જો $y = a \ln x + bx^2 + x$ ની અંતિમ કિંમત $x = 1$ અને $x = 2$ પર હોય,તો $(a, b) =$

અંતરાલ $[2, \infty)$ માં $\frac{\log x}{x}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શું છે?

વિધેય $S(x) = \int\limits_0^x {\sin \left( {\frac{{\pi {t^2}}}{2}} \right)\,dt} $ ને અંતરાલ $[1, 2.4]$ માં બે ક્રાંતિક બિંદુઓ છે. એક ક્રાંતિક બિંદુ સ્થાનિક ન્યૂનતમ છે અને બીજું સ્થાનિક મહત્તમ છે. સ્થાનિક ન્યૂનતમ $x =$ પર મળે છે.

અંતરાલ $(-4, 4)$ માં,વિધેય $f(x) = \int_{-10}^x (t^4 - 4)e^{-4t} dt$ ને:

ધારો કે $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ એક વિધેય છે. ધારો કે $f$ બે વાર વિકલનીય છે,$f(0)=f(1)=0$ અને $x \in[0,1]$ માટે $f^{\prime \prime}(x)-2 f^{\prime}(x)+f(x) \geq e^x$ નું પાલન કરે છે.
$1.$ $0 < x < 1$ માટે નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે?
$(A)$ $0 < f(x) < \infty$
$(B)$ $-\frac{1}{2} < f(x) < \frac{1}{2}$
$(C)$ $-\frac{1}{4} < f(x) < 1$
$(D)$ $-\infty < f(x) < 0$
$2.$ જો વિધેય $g(x) = e^{-x} f(x)$ અંતરાલ $[0,1]$ માં તેનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $x=\frac{1}{4}$ પર ધારણ કરે છે,તો નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે?
$(A)$ $f^{\prime}(x) < f(x)$ માટે $x \in (0, 1/4)$
$(B)$ $f^{\prime}(x) > f(x)$ માટે $x \in (0, 1/4)$
$(C)$ $f^{\prime}(x) < f(x)$ માટે $x \in (1/4, 1)$
$(D)$ $f^{\prime}(x) > f(x)$ માટે $x \in (1/4, 1)$

અંતરાલ $(0, \frac{\pi}{4})$ માં સમીકરણ $3 \tan x + x^3 = 2$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?