परवलयों y^2 = 4ax और x^2 = 8ay के बीच का क्षे | vedclass

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Question

(C) परवलयों $y^2 = 4ax$ और $x^2 = 8ay$ के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।प्रथम समीकरण से,$y = \sqrt{

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$\frac{32}{3}a^2$

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(C) परवलयों $y^2 = 4ax$ और $x^2 = 8ay$ के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।प्रथम समीकरण से,$y = \sqrt{4ax} = 2\sqrt{a}\sqrt{x}$ प्राप्त होता है।इस मान को दूसरे समीकरण में रखने पर: $x^2 = 8a(2\sqrt{a}\sqrt{x}) = 16a^{3/2}x^{1/2}$।$x^2 / x^{1/2} = 16a^{3/2} \implies x^{3/2} = 16a^{3/2}$।दोनों पक्षों की घात $2/3$ लेने पर,$x = (16a^{3/2})^{2/3} = 16^{2/3} a = (2^4)^{2/3} a = 2^{8/3}a$ प्राप्त होता है।अब,क्षेत्रफल $A$,$x = 0$ से $x = 2^{8/3}a$ तक ऊपरी वक्र और निचले वक्र के अंतर का समाकलन है:$A = \int_0^{2^{8/3}a} (\sqrt{4ax} - \frac{x^2}{8a}) dx$$A = [2\sqrt{a} \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{24a}]_0^{2^{8/3}a}$$A = \frac{4\sqrt{a}}{3} (2^{8/3}a)^{3/2} - \frac{(2^{8/3}a)^3}{24a}$$A = \frac{4\sqrt{a}}{3} (2^4 a^{3/2}) - \frac{2^8 a^3}{24a}$$A = \frac{4 \cdot 16}{3} a^2 - \frac{256}{24} a^2 = \frac{64}{3} a^2 - \frac{32}{3} a^2 = \frac{32}{3} a^2$।

परवलयों $y^2 = 4ax$ और $x^2 = 8ay$ के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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