वक्र y = x^2 + 1 और मूल बिंदु से खींची गई इसक | vedclass

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Question

(A) माना स्पर्श बिंदु $(x_0, y_0) = (x_0, x_0^2 + 1)$ है।$(x_0, x_0^2 + 1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2x_0$ है।स्पर्श रेखा का समीकरण $y -

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$\frac{2}{3}$

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(A) माना स्पर्श बिंदु $(x_0, y_0) = (x_0, x_0^2 + 1)$ है।$(x_0, x_0^2 + 1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2x_0$ है।स्पर्श रेखा का समीकरण $y - (x_0^2 + 1) = 2x_0(x - x_0)$ है।चूंकि स्पर्श रेखा मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरती है,इसलिए:$0 - (x_0^2 + 1) = 2x_0(0 - x_0)$$-x_0^2 - 1 = -2x_0^2$$x_0^2 = 1 \implies x_0 = \pm 1$ है।$x_0 = 1$ के लिए,स्पर्श रेखा $y = 2x$ है और $x_0 = -1$ के लिए,स्पर्श रेखा $y = -2x$ है।वक्र $y = x^2 + 1$ और स्पर्श रेखाओं $y = 2x$ तथा $y = -2x$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल $A$,$y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।$A = 2 \int_{0}^{1} ((x^2 + 1) - 2x) dx$$A = 2 \int_{0}^{1} (x - 1)^2 dx$$A = 2 \left[ \frac{(x - 1)^3}{3} \right]_{0}^{1}$$A = 2 \left( 0 - \frac{(-1)^3}{3} \right) = 2 \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3}$.

वक्र $y = x^2 + 1$ और मूल बिंदु से खींची गई इसकी स्पर्श रेखाओं द्वारा घिरा क्षेत्रफल है

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