वक्र y = ax^2 + bx + c बिंदु (1, 2) से होकर ग | vedclass

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Question

(A) दिया गया वक्र $y = ax^2 + bx + c$ है। चूंकि यह $(1, 2)$ से गुजरता है,हमारे पास $2 = a(1)^2 + b(1) + c$ है,इसलिए $a + b + c = 2$ ... $(1)$। चूंकि य

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$\frac{1}{24}$

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(A) दिया गया वक्र $y = ax^2 + bx + c$ है। चूंकि यह $(1, 2)$ से गुजरता है,हमारे पास $2 = a(1)^2 + b(1) + c$ है,इसलिए $a + b + c = 2$ ... $(1)$। चूंकि यह मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है,हमारे पास $0 = a(0)^2 + b(0) + c$ है,इसलिए $c = 0$। $c = 0$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a + b = 2$ मिलता है ... $(2)$। मूल बिंदु पर स्पर्शक $y = x$ है,जिसका अर्थ है कि $x = 0$ पर स्पर्शक की ढाल $1$ है। चूंकि $\frac{dy}{dx} = 2ax + b$,$x = 0$ पर $\frac{dy}{dx} = b$ है। अतः,$b = 1$। $(2)$ से,$a + 1 = 2$,इसलिए $a = 1$। वक्र $y = x^2 + x$ है। न्यूनतम मान वहां होता है जहां $\frac{dy}{dx} = 2x + 1 = 0$,जो $x = -\frac{1}{2}$ देता है। वक्र $y = x^2 + x$,स्पर्शक $y = x$ और कोटि $x = -\frac{1}{2}$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल है: $A = \int_{-\frac{1}{2}}^{0} (x - (x^2 + x)) \, dx = \int_{-\frac{1}{2}}^{0} (-x^2) \, dx$। $A = \left[ -\frac{x^3}{3} ight]_{-\frac{1}{2}}^{0} = 0 - \left( -\frac{(-\frac{1}{2})^3}{3} ight) = -\frac{1}{24}$। चूंकि क्षेत्रफल धनात्मक होता है,$A = \frac{1}{24} 	ext{ वर्ग इकाई}$।

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