परवलयों {y^2 = 4x} और {x^2 = 4y} के बीच घिरा | vedclass

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Question

(D) दिए गए समीकरण ${y^2 = 4x}$ और ${x^2 = 4y}$ हैं।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,${y = \frac{x^2}{4}}$ को ${y^2 = 4x}$ में प्रतिस्थापित करने पर:

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$\frac{16}{3} 	ext{ वर्ग इकाई}$

Vedclass · Answer

(D) दिए गए समीकरण ${y^2 = 4x}$ और ${x^2 = 4y}$ हैं।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,${y = \frac{x^2}{4}}$ को ${y^2 = 4x}$ में प्रतिस्थापित करने पर:$(\frac{x^2}{4})^2 = 4x \implies \frac{x^4}{16} = 4x \implies x^4 = 64x \implies x(x^3 - 64) = 0$.अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु ${x = 0}$ और ${x = 4}$ हैं।वक्रों के बीच घिरा हुआ क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:$A = \int_{0}^{4} (\sqrt{4x} - \frac{x^2}{4}) \, dx$$A = \int_{0}^{4} (2\sqrt{x} - \frac{x^2}{4}) \, dx$$A = [2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^3}{12}]_{0}^{4}$$A = [\frac{4}{3} x^{3/2} - \frac{x^3}{12}]_{0}^{4}$$A = (\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{64}{12}) - (0 - 0)$$A = \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3} 	ext{ वर्ग इकाई}$.

परवलयों ${y^2 = 4x}$ और ${x^2 = 4y}$ के बीच घिरा हुआ क्षेत्रफल क्या है?

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$x \in [-1, 2]$ के लिए वक्र $y = \sin(\pi x)$ और $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल . . . . . . वर्ग इकाई है।

यदि वक्रों $y = kx^2$ और $x = ky^2$ $(k > 0)$ के बीच घिरा क्षेत्रफल $1$ वर्ग इकाई है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

वक्रों $y=x$ और $y=x^{2}$ के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

$x=0, x=\frac{\pi}{2}$ और $f(x)=\sin x, g(x)=\cos x$ रेखाओं द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) ज्ञात कीजिए।

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