Fundamental definite integration Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $I = \int_{3}^{4} \sqrt{(4-x)(x-3)} d x$.
આપણે સંકલ્યને $\sqrt{-x^2 + 7x - 12}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $-x^2 + 7x - 12 = -\left(x^2 - 7x + \frac{49}{4} - \frac{49}{4}\right) - 12 = -\left(x - \frac{7}{2}\right)^2 + \frac{49}{4} - 12 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(x - \frac{7}{2}\right)^2$.
તેથી,$I = \int_{3}^{4} \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(x - \frac{7}{2}\right)^2} d x$.
ધારો કે $t = x - \frac{7}{2}$,તો $dt = dx$. જ્યારે $x=3, t=-\frac{1}{2}$ અને જ્યારે $x=4, t=\frac{1}{2}$.
$I = \int_{-1/2}^{1/2} \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - t^2} dt$.
સંકલ્ય યુગ્મ વિધેય હોવાથી,$I = 2 \int_{0}^{1/2} \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - t^2} dt$.
સૂત્ર $\int \sqrt{a^2 - t^2} dt = \frac{t}{2}\sqrt{a^2 - t^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{t}{a}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = \frac{1}{2}$:
$I = 2 \left[ \frac{t}{2}\sqrt{\frac{1}{4} - t^2} + \frac{1}{8}\sin^{-1}(2t) \right]_{0}^{1/2}$.
$I = 2 \left[ (0 + \frac{1}{8}\sin^{-1}(1)) - (0 + 0) \right] = 2 \times \frac{1}{8} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{8}$.

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos 3x + 1}{2 \cos x - 1} dx$.
નિત્યસમ $\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\cos 3x + 1 = 4 \cos^3 x - 3 \cos x + 1$.
કારણ કે $\cos(\pi/3) = 1/2$,આપણે $2 \cos x - 1 = 2(\cos x - \cos(\pi/3))$ લખી શકીએ.
વળી,$4 \cos^3(\pi/3) - 3 \cos(\pi/3) + 1 = 4(1/8) - 3(1/2) + 1 = 1/2 - 3/2 + 1 = 0$.
આમ,અંશ $4 \cos^3 x - 3 \cos x + 1 = 4 \cos^3 x - 3 \cos x - (4 \cos^3(\pi/3) - 3 \cos(\pi/3))$ છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સંકલ્યને સરળ બનાવીએ:
$\frac{4(\cos^3 x - \cos^3(\pi/3)) - 3(\cos x - \cos(\pi/3))}{2(\cos x - \cos(\pi/3))} = \frac{4(\cos^2 x + \cos x \cos(\pi/3) + \cos^2(\pi/3)) - 3}{2} = \frac{4 \cos^2 x + 2 \cos x + 1 - 3}{2} = 2 \cos^2 x + \cos x - 1$.
$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $2(\frac{1 + \cos 2x}{2}) + \cos x - 1 = 1 + \cos 2x + \cos x - 1 = \cos 2x + \cos x$.
હવે,$I = \int_{0}^{\pi / 2} (\cos 2x + \cos x) dx = [\frac{1}{2} \sin 2x + \sin x]_{0}^{\pi / 2} = (\frac{1}{2} \sin \pi + \sin(\pi/2)) - (0 + 0) = 0 + 1 = 1$.

(B) આપણે સંકલન $I = \int_1^4 \log [x] dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય હોવાથી,આપણે સંકલનને પૂર્ણાંક બિંદુઓ $x=2$ અને $x=3$ પર વિભાજિત કરીશું:
$I = \int_1^2 \log [x] dx + \int_2^3 \log [x] dx + \int_3^4 \log [x] dx$.
$x \in [1, 2)$ માટે,$[x] = 1$,તેથી $\log [x] = \log 1 = 0$.
$x \in [2, 3)$ માટે,$[x] = 2$,તેથી $\log [x] = \log 2$.
$x \in [3, 4)$ માટે,$[x] = 3$,તેથી $\log [x] = \log 3$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$I = \int_1^2 0 dx + \int_2^3 \log 2 dx + \int_3^4 \log 3 dx$.
$I = 0 + [x \log 2]_2^3 + [x \log 3]_3^4$.
$I = (3-2) \log 2 + (4-3) \log 3$.
$I = 1 \cdot \log 2 + 1 \cdot \log 3 = \log 2 + \log 3$.
ગુણધર્મ $\log a + \log b = \log(ab)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $I = \log(2 \times 3) = \log 6$ મળે છે.

(B) સૌ પ્રથમ,આપણે નિરપેક્ષ મૂલ્યની અંદરના દ્વિઘાત પદના અવયવ પાડીએ: $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$.
શૂન્યો $x = -1$ અને $x = 2$ છે.
આપણે $[-2, 2]$ અંતરાલ પર $f(x) = x^2 - x - 2$ ની નિશાની તપાસીએ:
$x \in [-2, -1]$ માટે,$f(x) \ge 0$.
$x \in [-1, 2]$ માટે,$f(x) \le 0$,તેથી $|x^2 - x - 2| = -(x^2 - x - 2) = -x^2 + x + 2$.
આમ,સંકલન $\int_{-2}^{-1} (x^2 - x - 2) dx + \int_{-1}^2 (-x^2 + x + 2) dx$ થશે.
પ્રથમ ભાગનું મૂલ્ય: $[\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x]_{-2}^{-1} = (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2) - (-\frac{8}{3} - 2 + 4) = \frac{7}{6} - (-\frac{2}{3}) = \frac{11}{6}$.
બીજા ભાગનું મૂલ્ય: $[-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x]_{-1}^2 = (-\frac{8}{3} + 2 + 4) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2) = \frac{10}{3} - (-\frac{7}{6}) = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$.
કુલ સરવાળો: $\frac{11}{6} + \frac{27}{6} = \frac{38}{6} = \frac{19}{3}$.

(A) આપણે સંકલન $I = \int_0^2 [x^2] dx$ ની ગણતરી કરવાની છે.
કારણ કે વિધેય $[x^2]$ એવા બિંદુઓ પર તેનું મૂલ્ય બદલે છે જ્યાં $x^2$ પૂર્ણાંક હોય,તેથી આપણે અંતરાલ $[0, 2]$ માં આ બિંદુઓ શોધીએ.
$x = 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2$ માટે $x^2$ ના મૂલ્યો અનુક્રમે $1, 2, 3, 4$ થાય છે.
આપણે સંકલનને પેટા-અંતરાલોમાં વિભાજિત કરીએ:
$I = \int_0^1 [x^2] dx + \int_1^{\sqrt{2}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{3}}^2 [x^2] dx$.
અંતરાલ $[0, 1)$ માં,$0 \le x^2 < 1$ હોવાથી $[x^2] = 0$ થાય.
અંતરાલ $[1, \sqrt{2})$ માં,$1 \le x^2 < 2$ હોવાથી $[x^2] = 1$ થાય.
અંતરાલ $[\sqrt{2}, \sqrt{3})$ માં,$2 \le x^2 < 3$ હોવાથી $[x^2] = 2$ થાય.
અંતરાલ $[\sqrt{3}, 2)$ માં,$3 \le x^2 < 4$ હોવાથી $[x^2] = 3$ થાય.
તેથી,$I = \int_0^1 0 dx + \int_1^{\sqrt{2}} 1 dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 2 dx + \int_{\sqrt{3}}^2 3 dx$.
$I = 0 + (\sqrt{2} - 1) + 2(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + 3(2 - \sqrt{3})$.
$I = \sqrt{2} - 1 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 6 - 3\sqrt{3}$.
$I = 5 - \sqrt{2} - \sqrt{3}$.

(C) આપણે સંકલન $I = \int_0^2 \frac{3x+1}{x^2+4} dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરો:
$I = \int_0^2 \frac{3x}{x^2+4} dx + \int_0^2 \frac{1}{x^2+4} dx$.
પ્રથમ ભાગ માટે,ધારો કે $u = x^2+4$,તો $du = 2x dx$,તેથી $x dx = \frac{du}{2}$.
$\int_0^2 \frac{3x}{x^2+4} dx = \frac{3}{2} \int_4^8 \frac{du}{u} = \frac{3}{2} [\log |u|]_4^8 = \frac{3}{2} (\log 8 - \log 4) = \frac{3}{2} \log(\frac{8}{4}) = \frac{3}{2} \log 2$.
બીજા ભાગ માટે,પ્રમાણિત સંકલન $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરો.
$\int_0^2 \frac{1}{x^2+2^2} dx = [\frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2})]_0^2 = \frac{1}{2} \tan^{-1}(1) - \frac{1}{2} \tan^{-1}(0) = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{4}) - 0 = \frac{\pi}{8}$.
બંને ભાગોને જોડતા,$I = \frac{3}{2} \log 2 + \frac{\pi}{8}$.

(D) ધારો કે $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}}(\sqrt{\tan x}+\sqrt{\cot x}) d x$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\cos x}} + \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x}} \right) d x$
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{\sin x \cos x}} d x$
અંશ અને છેદને $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા:
$I = \sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{2 \sin x \cos x}} d x = \sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{\sin 2x}} d x$
નિત્યસમ $\sin 2x = 1 - (\sin x - \cos x)^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{1 - (\sin x - \cos x)^2}} d x$
ધારો કે $u = \sin x - \cos x$,તો $du = (\cos x + \sin x) d x$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $u = -1$. જ્યારે $x = \frac{\pi}{4}$,ત્યારે $u = 0$.
$I = \sqrt{2} \int_{-1}^0 \frac{du}{\sqrt{1 - u^2}} = \sqrt{2} [\arcsin u]_{-1}^0$
$I = \sqrt{2} (\arcsin 0 - \arcsin(-1)) = \sqrt{2} (0 - (-\frac{\pi}{2})) = \frac{\sqrt{2} \pi}{2} = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.

(A) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sin^4 x \, dx$. કારણ કે $f(x) = \sin^4 x$ એ યુગ્મ વિધેય છે,તેથી $I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^4 x \, dx$.
નિત્યસમ $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\sin^4 x = (\frac{1 - \cos 2x}{2})^2 = \frac{1}{4}(1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x)$.
વધુમાં,$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^4 x = \frac{1}{4}(1 - 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2}) = \frac{1}{4}(\frac{3}{2} - 2\cos 2x + \frac{1}{2}\cos 4x) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x$.
સંકલન કરતા,$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x) \, dx = 2 [\frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{32}\sin 4x]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$.
સીમાઓ મૂકતા: $I = 2 [(\frac{3}{8} \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{1}{4}\sin \frac{\pi}{2} + \frac{1}{32}\sin \pi) - (0)] = 2 [\frac{3\pi}{32} - \frac{1}{4} + 0] = \frac{3\pi}{16} - \frac{1}{2} = \frac{3\pi - 8}{16}$.

(C) નિશ્ચિત સંકલન $I = \int_0^1 x \left|x - \frac{1}{2}\right| dx$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે સંકલનને તે બિંદુએ વિભાજિત કરીએ છીએ જ્યાં માનાંકની અંદરની કિંમત ચિહ્ન બદલે છે,જે $x = \frac{1}{2}$ છે.
$0 \le x < \frac{1}{2}$ માટે,$\left|x - \frac{1}{2}\right| = -\left(x - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - x$.
$\frac{1}{2} \le x \le 1$ માટે,$\left|x - \frac{1}{2}\right| = x - \frac{1}{2}$.
તેથી,$I = \int_0^{1/2} x \left(\frac{1}{2} - x\right) dx + \int_{1/2}^1 x \left(x - \frac{1}{2}\right) dx$.
પ્રથમ ભાગનું સંકલન:
$\int_0^{1/2} \left(\frac{1}{2}x - x^2\right) dx = \left[\frac{x^2}{4} - \frac{x^3}{3}\right]_0^{1/2} = \left(\frac{1/4}{4} - \frac{1/8}{3}\right) = \frac{1}{16} - \frac{1}{24} = \frac{3 - 2}{48} = \frac{1}{48}$.
બીજા ભાગનું સંકલન:
$\int_{1/2}^1 \left(x^2 - \frac{1}{2}x\right) dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{4}\right]_{1/2}^1 = \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) - \left(\frac{1/8}{3} - \frac{1/4}{4}\right) = \frac{1}{12} - \left(\frac{1}{24} - \frac{1}{16}\right) = \frac{1}{12} - \left(\frac{2 - 3}{48}\right) = \frac{1}{12} + \frac{1}{48} = \frac{4 + 1}{48} = \frac{5}{48}$.
બંને ભાગનો સરવાળો:
$I = \frac{1}{48} + \frac{5}{48} = \frac{6}{48} = \frac{1}{8}$.

(C) આપણે સંકલન $I = \int_0^\pi |\sin^3 x| dx$ ની ગણતરી કરવાની છે.
કારણ કે $x \in [0, \pi]$ માટે $\sin x \ge 0$ છે,તેથી $|\sin^3 x| = \sin^3 x$ થાય.
આમ,$I = \int_0^\pi \sin^3 x dx$.
નિત્યસમ $\sin^3 x = \frac{3 \sin x - \sin 3x}{4}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^\pi \frac{3 \sin x - \sin 3x}{4} dx$
$I = \frac{1}{4} [ -3 \cos x + \frac{\cos 3x}{3} ]_0^\pi$
$I = \frac{1}{4} [ (-3 \cos \pi + \frac{\cos 3\pi}{3}) - (-3 \cos 0 + \frac{\cos 0}{3}) ]$
$I = \frac{1}{4} [ (3 - \frac{1}{3}) - (-3 + \frac{1}{3}) ]$
$I = \frac{1}{4} [ \frac{8}{3} - (-\frac{8}{3}) ] = \frac{1}{4} [ \frac{16}{3} ] = \frac{4}{3}$.

(C) ધારો કે $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}}|\sin x-\cos x| d x$.
વિધેય $|\sin x - \cos x|$ એ અંતરાલ $[0, \frac{\pi}{2}]$ માં $x = \frac{\pi}{4}$ આગળ ચિહ્ન બદલે છે.
$0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ માટે,$\cos x \geq \sin x$,તેથી $|\sin x - \cos x| = \cos x - \sin x$.
$\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ માટે,$\sin x \geq \cos x$,તેથી $|\sin x - \cos x| = \sin x - \cos x$.
આમ,$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}}(\cos x - \sin x) d x + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x - \cos x) d x$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$I = [\sin x + \cos x]_0^{\frac{\pi}{4}} + [-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}$.
$I = [(\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0)] + [(-\cos \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2}) - (-\cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4})]$.
$I = [(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1)] + [(0 - 1) - (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}})]$.
$I = [\frac{2}{\sqrt{2}} - 1] + [-1 + \frac{2}{\sqrt{2}}]$.
$I = \sqrt{2} - 1 - 1 + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - 2 = 2(\sqrt{2} - 1)$.

(C) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} (\sin x)^{-4} \,dx$.
અહીં $f(x) = (\sin x)^{-4} = \frac{1}{\sin^4 x}$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી,આપણને મળે:
$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \csc^4 x \,dx$.
નિત્યસમ $\csc^2 x = 1 + \cot^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (1 + \cot^2 x) \csc^2 x \,dx$.
ધારો કે $u = \cot x$,તેથી $du = -\csc^2 x \,dx$.
જ્યારે $x \to 0^+$,ત્યારે $u \to \infty$. જ્યારે $x = \frac{\pi}{4}$,ત્યારે $u = 1$.
$I = 2 \int_{\infty}^{1} (1 + u^2) (-du) = 2 \int_{1}^{\infty} (1 + u^2) \,du$.
આ સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $2 [u + \frac{u^3}{3}]_{1}^{\infty} = \infty$.
આમ,આ સંકલન અનંત (divergent) છે.

(C) મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[x]$ ના કૂદકાના આધારે અંતરાલને વિભાજિત કરીને આપણે નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધીએ છીએ:
$\int_{0.2}^{3.5} [x] \, dx = \int_{0.2}^{1} [x] \, dx + \int_{1}^{2} [x] \, dx + \int_{2}^{3} [x] \, dx + \int_{3}^{3.5} [x] \, dx$
કારણ કે $x \in [0.2, 1)$ માટે $[x] = 0$,$x \in [1, 2)$ માટે $[x] = 1$,$x \in [2, 3)$ માટે $[x] = 2$,અને $x \in [3, 3.5)$ માટે $[x] = 3$ છે:
$= \int_{0.2}^{1} 0 \, dx + \int_{1}^{2} 1 \, dx + \int_{2}^{3} 2 \, dx + \int_{3}^{3.5} 3 \, dx$
$= 0 + [x]_{1}^{2} + 2[x]_{2}^{3} + 3[x]_{3}^{3.5}$
$= 0 + (2 - 1) + 2(3 - 2) + 3(3.5 - 3)$
$= 0 + 1 + 2(1) + 3(0.5)$
$= 1 + 2 + 1.5 = 4.5$

(D) અંતરાલ $[0, 5]$ માં મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[x]$ ની વ્યાખ્યા મુજબ આપણે સંકલનને વિભાજિત કરીએ:
$\int_0^5 x^2[x] d x = \int_0^1 x^2(0) d x + \int_1^2 x^2(1) d x + \int_2^3 x^2(2) d x + \int_3^4 x^2(3) d x + \int_4^5 x^2(4) d x$
$= 0 + \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^2 + 2\left[\frac{x^3}{3}\right]_2^3 + 3\left[\frac{x^3}{3}\right]_3^4 + 4\left[\frac{x^3}{3}\right]_4^5$
$= \frac{1}{3}(8 - 1) + \frac{2}{3}(27 - 8) + \frac{3}{3}(64 - 27) + \frac{4}{3}(125 - 64)$
$= \frac{7}{3} + \frac{38}{3} + 37 + \frac{244}{3}$
$= \frac{7 + 38 + 111 + 244}{3} = \frac{400}{3}$

(B) ધારો કે $I = \int_0^{\pi} \frac{dx}{4+3 \cos x}$.
આદેશ $\tan \frac{x}{2} = t$ લેતા,$dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$ અને $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ મળે.
જ્યારે $x$ ની કિંમત $0$ થી $\pi$ થાય,ત્યારે $t$ ની કિંમત $\tan(0) = 0$ થી $\tan(\frac{\pi}{2}) = \infty$ થાય.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_0^{\infty} \frac{\frac{2 dt}{1+t^2}}{4 + 3(\frac{1-t^2}{1+t^2})} = \int_0^{\infty} \frac{2 dt}{4(1+t^2) + 3(1-t^2)} = \int_0^{\infty} \frac{2 dt}{4 + 4t^2 + 3 - 3t^2} = \int_0^{\infty} \frac{2 dt}{7 + t^2}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2 \left[ \frac{1}{\sqrt{7}} \tan^{-1}(\frac{t}{\sqrt{7}}) \right]_0^{\infty} = \frac{2}{\sqrt{7}} [\tan^{-1}(\infty) - \tan^{-1}(0)]$.
કારણ કે $\tan^{-1}(\infty) = \frac{\pi}{2}$ અને $\tan^{-1}(0) = 0$ હોવાથી:
$I = \frac{2}{\sqrt{7}} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{\sqrt{7}}$.

(D) $\int_0^4 |2x - 5| \, dx$ નું મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે પહેલા તે બિંદુ શોધીએ છીએ જ્યાં નિરપેક્ષ મૂલ્યની અંદરની અભિવ્યક્તિ ચિહ્ન બદલે છે.
$2x - 5 = 0$ લેતા,આપણને $x = \frac{5}{2}$ મળે છે.
કારણ કે $\frac{5}{2}$ એ $0$ અને $4$ ની વચ્ચે આવેલું છે,તેથી આપણે સંકલનને $x = \frac{5}{2}$ પર વિભાજિત કરીએ છીએ:
$\int_0^4 |2x - 5| \, dx = \int_0^{\frac{5}{2}} -(2x - 5) \, dx + \int_{\frac{5}{2}}^4 (2x - 5) \, dx$
$= \int_0^{\frac{5}{2}} (5 - 2x) \, dx + \int_{\frac{5}{2}}^4 (2x - 5) \, dx$
$= [5x - x^2]_0^{\frac{5}{2}} + [x^2 - 5x]_{\frac{5}{2}}^4$
$= (5(\frac{5}{2}) - (\frac{5}{2})^2) - (0) + ((4)^2 - 5(4)) - ((\frac{5}{2})^2 - 5(\frac{5}{2}))$
$= (\frac{25}{2} - \frac{25}{4}) + ((16 - 20) - (\frac{25}{4} - \frac{25}{2}))$
$= \frac{25}{4} + (-4 - (-\frac{25}{4}))$
$= \frac{25}{4} + (-4 + \frac{25}{4}) = \frac{25}{4} + \frac{9}{4} = \frac{34}{4} = \frac{17}{2}$.

(B) ધારો કે $I = \int_0^\pi \left| \sin x - \frac{2x}{\pi} \right| dx$.
વિધેય $f(x) = \sin x - \frac{2x}{\pi}$ ધ્યાનમાં લો.
$x = \frac{\pi}{2}$ પર,$f(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) - \frac{2(\pi/2)}{\pi} = 1 - 1 = 0$.
$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ માટે,$\sin x \ge \frac{2x}{\pi}$,તેથી $|\sin x - \frac{2x}{\pi}| = \sin x - \frac{2x}{\pi}$.
$\frac{\pi}{2} \le x \le \pi$ માટે,$\sin x \le \frac{2x}{\pi}$,તેથી $|\sin x - \frac{2x}{\pi}| = \frac{2x}{\pi} - \sin x$.
આમ,$I = \int_0^{\pi/2} (\sin x - \frac{2x}{\pi}) dx + \int_{\pi/2}^{\pi} (\frac{2x}{\pi} - \sin x) dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$I = [-\cos x - \frac{x^2}{\pi}]_0^{\pi/2} + [\frac{x^2}{\pi} + \cos x]_{\pi/2}^{\pi}$.
$I = [(-\cos(\frac{\pi}{2}) - \frac{(\pi/2)^2}{\pi}) - (-\cos(0) - 0)] + [(\frac{\pi^2}{\pi} + \cos(\pi)) - (\frac{(\pi/2)^2}{\pi} + \cos(\frac{\pi}{2}))]$.
$I = [(0 - \frac{\pi}{4}) - (-1)] + [(\pi - 1) - (\frac{\pi}{4} + 0)]$.
$I = 1 - \frac{\pi}{4} + \pi - 1 - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.

(B) આપણે $\int_{-2}^{3} f(x) dx$ સંકલનનું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
$f(x)$ ની વ્યાખ્યા મુજબ સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરો:
$\int_{-2}^{3} f(x) dx = \int_{-2}^{2} f(x) dx + \int_{2}^{3} f(x) dx$
$|x| \leq 2$ માટે,$f(x) = e^{\cos x} \sin x$ છે. નોંધો કે $g(x) = e^{\cos x} \sin x$ એ એક અયુગ્મ વિધેય છે કારણ કે $g(-x) = e^{\cos(-x)} \sin(-x) = e^{\cos x} (-\sin x) = -g(x)$.
સંમિત અંતરાલ $[-a, a]$ પર અયુગ્મ વિધેયનું સંકલન $0$ થાય છે. તેથી,$\int_{-2}^{2} e^{\cos x} \sin x dx = 0$.
$x > 2$ માટે,$f(x) = 2$ છે. તેથી,$\int_{2}^{3} 2 dx = 2[x]_{2}^{3} = 2(3 - 2) = 2(1) = 2$.
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા,આપણને $0 + 2 = 2$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: $\int_a^b x^3 dx = 0$ અને $\int_a^b x^2 dx = \frac{2}{3}$.
પગલું $1$: પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય મેળવો: $\left[ \frac{x^4}{4} \right]_a^b = 0 \implies \frac{b^4 - a^4}{4} = 0 \implies b^4 = a^4 \implies b^2 = a^2$ અથવા $b = -a$.
પગલું $2$: બીજા સંકલનનું મૂલ્ય મેળવો: $\left[ \frac{x^3}{3} \right]_a^b = \frac{2}{3} \implies \frac{b^3 - a^3}{3} = \frac{2}{3} \implies b^3 - a^3 = 2$.
પગલું $3$: બીજા સમીકરણમાં $b = -a$ મૂકતા: $(-a)^3 - a^3 = 2 \implies -a^3 - a^3 = 2 \implies -2a^3 = 2 \implies a^3 = -1 \implies a = -1$.
પગલું $4$: કારણ કે $b = -a$,તેથી $b = -(-1) = 1$.
આમ,$a = -1$ અને $b = 1$ મળે છે.

(B) આપેલ સંકલન સમીકરણ: $\int_0^k \frac{d x}{2+8 x^2} = \frac{\pi}{16}$
છેદમાંથી $2$ સામાન્ય લેતા: $\frac{1}{2} \int_0^k \frac{d x}{1+(2 x)^2} = \frac{\pi}{16}$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $\int_0^k \frac{d x}{1+(2 x)^2} = \frac{\pi}{8}$
સૂત્ર $\int \frac{dx}{1+u^2} = \tan^{-1}(u) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 2x$ અને $du = 2dx$:
$\frac{1}{2} [\tan^{-1}(2x)]_0^k = \frac{\pi}{16}$
$\tan^{-1}(2k) - \tan^{-1}(0) = \frac{\pi}{8}$
$\tan^{-1}(0) = 0$ હોવાથી: $\tan^{-1}(2k) = \frac{\pi}{8}$
આથી $2k = \tan(\frac{\pi}{8})$.
$\tan(\frac{\pi}{8}) = \sqrt{2}-1$ હોવાથી,$2k = \sqrt{2}-1$ મળે,એટલે કે $k = \frac{\sqrt{2}-1}{2}$.
નોંધ: વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,જો પ્રશ્નમાં $\frac{\pi}{16}$ ને બદલે યોગ્ય કિંમત હોય તો $k = \frac{1}{2}$ સાચો જવાબ છે.

(B) ધારો કે $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cot x}{\cot x+\operatorname{cosec} x} d x$.
સંકલ્યને સરળ બનાવતા: $\frac{\cot x}{\cot x+\operatorname{cosec} x} = \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{\cos x}{\sin x} + \frac{1}{\sin x}} = \frac{\cos x}{\cos x+1}$.
હવે,$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+\cos x} d x = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1+\cos x - 1}{1+\cos x} \right) d x = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( 1 - \frac{1}{1+\cos x} \right) d x$.
નિત્યસમ $1+\cos x = 2\cos^2 \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( 1 - \frac{1}{2}\sec^2 \frac{x}{2} \right) d x$.
સંકલન કરતા,$I = \left[ x - \tan \frac{x}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \left( \frac{\pi}{2} - \tan \frac{\pi}{4} \right) - (0 - \tan 0) = \frac{\pi}{2} - 1$.
આને $\frac{1}{2}(\pi - 2)$ તરીકે લખી શકાય.
$m(\pi+n)$ સાથે સરખાવતા,$m = \frac{1}{2}$ અને $n = -2$ મળે છે.
તેથી,$m \cdot n = \frac{1}{2} \cdot (-2) = -1$.

(A) સંકલન $I = \int_0^1 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \, dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે સંકલ્યનું સંમેયીકરણ કરીએ:
અંશ અને છેદને $\sqrt{1-x}$ વડે ગુણતા:
$I = \int_0^1 \frac{1-x}{\sqrt{(1+x)(1-x)}} \, dx = \int_0^1 \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$
સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરતા:
$I = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx - \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$
બીજા સંકલન માટે,ધારો કે $u = 1-x^2$,તેથી $du = -2x \, dx$,એટલે કે $x \, dx = -\frac{1}{2} du$.
પ્રથમ ભાગ $\left[ \sin^{-1}(x) \right]_0^1 = \sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$ છે.
બીજો ભાગ $\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \left[ -\sqrt{1-x^2} \right]_0^1 = -(\sqrt{0} - \sqrt{1}) = 1$ છે.
આમ,$I = \frac{\pi}{2} - 1$.

(D) સંકલન $I = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{3+2x-x^2}} dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,છેદમાં રહેલી દ્વિઘાત પદાવલિ માટે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરો:
$3+2x-x^2 = 4 - (x^2-2x+1) = 2^2 - (x-1)^2$.
આમ,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$I = \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{2^2 - (x-1)^2}}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-u^2}} = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \left[ \sin^{-1}\left(\frac{x-1}{2}\right) \right]_0^1$.
સીમાઓ મૂકતા:
$I = \sin^{-1}\left(\frac{1-1}{2}\right) - \sin^{-1}\left(\frac{0-1}{2}\right) = \sin^{-1}(0) - \sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$.
કારણ કે $\sin^{-1}(0) = 0$ અને $\sin^{-1}(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$,તેથી:
$I = 0 - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6}$.

(B) $\int_0^2 [2x] \, dx$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે સંકલનને તે બિંદુઓ પર વિભાજિત કરીશું જ્યાં $2x$ પૂર્ણાંક બને છે,એટલે કે $2x = 0, 1, 2, 3, 4$. આ માટે $x = 0, 1/2, 1, 3/2, 2$ મળે છે.
સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$\int_0^{1/2} 0 \, dx + \int_{1/2}^1 1 \, dx + \int_1^{3/2} 2 \, dx + \int_{3/2}^2 3 \, dx$
$= 0 \cdot (1/2 - 0) + 1 \cdot (1 - 1/2) + 2 \cdot (3/2 - 1) + 3 \cdot (2 - 3/2)$
$= 0 + 1/2 + 2(1/2) + 3(1/2)$
$= 0 + 0.5 + 1 + 1.5 = 3$.

(D) આપણે સંકલન $I = \int_1^4 (|x-1|+|x-2|+|x-3|) dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
માનાંક વિધેયો $x=1, 2, 3$ આગળ તેમની વર્તણૂક બદલે છે,તેથી આપણે સંકલનને ત્રણ અંતરાલોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ:
$I = \int_1^2 ((x-1) + (2-x) + (3-x)) dx + \int_2^3 ((x-1) + (x-2) + (3-x)) dx + \int_3^4 ((x-1) + (x-2) + (x-3)) dx$
સંકલિતોનું સાદું રૂપ આપતા:
$I = \int_1^2 (4-x) dx + \int_2^3 x dx + \int_3^4 (3x-6) dx$
હવે,દરેક ભાગનું સંકલન કરતા:
$\int_1^2 (4-x) dx = [4x - \frac{x^2}{2}]_1^2 = (8-2) - (4-0.5) = 6 - 3.5 = 2.5$
$\int_2^3 x dx = [\frac{x^2}{2}]_2^3 = \frac{9}{2} - \frac{4}{2} = 4.5 - 2 = 2.5$
$\int_3^4 (3x-6) dx = [\frac{3x^2}{2} - 6x]_3^4 = (24-24) - (13.5-18) = 0 - (-4.5) = 4.5$
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા: $I = 2.5 + 2.5 + 4.5 = 9.5 = \frac{19}{2}$.

(D) ધારો કે $I = \int_5^{10} \frac{d x}{(x-1)(x-2)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1}$.
$I = \int_5^{10} \left( \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1} \right) d x$.
$I = [\log |x-2| - \log |x-1|]_5^{10}$.
$I = [\log |\frac{x-2}{x-1}|]_5^{10}$.
$I = \log |\frac{10-2}{10-1}| - \log |\frac{5-2}{5-1}|$.
$I = \log |\frac{8}{9}| - \log |\frac{3}{4}|$.
$I = \log |\frac{8}{9} \times \frac{4}{3}| = \log |\frac{32}{27}|$.

(B) ધારો કે $I = \int_0^2 |2x - 3| \, dx$.
કારણ કે $x < \frac{3}{2}$ માટે $|2x - 3| = 3 - 2x$ અને $x \ge \frac{3}{2}$ માટે $|2x - 3| = 2x - 3$ થાય છે,તેથી આપણે સંકલનને $x = \frac{3}{2}$ પર વિભાજિત કરીશું.
$I = \int_0^{3/2} (3 - 2x) \, dx + \int_{3/2}^2 (2x - 3) \, dx$.
પ્રથમ ભાગનું મૂલ્ય: $\int_0^{3/2} (3 - 2x) \, dx = [3x - x^2]_0^{3/2} = (3(\frac{3}{2}) - (\frac{3}{2})^2) - 0 = \frac{9}{2} - \frac{9}{4} = \frac{9}{4}$.
બીજા ભાગનું મૂલ્ય: $\int_{3/2}^2 (2x - 3) \, dx = [x^2 - 3x]_{3/2}^2 = (2^2 - 3(2)) - ((\frac{3}{2})^2 - 3(\frac{3}{2})) = (4 - 6) - (\frac{9}{4} - \frac{9}{2}) = -2 - (-\frac{9}{4}) = -2 + \frac{9}{4} = \frac{1}{4}$.
બંને ભાગનો સરવાળો કરતા: $I = \frac{9}{4} + \frac{1}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.

(A) ધારો કે $I = \int_0^4 x[x] \, dx$.
કારણ કે $[x]$ એ સ્ટેપ વિધેય છે,આપણે સંકલનને પૂર્ણાંક બિંદુઓ પર વિભાજિત કરીએ છીએ:
$I = \int_0^1 x[0] \, dx + \int_1^2 x[1] \, dx + \int_2^3 x[2] \, dx + \int_3^4 x[3] \, dx$.
$I = 0 + \int_1^2 x \, dx + \int_2^3 2x \, dx + \int_3^4 3x \, dx$.
$I = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^2 + 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_2^3 + 3 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_3^4$.
$I = \left( \frac{4-1}{2} \right) + (9-4) + \frac{3}{2}(16-9)$.
$I = \frac{3}{2} + 5 + \frac{21}{2}$.
$I = \frac{3+21}{2} + 5 = \frac{24}{2} + 5 = 12 + 5 = 17$.

(A) ધારો કે $I = \int_0^1 |5x - 3| dx$.
$5x - 3 = 0$ હોવાથી $x = \frac{3}{5}$ આગળ સંકલનનું વિભાજન કરીએ.
$0 \le x < \frac{3}{5}$ માટે,$|5x - 3| = -(5x - 3) = 3 - 5x$.
$\frac{3}{5} \le x \le 1$ માટે,$|5x - 3| = 5x - 3$.
તેથી,$I = \int_0^{3/5} (3 - 5x) dx + \int_{3/5}^1 (5x - 3) dx$.
$I = [3x - \frac{5x^2}{2}]_0^{3/5} + [\frac{5x^2}{2} - 3x]_{3/5}^1$.
$I = (3(\frac{3}{5}) - \frac{5}{2}(\frac{9}{25})) - (0) + ((\frac{5}{2} - 3) - (\frac{5}{2}(\frac{9}{25}) - 3(\frac{3}{5})))$.
$I = (\frac{9}{5} - \frac{9}{10}) + (-\frac{1}{2} - (\frac{9}{10} - \frac{9}{5}))$.
$I = \frac{9}{10} + (-\frac{1}{2} - (-\frac{9}{10})) = \frac{9}{10} - \frac{1}{2} + \frac{9}{10} = \frac{18}{10} - \frac{5}{10} = \frac{13}{10}$.

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} \, dx$.
આપણે સંકલ્યને $\frac{x^{2}+1-1}{1+x^{2}} = \frac{1+x^{2}}{1+x^{2}} - \frac{1}{1+x^{2}} = 1 - \frac{1}{1+x^{2}}$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
હવે,પદવાર સંકલન કરતા:
$I = \int_{0}^{1} \left( 1 - \frac{1}{1+x^{2}} \right) \, dx$.
$I = \left[ x - \tan^{-1}(x) \right]_{0}^{1}$.
સીમાઓ પર મૂલ્ય મેળવતા:
$I = (1 - \tan^{-1}(1)) - (0 - \tan^{-1}(0))$.
કારણ કે $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ અને $\tan^{-1}(0) = 0$,
$I = 1 - \frac{\pi}{4} - 0 = 1 - \frac{\pi}{4}$.

(D) ધારો કે $I = \int_{0}^{a} \sqrt{\frac{a - x}{x}} dx$.
$x = a \sin^{2} \theta$ આદેશ લેતા,$dx = 2a \sin \theta \cos \theta d \theta$ મળે.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $\theta = 0$ અને જ્યારે $x = a$,ત્યારે $\theta = \frac{\pi}{2}$.
$I = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{\frac{a - a \sin^{2} \theta}{a \sin^{2} \theta}} (2a \sin \theta \cos \theta) d \theta$
$I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos \theta}{\sin \theta} (2a \sin \theta \cos \theta) d \theta$
$I = 2a \int_{0}^{\pi/2} \cos^{2} \theta d \theta$
નિત્યસમ $\cos^{2} \theta = \frac{1 + \cos 2 \theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2a \int_{0}^{\pi/2} \frac{1 + \cos 2 \theta}{2} d \theta = a \int_{0}^{\pi/2} (1 + \cos 2 \theta) d \theta$
$I = a [\theta + \frac{\sin 2 \theta}{2}]_{0}^{\pi/2} = a [(\frac{\pi}{2} + 0) - (0 + 0)] = \frac{\pi a}{2}$.
આપેલ છે કે $\int_{0}^{a} \sqrt{\frac{a - x}{x}} dx = \frac{K}{2}$,તેથી $\frac{\pi a}{2} = \frac{K}{2}$.
આમ,$K = \pi a$.

(C) આપેલ સંકલન $\int_{0}^{k} \frac{dx}{2 + 18x^2} = \frac{\pi}{24}$ છે.
છેદમાંથી $2$ સામાન્ય લેતા: $\frac{1}{2} \int_{0}^{k} \frac{dx}{1 + 9x^2} = \frac{\pi}{24}$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $\int_{0}^{k} \frac{dx}{1 + (3x)^2} = \frac{\pi}{12}$.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{1 + a^2x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(ax) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left[ \frac{1}{3} \tan^{-1}(3x) \right]_{0}^{k} = \frac{\pi}{12}$.
$\frac{1}{3} \tan^{-1}(3k) - \frac{1}{3} \tan^{-1}(0) = \frac{\pi}{12}$.
કારણ કે $\tan^{-1}(0) = 0$,તેથી $\frac{1}{3} \tan^{-1}(3k) = \frac{\pi}{12}$.
$\tan^{-1}(3k) = \frac{\pi}{4}$.
$3k = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
તેથી,$k = \frac{1}{3}$.

(A) આ સંકલન $\int_0^3 [x] \, dx$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
કારણ કે $[x]$ દરેક પૂર્ણાંક પર તેની કિંમત બદલે છે,આપણે સંકલનને અંતરાલોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ:
$\int_0^3 [x] \, dx = \int_0^1 [x] \, dx + \int_1^2 [x] \, dx + \int_2^3 [x] \, dx$
અંતરાલ $[0, 1)$ માં,$[x] = 0$ છે.
અંતરાલ $[1, 2)$ માં,$[x] = 1$ છે.
અંતરાલ $[2, 3)$ માં,$[x] = 2$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$= \int_0^1 0 \, dx + \int_1^2 1 \, dx + \int_2^3 2 \, dx$
$= 0 + [x]_1^2 + [2x]_2^3$
$= (2 - 1) + (6 - 4)$
$= 1 + 2 = 3$.

(C) ધારો કે $I = \int_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{\sqrt{1+\cos x}}{(1-\cos x)^{\frac{5}{2}}} d x$.
અંશ અને છેદને $\sqrt{1-\cos x}$ વડે ગુણતા:
$I = \int_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{\sqrt{1-\cos^2 x}}{(1-\cos x)^3} d x = \int_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{\sin x}{(1-\cos x)^3} d x$.
ધારો કે $t = 1 - \cos x$,તેથી $dt = \sin x \, dx$.
જ્યારે $x = \pi/3$,ત્યારે $t = 1 - \cos(\pi/3) = 1 - 1/2 = 1/2$.
જ્યારે $x = \pi/2$,ત્યારે $t = 1 - \cos(\pi/2) = 1 - 0 = 1$.
આમ,$I = \int_{1/2}^{1} t^{-3} dt = \left[ \frac{t^{-2}}{-2} \right]_{1/2}^{1} = -\frac{1}{2} [1 - (1/2)^{-2}] = -\frac{1}{2} [1 - 4] = -\frac{1}{2} (-3) = \frac{3}{2}$.

(D) આપણે $I = \int_0^2 [x] \, dx + \int_0^2 |x-1| \, dx$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
પગલું $1$: $\int_0^2 [x] \, dx$ ની ગણતરી કરો.
કારણ કે $0 \le x < 1$ માટે $[x] = 0$ અને $1 \le x < 2$ માટે $[x] = 1$ છે,તેથી:
$\int_0^2 [x] \, dx = \int_0^1 0 \, dx + \int_1^2 1 \, dx = 0 + [x]_1^2 = 2 - 1 = 1$.
પગલું $2$: $\int_0^2 |x-1| \, dx$ ની ગણતરી કરો.
કારણ કે $0 \le x < 1$ માટે $|x-1| = -(x-1)$ અને $1 \le x \le 2$ માટે $|x-1| = (x-1)$ છે,તેથી:
$\int_0^2 |x-1| \, dx = \int_0^1 (1-x) \, dx + \int_1^2 (x-1) \, dx$.
$= [x - \frac{x^2}{2}]_0^1 + [\frac{x^2}{2} - x]_1^2 = (1 - \frac{1}{2}) - 0 + (2 - 2) - (\frac{1}{2} - 1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
પગલું $3$: પરિણામોનો સરવાળો કરો.
$I = 1 + 1 = 2$.

(A) આપણને સંકલન $I = \int_2^5 2[x] \, dx$ આપેલ છે.
કારણ કે $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે,તે $1$ લંબાઈના અંતરાલોમાં અચળ પૂર્ણાંક કિંમતો ધારણ કરે છે.
આપણે સંકલનને પૂર્ણાંકો $3$ અને $4$ પર વિભાજિત કરીએ છીએ:
$I = 2 \left( \int_2^3 [x] \, dx + \int_3^4 [x] \, dx + \int_4^5 [x] \, dx \right)$
$x \in [2, 3)$ માટે,$[x] = 2$.
$x \in [3, 4)$ માટે,$[x] = 3$.
$x \in [4, 5)$ માટે,$[x] = 4$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$I = 2 \left( \int_2^3 2 \, dx + \int_3^4 3 \, dx + \int_4^5 4 \, dx \right)$
$I = 2 \left( [2x]_2^3 + [3x]_3^4 + [4x]_4^5 \right)$
$I = 2 \left( (6 - 4) + (12 - 9) + (20 - 16) \right)$
$I = 2 \left( 2 + 3 + 4 \right) = 2 \times 9 = 18$.

(D) આપેલ સંકલન સમીકરણ: $\int_{0}^{1}(5x^{2}-3x+k)dx=0$
દરેક પદનું સંકલન કરતા: $\left[\frac{5x^{3}}{3} - \frac{3x^{2}}{2} + kx\right]_{0}^{1} = 0$
સીમાઓ લાગુ પાડતા: $\left(\frac{5(1)^{3}}{3} - \frac{3(1)^{2}}{2} + k(1)\right) - (0) = 0$
પદાવલિનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{5}{3} - \frac{3}{2} + k = 0$
છેદ સમાન કરતા: $\frac{10-9}{6} + k = 0$
$\frac{1}{6} + k = 0$
તેથી,$k = -\frac{1}{6}$

(B) ધારો કે $I = \int_{-2}^{1} [x+1] \, dx$.
કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે $[x+n] = [x] + n$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $[x+1] = [x] + 1$ મળે છે.
તેથી,$I = \int_{-2}^{1} ([x] + 1) \, dx = \int_{-2}^{1} [x] \, dx + \int_{-2}^{1} 1 \, dx$.
બીજા સંકલનનું મૂલ્ય: $\int_{-2}^{1} 1 \, dx = [x]_{-2}^{1} = 1 - (-2) = 3$.
પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય: $\int_{-2}^{1} [x] \, dx = \int_{-2}^{-1} -2 \, dx + \int_{-1}^{0} -1 \, dx + \int_{0}^{1} 0 \, dx$.
$= -2[x]_{-2}^{-1} - 1[x]_{-1}^{0} + 0 = -2(-1 - (-2)) - 1(0 - (-1)) = -2(1) - 1(1) = -2 - 1 = -3$.
તેથી,$I = -3 + 3 = 0$.

(D) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2} x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx$
$= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos 2x) \, dx$
$= \frac{1}{2} \left[ x - \frac{\sin 2x}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$
$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\sin(\pi)}{2} \right) - \left( 0 - \frac{\sin(0)}{2} \right) \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{2} - 0 - 0 + 0 \right]$
$= \frac{\pi}{4}$

(D) આ સંકલન $\int_{-2}^{2.24} [x] \, dx$ છે. આપણે મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[x]$ ના કૂદકાના આધારે અંતરાલને વિભાજિત કરીએ છીએ:
$\int_{-2}^{2.24} [x] \, dx = \int_{-2}^{-1} -2 \, dx + \int_{-1}^{0} -1 \, dx + \int_{0}^{1} 0 \, dx + \int_{1}^{2} 1 \, dx + \int_{2}^{2.24} 2 \, dx$
દરેક ભાગની ગણતરી કરતા:
$\int_{-2}^{-1} -2 \, dx = -2[-1 - (-2)] = -2(1) = -2$
$\int_{-1}^{0} -1 \, dx = -1[0 - (-1)] = -1(1) = -1$
$\int_{0}^{1} 0 \, dx = 0$
$\int_{1}^{2} 1 \, dx = 1[2 - 1] = 1$
$\int_{2}^{2.24} 2 \, dx = 2[2.24 - 2] = 2(0.24) = 0.48$
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા: $-2 - 1 + 0 + 1 + 0.48 = -2 + 0.48 = -1.52$.

(B) આપણે નિશ્ચિત સંકલન $\int_{0}^{4}|x-2| d x$ ની કિંમત શોધવાની છે.
વિધેય $|x-2|$ એ $x=2$ આગળ તેની વ્યાખ્યા બદલે છે. ખાસ કરીને,$x < 2$ માટે $|x-2| = -(x-2) = 2-x$ અને $x \ge 2$ માટે $|x-2| = x-2$ થાય છે.
તેથી,આપણે સંકલનને $x=2$ આગળ વિભાજિત કરીએ છીએ:
$\int_{0}^{4}|x-2| d x = \int_{0}^{2}(2-x) d x + \int_{2}^{4}(x-2) d x$
પ્રથમ ભાગનું મૂલ્યાંકન: $\int_{0}^{2}(2-x) d x = [2x - \frac{x^2}{2}]_{0}^{2} = (4 - 2) - (0 - 0) = 2$.
બીજા ભાગનું મૂલ્યાંકન: $\int_{2}^{4}(x-2) d x = [\frac{x^2}{2} - 2x]_{2}^{4} = (8 - 8) - (2 - 4) = 0 - (-2) = 2$.
બંને ભાગોનો સરવાળો કરતા: $2 + 2 = 4$.

(C) અહીં $n=4$ આપેલ છે,તેથી અંતરાલ $[0, 1]$ ને $h = \frac{1-0}{4} = 0.25$ પહોળાઈના $4$ પેટા-અંતરાલોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.
$x_i$ પર $y = \frac{1}{1+x^2}$ ના મૂલ્યો નીચે મુજબ છે:

$x$	$y$
$0$	$1.0$
$0.25$	$0.941176$
$0.5$	$0.8$
$0.75$	$0.64$
$1$	$0.5$

સિમ્પસનના $\frac{1}{3}$ નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\int_{0}^{1} y dx \approx \frac{h}{3} [(y_0 + y_4) + 4(y_1 + y_3) + 2(y_2)]$
$\int_{0}^{1} y dx \approx \frac{0.25}{3} [(1.0 + 0.5) + 4(0.941176 + 0.64) + 2(0.8)]$
$\int_{0}^{1} y dx \approx \frac{0.25}{3} [1.5 + 4(1.581176) + 1.6]$
$\int_{0}^{1} y dx \approx \frac{0.25}{3} [1.5 + 6.324704 + 1.6] = \frac{0.25}{3} [9.424704] \approx 0.785392$
ત્રણ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડિંગ કરતા,આપણને $0.785$ મળે છે.

(C) દરેક સંકલનનું મૂલ્ય નીચે મુજબ છે:
$(a)$ $\int_{0}^{1} e^{x} dx = [e^{x}]_{0}^{1} = e^{1} - e^{0} = e - 1$. આ ખોટું છે.
$(b)$ $\int_{0}^{1} 2^{x} dx = [\frac{2^{x}}{\log_{e} 2}]_{0}^{1} = \frac{1}{\log 2} \cdot (2^{1} - 2^{0}) = \frac{1}{\log 2}$. આ ખોટું છે.
$(c)$ $\int_{0}^{1} \sqrt{x} dx = \int_{0}^{1} x^{1/2} dx = [\frac{x^{3/2}}{3/2}]_{0}^{1} = \frac{2}{3} [1^{3/2} - 0^{3/2}] = \frac{2}{3}$. આ સાચું છે.
$(d)$ $\int_{0}^{1} x dx = [\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$. આ ખોટું છે.

(A) આપેલ સંકલન $\int_{1}^{2} \frac{dx}{x}$ માટે $n=4$ ઉપ-અંતરાલ છે.
સ્ટેપ સાઈઝ $h = \frac{b-a}{n} = \frac{2-1}{4} = 0.25$.
$x_i$ ના મૂલ્યો $x_0=1, x_1=1.25, x_2=1.5, x_3=1.75, x_4=2$ છે.
$y_i = \frac{1}{x_i}$ ના અનુરૂપ મૂલ્યો:
$y_0 = \frac{1}{1} = 1$
$y_1 = \frac{1}{1.25} = 0.8$
$y_2 = \frac{1}{1.5} = 0.6667$
$y_3 = \frac{1}{1.75} = 0.5714$
$y_4 = \frac{1}{2} = 0.5$
સિમ્પસનના $\frac{1}{3}$ નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\int_{a}^{b} y dx \approx \frac{h}{3} [y_0 + y_n + 4(y_1 + y_3 + \dots) + 2(y_2 + y_4 + \dots)]$.
$\int_{1}^{2} \frac{dx}{x} \approx \frac{0.25}{3} [y_0 + y_4 + 4(y_1 + y_3) + 2(y_2)]$.
$\int_{1}^{2} \frac{dx}{x} \approx \frac{0.25}{3} [1 + 0.5 + 4(0.8 + 0.5714) + 2(0.6667)]$.
$\int_{1}^{2} \frac{dx}{x} \approx \frac{0.25}{3} [1.5 + 4(1.3714) + 1.3334]$.
$\int_{1}^{2} \frac{dx}{x} \approx \frac{0.25}{3} [1.5 + 5.4856 + 1.3334] = \frac{0.25}{3} [8.319] = 0.69325 \approx 0.6932$.

(C) અહીં $f(x) = \frac{1}{1+x}$,અંતરાલ $[0, 1]$,અને પેટા-અંતરાલોની સંખ્યા $n = 4$ છે.
દરેક પેટા-અંતરાલની પહોળાઈ $h = \frac{b-a}{n} = \frac{1-0}{4} = 0.25$ છે.

$i$	$x_i$	$y_i = \frac{1}{1+x_i}$
$0$	$0$	$1$
$1$	$0.25$	$0.8$
$2$	$0.5$	$0.6667$
$3$	$0.75$	$0.5714$
$4$	$1$	$0.5$

ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\int_{0}^{1} f(x) dx \approx \frac{h}{2} [y_0 + 2(y_1 + y_2 + y_3) + y_4]$
$\int_{0}^{1} f(x) dx \approx \frac{0.25}{2} [1 + 2(0.8 + 0.6667 + 0.5714) + 0.5]$
$\int_{0}^{1} f(x) dx \approx 0.125 [1 + 2(2.0381) + 0.5]$
$\int_{0}^{1} f(x) dx \approx 0.125 [1 + 4.0762 + 0.5]$
$\int_{0}^{1} f(x) dx \approx 0.125 [5.5762] = 0.697025 \approx 0.6977$ (આપેલ વિકલ્પો મુજબ રાઉન્ડિંગ કરતા).

(A) આપેલ સમીકરણ $2 f(x)-3 f\left(\frac{1}{x}\right)=x$ છે ---$(1)$
સમીકરણ $(1)$ માં $x$ ને બદલે $\frac{1}{x}$ મૂકતા,આપણને મળે:
$2 f\left(\frac{1}{x}\right)-3 f(x)=\frac{1}{x}$ ---$(2)$
$f\left(\frac{1}{x}\right)$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણીને તેમનો સરવાળો કરતા:
$4 f(x)-6 f\left(\frac{1}{x}\right)=2 x$
$6 f\left(\frac{1}{x}\right)-9 f(x)=\frac{3}{x}$
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$-5 f(x)=2 x+\frac{3}{x} \implies f(x)=-\frac{2}{5} x-\frac{3}{5 x}$
હવે,સંકલન મેળવીએ:
$\int_1^e f(x) d x = \int_1^e \left(-\frac{2}{5} x-\frac{3}{5 x}\right) d x$
$= -\frac{2}{5} \int_1^e x d x - \frac{3}{5} \int_1^e \frac{1}{x} d x$
$= -\frac{2}{5} \left[\frac{x^2}{2}\right]_1^e - \frac{3}{5} [\ln x]_1^e$
$= -\frac{1}{5} (e^2-1) - \frac{3}{5} (\ln e - \ln 1)$
$= -\frac{e^2}{5} + \frac{1}{5} - \frac{3}{5} (1 - 0)$
$= -\frac{e^2}{5} - \frac{2}{5} = -\left(\frac{2+e^2}{5}\right)$

(C) ધારો કે $I = \int_2^3 \frac{\log x}{x} d x$.
$u = \log x$ આદેશ લેતા,$du = \frac{1}{x} dx$ મળે.
જ્યારે $x = 2$,ત્યારે $u = \log 2$.
જ્યારે $x = 3$,ત્યારે $u = \log 3$.
તેથી,$I = \int_{\log 2}^{\log 3} u du = \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{\log 2}^{\log 3}$.
$I = \frac{1}{2} \left( (\log 3)^2 - (\log 2)^2 \right)$.
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2} (\log 3 + \log 2)(\log 3 - \log 2)$.
$\log a + \log b = \log(ab)$ અને $\log a - \log b = \log(\frac{a}{b})$ હોવાથી,
$I = \frac{1}{2} \log(3 \times 2) \log(\frac{3}{2}) = \frac{1}{2} \log 6 \log \frac{3}{2}$.

(C) ધારો કે $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{5+4 \cos x}$.
$\cos x = \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ આદેશ લેતા:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{5 + 4 \left( \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)} \right)} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec^2(x/2) dx}{5(1+\tan^2(x/2)) + 4(1-\tan^2(x/2))}$
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec^2(x/2) dx}{9 + \tan^2(x/2)}$.
ધારો કે $t = \tan(x/2)$,તેથી $dt = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) dx$,એટલે કે $2 dt = \sec^2(x/2) dx$.
જ્યારે $x=0, t=0$. જ્યારે $x=\frac{\pi}{2}, t=\tan(\frac{\pi}{4})=1$.
$I = \int_0^1 \frac{2 dt}{9 + t^2} = 2 \int_0^1 \frac{dt}{3^2 + t^2} = 2 \left[ \frac{1}{3} \tan^{-1} \left( \frac{t}{3} \right) \right]_0^1$
$I = \frac{2}{3} \left( \tan^{-1} \left( \frac{1}{3} \right) - \tan^{-1}(0) \right) = \frac{2}{3} \tan^{-1} \left( \frac{1}{3} \right)$.

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(x^{2}+4)(x^{2}+9)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{(x^{2}+4)(x^{2}+9)} = \frac{A}{x^{2}+4} + \frac{B}{x^{2}+9}$.
$1 = A(x^{2}+9) + B(x^{2}+4)$.
$x^{2} = -4$ લેતા,$1 = A(5) \implies A = \frac{1}{5}$.
$x^{2} = -9$ લેતા,$1 = B(-5) \implies B = -\frac{1}{5}$.
તેથી,$I = \frac{1}{5} \int_{0}^{\infty} \left( \frac{1}{x^{2}+4} - \frac{1}{x^{2}+9} \right) dx$.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{5} \left[ \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) - \frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{x}{3}) \right]_{0}^{\infty}$.
સીમાઓ મૂકતા:
$I = \frac{1}{5} \left[ (\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} - 0) - (\frac{1}{3} \cdot \frac{\pi}{2} - 0) \right]$.
$I = \frac{1}{5} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{5} \left( \frac{3\pi - 2\pi}{12} \right) = \frac{1}{5} \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{60}$.

(C) આપેલ સંકલન $I = \int_{2}^{3} \frac{dx}{x^{2}+x}$ છે.
પ્રથમ,છેદના અવયવ પાડતા: $x^{2}+x = x(x+1)$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$ મળે છે.
હવે,સંકલન કરતા: $I = \int_{2}^{3} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\right) dx = [\log|x| - \log|x+1|]_{2}^{3} = [\log|\frac{x}{x+1}|]_{2}^{3}$.
સીમાઓ મૂકતા: $I = \log(\frac{3}{4}) - \log(\frac{2}{3}) = \log(\frac{3}{4} \div \frac{2}{3}) = \log(\frac{3}{4} \times \frac{3}{2}) = \log(\frac{9}{8})$.