R \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है और $f(1) = 4$ है। तो $\lim_{x \rightarrow 1} \int_{4}^{f(x)} \frac{2t \, dt}{x - 1}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $y = \sin^{-1}(\frac{2x}{1 + x^2})$ है,तो $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x = -2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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