x-अक्ष के ऊपर वक्रों y = sqrt{x} और x = -sqrt | vedclass

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Question

(D) वक्र $y = \sqrt{x} \Rightarrow x = y^2$ और $x = -\sqrt{y} \Rightarrow y = x^2$ ($x < 0$ के लिए) हैं।वृत्त $x^2 + y^2 = 2$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु

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$\frac{\pi}{2}$

Vedclass · Answer

(D) वक्र $y = \sqrt{x} \Rightarrow x = y^2$ और $x = -\sqrt{y} \Rightarrow y = x^2$ ($x वृत्त $x^2 + y^2 = 2$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $B(1, 1)$ और $A(-1, 1)$ हैं।क्षेत्रफल वृत्त $y = \sqrt{2 - x^2}$ और वक्रों $y = x^2$ ($x  0$ के लिए) द्वारा घिरा हुआ क्षेत्र है।क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:$A = \int_{-1}^{0} (\sqrt{2 - x^2} - x^2) dx + \int_{0}^{1} (\sqrt{2 - x^2} - \sqrt{x}) dx$समाकलन करने पर:$\int_{-1}^{0} \sqrt{2 - x^2} dx = [\frac{x}{2}\sqrt{2 - x^2} + \arcsin(\frac{x}{\sqrt{2}})]_{-1}^{0} = \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$$\int_{-1}^{0} -x^2 dx = [-\frac{x^3}{3}]_{-1}^{0} = -\frac{1}{3}$$\int_{0}^{1} \sqrt{2 - x^2} dx = [\frac{x}{2}\sqrt{2 - x^2} + \arcsin(\frac{x}{\sqrt{2}})]_{0}^{1} = \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$$\int_{0}^{1} -\sqrt{x} dx = [-\frac{2}{3}x^{3/2}]_{0}^{1} = -\frac{2}{3}$योग करने पर: $A = (\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} - \frac{2}{3}) = \frac{\pi}{2}$.

Column-$I$	Column-$II$
$(A)$ एक त्रिभुज $\triangle XYZ$ में,मान लीजिए $a, b$ और $c$ क्रमशः कोणों $X, Y$ और $Z$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई हैं। यदि $2(a^2-b^2)=c^2$ और $\lambda=\frac{\sin(X-Y)}{\sin Z}$ है,तो $n$ के संभावित मान जिनके लिए $\cos(n\pi\lambda)=0$ है,वे हैं	$(P)$ $1$
$(B)$ एक त्रिभुज $\triangle XYZ$ में,मान लीजिए $a, b$ और $c$ क्रमशः कोणों $X, Y$ और $Z$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई हैं। यदि $1+\cos 2X-2\cos 2Y=2\sin X\sin Y$ है,तो $\frac{a}{b}$ का संभावित मान (मानों) है	$(Q)$ $2$
$(C)$ $\mathbb{R}^2$ में,मान लीजिए $\sqrt{3}\hat{i}+\hat{j}$,$\hat{i}+\sqrt{3}\hat{j}$ और $\beta\hat{i}+(1-\beta)\hat{j}$ क्रमशः मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष $X, Y$ और $Z$ के स्थिति सदिश हैं। यदि $\overline{OX}$ और $\overline{OY}$ के बीच के न्यून कोण के समद्विभाजक से $Z$ की दूरी $\frac{3}{\sqrt{2}}$ है,तो $\|\beta\|$ का संभावित मान (मानों) है	$(R)$ $3$
$(D)$ मान लीजिए कि $F(\alpha)$ उस क्षेत्र का क्षेत्रफल दर्शाता है जो $x=0, x=2, y^2=4x$ और $y=\|\alpha x-1\|+\|\alpha x-2\|+\alpha x$ द्वारा घिरा है,जहाँ $\alpha \in \{0, 1\}$ है। तो जब $\alpha=0$ और $\alpha=1$ है,तब $F(\alpha)+\frac{8}{3}\sqrt{2}$ का मान (मानों) है	$(S)$ $5$
	$(T)$ $6$

$x$-अक्ष के ऊपर वक्रों $y = \sqrt{x}$ और $x = -\sqrt{y}$,तथा वृत्त $x^2 + y^2 = 2$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल क्या है?

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वक्र $x^2+2x+y-3=0$,$X$-अक्ष और उस बिंदु पर स्पर्शरेखा जहाँ वक्र $Y$-अक्ष से मिलता है,द्वारा घिरा क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

प्रथम चतुर्थांश में वक्रों $y=\sin ^{-1} x+x(1-x)$ और $y=\sin ^{-1} x-x(1-x)$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

यदि क्षेत्र $\{(x, y): |4-x^2| \leq y \leq x^2, y \leq 4, x \geq 0\}$ का क्षेत्रफल $\left(\frac{80 \sqrt{2}}{\alpha}-\beta\right)$ है,जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{N}$,तो $\alpha+\beta$ का मान . . . . . . है।

यदि क्षेत्र $S=\{(x, y): 2y - y^2 \leq x^2 \leq 2y, x \geq y\}$ का क्षेत्रफल $\frac{n+2}{n+1} - \frac{\pi}{n-1}$ के बराबर है,तो प्राकृतिक संख्या $n$ का मान $...............$ है।

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