Area bounded by region of multi curve Questions in Hindi

(C) क्षेत्रफल $A$,$x = 0$ से $x = \frac{3\pi}{2}$ तक ऊपरी वक्र और निचले वक्र के अंतर का समाकलन है।
$A = \int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} ((1 + \sin 2x) - \cos x) \, dx$
$= \int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} (1 + \sin 2x - \cos x) \, dx$
$= \left[ x - \frac{1}{2} \cos 2x - \sin x \right]_{0}^{\frac{3\pi}{2}}$
$= \left( \frac{3\pi}{2} - \frac{1}{2} \cos(3\pi) - \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) \right) - \left( 0 - \frac{1}{2} \cos(0) - \sin(0) \right)$
$= \left( \frac{3\pi}{2} - \frac{1}{2}(-1) - (-1) \right) - \left( 0 - \frac{1}{2}(1) - 0 \right)$
$= \left( \frac{3\pi}{2} + \frac{1}{2} + 1 \right) - \left( -\frac{1}{2} \right)$
$= \frac{3\pi}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3\pi}{2} + 2$.

(A) दिया गया है $f(x + 1) = x^2 + 4x$।
$f(x - 1)$ ज्ञात करने के लिए,दिए गए समीकरण में $x$ के स्थान पर $x - 2$ रखें:
$f((x - 2) + 1) = (x - 2)^2 + 4(x - 2)$
$f(x - 1) = x^2 - 4x + 4 + 4x - 8 = x^2 - 4$।
अब,$y = x^2 - 4$ और $y = -x^2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$x^2 - 4 = -x^2$
$2x^2 = 4 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$।
दोनों वक्रों द्वारा घिरा क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} [(-x^2) - (x^2 - 4)] \, dx$
$A = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (4 - 2x^2) \, dx = 2 \int_{0}^{\sqrt{2}} (4 - 2x^2) \, dx$
$A = 2 [4x - \frac{2x^3}{3}]_{0}^{\sqrt{2}} = 2 [4\sqrt{2} - \frac{2(2\sqrt{2})}{3}]$
$A = 2 [4\sqrt{2} - \frac{4\sqrt{2}}{3}] = 2 [\frac{12\sqrt{2} - 4\sqrt{2}}{3}] = 2 [\frac{8\sqrt{2}}{3}] = \frac{16\sqrt{2}}{3}$।

(C) दिए गए वक्र $x = \sqrt{y - 1}$ और $y = x + 1$ हैं।
पहले समीकरण से,$x^2 = y - 1$,जिसका अर्थ है $y = x^2 + 1$।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x^2 + 1 = x + 1$ रखें।
$x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0$।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x = 0$ और $x = 1$ हैं।
क्षेत्रफल $A = \int_{0}^{1} |(x + 1) - (x^2 + 1)| dx$ द्वारा दिया जाता है।
$A = \int_{0}^{1} (x - x^2) dx$।
$A = [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1}$।
$A = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ वर्ग इकाई।

(B) वक्र $y = (x+1)^2$ और $y = (x-1)^2$ हैं। वे $P(0, 1)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
यह क्षेत्र $x = -1$ से $x = 0$ तक $y = (x+1)^2$ और $x = 0$ से $x = 1$ तक $y = (x-1)^2$ द्वारा परिबद्ध है।
अभीष्ट क्षेत्रफल $= \int_{-1}^{0} (x+1)^2 dx + \int_{0}^{1} (x-1)^2 dx$
$= \left[ \frac{(x+1)^3}{3} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{(x-1)^3}{3} \right]_{0}^{1}$
$= \left( \frac{1}{3} - 0 \right) + \left( 0 - (-\frac{1}{3}) \right)$
$= \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

(D) आइए वक्रों का विश्लेषण करें:
$1$. $y = \ln x$,$x > 0$ के लिए परिभाषित है।
$2$. $y = \ln|x|$,$x \neq 0$ के लिए परिभाषित है। $x > 0$ के लिए,$y = \ln x$। $x < 0$ के लिए,$y = \ln(-x)$।
$3$. $y = |\ln x|$,$x > 0$ के लिए परिभाषित है।
$4$. $y = |\ln|x||$,$x \neq 0$ के लिए परिभाषित है।
इन वक्रों को आलेखित करने पर,हम देखते हैं कि $x > 0$ के लिए,वक्र $y = \ln x$,$y = \ln x$,$y = |\ln x|$,और $y = |\ln x|$ हैं।
विशेष रूप से,$x \in (0, 1)$ के लिए,$\ln x < 0$,इसलिए $|\ln x| = -\ln x$।
$x \in (1, \infty)$ के लिए,$\ln x > 0$,इसलिए $|\ln x| = \ln x$।
हालाँकि,प्रश्न इन चार वक्रों द्वारा घिरे क्षेत्रफल के बारे में पूछता है। चूँकि $x > 0$ के लिए $y = \ln x$ और $y = \ln|x|$ समान हैं,और $x > 0$ के लिए $y = |\ln x|$ और $y = |\ln|x||$ समान हैं,इसलिए यह क्षेत्र मानक अर्थ में परिबद्ध नहीं है क्योंकि वक्र एक-दूसरे पर संपाती होते हैं या कार्तीय तल में कोई सीमित बंद क्षेत्र बनाए बिना अनंत तक विस्तारित होते हैं।
अतः,क्षेत्रफल को एक निश्चित मान के रूप में निर्धारित नहीं किया जा सकता है।

(C) दिए गए वक्र $y = \sqrt{x}$ और $y = x^3$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x^3 = \sqrt{x}$ रखें।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $x^6 = x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x(x^5 - 1) = 0$।
अतः,$x = 0$ या $x = 1$ है।
संगत $y$-मान $y = 0$ और $y = 1$ हैं।
इसलिए,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ और $(1, 1)$ हैं।
अंतराल $[0, 1]$ में,$\sqrt{x} \geq x^3$ है।
आवश्यक क्षेत्रफल समाकलन द्वारा दिया गया है:
$A = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^3) dx$
$A = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1}$
$A = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{4}x^4 \right]_{0}^{1}$
$A = \left( \frac{2}{3}(1) - \frac{1}{4}(1) \right) - (0 - 0)$
$A = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8 - 3}{12} = \frac{5}{12}$.

(A) दिए गए वक्र $y = 5x^2$ और $y = 2x^2 + 9$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$5x^2 = 2x^2 + 9$ रखें,जिससे $3x^2 = 9$ प्राप्त होता है,इसलिए $x^2 = 3$,जिसका अर्थ है $x = \pm\sqrt{3}$।
समरूपता द्वारा,क्षेत्रफल $2 \int_{0}^{\sqrt{3}} \{(2x^2 + 9) - 5x^2\} dx$ है।
$= 2 \int_{0}^{\sqrt{3}} (9 - 3x^2) dx$.
$= 2 [9x - x^3]_{0}^{\sqrt{3}}$.
$= 2 [9\sqrt{3} - (\sqrt{3})^3] = 2 [9\sqrt{3} - 3\sqrt{3}] = 2 [6\sqrt{3}] = 12\sqrt{3}$ वर्ग इकाई।

(C) दिए गए वक्र $x^2 + y^2 = 8$ (केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $2\sqrt{2}$ वाला वृत्त) और $y^2 = 2x$ (परवलय) हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^2 = 2x$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर: $x^2 + 2x - 8 = 0$.
$(x+4)(x-2) = 0$,जिससे $x = 2$ प्राप्त होता है।
छोटे भाग का क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए हम $2 \times \int_{0}^{2} \sqrt{2x} \, dx + 2 \times \int_{2}^{2\sqrt{2}} \sqrt{8 - x^2} \, dx$ की गणना करेंगे।
प्रथम समाकलन: $2 \int_{0}^{2} \sqrt{2} x^{1/2} \, dx = \frac{16}{3}$.
द्वितीय समाकलन: $2 \int_{2}^{2\sqrt{2}} \sqrt{8 - x^2} \, dx = 2\pi - 4$.
कुल क्षेत्रफल = $\frac{16}{3} + 2\pi - 4 = 2\pi + \frac{4}{3}$.

(C) दिए गए समीकरण वृत्त $x^2 + y^2 = 2^2$ (त्रिज्या $r = 2$) और रेखा $y = x$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = x$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर: $x^2 + x^2 = 4 \implies 2x^2 = 4 \implies x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2}$ (क्योंकि हम प्रथम चतुर्थांश में हैं)।
$x$-अक्ष के ऊपर रेखा और वृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A = \int_{0}^{\sqrt{2}} x \, dx + \int_{\sqrt{2}}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx$ है।
पहले भाग का मान: $[\frac{x^2}{2}]_{0}^{\sqrt{2}} = 1$ है।
दूसरे भाग का मान: $\int_{\sqrt{2}}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx = [\frac{x}{2}\sqrt{4 - x^2} + 2\sin^{-1}(\frac{x}{2})]_{\sqrt{2}}^{2} = \frac{\pi}{2} - 1$ है।
कुल क्षेत्रफल $A = 1 + \frac{\pi}{2} - 1 = \frac{\pi}{2}$ है।

(A) फलन $y = \sin^{-1}x$ और $y = \cos^{-1}x$ वहाँ प्रतिच्छेद करते हैं जहाँ $\sin^{-1}x = \cos^{-1}x$ होता है।
चूँकि $\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $2\sin^{-1}x = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $\sin^{-1}x = \frac{\pi}{4}$,अतः $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
$x \in [-1, \frac{1}{\sqrt{2}}]$ के लिए,$\cos^{-1}x \ge \sin^{-1}x$,इसलिए $f(x) = \cos^{-1}x$।
$x \in [\frac{1}{\sqrt{2}}, 1]$ के लिए,$\sin^{-1}x \ge \cos^{-1}x$,इसलिए $f(x) = \sin^{-1}x$।
क्षेत्रफल $A = \int_{-1}^{1/\sqrt{2}} \cos^{-1}x \, dx + \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \sin^{-1}x \, dx$ है।
$\int \cos^{-1}x \, dx = x\cos^{-1}x - \sqrt{1-x^2}$ और $\int \sin^{-1}x \, dx = x\sin^{-1}x + \sqrt{1-x^2}$ का उपयोग करने पर:
$A = [x\cos^{-1}x - \sqrt{1-x^2}]_{-1}^{1/\sqrt{2}} + [x\sin^{-1}x + \sqrt{1-x^2}]_{1/\sqrt{2}}^{1}$
गणना करने पर $A = \frac{3\pi}{2} - \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(A) क्षेत्रफल $A$,$y_1 = 5 - \frac{4}{\pi} |x - \pi|$ और $y_2 = |\cos x|$ द्वारा $x \in [0, 2\pi]$ में परिबद्ध है।
$y_1$ के नीचे के क्षेत्र का क्षेत्रफल $2\pi$ आधार और $5$ ऊंचाई वाला एक त्रिभुज है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 2\pi \times 5 = 5\pi$.
$[0, 2\pi]$ में $y_2 = |\cos x|$ के नीचे का क्षेत्रफल $\int_0^{2\pi} |\cos x| dx = 4 \int_0^{\pi/2} \cos x dx = 4[\sin x]_0^{\pi/2} = 4(1 - 0) = 4$ है।
अतः,परिबद्ध क्षेत्रफल $A = 5\pi - 4$ है।
हमें $\left( \frac{A}{2} + 2 \right)$ का मान ज्ञात करना है।
यदि $A = 6\pi - 4$ लिया जाए,तो $\frac{A}{2} + 2 = 3\pi - 2 + 2 = 3\pi$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $A$ है।

(B) यह क्षेत्र $x=0, x=2, y=0, y=2$ द्वारा परिबद्ध है। क्षेत्रफल $A$ ऊपरी सीमा और निचली सीमा के समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है।
दी गई शर्तों के अनुसार,क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार है:
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{2} (e^x - \log x) dx$
$= [e^x - (x \log x - x)]_{0}^{2}$
$= (e^2 - 2 \log 2 + 2) - (1 - 0) = e^2 - 2 \log 2 + 1$.
हालाँकि,दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $6 - 4 \log 2$ है।

(D) क्षेत्रफल $A$,$y_1 = 1 - \cos(\pi x)$ और $y_2 = -x^2$ के बीच $x = -\frac{1}{2}$ से $x = \frac{1}{2}$ तक परिबद्ध है।
चूंकि दोनों वक्र $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित हैं,इसलिए कुल क्षेत्रफल $2 \times \int_{0}^{1/2} (y_1 - y_2) dx$ होगा।
$A = 2 \int_{0}^{1/2} (1 - \cos(\pi x) + x^2) dx$
$A = 2 \left[ x - \frac{\sin(\pi x)}{\pi} + \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1/2}$
$A = 2 \left[ (\frac{1}{2} - \frac{\sin(\pi/2)}{\pi} + \frac{1}{24}) - 0 \right]$
$A = 2 \left[ \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi} + \frac{1}{24} \right]$
$A = 2 \left[ \frac{13}{24} - \frac{1}{\pi} \right] = \frac{13}{12} - \frac{2}{\pi}$.

(B) यह क्षेत्र बाईं ओर $x=0$ ($y-$अक्ष),दाईं ओर $x=\frac{\pi}{2}$ और नीचे $x-$अक्ष $(y=0)$ द्वारा परिबद्ध है।
ऊपरी सीमा $0 \le x \le \frac{\pi}{4}$ के लिए $y = \cos x$ और $\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{2}$ के लिए $y = \sin x$ द्वारा परिभाषित है,क्योंकि $x = \frac{\pi}{4}$ पर $\cos x = \sin x$ होता है।
अभीष्ट क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{0}^{\pi/4} \cos x \, dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} \sin x \, dx$
$A = [\sin x]_{0}^{\pi/4} + [-\cos x]_{\pi/4}^{\pi/2}$
$A = (\sin(\frac{\pi}{4}) - \sin(0)) + (-(\cos(\frac{\pi}{2}) - \cos(\frac{\pi}{4})))$
$A = (\frac{1}{\sqrt{2}} - 0) + (-(0 - \frac{1}{\sqrt{2}}))$
$A = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

(A) दिया गया है $y_1 = \sin^{-1}(\cos x) = \sin^{-1}(\sin(\frac{\pi}{2} - x))$। $x \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ के लिए,$\frac{\pi}{2} - x \in [-\pi, 0]$। अतः,$y_1 = -x - \frac{\pi}{2}$ ($x \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ के लिए) और $y_1 = x - \frac{3\pi}{2}$ ($x \in [\pi, \frac{3\pi}{2}]$ के लिए)।
दिया गया है $y_2 = \cos^{-1}(\sin x) = \cos^{-1}(\cos(\frac{\pi}{2} - x))$। $x \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ के लिए,$\frac{\pi}{2} - x \in [-\pi, 0]$। अतः,$y_2 = |\frac{\pi}{2} - x| = x - \frac{\pi}{2}$ ($x \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ के लिए) और $y_2 = \frac{3\pi}{2} - x$ ($x \in [\pi, \frac{3\pi}{2}]$ के लिए)।
ग्राफ को देखने पर,क्षेत्रफल दो त्रिभुजों का योग है। पहले त्रिभुज के शीर्ष $(\frac{\pi}{2}, 0), (\pi, \frac{\pi}{2}), (\pi, 0)$ हैं और दूसरे के $(\pi, 0), (\pi, \frac{\pi}{2}), (\frac{3\pi}{2}, 0)$ हैं।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2} \times \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{8} + \frac{\pi^2}{8} = \frac{\pi^2}{4}$.

(A) दिया गया है कि $f(x)$ एक विषम फलन है,इसलिए $f(-x) = -f(x)$ है।
हमें $\int_{-1}^{4} f(x) \,dx = 10$ दिया गया है।
इसे $\int_{-1}^{0} f(x) \,dx + \int_{0}^{4} f(x) \,dx = 10$ के रूप में विभाजित किया जा सकता है।
चूंकि $f(x)$ विषम है,$\int_{-1}^{0} f(x) \,dx = -\int_{0}^{1} f(x) \,dx = -\frac{3}{2}$ होगा।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$-\frac{3}{2} + \int_{0}^{4} f(x) \,dx = 10$,जिसका अर्थ है कि $\int_{0}^{4} f(x) \,dx = 10 + \frac{3}{2} = \frac{23}{2}$।
वांछित क्षेत्रफल $\int_{-4}^{4} |f(x)| \,dx$ है।
चूंकि $f(x)$ एक विषम फलन है,$|f(x)|$ एक सम फलन है,इसलिए क्षेत्रफल $2 \int_{0}^{4} |f(x)| \,dx$ होगा।
चूंकि $f(x)$ वर्धमान है और $f(0) = 0$ (क्योंकि यह विषम है),$x \in [-4, 0]$ के लिए $f(x) \leq 0$ और $x \in [0, 4]$ के लिए $f(x) \geq 0$ है।
अतः,$\int_{0}^{4} |f(x)| \,dx = \int_{0}^{4} f(x) \,dx = \frac{23}{2}$।
इसलिए,कुल क्षेत्रफल $2 \times \frac{23}{2} = 23$ है।

(B) दी गई असमिकाएँ $|x| \le 1 + |y|$ और $|y| \le 1$ हैं।
चूँकि यह क्षेत्र $X$-अक्ष और $Y$-अक्ष दोनों के सापेक्ष सममित है,हम प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल की गणना करके उसे $4$ से गुणा कर सकते हैं।
प्रथम चतुर्थांश में,$x \ge 0$ और $y \ge 0$,इसलिए असमिकाएँ $x \le 1 + y$ और $y \le 1$ हो जाती हैं।
प्रथम चतुर्थांश में यह क्षेत्र $x=0, y=0, y=1$ और $x=1+y$ द्वारा घिरा हुआ एक समलंब चतुर्भुज है।
$y=0$ पर $x=1$ और $y=1$ पर $x=2$ प्राप्त होता है।
इस समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times (1 + 2) \times 1 = \frac{3}{2}$।
कुल क्षेत्रफल $= 4 \times \frac{3}{2} = 6$ वर्ग इकाई।

(C) वक्र $y = x + \sin x$ और $y = x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं,जिसके लिए $x + \sin x = x$ रखते हैं।
यह समीकरण $\sin x = 0$ में बदल जाता है,जो अंतराल $[0, 2\pi]$ में $x = 0, \pi, 2\pi$ हल देता है।
क्षेत्रफल $A$ वक्रों के बीच के अंतर के मापांक का समाकलन है:
$A = \int_{0}^{2\pi} |(x + \sin x) - x| \, dx = \int_{0}^{2\pi} |\sin x| \, dx$.
हम समाकलन को उस बिंदु पर विभाजित करते हैं जहाँ $\sin x$ का चिह्न बदलता है:
$A = \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx + \int_{\pi}^{2\pi} (-\sin x) \, dx$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx = [-\cos x]_{0}^{\pi} = -(-1 - 1) = 2$.
$\int_{\pi}^{2\pi} -\sin x \, dx = [\cos x]_{\pi}^{2\pi} = (1 - (-1)) = 2$.
कुल क्षेत्रफल $A = 2 + 2 = 4$.

(D) क्षेत्रफल $A$ दो वक्रों के बीच के अंतर के मापांक का समाकलन है: $A = \int_{0}^{2\pi} |x - \sin x| \, dx$.
चूंकि $x \in [0, 2\pi]$ के लिए $x \ge \sin x$ है,इसलिए मापांक को हटाया जा सकता है: $A = \int_{0}^{2\pi} (x - \sin x) \, dx$.
समाकलन करने पर: $A = \left[ \frac{x^2}{2} + \cos x \right]_{0}^{2\pi}$.
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $A = \left( \frac{(2\pi)^2}{2} + \cos(2\pi) \right) - \left( \frac{0^2}{2} + \cos(0) \right)$.
$A = (2\pi^2 + 1) - (0 + 1) = 2\pi^2$.

(C) क्षेत्रफल $y = e^x$ और $y = |x - 1|$ द्वारा $x = 0$ से $x = 2$ के बीच परिबद्ध है।
चूंकि $x \in [0, 1]$ के लिए $|x - 1| = 1 - x$ और $x \in [1, 2]$ के लिए $|x - 1| = x - 1$ है,इसलिए क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{1} (e^x - (1 - x)) dx + \int_{1}^{2} (e^x - (x - 1)) dx$
$= \int_{0}^{1} (e^x - 1 + x) dx + \int_{1}^{2} (e^x - x + 1) dx$
$= [e^x - x + \frac{x^2}{2}]_{0}^{1} + [e^x - \frac{x^2}{2} + x]_{1}^{2}$
$= (e^1 - 1 + \frac{1}{2}) - (e^0 - 0 + 0) + (e^2 - \frac{4}{2} + 2) - (e^1 - \frac{1}{2} + 1)$
$= (e - \frac{1}{2}) - 1 + (e^2 - 2 + 2) - (e + \frac{1}{2})$
$= e - \frac{1}{2} - 1 + e^2 - e - \frac{1}{2}$
$= e^2 - 2$

(D) समीकरण $x^2 + y^2 = \pi^2$ मूल बिंदु पर केंद्रित और $r = \pi$ त्रिज्या वाले एक वृत्त को दर्शाता है।
प्रथम चतुर्थांश में वृत्त का क्षेत्रफल $\frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi (\pi)^2 = \frac{\pi^3}{4}$ वर्ग इकाई है।
वक्र $y = \sin x$ प्रथम चतुर्थांश में $x = 0$ और $x = \pi$ पर $x$-अक्ष को काटता है।
$x = 0$ से $x = \pi$ तक वक्र $y = \sin x$ के अंतर्गत क्षेत्रफल $\int_0^{\pi} \sin x \, dx = [-\cos x]_0^{\pi} = -(\cos \pi - \cos 0) = -(-1 - 1) = 2$ वर्ग इकाई है।
प्रथम चतुर्थांश में वक्रों के बीच का आवश्यक क्षेत्रफल वृत्त के चतुर्थांश के क्षेत्रफल में से साइन वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है।
आवश्यक क्षेत्रफल $= \frac{\pi^3}{4} - 2 = \frac{\pi^3 - 8}{4}$ वर्ग इकाई।

(C) क्षेत्र $|x| + |y| \leq 1$ एक वर्ग को दर्शाता है जिसके शीर्ष $(1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1)$ हैं।
क्षेत्र $x^2 + y^2 \leq 1$ मूल बिंदु पर केंद्रित और $r = 1$ त्रिज्या वाले एक वृत्त को दर्शाता है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A_c = \pi r^2 = \pi(1)^2 = \pi$ है।
वर्ग $|x| + |y| \leq 1$ का क्षेत्रफल $A_s = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ है।
चूँकि वर्ग वृत्त के भीतर स्थित है,इसलिए वक्रों $x^2 + y^2 \leq 1$ और $|x| + |y| \geq 1$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल,वृत्त के क्षेत्रफल में से वर्ग के क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है।
अभीष्ट क्षेत्रफल $= A_c - A_s = \pi - 2 \text{ वर्ग इकाई}$।

(C) परवलय $y^2 = 4x$ और रेखा $2x + y - 4 = 0$ द्वारा घिरे क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
रेखा के समीकरण $2x + y - 4 = 0$ में $x = \frac{y^2}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2(\frac{y^2}{4}) + y - 4 = 0$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $\frac{y^2}{2} + y - 4 = 0$ या $y^2 + 2y - 8 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,हमें $(y + 4)(y - 2) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $y = -4$ और $y = 2$ है।
वांछित क्षेत्रफल $y = -4$ से $y = 2$ तक रेखा और परवलय के बीच के अंतर का $y$ के सापेक्ष समाकलन द्वारा प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $= \int_{-4}^{2} (x_{line} - x_{parabola}) dy = \int_{-4}^{2} (\frac{4 - y}{2} - \frac{y^2}{4}) dy$.
क्षेत्रफल $= \int_{-4}^{2} (2 - \frac{y}{2} - \frac{y^2}{4}) dy$.
समाकलन का मूल्यांकन करने पर: $[2y - \frac{y^2}{4} - \frac{y^3}{12}]_{-4}^{2}$.
$y = 2$ पर: $2(2) - \frac{4}{4} - \frac{8}{12} = 4 - 1 - \frac{2}{3} = 3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3}$.
$y = -4$ पर: $2(-4) - \frac{16}{4} - \frac{-64}{12} = -8 - 4 + \frac{16}{3} = -12 + \frac{16}{3} = \frac{-36 + 16}{3} = -\frac{20}{3}$.
क्षेत्रफल $= \frac{7}{3} - (-\frac{20}{3}) = \frac{7 + 20}{3} = \frac{27}{3} = 9$ वर्ग इकाई।

(B) दिए गए समीकरण $y = x^2 + 2$ और $y = 2|x| - \cos(\pi x)$ हैं।
दोनों को बराबर करने पर,$x^2 + 2 = 2|x| - \cos(\pi x)$ प्राप्त होता है।
इसे $x^2 - 2|x| + 1 + 1 = -\cos(\pi x)$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो $(|x| - 1)^2 + 1 = -\cos(\pi x)$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $(|x| - 1)^2 \ge 0$,बायां पक्ष $\ge 1$ है। साथ ही,$-\cos(\pi x) \le 1$ है। अतः,समानता केवल तब होती है जब $(|x| - 1)^2 = 0$ और $-\cos(\pi x) = 1$ हो,जिससे $x = \pm 1$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $\int_{-1}^{1} ((x^2 + 2) - (2|x| - \cos(\pi x))) dx$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि फलन सम है,क्षेत्रफल $2 \int_{0}^{1} (x^2 - 2x + 2 + \cos(\pi x)) dx$ होगा।
समाकलन करने पर: $2 [\frac{x^3}{3} - x^2 + 2x + \frac{\sin(\pi x)}{\pi}]_{0}^{1}$।
$= 2 [(\frac{1}{3} - 1 + 2 + 0) - (0)] = 2 [\frac{4}{3}] = \frac{8}{3}$।

(A) $x \in [2\pi, 4\pi]$ के लिए फलन $y = \cos^{-1}(\cos x)$ इस प्रकार परिभाषित है:
$y = \begin{cases} x - 2\pi, & x \in [2\pi, 3\pi] \\ 4\pi - x, & x \in [3\pi, 4\pi] \end{cases}$
$x > 0$ के लिए फलन $y = \tan^{-1} x + \tan^{-1} \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$ है।
यह क्षेत्रफल $x$-अक्ष $(y=0)$, रेखा $y = \frac{\pi}{2}$ और वक्र $y = \cos^{-1}(\cos x)$ द्वारा घिरा हुआ है।
ग्राफ को देखने पर, यह क्षेत्र एक समलंब (trapezoid) है।
$y = \cos^{-1}(\cos x)$ और $y = \frac{\pi}{2}$ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$x - 2\pi = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{5\pi}{2}$
$4\pi - x = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{7\pi}{2}$
समलंब का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊंचाई}$.
समांतर भुजाएं $x$-अक्ष पर $2\pi$ से $4\pi$ (लंबाई $2\pi$) और $y = \frac{\pi}{2}$ पर $\frac{5\pi}{2}$ से $\frac{7\pi}{2}$ (लंबाई $\pi$) हैं।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (2\pi + \pi) \times \frac{\pi}{2} = \frac{1}{2} \times 3\pi \times \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi^2}{4}$.

(B) वक्र $|y| = 4 - x^2$ और $|y| = 3x$ हैं। चूंकि दोनों $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित हैं,हम प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्र पर विचार करते हैं जहाँ $y = 4 - x^2$ और $y = 3x$ है ($x \ge 0$ के लिए)।
प्रतिच्छेदन बिंदु: $4 - x^2 = 3x \implies x^2 + 3x - 4 = 0 \implies (x+4)(x-1) = 0$. चूँकि $x \ge 0$,इसलिए $x = 1$. $x=1$ पर,$y=3$ प्राप्त होता है।
प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल $\int_0^1 (3x) dx + \int_1^2 (4 - x^2) dx$ है।
$= \left[ \frac{3x^2}{2} \right]_0^1 + \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_1^2$
$= \frac{3}{2} + \left( (8 - \frac{8}{3}) - (4 - \frac{1}{3}) \right) = \frac{3}{2} + ( \frac{16}{3} - \frac{11}{3} ) = \frac{3}{2} + \frac{5}{3} = \frac{9+10}{6} = \frac{19}{6}$.
कुल क्षेत्रफल (छोटा क्षेत्र) $2 \times \frac{19}{6} = \frac{19}{3} = 6 + \frac{1}{3}$ है।
दिया गया क्षेत्रफल $3K + \frac{1}{3} = 6 + \frac{1}{3}$ है।
तुलना करने पर,$3K = 6 \implies K = 2$.

(B) दिया गया क्षेत्र $y = \sqrt{x}$,$y = x - 2$,$x = 0$,और $y = 0$ द्वारा घिरा हुआ है।
$y = \sqrt{x}$ और $y = x - 2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $\sqrt{x} = x - 2$ रखते हैं।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$ प्राप्त होता है,जो $x^2 - 5x + 4 = 0$ में सरल हो जाता है।
गुणनखंड करने पर $(x - 4)(x - 1) = 0$ मिलता है,अतः $x = 4$ या $x = 1$ है।
चूंकि $y = \sqrt{x}$ गैर-ऋणात्मक होना चाहिए,प्रतिच्छेदन बिंदु $(4, 2)$ है।
क्षेत्रफल ऊपरी वक्र और निचले वक्र के बीच का समाकलन है।
$0 \le x \le 2$ के लिए,क्षेत्र $y = \sqrt{x}$ और $y = 0$ द्वारा घिरा है। क्षेत्रफल $A_1 = \int_{0}^{2} \sqrt{x} \, dx = [\frac{2}{3}x^{3/2}]_{0}^{2} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$ है।
$2 \le x \le 4$ के लिए,क्षेत्र $y = \sqrt{x}$ और $y = x - 2$ द्वारा घिरा है। क्षेत्रफल $A_2 = \int_{2}^{4} (\sqrt{x} - (x - 2)) \, dx = [\frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^2}{2} + 2x]_{2}^{4}$ है।
$A_2 = (\frac{16}{3}) - (\frac{4\sqrt{2}}{3} + 2) = \frac{10}{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3}$ है।
कुल क्षेत्रफल = $A_1 + A_2 = \frac{4\sqrt{2}}{3} + \frac{10}{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3} = \frac{10}{3}$ वर्ग इकाई।

(B) वक्रों $y = x^2$ और $y = \frac{1}{x}$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $x^2 = \frac{1}{x}$ रखने पर,जिससे $x^3 = 1$ प्राप्त होता है,अतः $x = 1$। इस प्रकार,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ है।
वक्रों $y = x^2$,$y = \frac{1}{x}$,$x$-अक्ष $(y = 0)$ और रेखा $x = t$ $(t > 1)$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल दो समाकलों के योग द्वारा दिया जाता है:
$\text{Area} = \int_0^1 x^2 \, dx + \int_1^t \frac{1}{x} \, dx$
समाकलनों का मूल्यांकन करने पर:
$\text{Area} = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 + \left[ \ln(x) \right]_1^t$
$\text{Area} = \left( \frac{1}{3} - 0 \right) + (\ln(t) - \ln(1))$
चूंकि $\ln(1) = 0$,इसलिए:
$\text{Area} = \frac{1}{3} + \ln(t)$
यह दिया गया है कि क्षेत्रफल $1 \, \text{sq. unit}$ है:
$\frac{1}{3} + \ln(t) = 1$
$\ln(t) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर:
$t = e^{2/3}$

(D) दिए गए वक्र $x^2 + y^2 = 4$ (केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $2$ वाला वृत्त) और $y^2 = 3x$ (परवलय) हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^2 = 3x$ को $x^2 + y^2 = 4$ में प्रतिस्थापित करें:
$x^2 + 3x - 4 = 0$
$(x+4)(x-1) = 0$
चूंकि परवलय के लिए $x \ge 0$ है,इसलिए हमें $x = 1$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ पर,$y^2 = 3(1) = 3$,अतः $y = \pm\sqrt{3}$।
छोटे भाग का क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
क्षेत्रफल $= 2 \times \left[ \int_{0}^{1} \sqrt{3x} \, dx + \int_{1}^{2} \sqrt{4-x^2} \, dx \right]$
$= 2 \times \left[ \sqrt{3} \left( \frac{x^{3/2}}{3/2} \right)_0^1 + \left( \frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} + \frac{4}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) \right)_1^2 \right]$
$= 2 \times \left[ \sqrt{3} \left( \frac{2}{3} \right) + \left( (0 + 2\sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2}\sqrt{3} + 2\sin^{-1}(1/2)) \right) \right]$
$= 2 \times \left[ \frac{2\sqrt{3}}{3} + \left( 2 \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \cdot \frac{\pi}{6} \right) \right]$
$= 2 \times \left[ \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi - \frac{\pi}{3} \right] = 2 \times \left[ \frac{4-3}{2\sqrt{3}} + \frac{2\pi}{3} \right]$
$= 2 \times \left[ \frac{1}{2\sqrt{3}} + \frac{2\pi}{3} \right] = \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{4\pi}{3}$

(A) यह क्षेत्र परवलय $y = x^2 - 5x + 4$,रेखा $y = 1 - x$,और रेखा $y = 0$ (x-अक्ष) द्वारा घिरा हुआ है।
सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$y = x^2 - 5x + 4$ और $y = 1 - x$ के लिए:
$x^2 - 5x + 4 = 1 - x \implies x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x-1)(x-3) = 0$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x=1$ और $x=3$ पर हैं। $x=3$ पर,$y = 1-3 = -2$ है।
यह क्षेत्र दो भागों से बना है:
$A_1$: शीर्ष $(1,0), (3,0), (3,-2)$ द्वारा घिरा त्रिभुज। क्षेत्रफल $A_1 = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (3-1) \times |-2| = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$.
$A_2$: $x=3$ से $x=4$ तक परवलय और x-अक्ष के बीच का क्षेत्रफल। क्षेत्रफल $A_2 = |\int_{3}^{4} (x^2 - 5x + 4) dx| = |[\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 4x]_3^4| = |(\frac{64}{3} - 40 + 16) - (9 - \frac{45}{2} + 12)| = |(\frac{64}{3} - 24) - (21 - 22.5)| = |-\frac{8}{3} - (-1.5)| = |-\frac{8}{3} + \frac{3}{2}| = |-\frac{16}{6} + \frac{9}{6}| = |-\frac{7}{6}| = \frac{7}{6}$.
कुल क्षेत्रफल $= A_1 + A_2 = 2 + \frac{7}{6} = \frac{19}{6}$ वर्ग इकाई।

(C) दिए गए वक्र $y = -2x^2$ और $y = 1 - 3x^2$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,समीकरणों को बराबर रखने पर:
$-2x^2 = 1 - 3x^2$
$x^2 = 1$
$x = \pm 1$.
चूंकि वक्र $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित हैं,इसलिए क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = 2 \int_{0}^{1} (y_{upper} - y_{lower}) dx$
यहाँ,$y_{upper} = 1 - 3x^2$ और $y_{lower} = -2x^2$ है।
$A = 2 \int_{0}^{1} ((1 - 3x^2) - (-2x^2)) dx$
$A = 2 \int_{0}^{1} (1 - x^2) dx$
$A = 2 [x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1}$
$A = 2 (1 - \frac{1}{3}) = 2 (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$ वर्ग इकाई।

(B) क्षेत्र $A$ परवलय $y^2 = 4x$ और रेखा $y = 2x - 4$ द्वारा घिरा हुआ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{y^2}{4}$ को रेखा के समीकरण $x = \frac{y+4}{2}$ में प्रतिस्थापित करें:
$\frac{y^2}{4} = \frac{y+4}{2} \implies y^2 = 2y + 8 \implies y^2 - 2y - 8 = 0$.
$(y - 4)(y + 2) = 0$,अतः $y = 4$ और $y = -2$.
$y = 4$ के लिए,$x = 4$. $y = -2$ के लिए,$x = 1$.
क्षेत्रफल $\int_{-2}^{4} (x_{line} - x_{parabola}) dy = \int_{-2}^{4} (\frac{y+4}{2} - \frac{y^2}{4}) dy$ द्वारा दिया जाता है।
$= \left[ \frac{y^2}{4} + 2y - \frac{y^3}{12} \right]_{-2}^{4}$.
$= (\frac{16}{4} + 8 - \frac{64}{12}) - (\frac{4}{4} - 4 - \frac{-8}{12})$.
$= (4 + 8 - \frac{16}{3}) - (1 - 4 + \frac{2}{3}) = (12 - \frac{16}{3}) - (-3 + \frac{2}{3}) = \frac{20}{3} - (-\frac{7}{3}) = \frac{27}{3} = 9$ वर्ग इकाई।

(A) दिया गया वक्र $y = \tan x$ है ... $(1)$
जब $x = \frac{\pi}{4}$,तब $y = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$. अतः,स्पर्श बिंदु $P(\frac{\pi}{4}, 1)$ है।
अवकलन $\frac{dy}{dx} = \sec^2 x$ है। $x = \frac{\pi}{4}$ पर,ढाल $m = \sec^2(\frac{\pi}{4}) = 2$ है।
$P$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $y - 1 = 2(x - \frac{\pi}{4})$ है,जो सरल होकर $y = 2x + 1 - \frac{\pi}{2}$ हो जाता है ... $(2)$.
स्पर्शरेखा का $x-$अंतःखंड $y = 0$ रखकर प्राप्त किया जा सकता है: $0 = 2x + 1 - \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi - 2}{4}$. इस बिंदु को $L(\frac{\pi - 2}{4}, 0)$ कहें।
क्षेत्र का क्षेत्रफल $x = 0$ से $x = \frac{\pi}{4}$ तक वक्र $y = \tan x$ के नीचे का क्षेत्रफल और स्पर्शरेखा,$x-$अक्ष और ऊर्ध्वाधर रेखा $x = \frac{\pi}{4}$ द्वारा बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का अंतर है।
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \, dx - \Delta PLM$ का क्षेत्रफल
$= [\log |\sec x|]_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$
$= \log(\sec \frac{\pi}{4}) - \log(\sec 0) - \frac{1}{2} \times (\frac{\pi}{4} - \frac{\pi - 2}{4}) \times 1$
$= \log(\sqrt{2}) - 0 - \frac{1}{2} \times (\frac{2}{4}) = \frac{1}{2} \log 2 - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}(\log 2 - \frac{1}{2})$ वर्ग इकाई।

(B) परवलय $y^2 = x$ और वृत्त $x^2 + y^2 = 2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $y^2 = x$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होते हैं: $x^2 + x - 2 = 0$,जो $(x+2)(x-1) = 0$ देता है। चूंकि $x \ge 0$,इसलिए $x = 1$ है। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ और $(1, -1)$ हैं।
वृत्त का कुल क्षेत्रफल $A_{total} = \pi r^2 = 2\pi$ है।
परवलय और वृत्त द्वारा $y$-अक्ष के दाईं ओर घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल:
$A_1 = 2 \int_{0}^{1} \sqrt{x} \, dx + 2 \int_{1}^{\sqrt{2}} \sqrt{2 - x^2} \, dx$
प्रथम समाकलन:
$2 \int_{0}^{1} x^{1/2} \, dx = 2 \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{4}{3}$.
द्वितीय समाकलन:
$2 \int_{1}^{\sqrt{2}} \sqrt{2 - x^2} \, dx = 2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{2 - x^2} + \frac{2}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right) \right]_{1}^{\sqrt{2}}$
$= 2 \left[ (0 + \sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2} \sqrt{1} + \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)) \right]$
$= 2 \left[ \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4} \right] = 2 \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right] = \frac{\pi}{2} - 1$.
अतः,$A_1 = \frac{4}{3} + \frac{\pi}{2} - 1 = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3\pi + 2}{6}$.
दूसरा क्षेत्रफल $A_2 = A_{total} - A_1 = 2\pi - \frac{3\pi + 2}{6} = \frac{12\pi - 3\pi - 2}{6} = \frac{9\pi - 2}{6}$.
क्षेत्रफलों का अनुपात $A_2 : A_1 = \frac{9\pi - 2}{6} : \frac{3\pi + 2}{6} = 9\pi - 2 : 3\pi + 2$.

(D) दिए गए वक्र $y = x^2$ और $y = x^3$ हैं।
$y = x^2$ और $y = x^3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $x^2 = x^3$ रखते हैं,जिससे $x^2(x - 1) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = 0$ या $x = 1$ है।
$0 < x < 1$ के लिए,$x^2 > x^3$ है,और $x > 1$ के लिए,$x^3 > x^2$ है।
चूँकि $p > 1$ दिया गया है,क्षेत्रफल $[0, 1]$ और $[1, p]$ अंतरालों में क्षेत्रफलों का योग है:
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{1} (x^2 - x^3) \, dx + \int_{1}^{p} (x^3 - x^2) \, dx = \frac{1}{6}$.
प्रथम समाकलन की गणना:
$\int_{0}^{1} (x^2 - x^3) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$.
द्वितीय समाकलन की गणना:
$\int_{1}^{p} (x^3 - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{p} = \left( \frac{p^4}{4} - \frac{p^3}{3} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \right) = \frac{p^4}{4} - \frac{p^3}{3} + \frac{1}{12}$.
क्षेत्रफलों का योग करने पर:
$\frac{1}{12} + \frac{p^4}{4} - \frac{p^3}{3} + \frac{1}{12} = \frac{1}{6}$.
$\frac{p^4}{4} - \frac{p^3}{3} + \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
$\frac{p^4}{4} - \frac{p^3}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$.
$\frac{p^4}{4} - \frac{p^3}{3} = 0$.
$12$ से गुणा करने पर:
$3p^4 - 4p^3 = 0$.
$p^3(3p - 4) = 0$.
चूँकि $p > 1$ है,इसलिए $p = 4/3$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए समीकरण $y^2 = 4x$ और $2x - 3y + 4 = 0$ हैं।
रेखा के समीकरण से,$x = \frac{3y - 4}{2}$ प्राप्त होता है।
इसे परवलय के समीकरण में रखने पर: $y^2 = 4 \left( \frac{3y - 4}{2} \right) = 2(3y - 4) = 6y - 8$.
$y^2 - 6y + 8 = 0 \implies (y - 2)(y - 4) = 0$.
अतः,$y = 2$ और $y = 4$.
जब $y = 2$,तो $x = \frac{3(2) - 4}{2} = 1$. जब $y = 4$,तो $x = \frac{3(4) - 4}{2} = 4$.
क्षेत्रफल $\int_{2}^{4} (x_{line} - x_{parabola}) dy = \int_{2}^{4} \left( \frac{3y - 4}{2} - \frac{y^2}{4} \right) dy$ द्वारा प्राप्त होता है।
$= \left[ \frac{3y^2}{4} - 2y - \frac{y^3}{12} \right]_{2}^{4}$.
$= \left( \frac{3(16)}{4} - 2(4) - \frac{64}{12} \right) - \left( \frac{3(4)}{4} - 2(2) - \frac{8}{12} \right)$.
$= \left( 12 - 8 - \frac{16}{3} \right) - \left( 3 - 4 - \frac{2}{3} \right) = \left( 4 - \frac{16}{3} \right) - \left( -1 - \frac{2}{3} \right) = -\frac{4}{3} + \frac{5}{3} = \frac{1}{3}$ वर्ग इकाई।

(A) परवलय का समीकरण $y = x^2 - 1$ है।
बिंदु $(2, 3)$ पर स्पर्श रेखा ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं: $\frac{dy}{dx} = 2x$।
$x = 2$ पर,ढाल $m = 2(2) = 4$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 3 = 4(x - 2)$ है,जिसे $y = 4x - 5$ या $x = \frac{y + 5}{4}$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
परवलय को $x = \sqrt{y + 1}$ के रूप में लिखा जा सकता है ($x > 0$ के लिए)।
स्पर्श रेखा $y$-अक्ष को $x = 0$ पर काटती है,जहाँ $y = -5$ है।
परवलय,स्पर्श रेखा और $y$-अक्ष द्वारा घिरा क्षेत्रफल $y = -1$ से $y = 3$ तक के समाकलन द्वारा दिया जाता है:
क्षेत्रफल $= \int_{-1}^{3} (x_{\text{tangent}} - x_{\text{parabola}}) dy = \int_{-1}^{3} \left( \frac{y + 5}{4} - \sqrt{y + 1} \right) dy$।
$= \left[ \frac{y^2}{8} + \frac{5y}{4} \right]_{-1}^{3} - \left[ \frac{2}{3}(y + 1)^{3/2} \right]_{-1}^{3}$।
$= \left( (\frac{9}{8} + \frac{15}{4}) - (\frac{1}{8} - \frac{5}{4}) \right) - \left( \frac{2}{3}(4)^{3/2} - 0 \right)$।
$= (\frac{39}{8} - (-\frac{9}{8})) - \frac{2}{3}(8) = \frac{48}{8} - \frac{16}{3} = 6 - \frac{16}{3} = \frac{2}{3}$।

(B) दिए गए वक्र $y = kx^2$ और $x = ky^2$ हैं,जहाँ $k > 0$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = kx^2$ को $x = ky^2$ में प्रतिस्थापित करें:
$x = k(kx^2)^2 = k^3 x^4$
$x(k^3 x^3 - 1) = 0$
अतः,$x = 0$ या $x^3 = \frac{1}{k^3}$,जिससे $x = 0$ या $x = \frac{1}{k}$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ और $(\frac{1}{k}, \frac{1}{k})$ हैं।
वक्रों के बीच घिरा क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{0}^{1/k} (\sqrt{\frac{x}{k}} - kx^2) dx = 1$
$A = \left[ \frac{1}{\sqrt{k}} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{kx^3}{3} \right]_{0}^{1/k} = 1$
$A = \left( \frac{2}{3\sqrt{k}} \cdot (\frac{1}{k})^{3/2} - \frac{k}{3} \cdot (\frac{1}{k})^3 \right) = 1$
$A = \frac{2}{3k^2} - \frac{1}{3k^2} = \frac{1}{3k^2} = 1$
$3k^2 = 1 \Rightarrow k^2 = \frac{1}{3}$
चूँकि $k > 0$ है,इसलिए $k = \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए समीकरण $x^2 = 4y$ $(1)$ और $x = 4y - 2$ हैं,जिसका अर्थ है $4y = x + 2$ $(2)$।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$4y$ के व्यंजकों की तुलना करें:
$x^2 = x + 2$
$x^2 - x - 2 = 0$
$(x - 2)(x + 1) = 0$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x = -1$ और $x = 2$ हैं।
क्षेत्रफल $A$ ऊपरी वक्र से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है:
$A = \int_{-1}^{2} \left( \frac{x + 2}{4} - \frac{x^2}{4} \right) dx$
$A = \frac{1}{4} \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2}$
$A = \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} \right) \right]$
$A = \frac{1}{4} \left[ \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{3 - 12 + 2}{6} \right) \right]$
$A = \frac{1}{4} \left[ \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) \right] = \frac{1}{4} \left[ \frac{20 + 7}{6} \right]$
$A = \frac{1}{4} \times \frac{27}{6} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8} \text{ वर्ग इकाई}$।

(B) परवलय का समीकरण $y = x^2 + 1$ है।
बिंदु $(2, 5)$ पर स्पर्शरेखा ज्ञात करने के लिए,अवकलन करते हैं: $\frac{dy}{dx} = 2x$।
$x = 2$ पर,ढाल $m = 2(2) = 4$ है।
स्पर्शरेखा का समीकरण $y - 5 = 4(x - 2)$ है,जिसे सरल करने पर $y = 4x - 3$ प्राप्त होता है।
स्पर्शरेखा $x$-अक्ष को $y = 0$ पर काटती है,इसलिए $4x - 3 = 0$,जिससे $x = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
आवश्यक क्षेत्रफल $x = 0$ से $x = 2$ तक परवलय के नीचे का क्षेत्रफल है,जिसमें से स्पर्शरेखा,$x$-अक्ष और ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 2$ द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाना है।
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{2} (x^2 + 1) dx - \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल}$।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (2 - \frac{3}{4}) \times 5 = \frac{1}{2} \times \frac{5}{4} \times 5 = \frac{25}{8}$।
समाकलन भाग $= [\frac{x^3}{3} + x]_{0}^{2} = \frac{8}{3} + 2 = \frac{14}{3}$।
आवश्यक क्षेत्रफल $= \frac{14}{3} - \frac{25}{8} = \frac{112 - 75}{24} = \frac{37}{24}$ वर्ग इकाई।

(D) वक्रों $y = f(x)$ और $y = g(x)$ के बीच $x = a$ से $x = b$ तक परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$f(x) = x^2 + 2$ और $g(x) = x + 1$ है। $x \in [0, 3]$ के लिए,$x^2 + 2 \geq x + 1$ है क्योंकि $x^2 - x + 1 = (x - 0.5)^2 + 0.75 > 0$ है।
अतः,अभीष्ट क्षेत्रफल $\int_{0}^{3} ((x^2 + 2) - (x + 1)) dx$ है।
$= \int_{0}^{3} (x^2 - x + 1) dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{3}$
$= \left( \frac{3^3}{3} - \frac{3^2}{2} + 3 \right) - (0)$
$= \left( 9 - 4.5 + 3 \right) = 7.5 = \frac{15}{2}$ वर्ग इकाई।

(B) क्षेत्र $0 \le x \le 3$,$0 \le y \le 4$,और $y \le x^2 + 3x$ द्वारा परिभाषित है।
सबसे पहले,$y = x^2 + 3x$ और $y = 4$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$x^2 + 3x = 4 \implies x^2 + 3x - 4 = 0 \implies (x+4)(x-1) = 0$.
चूंकि $x \ge 0$,प्रतिच्छेदन बिंदु $x = 1$ है।
$0 \le x \le 1$ के लिए,क्षेत्र $y = x^2 + 3x$ और $x$-अक्ष द्वारा घिरा हुआ है।
क्षेत्रफल $A_1 = \int_0^1 (x^2 + 3x) dx = [\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2}]_0^1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} = \frac{2+9}{6} = \frac{11}{6}$.
$1 \le x \le 3$ के लिए,क्षेत्र $y = 4$ और $x$-अक्ष द्वारा घिरा हुआ है।
क्षेत्रफल $A_2 = \int_1^3 4 dx = [4x]_1^3 = 4(3-1) = 8$.
कुल क्षेत्रफल = $A_1 + A_2 = \frac{11}{6} + 8 = \frac{11+48}{6} = \frac{59}{6}$.

(C) दिया गया क्षेत्र परवलय $y = x^2$ और रेखा $y = x + 2$ द्वारा घिरा हुआ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $x^2 = x + 2$ रखते हैं।
इससे $x^2 - x - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,हमें $(x - 2)(x + 1) = 0$ मिलता है,जिसका अर्थ है $x = 2$ और $x = -1$।
क्षेत्रफल $x = -1$ से $x = 2$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर प्राप्त समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{-1}^{2} ((x + 2) - x^2) dx$
$= [\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}]_{-1}^{2}$
$= (\frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - 2 - \frac{-1}{3})$
$= (2 + 4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3})$
$= (6 - \frac{8}{3}) - (\frac{3 - 12 + 2}{6})$
$= \frac{10}{3} - (-\frac{7}{6})$
$= \frac{20 + 7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$ वर्ग इकाई।

(B) यह क्षेत्र परवलय $x = \frac{y^2}{2}$ और रेखा $x = y + 4$ द्वारा घिरा हुआ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, $\frac{y^2}{2} = y + 4$ रखें।
$y^2 = 2y + 8 \Rightarrow y^2 - 2y - 8 = 0$.
$(y - 4)(y + 2) = 0$, अतः $y = 4$ और $y = -2$.
$y = 4$ के लिए, $x = 8$ और $y = -2$ के लिए, $x = 2$.
क्षेत्रफल $A$ समाकलन $\int_{-2}^{4} (x_{\text{right}} - x_{\text{left}}) dy$ द्वारा दिया जाता है।
$A = \int_{-2}^{4} (y + 4 - \frac{y^2}{2}) dy$.
$A = \left[ \frac{y^2}{2} + 4y - \frac{y^3}{6} \right]_{-2}^{4}$.
$A = (\frac{16}{2} + 16 - \frac{64}{6}) - (\frac{4}{2} - 8 - \frac{-8}{6})$.
$A = (8 + 16 - \frac{32}{3}) - (2 - 8 + \frac{4}{3}) = (24 - \frac{32}{3}) - (-6 + \frac{4}{3})$.
$A = \frac{72 - 32}{3} - \frac{-18 + 4}{3} = \frac{40}{3} - (-\frac{14}{3}) = \frac{54}{3} = 18$ $sq. units$.

(B) यह क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में परवलय $y^2 = 4x$ और रेखा $x + y = 1$ द्वारा घिरा हुआ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x = 1 - y$ को $y^2 = 4x$ में प्रतिस्थापित करें:
$y^2 = 4(1 - y) \implies y^2 + 4y - 4 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$y = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{2}$.
चूंकि $y \ge 0$,इसलिए $y = 2\sqrt{2} - 2$. तब $x = 1 - y = 1 - (2\sqrt{2} - 2) = 3 - 2\sqrt{2}$.
क्षेत्रफल $\int_{0}^{3-2\sqrt{2}} 2\sqrt{x} dx + \int_{3-2\sqrt{2}}^{1} (1 - x) dx$ द्वारा दिया जाता है।
$= \left[ \frac{4}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{3-2\sqrt{2}} + \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_{3-2\sqrt{2}}^{1}$.
$= \frac{4}{3} (3-2\sqrt{2})^{3/2} + \left( (1 - 1/2) - ((3-2\sqrt{2}) - \frac{(3-2\sqrt{2})^2}{2}) \right)$.
यहाँ $(3-2\sqrt{2}) = (\sqrt{2}-1)^2$ है,इसलिए $(3-2\sqrt{2})^{3/2} = (\sqrt{2}-1)^3 = 5\sqrt{2} - 7$.
क्षेत्रफल $= \frac{8}{3}\sqrt{2} - \frac{10}{3}$.
अतः,$a = \frac{8}{3}$ और $b = -\frac{10}{3}$.
$a - b = \frac{8}{3} - (-\frac{10}{3}) = \frac{18}{3} = 6$.

(D) परवलय $y^2 = 4\lambda x$ और रेखा $y = \lambda x$ के समीकरण दिए गए हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = \lambda x$ को परवलय के समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
$(\lambda x)^2 = 4\lambda x$
$\lambda^2 x^2 - 4\lambda x = 0$
$\lambda x(\lambda x - 4) = 0$
चूँकि $\lambda > 0$,इसलिए $x = 0$ और $x = \frac{4}{\lambda}$ प्राप्त होता है।
वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल निम्न है:
$A = \int_{0}^{4/\lambda} (\sqrt{4\lambda x} - \lambda x) dx = \frac{1}{9}$
$A = 2\sqrt{\lambda} \int_{0}^{4/\lambda} \sqrt{x} dx - \lambda \int_{0}^{4/\lambda} x dx$
$A = 2\sqrt{\lambda} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{4/\lambda} - \lambda \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4/\lambda}$
$A = \frac{4}{3} \sqrt{\lambda} \left( \frac{4}{\lambda} \right)^{3/2} - \frac{\lambda}{2} \left( \frac{4}{\lambda} \right)^2$
$A = \frac{4}{3} \sqrt{\lambda} \cdot \frac{8}{\lambda \sqrt{\lambda}} - \frac{\lambda}{2} \cdot \frac{16}{\lambda^2}$
$A = \frac{32}{3\lambda} - \frac{8}{\lambda} = \frac{32 - 24}{3\lambda} = \frac{8}{3\lambda}$
दिया गया है कि $A = \frac{1}{9}$,इसलिए:
$\frac{8}{3\lambda} = \frac{1}{9}$
$3\lambda = 72$
$\lambda = 24$

(D) यह क्षेत्र परवलय $y = 4x^2$ और रेखा $y = 8x + 12$ द्वारा घिरा हुआ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$4x^2 = 8x + 12$ रखें।
$4x^2 - 8x - 12 = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0$.
$(x - 3)(x + 1) = 0$,अतः $x = -1$ और $x = 3$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $A(-1, 4)$ और $B(3, 36)$ हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $x = -1$ से $x = 3$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
क्षेत्रफल $= \int_{-1}^{3} (8x + 12 - 4x^2) dx$
$= [4x^2 + 12x - \frac{4x^3}{3}]_{-1}^{3}$
$= (4(9) + 12(3) - \frac{4(27)}{3}) - (4(1) + 12(-1) - \frac{4(-1)}{3})$
$= (36 + 36 - 36) - (4 - 12 + \frac{4}{3})$
$= 36 - (-8 + \frac{4}{3}) = 36 - (-\frac{20}{3}) = 36 + \frac{20}{3} = \frac{108 + 20}{3} = \frac{128}{3}$ वर्ग इकाई।

(B) वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}=2$ है,अतः इसकी त्रिज्या $r = \sqrt{2}$ है। वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^{2} = \pi(\sqrt{2})^{2} = 2\pi$ है।
परवलय $y^{2}=x$ और रेखा $y=x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $y^{2}=x$ और $y=x$ की तुलना करने पर $x^{2}=x$ प्राप्त होता है,अर्थात $x(x-1)=0$,जिससे $x=0$ और $x=1$ प्राप्त होते हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(1,1)$ हैं।
परवलय और रेखा द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A$ निम्न प्रकार है:
$A = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x) dx$
$A = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4-3}{6} = \frac{1}{6}$.
अभीष्ट क्षेत्रफल वृत्त के क्षेत्रफल में से उभयनिष्ठ क्षेत्रफल $A$ को घटाने पर प्राप्त होता है:
$\text{अभीष्ट क्षेत्रफल} = 2\pi - \frac{1}{6} = \frac{12\pi - 1}{6} = \frac{1}{6}(12\pi - 1)$.

(D) परवलय $y = x^{2}$ और रेखा $y = 3 - 2x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं,जिसके लिए $x^{2} = 3 - 2x$ रखते हैं।
$x^{2} + 2x - 3 = 0$
$(x + 3)(x - 1) = 0$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x = -3$ और $x = 1$ हैं।
क्षेत्रफल $A$,$x = -3$ से $x = 1$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है:
$A = \int_{-3}^{1} ((3 - 2x) - x^{2}) dx$
$A = [3x - x^{2} - \frac{x^{3}}{3}]_{-3}^{1}$
$A = (3(1) - (1)^{2} - \frac{(1)^{3}}{3}) - (3(-3) - (-3)^{2} - \frac{(-3)^{3}}{3})$
$A = (3 - 1 - \frac{1}{3}) - (-9 - 9 + 9)$
$A = (2 - \frac{1}{3}) - (-9)$
$A = \frac{5}{3} + 9 = \frac{5 + 27}{3} = \frac{32}{3}$ वर्ग इकाई।

(A) वक्र $C_{1}: y^{2}=ax$ और $C_{2}: x^{2}=ay$ हैं। उन्हें हल करने पर,हमें $x^{4}/a^{2} = ax \Rightarrow x(x^{3}-a^{3})=0$ प्राप्त होता है। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $O(0,0)$ और $P(a,a)$ हैं।
जीवा $OP$ का समीकरण $y=x$ है। रेखा $x=b$,$OP$ को $Q(b,b)$ पर और $x$-अक्ष को $R(b,0)$ पर प्रतिच्छेद करती है।
$\Delta OQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times b \times b = \frac{b^{2}}{2}.$ क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}$ दिया गया है,इसलिए $b^{2}=1 \Rightarrow b=1$ प्राप्त होता है।
वक्रों द्वारा परिबद्ध कुल क्षेत्रफल $\int_{0}^{a} (\sqrt{ax} - x^{2}/a) dx = [\frac{2}{3}\sqrt{a}x^{3/2} - x^{3}/(3a)]_{0}^{a} = \frac{2}{3}a^{2} - \frac{1}{3}a^{2} = \frac{a^{2}}{3}$ है।
रेखा $x=b$ इस क्षेत्रफल को समद्विभाजित करती है,इसलिए $\int_{0}^{b} (\sqrt{ax} - x^{2}/a) dx = \frac{1}{2} \times \frac{a^{2}}{3} = \frac{a^{2}}{6}$ होगा।
$b=1$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2}{3}\sqrt{a} - \frac{1}{3a} = \frac{a^{2}}{6}.$
$6a$ से गुणा करने पर: $4a^{3/2} - 2 = a^{3} \Rightarrow a^{3} + 2 = 4a^{3/2}.$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(a^{3}+2)^{2} = 16a^{3} \Rightarrow a^{6} + 4a^{3} + 4 = 16a^{3} \Rightarrow a^{6} - 12a^{3} + 4 = 0.$