फलन f(x) = e^{ax} + e^{-ax},जहाँ a 0,x के क | vedclass

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Question

(A) यहाँ फलन $f(x) = e^{ax} + e^{-ax}$ दिया गया है।यह ज्ञात करने के लिए कि फलन कहाँ वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:$f'(x) = \frac{d}{dx}

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$x > 0$

Vedclass · Answer

(A) यहाँ फलन $f(x) = e^{ax} + e^{-ax}$ दिया गया है।यह ज्ञात करने के लिए कि फलन कहाँ वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{ax} + e^{-ax}) = a e^{ax} - a e^{-ax}$.$a e^{-ax}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:$f'(x) = a e^{-ax} (e^{2ax} - 1)$.फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।चूँकि $a > 0$ और $e^{-ax} > 0$ सभी वास्तविक $x$ के लिए होता है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न $(e^{2ax} - 1)$ पर निर्भर करता है।अतः,$e^{2ax} - 1 > 0$ लेने पर,$e^{2ax} > 1$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:$2ax > \ln(1) = 0$.चूँकि $a > 0$,$2a$ से भाग देने पर $x > 0$ प्राप्त होता है।अतः,$x > 0$ के लिए फलन एक वर्धमान फलन है।

फलन $f(x) = e^{ax} + e^{-ax}$,जहाँ $a > 0$,$x$ के किस मान के लिए एक वर्धमान फलन है?

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