Derivative at a point, Standard differentiation Questions in Hindi

(B) माना $f(x) = |x - 1| + |x - 3|$ है।
$1 < x < 3$ के लिए,हमारे पास $x - 1 > 0$ और $x - 3 < 0$ है।
इसलिए,$f(x) = (x - 1) - (x - 3) = x - 1 - x + 3 = 2$ है।
चूंकि $f(x) = 2$ अंतराल $(1, 3)$ में एक अचर फलन है,इसलिए इसका अवकलज $f'(x) = 0$ होगा,जहाँ $x \in (1, 3)$ है।
बिंदु $x = 2$ पर,जो अंतराल $(1, 3)$ के भीतर स्थित है,अवकल गुणांक $f'(2) = 0$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \sqrt{ax} + \frac{a^2}{\sqrt{ax}} = \sqrt{a} \cdot x^{1/2} + a^2 \cdot a^{-1/2} \cdot x^{-1/2} = \sqrt{a} \cdot x^{1/2} + a^{3/2} \cdot x^{-1/2}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = \sqrt{a} \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} + a^{3/2} \cdot \left( -\frac{1}{2} x^{-3/2} \right)$.
$f'(x) = \frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{x}} - \frac{a^{3/2}}{2x^{3/2}}$.
अब,$x = a$ पर मान ज्ञात करने पर:
$f'(a) = \frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{a}} - \frac{a^{3/2}}{2a^{3/2}}$.
$f'(a) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$.

(C) माना $f(x) = x^6 + 6^x$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलज ज्ञात करने के लिए,हम घात नियम $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ और घातांकीय नियम $\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a$ का उपयोग करते हैं।
इन नियमों को लागू करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^6 + 6^x) = \frac{d}{dx}(x^6) + \frac{d}{dx}(6^x)$
$= 6x^{6-1} + 6^x \ln 6$
$= 6x^5 + 6^x \ln 6$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = 3|2 + x|$।
$x < -2$ के लिए,$|2 + x| = -(2 + x) = -2 - x$ होता है।
अतः,$x < -2$ के लिए,$f(x) = 3(-2 - x) = -6 - 3x$ होगा।
$x < -2$ के लिए अवकलज $f'(x) = \frac{d}{dx}(-6 - 3x) = -3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x_0 = -3$ अंतराल $x < -2$ में स्थित है,इसलिए $x_0 = -3$ पर अवकलज $f'(-3) = -3$ होगा।

(C) दिया गया है कि $y = \cot^{-1}(x^2)$.
अवकलन के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx}(\cot^{-1}(u)) = \frac{-1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx}$.
यहाँ,$u = x^2$ है,इसलिए $\frac{du}{dx} = 2x$ होगा।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{1 + (x^2)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{1 + x^4} \cdot (2x)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{1 + x^4}$.

(D) दिया गया फलन $y = \log \tan \sqrt{x}$ है।
अवकलन के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\log \tan \sqrt{x})$
$= \frac{1}{\tan \sqrt{x}} \cdot \frac{d}{dx}(\tan \sqrt{x})$
$= \frac{1}{\tan \sqrt{x}} \cdot \sec^2 \sqrt{x} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x})$
$= \frac{1}{\tan \sqrt{x}} \cdot \sec^2 \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$= \frac{\sec^2 \sqrt{x}}{2\sqrt{x} \tan \sqrt{x}}$.

(D) दिया गया है कि $y = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}$.
हम जानते हैं कि $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ और $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$.
अतः,$y = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \coth x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\coth x)$.
चूंकि $\frac{d}{dx}(\coth x) = -\text{cosech}^2 x$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = -\text{cosech}^2 x$.

(A) मान लीजिए कि बहुपद फलन $f(x) = ax^2 + bx + c$ है।
तब,अवकलज $f'(x) = 2ax + b$ है।
दिया गया है कि $f(1) = f(-1)$,इसलिए $a(1)^2 + b(1) + c = a(-1)^2 + b(-1) + c$ है।
इसे सरल करने पर $a + b + c = a - b + c$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $2b = 0$,यानी $b = 0$ है।
अतः,$f'(x) = 2ax$ है।
अब,$a_1, a_2, a_3$ पर अवकलज का मान ज्ञात करने पर: $f'(a_1) = 2aa_1$,$f'(a_2) = 2aa_2$,और $f'(a_3) = 2aa_3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a_1, a_2, a_3$ $A.P.$ में हैं,इसलिए एक सार्व अंतर $d$ के लिए $a_2 = a_1 + d$ और $a_3 = a_1 + 2d$ है।
तब $f'(a_2) - f'(a_1) = 2aa_2 - 2aa_1 = 2a(a_2 - a_1) = 2ad$ और $f'(a_3) - f'(a_2) = 2aa_3 - 2aa_2 = 2a(a_3 - a_2) = 2ad$ है।
चूंकि क्रमिक पदों के बीच का अंतर स्थिर $(2ad)$ है,इसलिए अनुक्रम $f'(a_1), f'(a_2), f'(a_3)$ $A.P.$ में है।

(D) दिया गया है $r = [2\phi + \cos^2(2\phi + \pi/4)]^{1/2}$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,हम $\phi$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dr}{d\phi} = \frac{1}{2}[2\phi + \cos^2(2\phi + \pi/4)]^{-1/2} \cdot \frac{d}{d\phi}[2\phi + \cos^2(2\phi + \pi/4)]$
$\frac{dr}{d\phi} = \frac{1}{2}[2\phi + \cos^2(2\phi + \pi/4)]^{-1/2} \cdot [2 + 2\cos(2\phi + \pi/4) \cdot (-\sin(2\phi + \pi/4)) \cdot 2]$
$\frac{dr}{d\phi} = \frac{1}{2}[2\phi + \cos^2(2\phi + \pi/4)]^{-1/2} \cdot [2 - 2\sin(4\phi + \pi/2)]$
$\phi = \pi/4$ पर,तर्क $2\phi + \pi/4 = \pi/2 + \pi/4 = 3\pi/4$ है।
$\cos^2(3\pi/4) = (-1/\sqrt{2})^2 = 1/2$.
$\sin(4(\pi/4) + \pi/2) = \sin(\pi + \pi/2) = \sin(3\pi/2) = -1$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dr}{d\phi} = \frac{1}{2}[2(\pi/4) + 1/2]^{-1/2} \cdot [2 - 2(-1)]$
$\frac{dr}{d\phi} = \frac{1}{2}[\pi/2 + 1/2]^{-1/2} \cdot [4]$
$\frac{dr}{d\phi} = 2 \cdot [(\pi + 1)/2]^{-1/2} = 2 \cdot [2/(\pi + 1)]^{1/2}$.

(B) माना $y = f(x) = (1 - x)(2 - x)(3 - x)...(n - x)$.
अवकलन के गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[(1 - x)] \cdot (2 - x)(3 - x)...(n - x) + (1 - x) \cdot \frac{d}{dx}[(2 - x)(3 - x)...(n - x)]$.
चूँकि $\frac{d}{dx}(1 - x) = -1$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = -1 \cdot (2 - x)(3 - x)...(n - x) + (1 - x) \cdot \frac{d}{dx}[(2 - x)(3 - x)...(n - x)]$.
अब $x = 1$ पर मान रखने पर:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = -1 \cdot (2 - 1)(3 - 1)...(n - 1) + (1 - 1) \cdot [\dots]$.
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = -1 \cdot (1)(2)(3)...(n - 1) + 0$.
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = -(n - 1)!$.
अतः सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है $y = \frac{1}{4}u^4$ और $u = \frac{2}{3}x^3 + 5$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$।
सबसे पहले,$y$ का $u$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{du} = \frac{1}{4} \cdot 4u^3 = u^3$।
इसके बाद,$u$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{du}{dx} = \frac{2}{3} \cdot 3x^2 = 2x^2$।
अब,इन मानों को श्रृंखला नियम के सूत्र में रखने पर: $\frac{dy}{dx} = u^3 \cdot 2x^2$।
$u = \frac{2x^3 + 15}{3}$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \left( \frac{2x^3 + 15}{3} \right)^3 \cdot 2x^2$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{(2x^3 + 15)^3}{27} \cdot 2x^2 = \frac{2}{27}x^2(2x^3 + 15)^3$।

(A) दिया गया है $y = f\left( \frac{5x + 1}{10x^2 - 3} \right)$ और $f'(x) = \cos x$।
मान लीजिए $u = \frac{5x + 1}{10x^2 - 3}$।
तब $y = f(u)$।
श्रृंखला नियम (chain rule) के अनुसार,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$।
चूंकि $y = f(u)$,इसलिए $\frac{dy}{du} = f'(u) = \cos(u)$।
$u$ का मान वापस रखने पर,हमें $\frac{dy}{du} = \cos \left( \frac{5x + 1}{10x^2 - 3} \right)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \cos \left( \frac{5x + 1}{10x^2 - 3} \right) \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{5x + 1}{10x^2 - 3} \right)$।

(A) दिया गया है कि $f \circ g = I$,जहाँ $I$ एक तत्समक फलन है,इसलिए सभी $x$ के लिए $(f \circ g)(x) = x$ होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए हमें $f'(g(x)) \cdot g'(x) = 1$ प्राप्त होता है।
अब $x = a$ रखने पर,हमें $f'(g(a)) \cdot g'(a) = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $g(a) = b$ और $g'(a) = 2$ दिया गया है,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर $f'(b) \cdot 2 = 1$ मिलता है।
अतः,$f'(b) = 1/2$ है।

(D) संयुक्त फलन $y = F[f\{ \phi (x)\} ]$ का अवकलज ज्ञात करने के लिए,हम श्रृंखला नियम (chain rule) का बार-बार उपयोग करेंगे।
मान लीजिए $u = f\{ \phi (x)\} $ और $v = \phi (x)$ है। तब $y = F(u)$ और $u = f(v)$ होगा।
श्रृंखला नियम के अनुसार,$\frac{dy}{dx} = \frac{dF}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$ होता है।
$1$. $u$ के सापेक्ष $F$ का अवकलज $F'(u) = F'[f\{ \phi (x)\} ]$ है।
$2$. $v$ के सापेक्ष $u = f(v)$ का अवकलज $f'(v) = f'\{ \phi (x)\} $ है।
$3$. $x$ के सापेक्ष $v = \phi (x)$ का अवकलज $\phi '(x)$ है।
इनका गुणा करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = F'[f\{ \phi (x)\} ] \cdot f'\{ \phi (x)\} \cdot \phi '(x)$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $f(x) = e^x$ और $g(x) = \sin^{-1}x$।
चूँकि $h(x) = f(g(x))$,इसलिए $h(x) = f(\sin^{-1}x) = e^{\sin^{-1}x}$।
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $h(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$h'(x) = \frac{d}{dx}(e^{\sin^{-1}x}) = e^{\sin^{-1}x} \cdot \frac{d}{dx}(\sin^{-1}x) = e^{\sin^{-1}x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$।
अतः,अनुपात $h'(x)/h(x)$ होगा:
$\frac{h'(x)}{h(x)} = \frac{e^{\sin^{-1}x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}}{e^{\sin^{-1}x}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$।

(A) माना $f(x) = \cos^{-1}\left( \sin \sqrt{\frac{1+x}{2}} \right) + x^x$.
सर्वसमिका $\sin \theta = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \cos^{-1}\left[ \cos \left( \frac{\pi}{2} - \sqrt{\frac{1+x}{2}} \right) \right] + x^x$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$f(x) = \frac{\pi}{2} - \sqrt{\frac{1+x}{2}} + x^x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = 0 - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x}} + \frac{d}{dx}(x^x)$.
चूंकि $\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(1 + \ln x)$,हमें प्राप्त होता है:
$f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{2(1+x)}} + x^x(1 + \ln x)$.
$x = 1$ पर:
$f'(1) = -\frac{1}{2\sqrt{2(1+1)}} + 1^1(1 + \ln 1) = -\frac{1}{2\sqrt{4}} + 1(1 + 0) = -\frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4}$.

(B) दिया गया फलन $f(x) = x + 2$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x + 2) = 1$.
चूंकि अवकलन $f'(x)$ सभी $x$ के लिए $1$ का एक स्थिर मान है,इसलिए $f'(f(x))$ का मान भी इनपुट $f(x)$ की परवाह किए बिना $1$ ही रहेगा।
इसलिए,$x = 4$ पर,$f'(f(4)) = f'(4 + 2) = f'(6) = 1$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया समीकरण $3f(x) - 2f(1/x) = x$ है .....$(i)$
समीकरण $(i)$ में $x$ को $1/x$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$3f(1/x) - 2f(x) = 1/x$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$-2f(x) + 3f(1/x) = 1/x$ .....$(ii)$
$f(1/x)$ को विलुप्त करने के लिए,समीकरण $(i)$ को $3$ से और समीकरण $(ii)$ को $2$ से गुणा करके जोड़ने पर:
$9f(x) - 6f(1/x) = 3x$
$-4f(x) + 6f(1/x) = 2/x$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$5f(x) = 3x + \frac{2}{x}$
$f(x) = \frac{3x}{5} + \frac{2}{5x}$
अब,$f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{3}{5} - \frac{2}{5x^2}$
$f'(2)$ ज्ञात करने के लिए $x = 2$ रखने पर:
$f'(2) = \frac{3}{5} - \frac{2}{5(2^2)} = \frac{3}{5} - \frac{2}{20} = \frac{3}{5} - \frac{1}{10}$
$f'(2) = \frac{6 - 1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

(C) माना $u = \tan^{-1}x$ और $y = \frac{u}{1+u}$ है।
हमें $\frac{dy}{du}$ ज्ञात करना है।
अवकलन के भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du} \left( \frac{u}{1+u} \right)$.
$\frac{dy}{du} = \frac{(1+u)(1) - u(1)}{(1+u)^2}$.
$\frac{dy}{du} = \frac{1+u-u}{(1+u)^2} = \frac{1}{(1+u)^2}$.
$u = \tan^{-1}x$ का मान वापस रखने पर,हमें $\frac{dy}{du} = \frac{1}{{(1 + \tan^{-1}x)}^2}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $y = {x^6}$ और $z = {x^3}$ है।
हमें $z$ के सापेक्ष $y$ का अवकलज ज्ञात करना है,जो $\frac{dy}{dz}$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dy}{dz} = \frac{dy/dx}{dz/dx}$।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}({x^6}) = 6{x^5}$।
इसके बाद,$x$ के सापेक्ष $z$ का अवकलन करने पर: $\frac{dz}{dx} = \frac{d}{dx}({x^3}) = 3{x^2}$।
अब,इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{dy}{dz} = \frac{6{x^5}}{3{x^2}} = 2{x^3}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया है कि $f(x) = \log x.$
हमें $x$ के सापेक्ष $f(\sin x)$ का अवकलज ज्ञात करना है।
माना $y = f(\sin x) = \log(\sin x).$
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[\log(\sin x)]$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{d}{dx}(\sin x)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x$
$\frac{dy}{dx} = \cot x.$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया है $t = \frac{v^2}{2}$.
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dt}{dt} = \frac{1}{2} \times 2v \frac{dv}{dt}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f = \frac{dv}{dt}$,इसलिए $1 = v \cdot f$,जिसका अर्थ है $f = \frac{1}{v}$ या $v = f^{-1}$।
अब,$f = v^{-1}$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{df}{dt} = -v^{-2} \frac{dv}{dt}$।
$\frac{dv}{dt} = f$ और $v = \frac{1}{f}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{df}{dt} = -\left( \frac{1}{f} \right)^{-2} \cdot f = -f^2 \cdot f = -f^3$।
अतः,$-\frac{df}{dt} = -(-f^3) = f^3$।

(D) यदि अंतराल $(a, b)$ में सभी $x$ के लिए $f'(x) = 0$ है,तो फलन $f(x)$ का मान इस अंतराल में परिवर्तित नहीं होता है।
अतः,$f(x) = c$,जहाँ $c$ एक अचर है।
इसका अर्थ है कि फलन अंतराल $(a, b)$ में एक अचर फलन है।

(A) माना $u = \sqrt{x - 1}$ है। चूँकि $1 < x < 26$ है,इसलिए $0 < u < 5$ होगा।
तब $x - 1 = u^2$,जिससे $x = u^2 + 1$ प्राप्त होता है।
फलन $f(x) = u + \sqrt{u^2 + 1 + 24 - 10u} = u + \sqrt{u^2 - 10u + 25}$ बन जाता है।
इसे सरल करने पर $f(x) = u + \sqrt{(u - 5)^2} = u + |u - 5|$ प्राप्त होता है।
चूँकि $0 < u < 5$ है,इसलिए $|u - 5| = 5 - u$ होगा।
अतः,$f(x) = u + 5 - u = 5$ है।
चूँकि $f(x) = 5$ अंतराल $1 < x < 26$ के लिए एक अचर फलन है,इसलिए इसका अवकलज $f'(x) = 0$ होगा।

(A) दिया गया है $y = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 + x^2} + \frac{a^2}{2}\log(x + \sqrt{x^2 + a^2})$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (गुणनफल और श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए):
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[ \sqrt{a^2 + x^2} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{a^2 + x^2}} \cdot 2x \right] + \frac{a^2}{2} \cdot \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + a^2}} \cdot \left[ 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + a^2}} \cdot 2x \right]$
प्रथम पद का सरलीकरण:
$\frac{1}{2} \left[ \frac{a^2 + x^2 + x^2}{\sqrt{a^2 + x^2}} \right] = \frac{a^2 + 2x^2}{2\sqrt{a^2 + x^2}}$
द्वितीय पद का सरलीकरण:
$\frac{a^2}{2} \cdot \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + a^2}} \cdot \left[ \frac{\sqrt{x^2 + a^2} + x}{\sqrt{x^2 + a^2}} \right] = \frac{a^2}{2\sqrt{x^2 + a^2}}$
दोनों भागों को जोड़ने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{a^2 + 2x^2 + a^2}{2\sqrt{a^2 + x^2}} = \frac{2(a^2 + x^2)}{2\sqrt{a^2 + x^2}} = \sqrt{a^2 + x^2}$.

(D) दिया गया है $y = f\left( \frac{2x - 1}{x^2 + 1} \right).$ मान लीजिए $t = \frac{2x - 1}{x^2 + 1}.$
श्रृंखला नियम (chain rule) के अनुसार,$\frac{dy}{dx} = f'(t) \cdot \frac{dt}{dx}.$
चूंकि $f'(x) = \sin(x^2),$ इसलिए $f'(t) = \sin(t^2) = \sin \left( \frac{2x - 1}{x^2 + 1} \right)^2.$
अब,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $\frac{dt}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dt}{dx} = \frac{(x^2 + 1)(2) - (2x - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2 - 4x^2 + 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-2x^2 + 2x + 2}{(x^2 + 1)^2}.$
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x^2 + 2x + 2}{(x^2 + 1)^2} \sin \left( \frac{2x - 1}{x^2 + 1} \right)^2.$

(C) फलन $f(x) = a^x$ का मान $a > 0$ और $a \neq 1$ के लिए परिभाषित है।
यह निर्धारित करने के लिए कि फलन निरंतर वर्धमान है या नहीं,हम इसके अवकलज की जाँच करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln(a)$।
फलन के निरंतर वर्धमान होने के लिए,हमें सभी $x$ के लिए $f'(x) > 0$ की आवश्यकता है।
चूँकि सभी $x$ के लिए $a^x > 0$ होता है,इसलिए $f'(x) > 0$ की शर्त तब पूरी होती है जब $\ln(a) > 0$ हो।
इसका अर्थ है $a > e^0$,जिसका तात्पर्य है $a > 1$।
अतः,फलन $f(x) = a^x$ तब निरंतर वर्धमान होता है जब $a > 1$ हो।

(A) दिया गया है $g(x) = [f(2f(x) + 2)]^2$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके,हम $x$ के सापेक्ष $g(x)$ का अवकलन करते हैं:
$g'(x) = 2[f(2f(x) + 2)] \cdot \frac{d}{dx}[f(2f(x) + 2)]$
$g'(x) = 2[f(2f(x) + 2)] \cdot f'(2f(x) + 2) \cdot \frac{d}{dx}(2f(x) + 2)$
$g'(x) = 2[f(2f(x) + 2)] \cdot f'(2f(x) + 2) \cdot 2f'(x)$
$g'(x) = 4[f(2f(x) + 2)] \cdot f'(2f(x) + 2) \cdot f'(x)$
अब,$x = 0$ रखने पर:
$g'(0) = 4[f(2f(0) + 2)] \cdot f'(2f(0) + 2) \cdot f'(0)$
दिया गया है $f(0) = -1$ और $f'(0) = 1$:
$g'(0) = 4[f(2(-1) + 2)] \cdot f'(2(-1) + 2) \cdot f'(0)$
$g'(0) = 4[f(0)] \cdot f'(0) \cdot f'(0)$
$g'(0) = 4(-1) \cdot (1) \cdot (1) = -4$.

(D) व्यंजक $\mathop{\lim}\limits_{x \to 1} \frac{G(x) - G(1)}{x - 1}$,$x = 1$ पर $G(x)$ का अवकलज (derivative) दर्शाता है,जिसे $G'(1)$ के रूप में लिखा जाता है।
दिया गया है $G(x) = -(25 - x^2)^{1/2}$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$G'(x) = -\frac{1}{2}(25 - x^2)^{-1/2} \cdot (-2x) = \frac{x}{\sqrt{25 - x^2}}$।
$x = 1$ पर मान रखने पर:
$G'(1) = \frac{1}{\sqrt{25 - 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{24}}$।
अतः,सीमा का मान $\frac{1}{\sqrt{24}}$ है।

(C) मान लीजिए $L = \lim_{x \to 0} \left\{ \frac{f(1 + x)}{f(1)} \right\}^{\frac{1}{x}}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln \left( \frac{f(1 + x)}{f(1)} \right)$.
अवकलन की परिभाषा या एल'हॉपिटल नियम का उपयोग करने पर,$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln f(1 + x) - \ln f(1)}{x}$.
एल'हॉपिटल नियम लागू करने पर,$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{f'(1 + x)}{f(1 + x)} = \frac{f'(1)}{f(1)}$.
दिया गया है कि $f(1) = 3$ और $f'(1) = 6$,इसलिए $\ln L = \frac{6}{3} = 2$.
अतः,$L = e^2$.

(A) माना $L = \lim_{x \to 1} \int_4^{f(x)} \frac{2t}{x - 1} dt$ है।
समाकल को $\frac{1}{x-1} \int_4^{f(x)} 2t dt$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$2t$ का समाकलन $t^2$ है,इसलिए $\int_4^{f(x)} 2t dt = [t^2]_4^{f(x)} = (f(x))^2 - 16$ होगा।
अतः,$L = \lim_{x \to 1} \frac{(f(x))^2 - 16}{x - 1}$ है।
$(f(x))^2 - 16 = (f(x) - 4)(f(x) + 4)$ का उपयोग करने पर।
चूंकि $f(1) = 4$ है,इसलिए जैसे $x \to 1$,$f(x) \to 4$,तो $f(x) + 4 \to 8$ होगा।
अतः,$L = \lim_{x \to 1} \frac{(f(x) - 4)(f(x) + 4)}{x - 1} = \left( \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \right) \times \left( \lim_{x \to 1} (f(x) + 4) \right)$ है।
यह $f'(1) \times (4 + 4) = 8f'(1)$ के बराबर है।

(B) $f(x) = e^{\sqrt{1 - x^2}} \cdot \tan x$ का अवकलन ज्ञात करने के लिए,हम गुणन नियम का उपयोग करते हैं: $\frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$.
मान लीजिए $u = e^{\sqrt{1 - x^2}}$ और $v = \tan x$.
तब $\frac{dv}{dx} = \sec^2 x$.
$u$ के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{du}{dx} = e^{\sqrt{1 - x^2}} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{1 - x^2}) = e^{\sqrt{1 - x^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} \cdot (-2x) = -\frac{x e^{\sqrt{1 - x^2}}}{\sqrt{1 - x^2}}$.
गुणन नियम लागू करने पर:
$\frac{d}{dx} (u v) = e^{\sqrt{1 - x^2}} \cdot \sec^2 x + \tan x \cdot \left( -\frac{x e^{\sqrt{1 - x^2}}}{\sqrt{1 - x^2}} \right)$.
$e^{\sqrt{1 - x^2}}$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= e^{\sqrt{1 - x^2}} \left[ \sec^2 x - \frac{x \tan x}{\sqrt{1 - x^2}} \right]$.

(A) दिया गया है $y = 5x(1 - x)^{-2/3} + \cos^2(2x + 1)$.
गुणनफल नियम और श्रृंखला नियम लागू करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 5 \left[ (1 - x)^{-2/3} + x \cdot \left( -\frac{2}{3} \right)(1 - x)^{-5/3}(-1) \right] + 2\cos(2x + 1)(-\sin(2x + 1))(2)$.
$\frac{dy}{dx} = 5(1 - x)^{-2/3} + \frac{10x}{3(1 - x)^{5/3}} - 4\cos(2x + 1)\sin(2x + 1)$.
$2\sin\theta\cos\theta = \sin(2\theta)$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $4\cos(2x + 1)\sin(2x + 1) = 2\sin(4x + 2)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{5(1 - x) + \frac{10x}{3}}{(1 - x)^{5/3}} - 2\sin(4x + 2) = \frac{5 - 5x + \frac{10x}{3}}{(1 - x)^{5/3}} - 2\sin(4x + 2)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{5(3 - 3x + 2x)}{3(1 - x)^{5/3}} - 2\sin(4x + 2) = \frac{5(3 - x)}{3(1 - x)^{5/3}} - 2\sin(4x + 2)$.

(D) दिया गया है $f'(ln x) = \begin{cases} 1 & 0 < x \le 1 \\ x & x > 1 \end{cases}$।
मान लीजिए $ln x = t$,तो $x = e^t$।
$x > 1$ के लिए,$t > 0$,इसलिए $f'(t) = e^t$।
समाकलन करने पर,$f(t) = e^t + C_1$।
चूंकि $f$ बिंदु $t=0$ पर सतत है,हम बाईं ओर की सीमा का उपयोग करते हैं: $f(0) = 0$।
$f(0) = e^0 + C_1 = 0 \implies 1 + C_1 = 0 \implies C_1 = -1$।
अतः,$x > 0$ के लिए $f(x) = e^x - 1$।
$0 < x \le 1$ के लिए,$t \le 0$,इसलिए $f'(t) = 1$।
समाकलन करने पर,$f(t) = t + C_2$।
$f(0) = 0$ दिया गया है,इसलिए $0 + C_2 = 0 \implies C_2 = 0$।
अतः,$x \le 0$ के लिए $f(x) = x$।
इन दोनों को मिलाने पर,$f(x) = \begin{cases} x & x \le 0 \\ e^x - 1 & x > 0 \end{cases}$।

(B) माना कि $f(x) = \int\limits_a^x \ln^2 t \, dt$ है।
तब दिया गया व्यंजक $\mathop {\text{Limit}}\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ है।
अवकलन की परिभाषा के अनुसार,यह $f'(x)$ के बराबर है।
कलन के मूलभूत प्रमेय (Leibniz's Rule) का उपयोग करते हुए,हमें $f'(x) = \frac{d}{dx} \int\limits_a^x \ln^2 t \, dt = \ln^2 x$ प्राप्त होता है।
अतः,सीमा का मान $\ln^2 x$ है।

(A) दिया गया है कि $f'(\sin x) = \cos^2 x$.
माना $t = \sin x$,तब $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - t^2$.
अतः,$f'(t) = 1 - t^2$.
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(t) = \int (1 - t^2) dt = t - \frac{t^3}{3} + C$.
दिया गया है कि $f(1) = 1$,इसलिए $t = 1$ रखने पर:
$1 = 1 - \frac{1^3}{3} + C \Rightarrow 1 = 1 - \frac{1}{3} + C \Rightarrow C = \frac{1}{3}$.
इस प्रकार,$f(t) = t - \frac{t^3}{3} + \frac{1}{3}$.
$t$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $f''(x) = x^{1/3}$।
$x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$f'(x) = \int x^{1/3} dx = \frac{x^{4/3}}{4/3} + C_1 = \frac{3}{4}x^{4/3} + C_1$।
दिए गए कथनों से तुलना करने पर:
कथन $I$ $(f'(x) = \frac{3}{4}x^{4/3} + 9)$ संभव है यदि $C_1 = 9$ हो।
कथन $IV$ $(f'(x) = \frac{3}{4}x^{4/3} - 4)$ संभव है यदि $C_1 = -4$ हो।
अब,$f(x)$ ज्ञात करने के लिए $f'(x)$ का समाकलन करने पर:
$f(x) = \int (\frac{3}{4}x^{4/3} + C_1) dx = \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{7/3}}{7/3} + C_1x + C_2 = \frac{9}{28}x^{7/3} + C_1x + C_2$।
कथन $II$ और $III$ में $f(x) = \frac{9}{28}x^{7/3} + K$ है। यह रूप केवल तभी संभव है जब $C_1 = 0$ हो। यदि $C_1 = 0$ है,तो $f'(x) = \frac{3}{4}x^{4/3}$ होगा,जो $I$ या $IV$ से मेल नहीं खाता है। अतः,केवल $I$ और $IV$ ही $f'(x)$ के लिए मान्य रूप हैं।

(B) दिया गया है $y = f \left( \frac{3x + 4}{5x + 6} \right)$ और $f'(x) = \tan(x^2)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए:
$\frac{dy}{dx} = f' \left( \frac{3x + 4}{5x + 6} \right) \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{3x + 4}{5x + 6} \right)$
आंतरिक फलन के अवकलन के लिए भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करते हुए:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{3x + 4}{5x + 6} \right) = \frac{3(5x + 6) - 5(3x + 4)}{(5x + 6)^2} = \frac{15x + 18 - 15x - 20}{(5x + 6)^2} = \frac{-2}{(5x + 6)^2}$
$f'(x) = \tan(x^2)$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \tan \left( \frac{3x + 4}{5x + 6} \right)^2 \cdot \frac{-2}{(5x + 6)^2}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) माना $x = \sin A$ और $\sqrt{x} = \sin B$ है।
अतः,$y = \sin^{-1} (\sin A \cos B + \sin B \cos A) = \sin^{-1} (\sin(A + B)) = A + B$।
यहाँ $A = \sin^{-1} x$ और $B = \sin^{-1} \sqrt{x}$ है।
इसलिए,$y = \sin^{-1} x + \sin^{-1} \sqrt{x}$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{1}{2\sqrt{x(1 - x)}}$।
दिए गए समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x(1 - x)}} + p$ के साथ तुलना करने पर,हमें $p = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $y = f \left( \frac{2x - 1}{x^2 + 1} \right)$ और $f'(x) = \sin x$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,हम $y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = f' \left( \frac{2x - 1}{x^2 + 1} \right) \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{2x - 1}{x^2 + 1} \right)$।
चूंकि $f'(x) = \sin x$,इसलिए $f' \left( \frac{2x - 1}{x^2 + 1} \right) = \sin \left( \frac{2x - 1}{x^2 + 1} \right)$।
अब,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $u = \frac{2x - 1}{x^2 + 1}$ का अवकलन करें:
$\frac{du}{dx} = \frac{(x^2 + 1)(2) - (2x - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2 - 4x^2 + 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2 + 2x - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2(1 + x - x^2)}{(x^2 + 1)^2}$।
इन मानों को $\frac{dy}{dx}$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2(1 + x - x^2)}{(x^2 + 1)^2} \sin \left( \frac{2x - 1}{x^2 + 1} \right)$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दी गई परिभाषा $D^*f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f^2(x + h) - f^2(x)}{h}$ है।
यह फलन $g(x) = f^2(x) = [f(x)]^2$ के अवकलज की परिभाषा है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$D^*f(x) = \frac{d}{dx} [f(x)]^2 = 2f(x) \cdot f'(x)$ है।
दिया गया है $f(x) = x \ln x$,गुणन नियम का उपयोग करके $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.
अब,$D^*f(x)$ के व्यंजक में $f(x)$ और $f'(x)$ का मान रखने पर:
$D^*f(x) = 2(x \ln x)(\ln x + 1)$.
$x = e$ पर मान ज्ञात करने पर:
$D^*f(e) = 2(e \ln e)(\ln e + 1) = 2(e \cdot 1)(1 + 1) = 2e(2) = 4e$.

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{1}{2} \cdot 5^{2x+1} = \frac{5}{2} \cdot 5^{2x}$.
अवकलन करने पर: $f'(x) = \frac{5}{2} \cdot 5^{2x} \cdot \ln 5 \cdot 2 = 5 \cdot 5^{2x} \ln 5$.
दिया गया है $g(x) = 5^x + 4x \ln 5$.
अवकलन करने पर: $g'(x) = 5^x \ln 5 + 4 \ln 5 = \ln 5 (5^x + 4)$.
हमें $f'(x) > g'(x)$ को हल करना है:
$5 \cdot 5^{2x} \ln 5 > \ln 5 (5^x + 4)$.
चूंकि $\ln 5 > 0$,हम $\ln 5$ से विभाजित कर सकते हैं:
$5 \cdot (5^x)^2 > 5^x + 4$.
माना $t = 5^x$. चूंकि $x \in \mathbb{R}$,$t > 0$.
असमिका $5t^2 - t - 4 > 0$ हो जाती है।
गुणनखंड करने पर: $(5t + 4)(t - 1) > 0$.
चूंकि $t > 0$,$5t + 4$ हमेशा धनात्मक है।
इसलिए,$t - 1 > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $t > 1$.
$t = 5^x$ वापस रखने पर: $5^x > 1$.
चूंकि $5^x$ एक वर्धमान फलन है,$x > 0$।

(D) दिया गया है कि $f \circ g$ एक तत्समक फलन है,इसलिए $f(g(x)) = x$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(g(x)) \cdot g'(x) = 1$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $x = a$ रखने पर:
$f'(g(a)) \cdot g'(a) = 1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $g(a) = b$ और $g'(a) = 2$ दिया गया है,मान रखने पर:
$f'(b) \cdot 2 = 1$ होता है।
अतः,$f'(b) = 1/2$ है।

(B) दिया गया समीकरण $f(x^2) = x^3$ है,जहाँ $x > 0$ है।
$f'(4)$ ज्ञात करने के लिए,हम श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके समीकरण के दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{d}{dx}[f(x^2)] = \frac{d}{dx}[x^3]$
$f'(x^2) \cdot (2x) = 3x^2$
चूंकि $x > 0$ है,हम $2x$ से विभाजित कर सकते हैं:
$f'(x^2) = \frac{3x^2}{2x} = \frac{3}{2}x$
हमें $f'(4)$ का मान ज्ञात करना है। यहाँ $x^2 = 4$ और $x > 0$ है,इसलिए $x = 2$ होगा।
$f'(x^2)$ के व्यंजक में $x = 2$ रखने पर:
$f'(4) = \frac{3}{2}(2) = 3$
अतः,$f'(4)$ का मान $3$ है।

(D) फलन $f(x)$ केवल तभी परिभाषित है यदि वर्गमूल के अंदर का मान गैर-ऋणात्मक हो,अर्थात $\ln(2a - a^2) \ge 0$।
इसका अर्थ है $2a - a^2 \ge 1$,जो सरल होकर $a^2 - 2a + 1 \le 0$ या $(a - 1)^2 \le 0$ हो जाता है।
चूंकि किसी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $(a - 1)^2 = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $a = 1$।
$f(x)$ में $a = 1$ रखने पर,$f(x) = 4x^3 - 6x^2 \cos 2 + 3x \sin 2 \sin 6$ प्राप्त होता है।
अब,अवकलज $f'(x) = 12x^2 - 12x \cos 2 + 3 \sin 2 \sin 6$ ज्ञात करें।
$x = 1/2$ पर मान रखने पर,$f'(1/2) = 12(1/4) - 12(1/2) \cos 2 + 3 \sin 2 \sin 6 = 3 - 6 \cos 2 + 3 \sin 2 \sin 6$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sin 2 \sin 6 = \frac{1}{2}(\cos 4 - \cos 8)$ का उपयोग करने पर,$f'(1/2) = 3 - 6 \cos 2 + \frac{3}{2}(\cos 4 - \cos 8)$ मिलता है।
चूंकि $\cos 2 \approx -0.416$ है,इसलिए $-6 \cos 2 \approx 2.496$ होता है। अतः $f'(1/2) = 3 + 2.496 + \dots > 0$।

(C) दिया गया है कि $f(x) = (kx + e^x) h(x)$.
अवकलन के लिए गुणन नियम का उपयोग करने पर,$f'(x) = \frac{d}{dx}(kx + e^x) \cdot h(x) + (kx + e^x) \cdot h'(x)$.
$f'(x) = (k + e^x) h(x) + (kx + e^x) h'(x)$.
अब,अवकलज व्यंजक में $x = 0$ रखने पर:
$f'(0) = (k + e^0) h(0) + (k(0) + e^0) h'(0)$.
$f'(0) = (k + 1) h(0) + (0 + 1) h'(0)$.
$f'(0) = (k + 1) h(0) + h'(0)$.
दिया गया है कि $h(0) = 5$,$h'(0) = -2$ और $f'(0) = 18$,इन मानों को रखने पर:
$18 = (k + 1)(5) + (-2)$.
$18 = 5k + 5 - 2$.
$18 = 5k + 3$.
$15 = 5k$.
$k = 3$.

(D) दिया गया है $f(x) = (x^x)^x = x^{x^2}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(f(x)) = x^2 \ln(x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{f'(x)}{f(x)} = 2x \ln(x) + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln(x) + x$.
अतः,$f'(x) = f(x) (2x \ln(x) + x) = x^{x^2} (2x \ln(x) + x)$.
$x = 1$ पर,$f'(1) = 1^1 (2(1) \ln(1) + 1) = 1(0 + 1) = 1$.
अब,$g(x) = x^{(x^x)}$.
प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(g(x)) = x^x \ln(x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{g'(x)}{g(x)} = \frac{d}{dx}(x^x) \ln(x) + x^x \cdot \frac{1}{x}$.
हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(1 + \ln(x))$.
अतः,$\frac{g'(x)}{g(x)} = x^x(1 + \ln(x)) \ln(x) + x^{x-1}$.
$x = 1$ पर,$g(1) = 1^{(1^1)} = 1$.
$g'(1) = g(1) [1^1(1 + \ln(1)) \ln(1) + 1^{1-1}] = 1 [1(1 + 0)(0) + 1] = 1(0 + 1) = 1$.
इस प्रकार,$f'(1) = 1$ और $g'(1) = 1$.

(B) माना $u = \sqrt{a - x}$ और $v = \sqrt{x - b}$ है। तब $u^2 = a - x$ और $v^2 = x - b$ होगा।
यहाँ $u^2 + v^2 = a - b$ है। अंश $u^3 - (b - x)v$ है। चूँकि $b - x = -v^2$,अंश $u^3 + v^3$ हो जाता है।
अतः,$y = \frac{u^3 + v^3}{u + v} = u^2 - uv + v^2$ है।
मान वापस रखने पर,$y = (a - x) - \sqrt{(a - x)(x - b)} + (x - b) = a - b - \sqrt{-x^2 + (a + b)x - ab}$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{2\sqrt{-x^2 + (a + b)x - ab}} \cdot (-2x + a + b)$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{2x - (a + b)}{2\sqrt{(a - x)(x - b)}}$।

(B) माना अंश $N = \cos 6x + 6\cos 4x + 15\cos 2x + 10$ है।
हम द्विपद विस्तार के गुणों का उपयोग करके गुणांकों को फिर से लिख सकते हैं:
$N = \cos 6x + \cos 4x + 5\cos 4x + 5\cos 2x + 10\cos 2x + 10$.
सर्वसमिका $\cos A + \cos B = 2\cos(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2})$ और $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$ का उपयोग करते हुए:
$N = 2\cos 5x \cos x + 5(2\cos 3x \cos x) + 10(2\cos^2 x)$.
$N = 2\cos x (\cos 5x + 5\cos 3x + 10\cos x)$.
माना हर $D = \cos 5x + 5\cos 3x + 10\cos x$ है।
अतः $y = \frac{N}{D} = \frac{2\cos x (\cos 5x + 5\cos 3x + 10\cos x)}{\cos 5x + 5\cos 3x + 10\cos x} = 2\cos x$.
इसलिए,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2\cos x) = -2\sin x$.