फलन f(x) = tan^{-1}(sin x + cos x),x 0 किस | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = 	an^{-1}(\sin x + \cos x)$.हम प्रतिलोम स्पर्शज्या (inverse tangent) के अंदर के व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:$f(x) = 	an^

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$(0, \pi/4)$

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(C) दिया गया है $f(x) = 	an^{-1}(\sin x + \cos x)$.हम प्रतिलोम स्पर्शज्या (inverse tangent) के अंदर के व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:$f(x) = 	an^{-1}\left(\sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos xight)ight) = 	an^{-1}\left(\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}ight)ight)$.यह ज्ञात करने के लिए कि फलन कहाँ वर्धमान है,हम अवकलज $f'(x)$ की गणना करते हैं:$f'(x) = \frac{1}{1 + (\sqrt{2} \sin(x + \pi/4))^2} \cdot \sqrt{2} \cos(x + \pi/4)$.$f(x)$ के वर्धमान फलन होने के लिए,हमें $f'(x) > 0$ की आवश्यकता है।चूंकि हर $1 + 2 \sin^2(x + \pi/4)$ हमेशा धनात्मक है,हमें केवल अंश को धनात्मक होने की आवश्यकता है:$\sqrt{2} \cos(x + \pi/4) > 0$.इसका अर्थ है $\cos(x + \pi/4) > 0$.$x > 0$ के लिए,कोसाइन फलन तब धनात्मक होता है जब कोण प्रथम चतुर्थांश में हो:$0 सभी पक्षों से $\frac{\pi}{4}$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:$-\frac{\pi}{4} $x > 0$ की शर्त को देखते हुए,अंतराल $(0, \pi/4)$ प्राप्त होता है।

फलन $f(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x)$,$x > 0$ किस अंतराल में हमेशा एक वर्धमान फलन है?

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