वक्रों y = log_e x और y = (log_e x)^2 द्वारा | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) वक्रों $y = \log_e x$ और $y = (\log_e x)^2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले $\log_e x = (\log_e x)^2$ रखकर प्रतिच्छेदन बिंदु नि

Vedclass · Accepted Answer

$3 - e$

Vedclass · Answer

(A) वक्रों $y = \log_e x$ और $y = (\log_e x)^2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले $\log_e x = (\log_e x)^2$ रखकर प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करते हैं।माना $u = \log_e x$ है। तब $u = u^2$,जिसका अर्थ है $u^2 - u = 0$,इसलिए $u(u - 1) = 0$। अतः,$u = 0$ या $u = 1$ है।$u = 0$ के लिए,$\log_e x = 0 \implies x = 1$। $u = 1$ के लिए,$\log_e x = 1 \implies x = e$।वक्र $x = 1$ और $x = e$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। अंतराल $[1, e]$ में,$\log_e x \ge (\log_e x)^2$ है।आवश्यक क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:$A = \int_1^e [\log_e x - (\log_e x)^2] \, dx$$A = \int_1^e \log_e x \, dx - \int_1^e (\log_e x)^2 \, dx$खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए:$\int \log_e x \, dx = x \log_e x - x$$\int (\log_e x)^2 \, dx = x(\log_e x)^2 - 2x \log_e x + 2x$निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करते हुए:$\int_1^e \log_e x \, dx = [x \log_e x - x]_1^e = (e \log_e e - e) - (1 \log_e 1 - 1) = (e - e) - (0 - 1) = 1$$\int_1^e (\log_e x)^2 \, dx = [x(\log_e x)^2 - 2x \log_e x + 2x]_1^e = (e(1)^2 - 2e(1) + 2e) - (1(0)^2 - 2(1)(0) + 2(1)) = (e - 2e + 2e) - (2) = e - 2$अतः,$A = 1 - (e - 2) = 3 - e$।

वक्रों $y = \log_e x$ और $y = (\log_e x)^2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल है

Similar Questions

$X$-अक्ष के ऊपर स्थित और वृत्त $x^{2}+y^{2}=2ax$ तथा परवलय $y^{2}=ax$,$a>0$ के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

$x = 0, y = 0, x = 2, y = 2, y \leq e^x$ और $y \geq \log x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

$\{(x, y) : y^2 \leq 2x \text{ और } y \geq 4x - 1\}$ द्वारा वर्णित क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) ज्ञात कीजिए।

वक्रों $y^2=4(x+7)$ और $y^2=5(2-x)$ के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module