क्षेत्र {(x, y): 0 leq x leq frac{9}{4}, 0 le | vedclass

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Question

(A) यह क्षेत्र रेखाओं $x=3y$,$x+y=2$,$y=0$,और $x=\frac{9}{4}$ द्वारा घिरा हुआ है।सबसे पहले,हम सीमा रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:$1$. $x=

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$\frac{11}{32}$

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(A) यह क्षेत्र रेखाओं $x=3y$,$x+y=2$,$y=0$,और $x=\frac{9}{4}$ द्वारा घिरा हुआ है।सबसे पहले,हम सीमा रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:$1$. $x=3y$ और $x+y=2$ का प्रतिच्छेदन: $x=3y$ को $x+y=2$ में रखने पर $3y+y=2$ प्राप्त होता है,इसलिए $4y=2$,जिसका अर्थ है $y=\frac{1}{2}$ और $x=\frac{3}{2}$। अतः,$P = (\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$।$2$. $x+y=2$ और $y=0$ का प्रतिच्छेदन: $x=2$। अतः,$Q = (2, 0)$।$3$. $x=\frac{9}{4}$ और $y=0$ का प्रतिच्छेदन: $R = (\frac{9}{4}, 0)$।$4$. $x=\frac{9}{4}$ और $x=3y$ का प्रतिच्छेदन: $y=\frac{x}{3} = \frac{9/4}{3} = \frac{3}{4}$। अतः,$S = (\frac{9}{4}, \frac{3}{4})$।यह क्षेत्र एक चतुर्भुज $PQRS$ है जिसके शीर्ष $P(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$,$Q(2, 0)$,$R(\frac{9}{4}, 0)$,और $S(\frac{9}{4}, \frac{3}{4})$ हैं।क्षेत्रफल $= \int_{3/2}^{9/4} (x/3) dx - \int_{3/2}^{2} (2-x) dx = [x^2/6]_{3/2}^{9/4} - [2x - x^2/2]_{3/2}^{2} = (\frac{27}{32} - \frac{3}{8}) - (2 - \frac{15}{8}) = \frac{15}{32} - \frac{1}{8} = \frac{11}{32}$।

क्षेत्र $\{(x, y): 0 \leq x \leq \frac{9}{4}, 0 \leq y \leq 1, x \geq 3y, x+y \geq 2\}$ का क्षेत्रफल है

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