वक्र {x^2} = 4y और रेखा x = 4y - 2 द्वारा घिर | vedclass

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Question

(B) वक्र ${x^2} = 4y$ और रेखा $x = 4y - 2$ द्वारा घिरे हुए क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।रेखा के समीकरण

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$\frac{9}{8} \, 	ext{sq. unit}$

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(B) वक्र ${x^2} = 4y$ और रेखा $x = 4y - 2$ द्वारा घिरे हुए क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।रेखा के समीकरण से,$4y = x + 2$। इसे परवलय के समीकरण ${x^2} = 4y$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:${x^2} = x + 2$${x^2} - x - 2 = 0$$(x - 2)(x + 1) = 0$अतः,$x = 2$ और $x = -1$।जब $x = 2$,$4y = 4 \implies y = 1$। बिंदु $A(2, 1)$।जब $x = -1$,$4y = 1 \implies y = \frac{1}{4}$। बिंदु $B(-1, \frac{1}{4})$।वांछित क्षेत्रफल $x = -1$ से $x = 2$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर प्राप्त समाकलन है:$	ext{Area} = \int_{-1}^{2} \left( \frac{x+2}{4} - \frac{x^2}{4} ight) dx$$= \frac{1}{4} \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2) dx$$= \frac{1}{4} \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} ight]_{-1}^{2}$$= \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3} ight) - \left( \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} ight) ight]$$= \frac{1}{4} \left[ \left( 6 - \frac{8}{3} ight) - \left( \frac{3 - 12 + 2}{6} ight) ight]$$= \frac{1}{4} \left[ \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} ight) ight]$$= \frac{1}{4} \left[ \frac{20 + 7}{6} ight] = \frac{1}{4} 	imes \frac{27}{6} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8} \, 	ext{sq. unit}$.

वक्र ${x^2} = 4y$ और रेखा $x = 4y - 2$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल क्या है?

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