मान लीजिए कि f, g और h अंतराल [0,1] पर परिभाष | vedclass

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Question

(D) हमें अंतराल $[0,1]$ पर फलन $f(x)=e^{x^2}+e^{-x^2}$,$g(x)=x e^{x^2}+e^{-x^2}$,और $h(x)=x^2 e^{x^2}+e^{-x^2}$ दिए गए हैं।$x \in [0,1]$ के लिए,हमारे

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$a=b=c$

Vedclass · Answer

(D) हमें अंतराल $[0,1]$ पर फलन $f(x)=e^{x^2}+e^{-x^2}$,$g(x)=x e^{x^2}+e^{-x^2}$,और $h(x)=x^2 e^{x^2}+e^{-x^2}$ दिए गए हैं।$x \in [0,1]$ के लिए,हमारे पास $0 \leq x^2 \leq x \leq 1$ है।चूंकि $e^{x^2} > 0$ और $e^{-x^2} > 0$,हम फलनों की तुलना करते हैं:$f(x) - g(x) = e^{x^2} + e^{-x^2} - x e^{x^2} - e^{-x^2} = e^{x^2}(1-x) \geq 0$,$x \in [0,1]$ के लिए। अतः $f(x) \geq g(x)$।$g(x) - h(x) = x e^{x^2} + e^{-x^2} - x^2 e^{x^2} - e^{-x^2} = e^{x^2}(x-x^2) = x e^{x^2}(1-x) \geq 0$,$x \in [0,1]$ के लिए। अतः $g(x) \geq h(x)$।इसलिए,सभी $x \in [0,1]$ के लिए $f(x) \geq g(x) \geq h(x)$ है।$x=1$ पर,$f(1) = e^1 + e^{-1} = e + \frac{1}{e}$,$g(1) = 1 \cdot e^1 + e^{-1} = e + \frac{1}{e}$,और $h(1) = 1^2 \cdot e^1 + e^{-1} = e + \frac{1}{e}$।चूंकि $f(x)$,$g(x)$,और $h(x)$ अंतराल $[0,1]$ पर वर्धमान फलन हैं (क्योंकि उनके अवकलज अ-ऋणात्मक हैं),उनके अधिकतम मान $x=1$ पर प्राप्त होते हैं।अतः,$a = f(1) = e + \frac{1}{e}$,$b = g(1) = e + \frac{1}{e}$,और $c = h(1) = e + \frac{1}{e}$।इसलिए,$a=b=c$।

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