Derivative at a point, Standard differentiation Questions in Hindi

(B) दिया गया है $f(x) = 2x^6 + 3x^4 + 4x^2$।
सबसे पहले,हम जाँचते हैं कि $f(x)$ एक सम या विषम फलन है।
$f(-x) = 2(-x)^6 + 3(-x)^4 + 4(-x)^2 = 2x^6 + 3x^4 + 4x^2 = f(x)$।
चूँकि $f(-x) = f(x)$,इसलिए $f(x)$ एक सम फलन है।
अब,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^6 + 3x^4 + 4x^2) = 12x^5 + 12x^3 + 8x$।
यह जाँचने के लिए कि $f'(x)$ सम है या विषम,हम $f'(-x)$ का मान निकालते हैं:
$f'(-x) = 12(-x)^5 + 12(-x)^3 + 8(-x) = -12x^5 - 12x^3 - 8x = -(12x^5 + 12x^3 + 8x) = -f'(x)$।
चूँकि $f'(-x) = -f'(x)$,इसलिए $f'(x)$ एक विषम फलन है।

(B) फलन $f(x) = \frac{x}{1 + |x|}$ के रूप में परिभाषित है।
हम $x = 0$ पर बाएँ पक्ष का अवकलज और दाएँ पक्ष का अवकलज ज्ञात करते हैं।
$x < 0$ के लिए,$|x| = -x$,इसलिए $f(x) = \frac{x}{1 - x}$ है।
इसका अवकलज $f'(x) = \frac{(1-x)(1) - x(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2}$ है।
अतः,बाएँ पक्ष का अवकलज $f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{(1-x)^2} = 1$ है।
$x > 0$ के लिए,$|x| = x$,इसलिए $f(x) = \frac{x}{1 + x}$ है।
इसका अवकलज $f'(x) = \frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2} = \frac{1}{(1+x)^2}$ है।
अतः,दाएँ पक्ष का अवकलज $f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{(1+x)^2} = 1$ है।
चूँकि $f'(0^-) = f'(0^+) = 1$,इसलिए $f'(0) = 1$ है।

(A) दिया गया है कि $f(x)$,$x = 1$ पर अवकलनीय है,इसलिए अवकलज की परिभाषा के अनुसार $f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h}$ होता है।
हमें दिया गया है कि $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{f(1 + h)}{h} = 5$ है।
इस सीमा (limit) के अस्तित्व के लिए और परिमित होने के लिए,अंश $f(1 + h)$ को $h \to 0$ होने पर $0$ की ओर अग्रसर होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $f(1) = 0$ है।
अब $f(1) = 0$ को अवकलज की परिभाषा में रखने पर:
$f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - 0}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{f(1 + h)}{h} = 5$.

(D) दिया गया है कि $f(x+y) = f(x)f(y)$ और $f(x) = 1 + \sin(3x)g(x)$.
सबसे पहले,ध्यान दें कि $f(0) = f(0+0) = f(0)f(0)$,इसलिए $f(0) = 1$ (यह मानते हुए कि $f(x) \neq 0$).
अवकलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए:
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
$= \lim_{h \to 0} \frac{f(x)f(h) - f(x)}{h}$
$= f(x) \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h}$
चूंकि $f(h) = 1 + \sin(3h)g(h)$,इसलिए $f(h) - 1 = \sin(3h)g(h)$.
इस मान को सीमा में रखने पर:
$f'(x) = f(x) \lim_{h \to 0} \frac{\sin(3h)g(h)}{h}$
$= f(x) \lim_{h \to 0} \left( \frac{\sin(3h)}{3h} \times 3 \times g(h) \right)$
$= f(x) \times 1 \times 3 \times g(0) = 3f(x)g(0)$.
अतः,सही विकल्प $D$ है.

(D) हम जानते हैं कि अवकलज की परिभाषा $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ है।
चूँकि $f(x + y) = f(x) + f(y)$,इसलिए $f(x + h) = f(x) + f(h)$ है।
इसे अवकलज के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x) + f(h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $f(x) = x^2 g(x)$,इसलिए $f(h) = h^2 g(h)$ होगा।
अतः,$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 g(h)}{h} = \lim_{h \to 0} h \cdot g(h)$ होगा।
चूँकि $g(x)$ एक सतत फलन है,इसलिए $\lim_{h \to 0} g(h) = g(0)$ होगा।
अतः,$f'(x) = 0 \cdot g(0) = 0$ प्राप्त होता है।

(C) $x$ के सापेक्ष $\log(\log x)$ का अवकलन ज्ञात करने के लिए,हम श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हैं।
माना $y = \log(\log x)$ है।
श्रृंखला नियम लागू करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{d(\log x)} \log(\log x) \cdot \frac{d}{dx} \log x$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{d}{du} \log u = \frac{1}{u}$ और $\frac{d}{dx} \log x = \frac{1}{x}$,इसलिए:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \log x}$।
इसे $(x \log x)^{-1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया व्यंजक: $y = \left( \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \right)^2$
सर्वसमिका $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ का उपयोग करके विस्तार करने पर:
$y = (\sqrt{x})^2 + \left( \frac{1}{\sqrt{x}} \right)^2 + 2(\sqrt{x}) \left( \frac{1}{\sqrt{x}} \right)$
$y = x + \frac{1}{x} + 2$
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(x^{-1}) + \frac{d}{dx}(2)$
$\frac{dy}{dx} = 1 - x^{-2} + 0$
$\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{x^2}$
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(C) दिया गया है $y = x + \frac{1}{x}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(x^{-1})$
$\frac{dy}{dx} = 1 - x^{-2} = 1 - \frac{1}{x^2}$.
अब,व्यंजक $x^2 \frac{dy}{dx} - xy + 2$ पर विचार करें:
$\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{x^2}$ और $y = x + \frac{1}{x}$ का मान व्यंजक में रखने पर:
$= x^2 \left( 1 - \frac{1}{x^2} \right) - x \left( x + \frac{1}{x} \right) + 2$
$= (x^2 - 1) - (x^2 + 1) + 2$
$= x^2 - 1 - x^2 - 1 + 2$
$= 0$.
अतः,$x^2 \frac{dy}{dx} - xy + 2 = 0$ है।

(B) हमें $f(x) = \frac{1}{x^4 \sec x}$ का अवकलन ज्ञात करना है।
चूँकि $\frac{1}{\sec x} = \cos x$,हम फलन को $f(x) = \frac{\cos x}{x^4}$ के रूप में लिख सकते हैं।
भागफल नियम $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = \cos x$ और $v = x^4$ है:
$u' = -\sin x$ और $v' = 4x^3$ प्राप्त होता है।
इन मानों को भागफल नियम में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{\cos x}{x^4} \right) = \frac{x^4(-\sin x) - \cos x(4x^3)}{(x^4)^2}$
$= \frac{-x^4 \sin x - 4x^3 \cos x}{x^8}$
$= \frac{-x^3(x \sin x + 4 \cos x)}{x^8}$
$= \frac{-(x \sin x + 4 \cos x)}{x^5}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया व्यंजक $y = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!}$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(\frac{x^2}{2!}) + \dots + \frac{d}{dx}(\frac{x^n}{n!})$
चूंकि $\frac{d}{dx}(x^k) = k \cdot x^{k-1}$,इसलिए:
$\frac{dy}{dx} = 0 + 1 + \frac{2x}{2!} + \frac{3x^2}{3!} + \dots + \frac{nx^{n-1}}{n!}$
पदों को सरल करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$
अब,हम देख सकते हैं कि $y = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} + \frac{x^n}{n!}$ है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = y - \frac{x^n}{n!}$.

(A) दी गई श्रेणी $y = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \infty$ है।
हम जानते हैं कि चरघातांकी फलन का मैकलॉरिन श्रेणी विस्तार $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \infty$ होता है।
अतः,$y = e^x$ है।
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x$।
चूंकि $y = e^x$ है,इसलिए $\frac{dy}{dx} = y$ होगा।

(A) दिया गया समीकरण $y = \frac{1}{a - z}$ है।
$z$ के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$a - z = \frac{1}{y}$
$z = a - \frac{1}{y}$
अब,$z$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dz}{dy} = \frac{d}{dy}(a - \frac{1}{y})$
चूंकि अचर $a$ का अवकलन $0$ होता है और $-\frac{1}{y}$ का अवकलन $\frac{1}{y^2}$ होता है:
$\frac{dz}{dy} = 0 - (-1) \times y^{-2} = \frac{1}{y^2}$
अब $y = \frac{1}{a - z}$ का मान रखने पर:
$\frac{dz}{dy} = \frac{1}{(\frac{1}{a - z})^2} = (a - z)^2$
चूंकि $(a - z)^2 = (z - a)^2$,इसलिए अंतिम उत्तर $(z - a)^2$ है।

(A) मान लीजिए $y = x^2 e^x \sin x$ है। तीन फलनों के लिए गुणन नियम लागू करने पर,$\frac{d}{dx}(uvw) = u'vw + uv'w + uvw'$.
यहाँ,$u = x^2$,$v = e^x$,और $w = \sin x$ है।
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot e^x \sin x + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(e^x) \cdot \sin x + x^2 \cdot e^x \cdot \frac{d}{dx}(\sin x)$
$= 2x e^x \sin x + x^2 e^x \sin x + x^2 e^x \cos x$
$= x e^x (2 \sin x + x \sin x + x \cos x)$.

(C) $\cos((1 - x^2)^2)$ का अवकलन ज्ञात करने के लिए,हम श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करेंगे।
माना $y = \cos((1 - x^2)^2)$ है।
श्रृंखला नियम लागू करने पर: $\frac{dy}{dx} = -\sin((1 - x^2)^2) \cdot \frac{d}{dx}((1 - x^2)^2)$।
अब,घात नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करके $(1 - x^2)^2$ का अवकलन करें:
$\frac{d}{dx}((1 - x^2)^2) = 2(1 - x^2) \cdot \frac{d}{dx}(1 - x^2) = 2(1 - x^2) \cdot (-2x) = -4x(1 - x^2)$।
इस मान को वापस व्यंजक में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\sin((1 - x^2)^2) \cdot (-4x(1 - x^2)) = 4x(1 - x^2)\sin((1 - x^2)^2)$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) $x^2 \sin \frac{1}{x}$ का अवकलन ज्ञात करने के लिए,हम गुणन नियम का उपयोग करते हैं: $\frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$.
मान लीजिए $u = x^2$ और $v = \sin \frac{1}{x}$.
तब $\frac{du}{dx} = 2x$ और $\frac{dv}{dx} = \cos \left( \frac{1}{x} \right) \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right) = \cos \left( \frac{1}{x} \right) \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right)$.
गुणन नियम लागू करने पर:
$\frac{d}{dx} \left( x^2 \sin \frac{1}{x} \right) = x^2 \left( -\frac{1}{x^2} \cos \frac{1}{x} \right) + \sin \left( \frac{1}{x} \right) (2x)$
$= -\cos \left( \frac{1}{x} \right) + 2x \sin \left( \frac{1}{x} \right)$
$= 2x \sin \left( \frac{1}{x} \right) - \cos \left( \frac{1}{x} \right)$.

(D) दिया गया फलन $y = \cos (\sin {x^2})$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = -\sin (\sin {x^2}) \cdot \frac{d}{dx}(\sin {x^2}) $
$\frac{dy}{dx} = -\sin (\sin {x^2}) \cdot \cos {x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) $
$\frac{dy}{dx} = -\sin (\sin {x^2}) \cdot \cos {x^2} \cdot 2x $
अब,$x = \sqrt {\frac{\pi }{2}} $ को अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर:
$x = \sqrt {\frac{\pi }{2}} $ के लिए,$x^2 = \frac{\pi }{2} $
अतः,$\cos {x^2} = \cos \frac{\pi }{2} = 0 $
इस मान को $\frac{dy}{dx}$ के व्यंजक में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\sin (\sin \frac{\pi }{2}) \cdot 0 \cdot 2\sqrt {\frac{\pi }{2}} = 0 $
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) हम जानते हैं कि $\log |x|$ इस प्रकार परिभाषित है:
$\log |x| = \begin{cases} \log x, & \text{यदि } x > 0 \\ \log(-x), & \text{यदि } x < 0 \end{cases}$
स्थिति $1$: यदि $x > 0$ है,तो $\frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x}$ होता है।
स्थिति $2$: यदि $x < 0$ है,तो श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx}(\log(-x)) = \frac{1}{-x} \cdot \frac{d}{dx}(-x) = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x}$ होता है।
चूंकि दोनों स्थितियों में अवकलज $\frac{1}{x}$ है,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $\frac{d}{dx} \log |x| = \frac{1}{x}$,जहाँ $x \ne 0$।

(D) दिया गया है $f(x) = x^2 - 3x$.
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 3x) = 2x - 3$.
हमें शर्त $f(x) = f'(x)$ दी गई है:
$x^2 - 3x = 2x - 3$.
पदों को व्यवस्थित करके द्विघात समीकरण प्राप्त करें:
$x^2 - 5x + 3 = 0$.
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=1, b=-5, c=3$ है:
$x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$.
अतः,बिंदु $\frac{5 + \sqrt{13}}{2}$ और $\frac{5 - \sqrt{13}}{2}$ हैं,जो विकल्पों में नहीं दिए गए हैं।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = mx + c$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = m$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $f'(0) = 1$,इसलिए $f'(x) = m$ में $x = 0$ रखने पर $m = 1$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $f(0) = 1$,इसलिए $f(x) = mx + c$ में $x = 0$ रखने पर $f(0) = m(0) + c = 1$,अर्थात $c = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन $f(x) = 1x + 1 = x + 1$ है।
$f(2)$ का मान ज्ञात करने के लिए,फलन में $x = 2$ रखने पर: $f(2) = 2 + 1 = 3$।

(A) दिया गया है $y = x \left[ \left( \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \right) \left( \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} \right) + \sin x \right] + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करते हुए,$\left( \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \right) \left( \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} \right) = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} = \cos x$ प्राप्त होता है।
इस मान को $y$ के समीकरण में रखने पर:
$y = x(\cos x + \sin x) + \frac{1}{2}x^{-1/2}$.
गुणन नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[x(\cos x + \sin x)] + \frac{d}{dx}(\frac{1}{2}x^{-1/2})$.
$\frac{dy}{dx} = x(-\sin x + \cos x) + 1(\cos x + \sin x) + \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2})x^{-3/2}$.
$\frac{dy}{dx} = -x\sin x + x\cos x + \cos x + \sin x - \frac{1}{4x\sqrt{x}}$.
$\frac{dy}{dx} = (1 + x)\cos x + (1 - x)\sin x - \frac{1}{4x\sqrt{x}}$.

(A) माना $y = a^x + \log x \cdot \sin x$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हम योग नियम और गुणन नियम लागू करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(a^x) + \frac{d}{dx}(\log x \cdot \sin x)$।
मानक अवकलन सूत्र $\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \log_e a$ और गुणन नियम $\frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = a^x \log_e a + \left( \log x \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) + \sin x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) \right)$।
$\frac{dy}{dx} = a^x \log_e a + \log x \cdot \cos x + \sin x \cdot \frac{1}{x}$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = a^x \log_e a + \frac{\sin x}{x} + \log x \cdot \cos x$।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(D) माना $y = \tan^{-1} \left( \frac{ax - b}{bx + a} \right)$.
अंश और हर को $a$ से विभाजित करने पर,हम फलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y = \tan^{-1} \left( \frac{x - \frac{b}{a}}{1 + \frac{b}{a}x} \right)$.
सर्वसमिका $\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \tan^{-1} \left( \frac{A - B}{1 + AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1}(x) - \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right)$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \tan^{-1}(x) \right) - \frac{d}{dx} \left( \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right) \right)$.
चूंकि $\tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right)$ एक अचर है,इसलिए इसका अवकलन $0$ होगा।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2} - 0 = \frac{1}{1 + x^2}$.
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,सही उत्तर विकल्पों में नहीं है।

(B) माना $y = \sqrt{\frac{1 - \sin 2x}{1 + \sin 2x}}$ है।
सर्वसमिकाओं $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ और $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$y = \sqrt{\frac{\cos^2 x + \sin^2 x - 2 \sin x \cos x}{\cos^2 x + \sin^2 x + 2 \sin x \cos x}} = \sqrt{\frac{(\cos x - \sin x)^2}{(\cos x + \sin x)^2}} = \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x}$ प्राप्त होता है।
अंश और हर को $\cos x$ से विभाजित करने पर:
$y = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x} = \tan \left( \frac{\pi}{4} - x \right)$।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \sec^2 \left( \frac{\pi}{4} - x \right) \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{\pi}{4} - x \right) = \sec^2 \left( \frac{\pi}{4} - x \right) \cdot (-1) = -\sec^2 \left( \frac{\pi}{4} - x \right)$।

(D) हमें व्यंजक $y = \frac{\cot^2 x - 1}{\cot^2 x + 1}$ दिया गया है।
सबसे पहले,हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके व्यंजक को सरल करते हैं:
$\frac{\cot^2 x - 1}{\cot^2 x + 1} = \frac{\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} - 1}{\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} + 1} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x + \sin^2 x}$.
चूंकि $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ और $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$ होता है,इसलिए व्यंजक का सरल रूप $\cos 2x$ है।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\cos 2x) = -\sin 2x \cdot \frac{d}{dx}(2x) = -2\sin 2x$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = x \tan^{-1} x$।
अवकलन के लिए गुणन नियम $(uv)' = u'v + uv'$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = x$ और $v = \tan^{-1} x$ है।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x) \cdot \tan^{-1} x + x \cdot \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)$।
$f'(x) = 1 \cdot \tan^{-1} x + x \cdot \frac{1}{1 + x^2}$।
$f'(x) = \tan^{-1} x + \frac{x}{1 + x^2}$।
अब,अवकलज में $x = 1$ रखने पर:
$f'(1) = \tan^{-1}(1) + \frac{1}{1 + 1^2}$।
चूँकि $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$,इसलिए:
$f'(1) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$।

(C) दिया गया है $y = b \cos \log \left( \frac{x}{n} \right)^n$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = -b \sin \left( \log \left( \frac{x}{n} \right)^n \right) \cdot \frac{d}{dx} \left( \log \left( \frac{x}{n} \right)^n \right)$.
लघुगणक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\log \left( \frac{x}{n} \right)^n = n \log \left( \frac{x}{n} \right)$.
अतः,$\frac{d}{dx} \left( n \log \left( \frac{x}{n} \right) \right) = n \cdot \frac{1}{x/n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{n}{x}$.
इसलिए,$\frac{dy}{dx} = -b \sin \left( \log \left( \frac{x}{n} \right)^n \right) \cdot \frac{n}{x} = -\frac{nb}{x} \sin \log \left( \frac{x}{n} \right)^n$.

(A) माना $y = \sin^n x \cos nx$ है।
गुणनफल नियम $\frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{dy}{dx} = \sin^n x \frac{d}{dx}(\cos nx) + \cos nx \frac{d}{dx}(\sin^n x)$
$\frac{dy}{dx} = \sin^n x (-n \sin nx) + \cos nx (n \sin^{n-1} x \cos x)$
$\frac{dy}{dx} = n \sin^{n-1} x [\cos x \cos nx - \sin x \sin nx]$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{dy}{dx} = n \sin^{n-1} x \cos(nx + x) = n \sin^{n-1} x \cos(n+1)x$.

(A) दिया गया है $y = \log {\left( \frac{1 + x}{1 - x} \right)^{1/4}} - \frac{1}{2}{\tan ^{ - 1}}x$।
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए,$y = \frac{1}{4} [\log(1 + x) - \log(1 - x)] - \frac{1}{2}{\tan ^{ - 1}}x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{1 + x} - \frac{1}{1 - x}(-1) \right] - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 + x^2} \right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{1 + x} + \frac{1}{1 - x} \right] - \frac{1}{2(1 + x^2)}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4} \left[ \frac{1 - x + 1 + x}{(1 + x)(1 - x)} \right] - \frac{1}{2(1 + x^2)}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4} \left[ \frac{2}{1 - x^2} \right] - \frac{1}{2(1 + x^2)}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(1 - x^2)} - \frac{1}{2(1 + x^2)}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[ \frac{(1 + x^2) - (1 - x^2)}{(1 - x^2)(1 + x^2)} \right]$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[ \frac{2x^2}{1 - x^4} \right] = \frac{x^2}{1 - x^4}$।

(B) दिया गया है $f(x) = \sqrt{1 + \cos^2(x^2)}$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1 + \cos^2(x^2)}} \cdot \frac{d}{dx}(1 + \cos^2(x^2))$.
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1 + \cos^2(x^2)}} \cdot (2 \cos(x^2) \cdot (-\sin(x^2)) \cdot 2x)$.
$f'(x) = \frac{-2x \cos(x^2) \sin(x^2)}{\sqrt{1 + \cos^2(x^2)}} = \frac{-x \sin(2x^2)}{\sqrt{1 + \cos^2(x^2)}}$.
जब $x = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$,तब $x^2 = \frac{\pi}{4}$.
$f'\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right) = \frac{-\frac{\sqrt{\pi}}{2} \sin(2 \cdot \frac{\pi}{4})}{\sqrt{1 + \cos^2(\frac{\pi}{4})}} = \frac{-\frac{\sqrt{\pi}}{2} \sin(\frac{\pi}{2})}{\sqrt{1 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2}}$.
चूंकि $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ और $\cos^2(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$,
$f'\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right) = \frac{-\frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot 1}{\sqrt{1 + \frac{1}{2}}} = \frac{-\frac{\sqrt{\pi}}{2}}{\sqrt{\frac{3}{2}}} = -\frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = -\sqrt{\frac{\pi}{4} \cdot \frac{2}{3}} = -\sqrt{\frac{\pi}{6}}$.

(B) माना कि $y = \sqrt{\frac{1 + \cos 2x}{1 - \cos 2x}}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x$ और $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$y = \sqrt{\frac{2 \cos^2 x}{2 \sin^2 x}} = \sqrt{\cot^2 x} = |\cot x|$.
प्रथम चतुर्थांश में,$y = \cot x$ होगा।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) $e^x \log \sin 2x$ का अवकलन ज्ञात करने के लिए,हम गुणन नियम का उपयोग करते हैं: $\frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$.
मान लीजिए $u = e^x$ और $v = \log \sin 2x$.
तब $\frac{du}{dx} = e^x$ और $\frac{dv}{dx} = \frac{1}{\sin 2x} \cdot \frac{d}{dx}(\sin 2x) = \frac{1}{\sin 2x} \cdot (2 \cos 2x) = 2 \cot 2x$.
गुणन नियम लागू करने पर:
$\frac{d}{dx}(e^x \log \sin 2x) = e^x \cdot (2 \cot 2x) + (\log \sin 2x) \cdot e^x$.
$e^x$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= e^x(\log \sin 2x + 2 \cot 2x)$.

(B) दिया गया है $y = \sin [\cos (\sin x)]$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\sin [\cos (\sin x)]) = \cos [\cos (\sin x)] \cdot \frac{d}{dx} (\cos (\sin x))$।
अब,$\cos (\sin x)$ का अवकलन करें:
$\frac{d}{dx} (\cos (\sin x)) = -\sin (\sin x) \cdot \frac{d}{dx} (\sin x)$।
अंत में,$\sin x$ का अवकलन करें:
$\frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x$।
इन सभी भागों को संयोजित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \cos [\cos (\sin x)] \cdot [-\sin (\sin x)] \cdot \cos x = -\cos [\cos (\sin x)] \sin (\sin x) \cos x$।

(D) दिया गया है $y = t^{4/3} - 3t^{-2/3}$।
घात नियम $\frac{d}{dt}(t^n) = nt^{n-1}$ लागू करने पर:
$\frac{dy}{dt} = \frac{4}{3}t^{(4/3 - 1)} - 3 \times (-2/3)t^{(-2/3 - 1)}$
$\frac{dy}{dt} = \frac{4}{3}t^{1/3} + 2t^{-5/3}$
सरल बनाने के लिए,$3t^{5/3}$ को उभयनिष्ठ हर (common denominator) के रूप में लेने पर:
$\frac{dy}{dt} = \frac{4}{3}t^{1/3} \times \frac{t^{5/3}}{t^{5/3}} + 2t^{-5/3} = \frac{4t^{6/3}}{3t^{5/3}} + \frac{6}{3t^{5/3}}$
$\frac{dy}{dt} = \frac{4t^2 + 6}{3t^{5/3}} = \frac{2(2t^2 + 3)}{3t^{5/3}}$.

(B) दिया गया है $y = x^2 \log x + 2x^{-1/2}$.
$x^2 \log x$ पर गुणन नियम और $2x^{-1/2}$ पर घात नियम लागू करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 \log x) + \frac{d}{dx}(2x^{-1/2})$
$\frac{dy}{dx} = (x^2 \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot 2x) + 2(-\frac{1}{2}x^{-3/2})$
$\frac{dy}{dx} = x + 2x \log x - x^{-3/2}$
$\frac{dy}{dx} = x + 2x \log x - \frac{1}{x^{3/2}}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) $\frac{e^x}{1 + x^2}$ का अवकलन ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करते हैं: $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}$.
माना $u = e^x$ और $v = 1 + x^2$.
तब $\frac{du}{dx} = e^x$ और $\frac{dv}{dx} = 2x$.
भागफल नियम लागू करने पर:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{e^x}{1 + x^2} \right) = \frac{(1 + x^2)e^x - e^x(2x)}{(1 + x^2)^2}$.
अंश से $e^x$ को कॉमन लेने पर:
$= \frac{e^x(1 + x^2 - 2x)}{(1 + x^2)^2}$.
यह पहचानते हुए कि $1 + x^2 - 2x = (1 - x)^2$:
$= \frac{e^x(1 - x)^2}{(1 + x^2)^2}$.

(D) दिया गया है $y = \frac{\tan x + \cot x}{\tan x - \cot x}$.
हम व्यंजक को $\sin x$ और $\cos x$ में बदलकर या त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके सरल कर सकते हैं।
$y = \frac{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x}} = \frac{\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x}}{\frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x}} = \frac{1}{-(\cos^2 x - \sin^2 x)} = -\frac{1}{\cos 2x} = -\sec 2x$.
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $y = -\sec 2x$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -(\sec 2x \tan 2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) = -2 \sec 2x \tan 2x$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया है $A = \frac{2^x \cot x}{\sqrt{x}}$.
भागफल नियम $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dA}{dx} = \frac{\sqrt{x} \frac{d}{dx}(2^x \cot x) - 2^x \cot x \frac{d}{dx}(\sqrt{x})}{x}$
$= \frac{\sqrt{x} [2^x \ln 2 \cot x - 2^x \csc^2 x] - 2^x \cot x \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}$
$= \frac{2^x [\sqrt{x} \ln 2 \cot x - \sqrt{x} \csc^2 x - \frac{\cot x}{2\sqrt{x}}]}{x}$
$= \frac{2^x [2x \ln 2 \cot x - 2x \csc^2 x - \cot x]}{2x^{3/2}}$
$= \frac{2^x [2x \ln 2 \cot x - \cot x - 2x \csc^2 x]}{2x^{3/2}}$
$= \frac{2^{x-1} [\cot x (2x \ln 2 - 1) - 2x \csc^2 x]}{x^{3/2}}$
चूंकि $\ln(4^x/e) = \ln(4^x) - \ln e = x \ln 4 - 1 = 2x \ln 2 - 1$,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$= \frac{2^{x-1} \{ -2x \csc^2 x + \cot x \cdot \log(\frac{4^x}{e}) \}}{x^{3/2}}$.

(B) $\frac{\log x}{\sin x}$ का अवकलन ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करते हैं: $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}$.
यहाँ,$u = \log x$ और $v = \sin x$ है।
अतः,$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$ और $\frac{dv}{dx} = \cos x$ है।
भागफल नियम लागू करने पर:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{\log x}{\sin x} \right) = \frac{\sin x \cdot \frac{1}{x} - \log x \cdot \cos x}{(\sin x)^2}$.
इसे सरल करने पर $\frac{\frac{\sin x}{x} - \log x \cdot \cos x}{\sin^2 x}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $y = \frac{\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{x^2 - 1}}{\sqrt{x^2 + 1} - \sqrt{x^2 - 1}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर,अंश और हर को $(\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{x^2 - 1})$ से गुणा करने पर:
$y = \frac{(\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{x^2 - 1})^2}{(\sqrt{x^2 + 1})^2 - (\sqrt{x^2 - 1})^2}$
$y = \frac{(x^2 + 1) + (x^2 - 1) + 2\sqrt{(x^2 + 1)(x^2 - 1)}}{(x^2 + 1) - (x^2 - 1)}$
$y = \frac{2x^2 + 2\sqrt{x^4 - 1}}{2}$
$y = x^2 + \sqrt{x^4 - 1}$
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}((x^4 - 1)^{1/2})$
$\frac{dy}{dx} = 2x + \frac{1}{2}(x^4 - 1)^{-1/2} \cdot (4x^3)$
$\frac{dy}{dx} = 2x + \frac{2x^3}{\sqrt{x^4 - 1}}$.

(A) दिया गया है $y = (x \cot^3 x)^{3/2}$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}(x \cot^3 x)^{1/2} \cdot \frac{d}{dx}(x \cot^3 x)$.
$(x \cot^3 x)$ के अवकलन के लिए गुणन नियम (product rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{d}{dx}(x \cot^3 x) = \frac{d}{dx}(x) \cdot \cot^3 x + x \cdot \frac{d}{dx}(\cot^3 x)$.
$= 1 \cdot \cot^3 x + x \cdot (3 \cot^2 x \cdot \frac{d}{dx}(\cot x))$.
$= \cot^3 x + x \cdot (3 \cot^2 x \cdot (-\csc^2 x))$.
$= \cot^3 x - 3x \cot^2 x \csc^2 x$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}(x \cot^3 x)^{1/2} [\cot^3 x - 3x \cot^2 x \csc^2 x]$.

(B) $y = \cos(\sin(x^2))$ का अवकलन ज्ञात करने के लिए,हम श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करेंगे।
मान लीजिए $u = \sin(x^2)$ और $v = x^2$ है।
तब $y = \cos(u)$,$u = \sin(v)$,और $v = x^2$ है।
श्रृंखला नियम लागू करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$।
$\frac{dy}{du} = -\sin(u) = -\sin(\sin(x^2))$।
$\frac{du}{dv} = \cos(v) = \cos(x^2)$।
$\frac{dv}{dx} = 2x$।
इनका गुणा करने पर: $\frac{dy}{dx} = -\sin(\sin(x^2)) \cdot \cos(x^2) \cdot 2x$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है $y = \sin (\sqrt {\sin x + \cos x} )$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \cos (\sqrt {\sin x + \cos x}) \cdot \frac{d}{dx} (\sqrt {\sin x + \cos x})$
$\sqrt{u}$ का अवकलज $\frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{dx}$ होता है:
$\frac{dy}{dx} = \cos (\sqrt {\sin x + \cos x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{\sin x + \cos x}} \cdot \frac{d}{dx} (\sin x + \cos x)$
चूंकि $\frac{d}{dx} (\sin x + \cos x) = \cos x - \sin x$:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{\cos (\sqrt {\sin x + \cos x})}{\sqrt {\sin x + \cos x}} (\cos x - \sin x)$.

(D) दिया गया है $y = \sin \left( \frac{1 + x^2}{1 - x^2} \right)$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$\frac{dy}{dx} = \cos \left( \frac{1 + x^2}{1 - x^2} \right) \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{1 + x^2}{1 - x^2} \right)$।
भागफल नियम (quotient rule) $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{1 + x^2}{1 - x^2} \right) = \frac{(1 - x^2)(2x) - (1 + x^2)(-2x)}{(1 - x^2)^2}$
$= \frac{2x - 2x^3 + 2x + 2x^3}{(1 - x^2)^2} = \frac{4x}{(1 - x^2)^2}$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{4x}{(1 - x^2)^2} \cos \left( \frac{1 + x^2}{1 - x^2} \right)$।

(A) दिया गया है $y = \sqrt{\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}}$.
सूत्र $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \frac{\tan(\pi/4) + \tan x}{1 - \tan(\pi/4)\tan x} = \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}$.
अतः,$y = \sqrt{\tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right)}$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right)}} \cdot \frac{d}{dx}\left(\tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right)\right)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right)}} \cdot \sec^2\left(\frac{\pi}{4} + x\right)$.
चूंकि $\frac{1}{\sqrt{\tan(\pi/4 + x)}} = \sqrt{\frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}}$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}} \cdot \sec^2\left(\frac{\pi}{4} + x\right)$.

(C) $({x^2} + \cos x)^4$ का अवकलज ज्ञात करने के लिए,हम श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हैं।
मान लीजिए $u = {x^2} + \cos x$ है।
तब व्यंजक $u^4$ हो जाता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलज $\frac{d}{dx}(u^4) = \frac{d}{du}(u^4) \cdot \frac{du}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{d}{du}(u^4) = 4u^3$ है।
$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}({x^2} + \cos x) = 2x - \sin x$ है।
इन दोनों को संयोजित करने पर,हमें $4({x^2} + \cos x)^3 \cdot (2x - \sin x)$ प्राप्त होता है।

(A) माना $y = \sqrt{x \sin x}$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 \sqrt{x \sin x}} \cdot \frac{d}{dx}(x \sin x)$।
$x \sin x$ पर गुणन नियम (product rule) लागू करने पर,हमें $\frac{d}{dx}(x \sin x) = (1)(\sin x) + (x)(\cos x) = \sin x + x \cos x$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin x + x \cos x}{2 \sqrt{x \sin x}}$।

(B) माना $y = \sqrt{\sec^2 x + \text{cosec}^2 x}$ है।
सबसे पहले,वर्गमूल के अंदर के व्यंजक को सरल करें:
$y = \sqrt{\frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x}} = \sqrt{\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x}} = \sqrt{\frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x}}$
सर्वसमिका $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \sqrt{\frac{1}{(\frac{\sin 2x}{2})^2}} = \sqrt{\frac{4}{\sin^2 2x}} = \frac{2}{\sin 2x} = 2 \text{cosec } 2x$ है।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2 \text{cosec } 2x) = 2 \cdot (-\text{cosec } 2x \cot 2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x)$
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot (-\text{cosec } 2x \cot 2x) \cdot 2 = -4 \text{cosec } 2x \cot 2x$.

(A) माना $y = \frac{\sec x + \tan x}{\sec x - \tan x}$.
व्यंजक को सरल करने पर: $y = \frac{\frac{1}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos x} - \frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}$.
अब,भागफल नियम $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$u = 1 + \sin x \implies u' = \cos x$
$v = 1 - \sin x \implies v' = -\cos x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{(1 - \sin x)(\cos x) - (1 + \sin x)(-\cos x)}{(1 - \sin x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x - \sin x \cos x + \cos x + \sin x \cos x}{(1 - \sin x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2\cos x}{(1 - \sin x)^2}$.

(B) $f(x) = x^3 \tan^2 \frac{x}{2}$ का अवकलन ज्ञात करने के लिए,हम गुणन नियम का उपयोग करते हैं: $\frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$.
मान लीजिए $u = x^3$ और $v = \tan^2 \frac{x}{2}$.
तब $\frac{du}{dx} = 3x^2$.
$v$ के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{dv}{dx} = 2 \tan \frac{x}{2} \cdot \sec^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \tan \frac{x}{2} \sec^2 \frac{x}{2}$.
अब,गुणन नियम लागू करने पर:
$\frac{d}{dx} \left( x^3 \tan^2 \frac{x}{2} \right) = x^3 \left( \tan \frac{x}{2} \sec^2 \frac{x}{2} \right) + \tan^2 \frac{x}{2} (3x^2)$.
$= x^3 \tan \frac{x}{2} \sec^2 \frac{x}{2} + 3x^2 \tan^2 \frac{x}{2}$.

(B) दिया गया है $f(x) = \tan^{-1}\left( \frac{\sin x}{1 + \cos x} \right)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए,$\sin x = 2 \sin\left( \frac{x}{2} \right) \cos\left( \frac{x}{2} \right)$ और $1 + \cos x = 2 \cos^2\left( \frac{x}{2} \right)$.
इन मानों को फलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $f(x) = \tan^{-1}\left( \frac{2 \sin(x/2) \cos(x/2)}{2 \cos^2(x/2)} \right) = \tan^{-1}\left( \tan\left( \frac{x}{2} \right) \right)$.
अतः,$f(x) = \frac{x}{2}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$f'\left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2}$.