જો રેખા x=alpha એ પ્રદેશ R={(x, y) in mathbb{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) પ્રદેશ $R$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:$A = \int_0^1 (x - x^3) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4

Vedclass · Accepted Answer

$B, C$

Vedclass · Answer

(A) પ્રદેશ $R$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:$A = \int_0^1 (x - x^3) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} ight]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.રેખા $x = \alpha$ ક્ષેત્રફળને બે સમાન ભાગોમાં વહેંચતી હોવાથી,$0$ થી $\alpha$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ કુલ ક્ષેત્રફળના અડધા જેટલું હોવું જોઈએ:$\int_0^{\alpha} (x - x^3) dx = \frac{1}{2} 	imes \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$.સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:$\left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} ight]_0^{\alpha} = \frac{1}{8}$$\frac{\alpha^2}{2} - \frac{\alpha^4}{4} = \frac{1}{8}$$4$ વડે ગુણતા:$2 \alpha^2 - \alpha^4 = \frac{1}{2}$$4 \alpha^2 - 2 \alpha^4 = 1$$2 \alpha^4 - 4 \alpha^2 + 1 = 0$. આ વિકલ્પ $[C]$ સાબિત કરે છે.ધારો કે $f(\alpha) = 2 \alpha^4 - 4 \alpha^2 + 1$. આપણી પાસે $f(0) = 1$ અને $f(1) = 2 - 4 + 1 = -1$ છે.$f(\alpha)$ સતત હોવાથી અને $0$ થી $1$ ની વચ્ચે ચિહ્ન બદલાતું હોવાથી,એક બીજ $\alpha \in (0, 1)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.વળી,$f(1/\sqrt{2}) = 2(1/4) - 4(1/2) + 1 = 0.5 - 2 + 1 = -0.5 $f(0) = 1 > 0$ અને $f(1/\sqrt{2}) $1/\sqrt{2} \approx 0.707$ અને $1/2 = 0.5$ હોવાથી,આપણે $f(1/2) = 2(1/16) - 4(1/4) + 1 = 1/8 - 1 + 1 = 1/8 > 0$ ચકાસીએ છીએ.$f(1/2) > 0$ અને $f(1/\sqrt{2}) < 0$ હોવાથી,બીજ $\alpha$ એ $(1/2, 1/\sqrt{2})$ માં છે,જે $(1/2, 1)$ નો ઉપગણ છે. તેથી,વિકલ્પ $[B]$ પણ સાચો છે.

Similar Questions

પરવલય $x^{2}=4y$ અને રેખાઓ $y=2$,$y=4$ તથા $Y$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

પરવલય $y^{2}=x$ અને રેખા $y=mx$ વચ્ચે ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{48}$ છે. તો,$m$ ની કિંમત શોધો.

વક્ર $y = x(1 - \ln x)$,રેખા $x = e^{-1}$,અને $x = e^{-1}$ તથા $x = e$ વચ્ચેના ધન $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધો:

રેખા $y=3x$ અને વક્ર $y=x^2$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ ચોરસ એકમમાં કેટલું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module