Area bounded by region of multi curve Questions in Hindi

(A) वक्र ${y^2} = 4ax$ और $y = mx$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = mx$ को ${y^2} = 4ax$ में प्रतिस्थापित करें:
$(mx)^2 = 4ax \Rightarrow m^2x^2 - 4ax = 0 \Rightarrow x(m^2x - 4a) = 0$.
अतः,$x = 0$ या $x = \frac{4a}{m^2}$.
क्षेत्रफल $A = \int_0^{4a/m^2} (\sqrt{4ax} - mx) \,dx = \frac{a^2}{3}$.
समाकलन करने पर,$\left[ 2\sqrt{a} \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{mx^2}{2} \right]_0^{4a/m^2} = \frac{a^2}{3}$.
सीमाओं को रखने पर: $\frac{4\sqrt{a}}{3} \left( \frac{4a}{m^2} \right)^{3/2} - \frac{m}{2} \left( \frac{4a}{m^2} \right)^2 = \frac{a^2}{3}$.
$\frac{4\sqrt{a}}{3} \cdot \frac{8a^{3/2}}{m^3} - \frac{m}{2} \cdot \frac{16a^2}{m^4} = \frac{a^2}{3}$.
$\frac{32a^2}{3m^3} - \frac{8a^2}{m^3} = \frac{a^2}{3}$.
$\frac{a^2}{m^3} \left( \frac{32}{3} - 8 \right) = \frac{a^2}{3} \Rightarrow \frac{a^2}{m^3} \left( \frac{8}{3} \right) = \frac{a^2}{3}$.
$\frac{8}{m^3} = 1 \Rightarrow m^3 = 8 \Rightarrow m = 2$.

(A) दिए गए वक्र $y^2 = x$ और $2y = x$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x = 2y$ को $y^2 = x$ में प्रतिस्थापित करें:
$y^2 = 2y \Rightarrow y^2 - 2y = 0 \Rightarrow y(y - 2) = 0$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $y = 0$ और $y = 2$ हैं।
वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A$,$y$ के सापेक्ष वक्रों के अंतर का समाकलन है:
$A = \int_{0}^{2} (x_{line} - x_{parabola}) dy = \int_{0}^{2} (2y - y^2) dy$.
समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$A = [y^2 - \frac{y^3}{3}]_{0}^{2} = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - (0 - 0) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(D) वांछित क्षेत्रफल $x = 0$ और $x = 2$ की सीमाओं के बीच ऊपरी वक्र से निचले वक्र को घटाकर प्राप्त समाकलन द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल = $\int_0^2 [2^x - (2x - x^2)] \, dx$
$= \int_0^2 (2^x - 2x + x^2) \, dx$
$= \left[ \frac{2^x}{\log 2} - x^2 + \frac{x^3}{3} \right]_0^2$
$= \left( \frac{2^2}{\log 2} - 2^2 + \frac{2^3}{3} \right) - \left( \frac{2^0}{\log 2} - 0^2 + \frac{0^3}{3} \right)$
$= \left( \frac{4}{\log 2} - 4 + \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{\log 2} \right)$
$= \frac{4}{\log 2} - \frac{1}{\log 2} - 4 + \frac{8}{3}$
$= \frac{3}{\log 2} - \frac{12}{3} + \frac{8}{3}$
$= \frac{3}{\log 2} - \frac{4}{3}$.

(C) दिए गए वक्र $y = x^3$ और $y = \sqrt{x}$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x^3 = \sqrt{x}$ रखें।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^6 = x$,जिसका अर्थ है $x(x^5 - 1) = 0$।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x = 0$ और $x = 1$ हैं।
अंतराल $[0, 1]$ में,$\sqrt{x} \geq x^3$ है।
इसलिए,आवश्यक क्षेत्रफल $A = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^3) \, dx$ है।
$A = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1}$।
$A = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1}$।
$A = \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{4} \right) - (0 - 0)$।
$A = \frac{8 - 3}{12} = \frac{5}{12}$ वर्ग इकाई।

(D) दिए गए परवलय $y = x^2 - 1$ और $y = 1 - x^2$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x^2 - 1 = 1 - x^2$ रखें,जिससे $2x^2 = 2$ प्राप्त होता है,अर्थात $x^2 = 1$,जिसका अर्थ है $x = \pm 1$।
दोनों वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $x = -1$ से $x = 1$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $= \int_{-1}^{1} ((1 - x^2) - (x^2 - 1)) \, dx$
$= \int_{-1}^{1} (2 - 2x^2) \, dx$
$= 2 \int_{-1}^{1} (1 - x^2) \, dx$
चूंकि फलन सम है,क्षेत्रफल $= 2 \times 2 \int_{0}^{1} (1 - x^2) \, dx$
$= 4 \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_0^1$
$= 4 \left( 1 - \frac{1}{3} \right) = 4 \left( \frac{2}{3} \right) = \frac{8}{3}$ वर्ग इकाई।

(D) दिए गए समीकरण ${y^2 = 4x}$ और ${x^2 = 4y}$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,${y = \frac{x^2}{4}}$ को ${y^2 = 4x}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{x^2}{4})^2 = 4x \implies \frac{x^4}{16} = 4x \implies x^4 = 64x \implies x(x^3 - 64) = 0$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु ${x = 0}$ और ${x = 4}$ हैं।
वक्रों के बीच घिरा हुआ क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{0}^{4} (\sqrt{4x} - \frac{x^2}{4}) \, dx$
$A = \int_{0}^{4} (2\sqrt{x} - \frac{x^2}{4}) \, dx$
$A = [2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^3}{12}]_{0}^{4}$
$A = [\frac{4}{3} x^{3/2} - \frac{x^3}{12}]_{0}^{4}$
$A = (\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{64}{12}) - (0 - 0)$
$A = \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) दिए गए वक्र ${y^2} = 8x$ और $y = x$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = x$ को ${y^2} = 8x$ में प्रतिस्थापित करें:
${x^2} = 8x \Rightarrow {x^2} - 8x = 0 \Rightarrow x(x - 8) = 0$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x = 0$ और $x = 8$ हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$\text{Area} = \int_{0}^{8} (\sqrt{8x} - x) \, dx = \int_{0}^{8} (2\sqrt{2}x^{1/2} - x) \, dx$.
समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$= \left[ 2\sqrt{2} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{8} = \left[ \frac{4\sqrt{2}}{3} x^{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{8}$.
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$= \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} (8)^{3/2} - \frac{8^2}{2} \right) - 0 = \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot 16\sqrt{2} - 32 \right) = \frac{128}{3} - 32 = \frac{128 - 96}{3} = \frac{32}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) वक्रों $y = \log_e x$ और $y = (\log_e x)^2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले $\log_e x = (\log_e x)^2$ रखकर प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करते हैं।
माना $u = \log_e x$ है। तब $u = u^2$,जिसका अर्थ है $u^2 - u = 0$,इसलिए $u(u - 1) = 0$। अतः,$u = 0$ या $u = 1$ है।
$u = 0$ के लिए,$\log_e x = 0 \implies x = 1$। $u = 1$ के लिए,$\log_e x = 1 \implies x = e$।
वक्र $x = 1$ और $x = e$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। अंतराल $[1, e]$ में,$\log_e x \ge (\log_e x)^2$ है।
आवश्यक क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_1^e [\log_e x - (\log_e x)^2] \, dx$
$A = \int_1^e \log_e x \, dx - \int_1^e (\log_e x)^2 \, dx$
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए:
$\int \log_e x \, dx = x \log_e x - x$
$\int (\log_e x)^2 \, dx = x(\log_e x)^2 - 2x \log_e x + 2x$
निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करते हुए:
$\int_1^e \log_e x \, dx = [x \log_e x - x]_1^e = (e \log_e e - e) - (1 \log_e 1 - 1) = (e - e) - (0 - 1) = 1$
$\int_1^e (\log_e x)^2 \, dx = [x(\log_e x)^2 - 2x \log_e x + 2x]_1^e = (e(1)^2 - 2e(1) + 2e) - (1(0)^2 - 2(1)(0) + 2(1)) = (e - 2e + 2e) - (2) = e - 2$
अतः,$A = 1 - (e - 2) = 3 - e$।

(C) परवलयों $y^2 = 4ax$ और $x^2 = 8ay$ के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
प्रथम समीकरण से,$y = \sqrt{4ax} = 2\sqrt{a}\sqrt{x}$ प्राप्त होता है।
इस मान को दूसरे समीकरण में रखने पर: $x^2 = 8a(2\sqrt{a}\sqrt{x}) = 16a^{3/2}x^{1/2}$।
$x^2 / x^{1/2} = 16a^{3/2} \implies x^{3/2} = 16a^{3/2}$।
दोनों पक्षों की घात $2/3$ लेने पर,$x = (16a^{3/2})^{2/3} = 16^{2/3} a = (2^4)^{2/3} a = 2^{8/3}a$ प्राप्त होता है।
अब,क्षेत्रफल $A$,$x = 0$ से $x = 2^{8/3}a$ तक ऊपरी वक्र और निचले वक्र के अंतर का समाकलन है:
$A = \int_0^{2^{8/3}a} (\sqrt{4ax} - \frac{x^2}{8a}) dx$
$A = [2\sqrt{a} \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{24a}]_0^{2^{8/3}a}$
$A = \frac{4\sqrt{a}}{3} (2^{8/3}a)^{3/2} - \frac{(2^{8/3}a)^3}{24a}$
$A = \frac{4\sqrt{a}}{3} (2^4 a^{3/2}) - \frac{2^8 a^3}{24a}$
$A = \frac{4 \cdot 16}{3} a^2 - \frac{256}{24} a^2 = \frac{64}{3} a^2 - \frac{32}{3} a^2 = \frac{32}{3} a^2$।

(B) वक्र $y = x^2$ और $y = |x|$ हैं।
चूंकि दोनों वक्र $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित हैं,इसलिए कुल क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में प्राप्त क्षेत्रफल का दोगुना होगा।
प्रथम चतुर्थांश में,$y = |x|$,$y = x$ हो जाता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $x^2 = x$ रखने पर,$x(x - 1) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = 0$ और $x = 1$ है।
प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल $\int_0^1 (x - x^2) \, dx$ है।
समाकलन का मान: $\int_0^1 (x - x^2) \, dx = [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$।
अतः,कुल क्षेत्रफल $2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = \pi^2$ है,जो $r = \pi$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है।
प्रथम चतुर्थांश में,इस वृत्त का क्षेत्रफल $\frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi (\pi^2) = \frac{\pi^3}{4}$ है।
वक्र $y = \sin x$ और $x$-अक्ष द्वारा प्रथम चतुर्थांश में ($x = 0$ से $x = \pi$ तक) घिरा हुआ क्षेत्रफल $\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
इस समाकलन का मान: $\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx = [-\cos x]_{0}^{\pi} = -(\cos \pi - \cos 0) = -(-1 - 1) = 2$ है।
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल वृत्त के चतुर्थांश के क्षेत्रफल में से साइन वक्र के नीचे का क्षेत्रफल घटाने पर प्राप्त होता है: $\frac{\pi^3}{4} - 2 = \frac{\pi^3 - 8}{4}$।

(B) दिए गए वक्र $y^2 = x$ और $y = x^2$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = x^2$ में $x = y^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y = (y^2)^2 = y^4$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $y^4 - y = 0$,इसलिए $y(y^3 - 1) = 0$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $y = 0$ और $y = 1$ पर हैं।
$y = 0$ के लिए $x = 0$ और $y = 1$ के लिए $x = 1$ प्राप्त होता है।
वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$A = \int_0^1 (\sqrt{x} - x^2) dx$
$A = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1$
$A = \left( \frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{1}{3}(1)^3 \right) - (0 - 0)$
$A = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$
अतः,क्षेत्रफल $\frac{1}{3}$ वर्ग इकाई है।

(C) वक्र $y = x^2$ (अर्थात $x = \sqrt{y}$) और $x = y^2$ (अर्थात $y = \sqrt{x}$) हैं। वे $(0,0)$ और $(1,1)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$y-$अक्ष के परितः घुमाने पर, आयतन $V$ इस प्रकार है:
$V = \pi \int_{0}^{1} (x_{outer}^2 - x_{inner}^2) dy$
यहाँ, $y \in [0,1]$ के लिए, $x_{outer} = \sqrt{y}$ और $x_{inner} = y^2$ है।
$V = \pi \int_{0}^{1} ((\sqrt{y})^2 - (y^2)^2) dy$
$V = \pi \int_{0}^{1} (y - y^4) dy$
$V = \pi [\frac{y^2}{2} - \frac{y^5}{5}]_{0}^{1} = \pi (\frac{1}{2} - \frac{1}{5}) = \frac{3\pi}{10}$.
यदि हम $x=y^2$ और $y=x^2$ के बीच के क्षेत्र को $y-$अक्ष के परितः घुमाते हैं, तो समाकलन $\pi \int_0^1 (y^2 - y^4) dy = \pi [\frac{y^3}{3} - \frac{y^5}{5}]_0^1 = \pi (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = \frac{2\pi}{15}$ प्राप्त होता है। जो विकल्प $(C)$ से मेल खाता है।

(C) परवलय ${y^2} = 4ax$ और रेखा $y = 2ax$ के प्रतिच्छेदन बिंदु इन समीकरणों को एक साथ हल करके प्राप्त किए जाते हैं।
$y = 2ax$ को ${y^2} = 4ax$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है:
${(2ax)^2} = 4ax$
$4{a^2}{x^2} = 4ax$
$4ax(ax - 1) = 0$
इससे $x = 0$ या $x = \frac{1}{a}$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ के लिए,$y = 0$। $x = \frac{1}{a}$ के लिए,$y = 2a(\frac{1}{a}) = 2$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ और $(\frac{1}{a}, 2)$ हैं।
घिरा हुआ क्षेत्रफल $x = 0$ से $x = \frac{1}{a}$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_0^{1/a} (\sqrt{4ax} - 2ax) dx$
$= \int_0^{1/a} (2\sqrt{a}\sqrt{x} - 2ax) dx$
$= 2\sqrt{a} [\frac{x^{3/2}}{3/2}]_0^{1/a} - 2a [\frac{x^2}{2}]_0^{1/a}$
$= 2\sqrt{a} \cdot \frac{2}{3} (\frac{1}{a})^{3/2} - a (\frac{1}{a})^2$
$= \frac{4\sqrt{a}}{3} \cdot \frac{1}{a\sqrt{a}} - \frac{1}{a}$
$= \frac{4}{3a} - \frac{1}{a} = \frac{4-3}{3a} = \frac{1}{3a} \text{ वर्ग इकाई}$।
अतः,सही विकल्प $(C)$ है।

(B) वक्र ${x^2} = 4y$ और रेखा $x = 4y - 2$ द्वारा घिरे हुए क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
रेखा के समीकरण से,$4y = x + 2$। इसे परवलय के समीकरण ${x^2} = 4y$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
${x^2} = x + 2$
${x^2} - x - 2 = 0$
$(x - 2)(x + 1) = 0$
अतः,$x = 2$ और $x = -1$।
जब $x = 2$,$4y = 4 \implies y = 1$। बिंदु $A(2, 1)$।
जब $x = -1$,$4y = 1 \implies y = \frac{1}{4}$। बिंदु $B(-1, \frac{1}{4})$।
वांछित क्षेत्रफल $x = -1$ से $x = 2$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर प्राप्त समाकलन है:
$\text{Area} = \int_{-1}^{2} \left( \frac{x+2}{4} - \frac{x^2}{4} \right) dx$
$= \frac{1}{4} \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2) dx$
$= \frac{1}{4} \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2}$
$= \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} \right) \right]$
$= \frac{1}{4} \left[ \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{3 - 12 + 2}{6} \right) \right]$
$= \frac{1}{4} \left[ \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) \right]$
$= \frac{1}{4} \left[ \frac{20 + 7}{6} \right] = \frac{1}{4} \times \frac{27}{6} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8} \, \text{sq. unit}$.

(D) वक्रों $y^2 = 4ax$ और $x^2 = 4ay$ के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$x^2 = 4ay$ से,हमें $y = \frac{x^2}{4a}$ प्राप्त होता है।
इसे $y^2 = 4ax$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(\frac{x^2}{4a})^2 = 4ax$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{x^4}{16a^2} = 4ax$ हो जाता है।
अतः,$x^4 = 64a^3x$,जो $x(x^3 - 64a^3) = 0$ देता है।
इसलिए,$x = 0$ या $x = 4a$ है।
वांछित क्षेत्रफल $x = 0$ से $x = 4a$ तक ऊपरी वक्र और निचले वक्र के बीच के अंतर का समाकलन है।
ऊपरी वक्र $y = \sqrt{4ax} = 2\sqrt{a}\sqrt{x}$ है और निचला वक्र $y = \frac{x^2}{4a}$ है।
क्षेत्रफल $= \int_0^{4a} (2\sqrt{a}\sqrt{x} - \frac{x^2}{4a}) dx$
$= [2\sqrt{a} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^3}{12a}]_0^{4a}$
$= [\frac{4}{3}\sqrt{a} \cdot (4a)^{3/2} - \frac{(4a)^3}{12a}]$
$= [\frac{4}{3}\sqrt{a} \cdot 8a\sqrt{a} - \frac{64a^3}{12a}]$
$= \frac{32}{3}a^2 - \frac{16}{3}a^2 = \frac{16}{3}a^2 \text{ वर्ग इकाई}$।

(B) वक्र $y = ax^2$ और $x = ay^2$ (या ऊपरी शाखा के लिए $y = \sqrt{x/a}$) हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = ax^2$ को $x = ay^2$ में प्रतिस्थापित करें:
$x = a(ax^2)^2 = a^3x^4$
$x(a^3x^3 - 1) = 0$
अतः,$x = 0$ या $x^3 = 1/a^3$,जिससे $x = 1/a$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $A$ $(1/a, 1/a)$ है।
क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_0^{1/a} (\sqrt{x/a} - ax^2) dx = 1$
$\int_0^{1/a} (\frac{1}{\sqrt{a}} x^{1/2} - ax^2) dx = 1$
$[\frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{a}{3} x^3]_0^{1/a} = 1$
$\frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \frac{2}{3} (\frac{1}{a})^{3/2} - \frac{a}{3} (\frac{1}{a})^3 = 1$
$\frac{2}{3a^2} - \frac{1}{3a^2} = 1$
$\frac{1}{3a^2} = 1$
$a^2 = 1/3$
चूंकि $a > 0$,इसलिए $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$।

(A) दिए गए वक्र $y = \sqrt{x}$ (या $x = y^2$) और $2y + 3 = x$ (या $y = \frac{x-3}{2}$) हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^2 = 2y + 3$ रखें,जो $y^2 - 2y - 3 = 0$ देता है।
$(y - 3)(y + 1) = 0$,इसलिए $y = 3$ या $y = -1$ है।
चूंकि हम $1^{st}$ चतुर्थांश में हैं,इसलिए $y = 3$ लेंगे,जो $x = 9$ इंगित करता है।
रेखा $2y + 3 = x$,$x$-अक्ष को $y = 0$ पर काटती है,इसलिए $x = 3$ है।
क्षेत्रफल $x = 0$ से $x = 3$ तक $y = \sqrt{x}$ द्वारा और $x = 3$ से $x = 9$ तक वक्रों के अंतर द्वारा घिरा हुआ है।
क्षेत्रफल $= \int_0^3 \sqrt{x} \, dx + \int_3^9 \left( \sqrt{x} - \frac{x-3}{2} \right) \, dx$
$= \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^3 + \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{2} - 3x \right) \right]_3^9$
$= \frac{2}{3}(3\sqrt{3}) + \left( \left[ \frac{2}{3}(27) - \frac{1}{2} \left( \frac{81}{2} - 27 \right) \right] - \left[ \frac{2}{3}(3\sqrt{3}) - \frac{1}{2} \left( \frac{9}{2} - 9 \right) \right] \right)$
$= 2\sqrt{3} + 18 - \frac{1}{2} \left( \frac{27}{2} \right) - 2\sqrt{3} + \frac{1}{2} \left( -\frac{9}{2} \right)$
$= 18 - \frac{27}{4} - \frac{9}{4} = 18 - \frac{36}{4} = 18 - 9 = 9 \text{ वर्ग इकाई.}$

(B) $x=0, x=4, y=0, y=4$ द्वारा परिबद्ध वर्ग का कुल क्षेत्रफल $4 \times 4 = 16$ वर्ग इकाई है।
क्षेत्रफल $S_2$ दो परवलयों $y^2 = 4x$ और $x^2 = 4y$ के बीच का क्षेत्र है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(4,4)$ हैं।
$S_2 = \int_0^4 (\sqrt{4x} - \frac{x^2}{4}) dx = \int_0^4 (2x^{1/2} - \frac{x^2}{4}) dx = [2 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{x^3}{12}]_0^4 = \frac{4}{3}(8) - \frac{64}{12} = \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3}$.
क्षेत्रफल $S_1$ वह क्षेत्र है जो $x=0, y=4$ और परवलय $y^2=4x$ द्वारा परिबद्ध है।
$S_1 = \int_0^4 (4 - 2\sqrt{x}) dx = [4x - \frac{4}{3}x^{3/2}]_0^4 = 16 - \frac{32}{3} = \frac{16}{3}$.
इसी प्रकार,समरूपता द्वारा $S_3 = \frac{16}{3}$.
अतः,$S_1:S_2:S_3 = \frac{16}{3} : \frac{16}{3} : \frac{16}{3} = 1:1:1$.

(D) वक्र $y = (x + 1)^2$ और $y = (x - 1)^2$ हैं। रेखा $y = \frac{1}{4}$ है।
सममिति द्वारा,क्षेत्रफल $y = (x - 1)^2$,$y$-अक्ष $(x=0)$ और रेखा $y = \frac{1}{4}$ द्वारा $x \ge 0$ क्षेत्र में परिबद्ध क्षेत्रफल का दोगुना है।
$y = (x - 1)^2$ के लिए,$x - 1 = \pm \sqrt{y}$,इसलिए $x = 1 \pm \sqrt{y}$। दाईं ओर की शाखा के लिए,$x = 1 - \sqrt{y}$ जहाँ $x \in [0, 1]$ है।
$y = (x - 1)^2$ और $y = \frac{1}{4}$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(x - 1)^2 = \frac{1}{4}$ देता है,इसलिए $x - 1 = -1/2$ (चूंकि $x < 1$),जिसका अर्थ है $x = 1/2$।
क्षेत्रफल $A = 2 \int_{1/4}^{1} (1 - \sqrt{y}) dy = 2 [y - \frac{2}{3} y^{3/2}]_{1/4}^{1} = 2 [(1 - 2/3) - (1/4 - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{8})] = 2 [1/3 - (1/4 - 1/12)] = 2 [1/3 - 2/12] = 2 [1/3 - 1/6] = 2 [1/6] = 1/3$ वर्ग इकाई।

(A) दिए गए वक्र $y = x^2$ $(i)$ और $y = 2 - x^2$ $(ii)$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x^2 = 2 - x^2$ रखें,जिससे $2x^2 = 2$ प्राप्त होता है,अतः $x^2 = 1$,जिसका अर्थ है $x = \pm 1$।
वक्र $x = -1$ और $x = 1$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल प्रतिच्छेदन बिंदुओं के बीच ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर प्राप्त समाकलन है:
$\text{Area} = \int_{-1}^{1} ((2 - x^2) - x^2) \, dx$
$= \int_{-1}^{1} (2 - 2x^2) \, dx$
चूंकि फलन सम है,हम लिख सकते हैं:
$= 2 \int_{0}^{1} (2 - 2x^2) \, dx$
$= 2 [2x - \frac{2x^3}{3}]_{0}^{1}$
$= 2 [2(1) - \frac{2(1)^3}{3}]$
$= 2 [2 - \frac{2}{3}]$
$= 2 [\frac{4}{3}] = \frac{8}{3}$ वर्ग इकाई।

(B) दिए गए समीकरण $x^2 + y^2 = 9$ $(i)$ और $y^2 = 8x$ $(ii)$ हैं।
$(ii)$ को $(i)$ में रखने पर,$x^2 + 8x - 9 = 0$ प्राप्त होता है,जिसके गुणनखंड $(x + 9)(x - 1) = 0$ हैं।
अतः,$x = 1$ (क्योंकि $y^2 = 8x$ के लिए $x = -9$ संभव नहीं है)।
$x = 1$ पर,$y^2 = 8$,इसलिए $y = \pm 2\sqrt{2}$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 2\sqrt{2})$ और $(1, -2\sqrt{2})$ हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए क्षेत्रफल $= 2 \times \int_{0}^{1} \sqrt{8x} \, dx + 2 \times \int_{1}^{3} \sqrt{9 - x^2} \, dx$.
$= 2 \times 2\sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} + 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{9 - x^2} + \frac{9}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{3}\right) \right]_{1}^{3}$.
$= 4\sqrt{2} \left( \frac{2}{3} \right) + 2 \left[ \left( 0 + \frac{9}{2}\sin^{-1}(1) \right) - \left( \frac{1}{2}\sqrt{8} + \frac{9}{2}\sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \right) \right]$.
$= \frac{8\sqrt{2}}{3} + 2 \left[ \frac{9\pi}{4} - \sqrt{2} - \frac{9}{2}\sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \right]$.
$= \frac{8\sqrt{2}}{3} + \frac{9\pi}{2} - 2\sqrt{2} - 9\sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{9\pi}{2} - 9\sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$.

(B) दिए गए वक्र $y = |x| - 1$ और $y = -|x| + 1$ हैं।
ये वक्र $(1, 0), (0, 1), (-1, 0),$ और $(0, -1)$ शीर्षों वाला एक वर्ग बनाते हैं।
वैकल्पिक रूप से,हम क्षेत्रों का विश्लेषण कर सकते हैं:
$x \ge 0$ के लिए,वक्र $y = x - 1$ और $y = -x + 1$ हैं।
$x < 0$ के लिए,वक्र $y = -x - 1$ और $y = x + 1$ हैं।
यह क्षेत्र दोनों अक्षों के सापेक्ष सममित है।
प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्र $y = x - 1$ और $y = -x + 1$ द्वारा परिबद्ध है।
वास्तव में,यह क्षेत्र $y = x - 1, y = -x - 1, y = -x + 1,$ और $y = x + 1$ रेखाओं द्वारा निर्मित एक वर्ग है।
इस वर्ग का क्षेत्रफल $= 4 \times (\text{एक चतुर्थांश में त्रिभुज का क्षेत्रफल})$.
प्रत्येक चतुर्थांश में त्रिभुज का आधार $1$ और ऊँचाई $1$ है।
क्षेत्रफल $= 4 \times (\frac{1}{2} \times 1 \times 1) = 2$ वर्ग इकाई।

(B) $y = \sin x$ और $y = \cos x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $\sin x = \cos x$ द्वारा प्राप्त होते हैं,जिसका अर्थ है $\tan x = 1$। अतः,$x = \frac{\pi}{4} + n\pi$,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
दो क्रमागत प्रतिच्छेदन बिंदुओं के बीच के अंतराल पर विचार करें,जैसे $\left[ \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \right]$।
इस अंतराल में,$\sin x \ge \cos x$ है।
ऐसे एक क्षेत्र का क्षेत्रफल निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{\pi/4}^{5\pi/4} (\sin x - \cos x) \, dx$
समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$A = [-\cos x - \sin x]_{\pi/4}^{5\pi/4}$
$A = \left( -\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) \right) - \left( -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \right)$
$A = \left( -(-\frac{1}{\sqrt{2}}) - (-\frac{1}{\sqrt{2}}) \right) - \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$A = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \right) - \left( -\frac{2}{\sqrt{2}} \right)$
$A = \frac{2}{\sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \text{ वर्ग इकाई}$

(A) वक्र $y^2 = x$ और $y = |x|$ हैं।
चूंकि $y = |x|$,वक्र $y^2 = x$ और $y = x$ ($x \ge 0$ के लिए) और $y = -x$ ($x < 0$ के लिए) हैं।
हालाँकि,$y^2 = x$ का अर्थ है $x \ge 0$,इसलिए हम केवल उस क्षेत्र पर विचार करते हैं जहाँ $x \ge 0$ और $y = x$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $x^2 = x$ द्वारा प्राप्त किए जाते हैं,जो $x(x-1) = 0$ देता है,इसलिए $x = 0$ और $x = 1$ है।
अंतराल $[0, 1]$ में,$\sqrt{x} \ge x$ है।
आवश्यक क्षेत्रफल $\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x) dx$ द्वारा दिया जाता है।
$= \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1}$.
$= \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \right) - (0 - 0) = \frac{4-3}{6} = \frac{1}{6}$.

(D) दिए गए वक्र $x = -2y^2$ और $x = 1 - 3y^2$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$-2y^2 = 1 - 3y^2$ रखें,जिससे $y^2 = 1$ प्राप्त होता है,अतः $y = \pm 1$ है।
जब $y = \pm 1$,तब $x = -2(1)^2 = -2$ है। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, 1)$ और $(-2, -1)$ हैं।
क्षेत्रफल $A$,$y = -1$ से $y = 1$ तक वक्रों के अंतर का समाकलन है:
$A = \int_{-1}^{1} ((1 - 3y^2) - (-2y^2)) dy$
$A = \int_{-1}^{1} (1 - y^2) dy$
$A = [y - \frac{y^3}{3}]_{-1}^{1}$
$A = (1 - \frac{1}{3}) - (-1 - \frac{-1}{3})$
$A = \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$ वर्ग इकाई।

(B) परवलय का समीकरण $(y-2)^2 = x-1$ है।
बिंदु $(2,3)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y-y_1 = m(x-x_1)$ सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।
सबसे पहले,परवलय समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2(y-2) \frac{dy}{dx} = 1$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(y-2)}$.
$(2,3)$ पर,ढाल $m = \frac{1}{2(3-2)} = \frac{1}{2}$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y-3 = \frac{1}{2}(x-2)$ है,जिसे सरल करने पर $2y-6 = x-2$ या $x = 2y-4$ प्राप्त होता है।
यह क्षेत्र परवलय $x = (y-2)^2 + 1$,स्पर्श रेखा $x = 2y-4$ और $x$-अक्ष $(y=0)$ द्वारा परिबद्ध है।
$y$ के सापेक्ष $y=0$ से $y=3$ तक समाकलन करने पर:
क्षेत्रफल $A = \int_{0}^{3} [x_{parabola} - x_{tangent}] dy = \int_{0}^{3} [((y-2)^2 + 1) - (2y-4)] dy$
$A = \int_{0}^{3} [y^2 - 4y + 4 + 1 - 2y + 4] dy = \int_{0}^{3} [y^2 - 6y + 9] dy$
$A = \int_{0}^{3} (y-3)^2 dy = \left[ \frac{(y-3)^3}{3} \right]_{0}^{3} = 0 - \left( \frac{-27}{3} \right) = 9$.

(D) क्षेत्रफल $A$ अंतराल $[0, \frac{3\pi}{2}]$ पर दोनों फलनों के अंतर के मापांक का समाकलन है।
$A = \int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} |\cos x - \sin x| dx$
प्रतिच्छेदन बिंदु जहाँ $\cos x = \sin x$ है,वे $x = \frac{\pi}{4}$ और $x = \frac{5\pi}{4}$ हैं।
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\sin x - \cos x) dx + \int_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{2}} (\cos x - \sin x) dx$
समाकलन का मान निकालने पर:
$1$) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$
$2$) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\sin x - \cos x) dx = [-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
$3$) $\int_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{2}} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{2}} = (-1 + 0) - (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) = -1 + \sqrt{2}$
कुल क्षेत्रफल $A = (\sqrt{2} - 1) + 2\sqrt{2} + (\sqrt{2} - 1) = 4\sqrt{2} - 2$.

(B) दिए गए वक्र $y = x$,$y = \frac{1}{x}$,$x = e$ और धनात्मक $X$-अक्ष $(y = 0)$ हैं।
$y = x$ और $y = \frac{1}{x}$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $x = \frac{1}{x}$ रखने पर,$x^2 = 1$ प्राप्त होता है। प्रथम चतुर्थांश में होने के कारण,$x = 1$ है। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ है।
यह क्षेत्र $x = 0$ से $x = 1$ तक $y = x$ द्वारा और $x = 1$ से $x = e$ तक $y = \frac{1}{x}$ द्वारा घिरा हुआ है।
आवश्यक क्षेत्रफल = $\int_{0}^{1} x \, dx + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} + [\ln |x|]_{1}^{e}$
$= \left( \frac{1}{2} - 0 \right) + (\ln e - \ln 1)$
$= \frac{1}{2} + (1 - 0) = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = \frac{x^2}{4}$ को $y^2 = 4x$ में प्रतिस्थापित करें:
$(\frac{x^2}{4})^2 = 4x$
$\frac{x^4}{16} = 4x$
$x^4 = 64x$
$x(x^3 - 64) = 0$
अतः,$x = 0$ या $x = 4$.
जब $x = 0, y = 0$. जब $x = 4, y = 4$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(4,4)$ हैं।
परिबद्ध क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{0}^{4} (\sqrt{4x} - \frac{x^2}{4}) dx$
$= \int_{0}^{4} (2\sqrt{x} - \frac{x^2}{4}) dx$
$= [2 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^3}{3}]_{0}^{4}$
$= [\frac{4}{3} x^{3/2} - \frac{x^3}{12}]_{0}^{4}$
$= (\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{64}{12}) - 0$
$= \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) दिए गए परवलय $x^2 = \frac{y}{4} \implies x = \pm \frac{\sqrt{y}}{2}$ और $x^2 = 9y \implies x = \pm 3\sqrt{y}$ हैं।
चूंकि यह क्षेत्र $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,हम प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल की गणना करेंगे और उसे $2$ से गुणा करेंगे।
क्षेत्रफल $A$,$y = 0$ से $y = 2$ तक $x = 3\sqrt{y}$ (दायां वक्र) और $x = \frac{\sqrt{y}}{2}$ (बायां वक्र) द्वारा घिरा हुआ है।
$A = 2 \int_{0}^{2} \left( 3\sqrt{y} - \frac{\sqrt{y}}{2} \right) dy$
$A = 2 \int_{0}^{2} \frac{5\sqrt{y}}{2} dy = 5 \int_{0}^{2} y^{1/2} dy$
$A = 5 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{2} = 5 \times \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{0}^{2}$
$A = \frac{10}{3} \left( 2^{3/2} - 0 \right) = \frac{10}{3} \times 2\sqrt{2} = \frac{20\sqrt{2}}{3}$

(A) दिए गए वक्र $y = \sqrt{x} \implies x = y^2$ $(1)$ और $2y - x + 3 = 0 \implies x = 2y + 3$ $(2)$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x = y^2$ को $(2)$ में प्रतिस्थापित करें:
$2y - y^2 + 3 = 0 \implies y^2 - 2y - 3 = 0 \implies (y - 3)(y + 1) = 0$.
चूंकि क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है,हम $y = 3$ लेते हैं। $y = 3$ पर,$x = 9$ है।
यह क्षेत्र $X$-अक्ष $(y=0)$,वक्र $x = y^2$ ($y=0$ से $y=3$ तक) और रेखा $x = 2y+3$ ($y=0$ से $y=3$ तक) द्वारा घिरा है।
क्षेत्रफल $\int_{0}^{3} (x_{line} - x_{curve}) \, dy = \int_{0}^{3} ((2y + 3) - y^2) \, dy$ द्वारा दिया जाता है।
$= [y^2 + 3y - \frac{y^3}{3}]_{0}^{3} = (3^2 + 3(3) - \frac{3^3}{3}) - (0) = 9 + 9 - 9 = 9$ वर्ग इकाई।

(C) यह क्षेत्र वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ और परवलय $y^2 = 1-x$ द्वारा घिरा हुआ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^2 = 1-x$ को $x^2 + y^2 = 1$ में प्रतिस्थापित करें:
$x^2 + (1-x) = 1 \implies x^2 - x = 0 \implies x(x-1) = 0$.
अतः,$x = 0$ या $x = 1$.
$x = 0$ के लिए,$y^2 = 1 \implies y = \pm 1$. $x = 1$ के लिए,$y^2 = 0 \implies y = 0$.
क्षेत्रफल $A = \int_{-1}^{0} 2\sqrt{1-x} \, dx + \int_{0}^{1} 2\sqrt{1-x^2} \, dx$.
गणना करने पर,कुल क्षेत्रफल $\frac{\pi}{2} + \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) यह क्षेत्र $y^2 \geq 2x$ (परवलय के बाहर) और $x^2+y^2 \leq 4x$ (वृत्त के अंदर) द्वारा चतुर्थ चतुर्थांश $(x \geq 0, y \leq 0)$ में परिभाषित है।
वृत्त का समीकरण $(x-2)^2 + y^2 = 4$ है,जिसका केंद्र $(2,0)$ और त्रिज्या $2$ है।
$y^2 = 2x$ और $x^2+y^2 = 4x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $y^2 = 2x$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर प्राप्त होते हैं: $x^2 + 2x = 4x \implies x^2 - 2x = 0 \implies x(x-2) = 0$.
अतः,$x=0$ और $x=2$. $x=2$ के लिए,$y^2 = 4 \implies y = \pm 2$. चूँकि $y \leq 0$,प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, -2)$ है।
क्षेत्रफल चतुर्थ चतुर्थांश में $x=0$ से $x=2$ तक वृत्त और परवलय के बीच के अंतर का समाकलन है।
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{2} (\sqrt{4x-x^2} - \sqrt{2x}) dx = \pi - \frac{8}{3}$.

(A) यह क्षेत्र $x=0$,$y=1+\sqrt{x}$,$x+y=3$,और $y=\frac{x^2}{4}$ द्वारा घिरा हुआ है।
ग्राफ से,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1,2)$ और $(2,1)$ हैं।
क्षेत्रफल निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{0}^{1} (1+\sqrt{x} - \frac{x^2}{4}) dx + \int_{1}^{2} (3-x - \frac{x^2}{4}) dx$
$A = \left[ x + \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{12} \right]_{0}^{1} + \left[ 3x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{12} \right]_{1}^{2}$
$A = (1 + \frac{2}{3} - \frac{1}{12}) + [(6 - 2 - \frac{8}{12}) - (3 - \frac{1}{2} - \frac{1}{12})]$
$A = (\frac{12+8-1}{12}) + [(4 - \frac{2}{3}) - (2.5 - \frac{1}{12})]$
$A = \frac{19}{12} + (\frac{10}{3} - \frac{29}{12}) = \frac{19}{12} + \frac{40-29}{12} = \frac{19+11}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}$ वर्ग इकाई।

(C) $y = |x - 1|$ और $y = 3 - |x|$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$x \ge 1$ के लिए,$y = x - 1$ और $y = 3 - |x|$। यदि $x \ge 1$ है,तो $x - 1 = 3 - x \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$। $x = 2$ पर,$y = 1$।
$x < 0$ के लिए,$y = 1 - x$ और $y = 3 + x$। तो $1 - x = 3 + x \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1$। $x = -1$ पर,$y = 2$।
$0 \le x < 1$ के लिए,$y = 1 - x$ और $y = 3 - x$। ये रेखाएँ समांतर हैं और एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{-1}^{2} (3 - |x| - |x - 1|) dx$
हम निरपेक्ष मानों की परिभाषा के आधार पर समाकलन को विभाजित करते हैं:
$A = \int_{-1}^{0} ((3 + x) - (1 - x)) dx + \int_{0}^{1} ((3 - x) - (1 - x)) dx + \int_{1}^{2} ((3 - x) - (x - 1)) dx$
$A = \int_{-1}^{0} (2 + 2x) dx + \int_{0}^{1} (2) dx + \int_{1}^{2} (4 - 2x) dx$
$A = [2x + x^2]_{-1}^{0} + [2x]_{0}^{1} + [4x - x^2]_{1}^{2}$
$A = (0 - (-2 + 1)) + (2 - 0) + ((8 - 4) - (4 - 1))$
$A = 1 + 2 + (4 - 3) = 1 + 2 + 1 = 4 \text{ sq. units}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) यह क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में दीर्घवृत्त $x^2 + 9y^2 = 9$ और रेखा $x + 3y = 3$ द्वारा घिरा हुआ है।
दीर्घवृत्त के लिए,$x^2 = 9(1 - y^2)$ है।
रेखा के लिए,$x = 3 - 3y$,इसलिए $x^2 = (3 - 3y)^2 = 9(1 - y)^2$ है।
$y$ के लिए समाकलन की सीमाएँ $0$ से $1$ तक हैं।
$y$-अक्ष के परितः घूमने पर उत्पन्न आयतन $V$ इस प्रकार है:
$V = \int_0^1 \pi x_{\text{ellipse}}^2 dy - \int_0^1 \pi x_{\text{line}}^2 dy$
$V = \int_0^1 \pi [9(1 - y^2)] dy - \int_0^1 \pi [9(1 - y)^2] dy$
$V = 9\pi \int_0^1 (1 - y^2 - (1 - 2y + y^2)) dy$
$V = 9\pi \int_0^1 (2y - 2y^2) dy$
$V = 18\pi \int_0^1 (y - y^2) dy$
$V = 18\pi \left[ \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3} \right]_0^1$
$V = 18\pi \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = 18\pi \left( \frac{1}{6} \right) = 3\pi$.

(D) दिए गए वक्र $x^2 + y^2 = 9$ (केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $3$ वाला वृत्त) और $x^2 + y^2 - 6x = 0$ (केंद्र $(3,0)$ और त्रिज्या $3$ वाला वृत्त) हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x^2 + y^2 = 9$ को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $9 - 6x = 0 \Rightarrow x = 3/2$.
$x = 3/2$ पर,$y^2 = 9 - (3/2)^2 = 9 - 9/4 = 27/4$,इसलिए $y = \pm \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
दोनों वक्रों के बीच का उभयनिष्ठ क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है। क्षेत्रफल $A = 2 \left[ \int_{0}^{3/2} \sqrt{6x - x^2} \, dx + \int_{3/2}^{3} \sqrt{9 - x^2} \, dx \right]$ द्वारा दिया जाता है।
इन समाकलों की गणना करने पर,हमें $A = 2 \left[ \left( \frac{9\pi}{8} - \frac{9\sqrt{3}}{8} \right) + \left( \frac{9\pi}{4} - \frac{9\pi}{8} - \frac{3\sqrt{3}}{8} \right) \right] = 3\left( \pi - \frac{\sqrt{3}}{4} \right)$ प्राप्त होता है।

(D) वक्र $y = x^2 - 1$ और रेखा $y = 3 - x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों को बराबर रखकर प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$x^2 - 1 = 3 - x$
$x^2 + x - 4 = 0$
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$
माना $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$ और $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$ है।
क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{x_1}^{x_2} [(3 - x) - (x^2 - 1)] dx = \int_{x_1}^{x_2} (4 - x - x^2) dx$
$A = [4x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{x_1}^{x_2}$
इस गुणधर्म का उपयोग करते हुए कि यदि $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल $\alpha, \beta$ हैं,तो समाकलन $\int_{\alpha}^{\beta} (ax^2 + bx + c) dx = -\frac{a}{6}(\beta - \alpha)^3$ होता है,जहाँ $a = -1$ और $(\beta - \alpha) = \sqrt{17}$ है:
$A = -\frac{-1}{6} (\sqrt{17})^3 = \frac{17\sqrt{17}}{6}$.

(B) वक्र $y = \sin x$ और $y = \cos x$ बिंदु $x = \frac{\pi}{4}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$0 \le x \le \frac{\pi}{4}$ के लिए,क्षेत्रफल $y = \sin x$ और $x$-अक्ष द्वारा घिरा हुआ है।
$\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{2}$ के लिए,क्षेत्रफल $y = \cos x$ और $x$-अक्ष द्वारा घिरा हुआ है।
कुल क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin x \, dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx$
$A = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} + [\sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}$
$A = \left(-\cos \frac{\pi}{4} - (-\cos 0)\right) + \left(\sin \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{4}\right)$
$A = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}} + 1\right) + \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$A = 2 - \frac{2}{\sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2}$

(A) माना स्पर्श बिंदु $(x_0, y_0) = (x_0, x_0^2 + 1)$ है।
$(x_0, x_0^2 + 1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2x_0$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - (x_0^2 + 1) = 2x_0(x - x_0)$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरती है,इसलिए:
$0 - (x_0^2 + 1) = 2x_0(0 - x_0)$
$-x_0^2 - 1 = -2x_0^2$
$x_0^2 = 1 \implies x_0 = \pm 1$ है।
$x_0 = 1$ के लिए,स्पर्श रेखा $y = 2x$ है और $x_0 = -1$ के लिए,स्पर्श रेखा $y = -2x$ है।
वक्र $y = x^2 + 1$ और स्पर्श रेखाओं $y = 2x$ तथा $y = -2x$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल $A$,$y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
$A = 2 \int_{0}^{1} ((x^2 + 1) - 2x) dx$
$A = 2 \int_{0}^{1} (x - 1)^2 dx$
$A = 2 \left[ \frac{(x - 1)^3}{3} \right]_{0}^{1}$
$A = 2 \left( 0 - \frac{(-1)^3}{3} \right) = 2 \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3}$.

(D) वक्र $y = \sqrt{x} \Rightarrow x = y^2$ और $x = -\sqrt{y} \Rightarrow y = x^2$ ($x < 0$ के लिए) हैं।
वृत्त $x^2 + y^2 = 2$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $B(1, 1)$ और $A(-1, 1)$ हैं।
क्षेत्रफल वृत्त $y = \sqrt{2 - x^2}$ और वक्रों $y = x^2$ ($x < 0$ के लिए) तथा $y = \sqrt{x}$ ($x > 0$ के लिए) द्वारा घिरा हुआ क्षेत्र है।
क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{-1}^{0} (\sqrt{2 - x^2} - x^2) dx + \int_{0}^{1} (\sqrt{2 - x^2} - \sqrt{x}) dx$
समाकलन करने पर:
$\int_{-1}^{0} \sqrt{2 - x^2} dx = [\frac{x}{2}\sqrt{2 - x^2} + \arcsin(\frac{x}{\sqrt{2}})]_{-1}^{0} = \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$
$\int_{-1}^{0} -x^2 dx = [-\frac{x^3}{3}]_{-1}^{0} = -\frac{1}{3}$
$\int_{0}^{1} \sqrt{2 - x^2} dx = [\frac{x}{2}\sqrt{2 - x^2} + \arcsin(\frac{x}{\sqrt{2}})]_{0}^{1} = \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$
$\int_{0}^{1} -\sqrt{x} dx = [-\frac{2}{3}x^{3/2}]_{0}^{1} = -\frac{2}{3}$
योग करने पर: $A = (\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} - \frac{2}{3}) = \frac{\pi}{2}$.

(A) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - 2x = 0$ है,जिसे $(x-1)^2 + y^2 = 1^2$ के रूप में लिखा जा सकता है। यह $(1, 0)$ केंद्र और $r = 1$ त्रिज्या वाला वृत्त है।
वृत्त के ऊपरी आधे भाग का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{\pi}{2}$ है।
वक्र $y = \sin \frac{\pi x}{2}$ और $x$-अक्ष के बीच $x = 0$ से $x = 2$ तक का क्षेत्रफल $\int_{0}^{2} \sin \frac{\pi x}{2} dx$ द्वारा प्राप्त होता है।
समाकलन का मान: $\int_{0}^{2} \sin \frac{\pi x}{2} dx = \left[ -\frac{2}{\pi} \cos \frac{\pi x}{2} \right]_{0}^{2} = -\frac{2}{\pi} (\cos \pi - \cos 0) = -\frac{2}{\pi} (-1 - 1) = \frac{4}{\pi}$.
वृत्त और वक्र द्वारा ऊपरी आधे भाग में घिरा हुआ क्षेत्रफल,अर्धवृत्त के क्षेत्रफल में से साइन वक्र के नीचे के क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है: $\frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}$ वर्ग इकाई।

(A) वक्र $y = x^2 - 4x$ और $y = 2x - x^2$ हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु: $x^2 - 4x = 2x - x^2 \Rightarrow 2x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 2x(x - 3) = 0$,अतः $x = 0$ और $x = 3$.
कुल क्षेत्रफल $A = \int_{0}^{3} |(2x - x^2) - (x^2 - 4x)| \, dx = \int_{0}^{3} |6x - 2x^2| \, dx = [3x^2 - \frac{2}{3}x^3]_{0}^{3} = (27 - 18) = 9$.
$x$-अक्ष क्षेत्र को दो भागों में विभाजित करता है: एक $x$-अक्ष के ऊपर और एक नीचे।
$x$-अक्ष के ऊपर का भाग $y = 2x - x^2$ द्वारा $x = 0$ से $x = 2$ तक घिरा है। क्षेत्रफल $A_1 = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{2} = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$.
$x$-अक्ष के नीचे का भाग $y = x^2 - 4x$ द्वारा $x = 0$ से $x = 3$ तक और $y = 2x - x^2$ द्वारा $x = 2$ से $x = 3$ तक घिरा है। $x$-अक्ष के नीचे का कुल क्षेत्रफल $A_2 = A - A_1 = 9 - \frac{4}{3} = \frac{23}{3}$.
अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{4/3}{23/3} = \frac{4}{23}$ है।

(D) $y = x(x - 3)^2$ और $y = x$ वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं: $x(x - 3)^2 = x$.
$x((x - 3)^2 - 1) = 0$
$x(x^2 - 6x + 9 - 1) = 0$
$x(x^2 - 6x + 8) = 0$
$x(x - 2)(x - 4) = 0$
प्रतिच्छेदन बिंदु $x = 0, 2, 4$ हैं।
क्षेत्रफल $\int_{0}^{2} (x(x - 3)^2 - x) dx + \int_{2}^{4} (x - x(x - 3)^2) dx$ द्वारा प्राप्त होता है।
प्रथम समाकलन: $\int_{0}^{2} (x^3 - 6x^2 + 8x) dx = [\frac{x^4}{4} - 2x^3 + 4x^2]_{0}^{2} = (4 - 16 + 16) - 0 = 4$.
द्वितीय समाकलन: $\int_{2}^{4} (-x^3 + 6x^2 - 8x) dx = [-\frac{x^4}{4} + 2x^3 - 4x^2]_{2}^{4} = (-64 + 128 - 64) - (-4 + 16 - 16) = 0 - (-4) = 4$.
कुल क्षेत्रफल = $4 + 4 = 8$ वर्ग इकाई।

(B) क्षेत्रफल $A$ दी गई सीमाओं के बीच फलन के मापांक का समाकलन है:
$A = \int_{\frac{\pi}{6a}}^{\frac{5\pi}{6a}} |\cos ax| \, dx$
चूंकि फलन $\cos ax$ का चिह्न $ax = \frac{\pi}{2}$ यानी $x = \frac{\pi}{2a}$ पर बदलता है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$A = \int_{\frac{\pi}{6a}}^{\frac{\pi}{2a}} \cos ax \, dx + \int_{\frac{\pi}{2a}}^{\frac{5\pi}{6a}} -\cos ax \, dx$
माना $t = ax$,तो $dt = a \, dx$:
$A = \frac{1}{a} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cos t \, dt - \frac{1}{a} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{6}} \cos t \, dt$
$A = \frac{1}{a} [\sin t]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} - \frac{1}{a} [\sin t]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{6}}$
$A = \frac{1}{a} (1 - \frac{1}{2}) - \frac{1}{a} (\frac{1}{2} - 1) = \frac{1}{a} (\frac{1}{2}) - \frac{1}{a} (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2a} + \frac{1}{2a} = \frac{1}{a}$
दिया गया है कि क्षेत्रफल $3$ से अधिक है:
$\frac{1}{a} > 3 \implies a < \frac{1}{3}$
चूंकि $a$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए सीमा $(0, 1/3)$ है।

(D) वक्र $x = y^2 - 1$ और $x = |y| \sqrt{1 - y^2}$ हैं।
चूंकि दोनों वक्र $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित हैं,इसलिए कुल क्षेत्रफल $A$ प्रथम चतुर्थांश में $y \in [0, 1]$ के लिए क्षेत्रफल का दोगुना होगा।
प्रथम चतुर्थांश में,$x = y \sqrt{1 - y^2}$ और $x = y^2 - 1$ है।
क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार दिया गया है:
$A = 2 \int_{0}^{1} [y \sqrt{1 - y^2} - (y^2 - 1)] \, dy$
$A = 2 \left[ \int_{0}^{1} y \sqrt{1 - y^2} \, dy - \int_{0}^{1} (y^2 - 1) \, dy \right]$
माना $u = 1 - y^2$,तो $du = -2y \, dy$,इसलिए $y \, dy = -\frac{1}{2} du$.
जब $y=0, u=1$; जब $y=1, u=0$.
$\int_{0}^{1} y \sqrt{1 - y^2} \, dy = -\frac{1}{2} \int_{1}^{0} \sqrt{u} \, du = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} u^{1/2} \, du = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
$\int_{0}^{1} (y^2 - 1) \, dy = \left[ \frac{y^3}{3} - y \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$.
अतः,$A = 2 \left[ \frac{1}{3} - (-\frac{2}{3}) \right] = 2 \left[ \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \right] = 2(1) = 2$.

(B) दिए गए वक्रों का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $y = \ln x$,$x > 0$ के लिए परिभाषित है।
$2$. $y = \ln |x|$,$x \neq 0$ के लिए परिभाषित है।
$3$. $y = |\ln x|$,$x > 0$ के लिए परिभाषित है।
$4$. $y = |\ln |x||$,$x \neq 0$ के लिए परिभाषित है।
इन वक्रों द्वारा घिरा क्षेत्र $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है। ये वक्र $x = 1, x = -1, x = 0$ और $x$-अक्ष द्वारा परिभाषित चार चतुर्थांशों में चार समान क्षेत्र बनाते हैं।
प्रत्येक क्षेत्र वक्र $y = |\ln |x||$ और $x = 0$ से $x = 1$ (या $x = -1$ से $x = 0$) के बीच $x$-अक्ष द्वारा घिरा हुआ है।
ऐसे एक क्षेत्र का क्षेत्रफल $\int_0^1 |\ln x| \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $0 < x < 1$ के लिए $\ln x < 0$ होता है,इसलिए $|\ln x| = -\ln x$ होगा।
क्षेत्रफल $= \int_0^1 -\ln x \, dx = -[x \ln x - x]_0^1 = -((1 \cdot 0 - 1) - (0)) = 1$.
चूंकि ऐसे चार समान क्षेत्र हैं,इसलिए कुल क्षेत्रफल $4 \times 1 = 4$ होगा।

(A) दिया गया वक्र $y = ax^2 + bx + c$ है।
चूंकि यह $(1, 2)$ से गुजरता है,हमारे पास $2 = a(1)^2 + b(1) + c$ है,इसलिए $a + b + c = 2$ ... $(1)$।
चूंकि यह मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है,हमारे पास $0 = a(0)^2 + b(0) + c$ है,इसलिए $c = 0$।
$c = 0$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a + b = 2$ मिलता है ... $(2)$।
मूल बिंदु पर स्पर्शक $y = x$ है,जिसका अर्थ है कि $x = 0$ पर स्पर्शक की ढाल $1$ है।
चूंकि $\frac{dy}{dx} = 2ax + b$,$x = 0$ पर $\frac{dy}{dx} = b$ है। अतः,$b = 1$।
$(2)$ से,$a + 1 = 2$,इसलिए $a = 1$।
वक्र $y = x^2 + x$ है।
न्यूनतम मान वहां होता है जहां $\frac{dy}{dx} = 2x + 1 = 0$,जो $x = -\frac{1}{2}$ देता है।
वक्र $y = x^2 + x$,स्पर्शक $y = x$ और कोटि $x = -\frac{1}{2}$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल है:
$A = \int_{-\frac{1}{2}}^{0} (x - (x^2 + x)) \, dx = \int_{-\frac{1}{2}}^{0} (-x^2) \, dx$।
$A = \left[ -\frac{x^3}{3} \right]_{-\frac{1}{2}}^{0} = 0 - \left( -\frac{(-\frac{1}{2})^3}{3} \right) = -\frac{1}{24}$।
चूंकि क्षेत्रफल धनात्मक होता है,$A = \frac{1}{24} \text{ वर्ग इकाई}$।

(C) वक्र $y = \min \{\sin^2x, \cos^2x \}$ उन बिंदुओं पर अपनी परिभाषा बदलता है जहाँ $\sin^2x = \cos^2x$ होता है,अर्थात $\tan^2x = 1$,जो $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$ देता है।
अंतराल $[0, \frac{\pi}{4}]$ में,$\sin^2x \leq \cos^2x$,इसलिए $y = \sin^2x$ है।
अंतराल $[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$ में,$\cos^2x \leq \sin^2x$,इसलिए $y = \cos^2x$ है।
अंतराल $[\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$ में,$\sin^2x \leq \cos^2x$,इसलिए $y = \sin^2x$ है।
कुल क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^2x \, dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cos^2x \, dx + \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} \sin^2x \, dx$.
$\sin^2x = \frac{1-\cos 2x}{2}$ और $\cos^2x = \frac{1+\cos 2x}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1-\cos 2x}{2} dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{1+\cos 2x}{2} dx + \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} \frac{1-\cos 2x}{2} dx$.
$A = \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} + \left[ \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} + \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} \right]_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}$.
$A = (\frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}) + ((\frac{3\pi}{8} - \frac{1}{4}) - (\frac{\pi}{8} + \frac{1}{4})) + ((\frac{5\pi}{8} - 0) - (\frac{3\pi}{8} + \frac{1}{4}))$.
$A = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} + \frac{2\pi}{8} - \frac{2}{4} + \frac{2\pi}{8} - \frac{1}{4} = \frac{5\pi}{8} - 1 = \frac{5\pi - 8}{8}$.