અ Gujarati
Fundamental definite integration Questions in Gujarati
Class 12 Mathematics · 7-2.Definite Integral · Fundamental definite integration
682+
Questions
Gujarati
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 682 questions in Gujarati
301
DifficultMCQ
સંકલન $\int_{0}^{1} \frac{1}{7^{\left[\frac{1}{x}\right]}} dx$,જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે,તે કોના બરાબર છે?
A
$1+6 \log _{e}\left(\frac{6}{7}\right)$
B
$1-6 \log _{e}\left(\frac{6}{7}\right)$
C
$\log _{e}\left(\frac{7}{6}\right)$
D
$1-7 \log _{e}\left(\frac{6}{7}\right)$
Solution
(A) ધારો કે $I = \int_{0}^{1} 7^{-\left[\frac{1}{x}\right]} dx$. ધારો કે $n = \left[\frac{1}{x}\right]$,તો $n \le \frac{1}{x} < n+1$,જે સૂચવે છે કે $\frac{1}{n+1} < x \le \frac{1}{n}$.
જેમ $x$ એ $0$ થી $1$ સુધી જાય છે,તેમ $n$ એ $\infty$ થી $1$ સુધી જાય છે.
$I = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}} 7^{-n} dx = \sum_{n=1}^{\infty} 7^{-n} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{7^n n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{7^n (n+1)}$.
વિસ્તરણ $-\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1/7)^n}{n} = -\ln(1 - 1/7) = -\ln(6/7) = \ln(7/6)$.
બીજા ભાગ માટે,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{7^n (n+1)} = 7 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1/7)^{n+1}}{n+1} = 7 \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(1/7)^k}{k} = 7 [-\ln(1 - 1/7) - 1/7] = 7 [\ln(7/6) - 1/7] = 7 \ln(7/6) - 1$.
આમ,$I = \ln(7/6) - (7 \ln(7/6) - 1) = 1 - 6 \ln(7/6) = 1 + 6 \ln(6/7)$.
જેમ $x$ એ $0$ થી $1$ સુધી જાય છે,તેમ $n$ એ $\infty$ થી $1$ સુધી જાય છે.
$I = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}} 7^{-n} dx = \sum_{n=1}^{\infty} 7^{-n} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{7^n n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{7^n (n+1)}$.
વિસ્તરણ $-\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1/7)^n}{n} = -\ln(1 - 1/7) = -\ln(6/7) = \ln(7/6)$.
બીજા ભાગ માટે,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{7^n (n+1)} = 7 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1/7)^{n+1}}{n+1} = 7 \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(1/7)^k}{k} = 7 [-\ln(1 - 1/7) - 1/7] = 7 [\ln(7/6) - 1/7] = 7 \ln(7/6) - 1$.
આમ,$I = \ln(7/6) - (7 \ln(7/6) - 1) = 1 - 6 \ln(7/6) = 1 + 6 \ln(6/7)$.
0 likes
View Solution302
DifficultMCQ
$\int\limits_{0}^{5} \cos \left(\pi\left(x-\left[\frac{x}{2}\right]\right)\right) d x$,જ્યાં $[t]$ એ $t$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે,તેની કિંમત શોધો:
A
$-3$
B
$-2$
C
$2$
D
$0$
Solution
(D) ધારો કે $I = \int\limits_{0}^{5} \cos \left(\pi x - \pi \left[\frac{x}{2}\right]\right) d x$.
આપણે સંકલનને તે અંતરાલો પર વિભાજિત કરીએ છીએ જ્યાં $\left[\frac{x}{2}\right]$ અચળ છે:
$x \in [0, 2)$ માટે,$\left[\frac{x}{2}\right] = 0$.
$x \in [2, 4)$ માટે,$\left[\frac{x}{2}\right] = 1$.
$x \in [4, 5]$ માટે,$\left[\frac{x}{2}\right] = 2$.
આમ,$I = \int\limits_{0}^{2} \cos(\pi x) d x + \int\limits_{2}^{4} \cos(\pi x - \pi) d x + \int\limits_{4}^{5} \cos(\pi x - 2\pi) d x$.
દરેક સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$\int\limits_{0}^{2} \cos(\pi x) d x = \left[\frac{\sin(\pi x)}{\pi}\right]_{0}^{2} = \frac{\sin(2\pi) - \sin(0)}{\pi} = 0$.
$\int\limits_{2}^{4} \cos(\pi x - \pi) d x = \left[\frac{\sin(\pi x - \pi)}{\pi}\right]_{2}^{4} = \frac{\sin(3\pi) - \sin(\pi)}{\pi} = 0$.
$\int\limits_{4}^{5} \cos(\pi x - 2\pi) d x = \left[\frac{\sin(\pi x - 2\pi)}{\pi}\right]_{4}^{5} = \frac{\sin(3\pi) - \sin(2\pi)}{\pi} = 0$.
તેથી,$I = 0 + 0 + 0 = 0$.
આપણે સંકલનને તે અંતરાલો પર વિભાજિત કરીએ છીએ જ્યાં $\left[\frac{x}{2}\right]$ અચળ છે:
$x \in [0, 2)$ માટે,$\left[\frac{x}{2}\right] = 0$.
$x \in [2, 4)$ માટે,$\left[\frac{x}{2}\right] = 1$.
$x \in [4, 5]$ માટે,$\left[\frac{x}{2}\right] = 2$.
આમ,$I = \int\limits_{0}^{2} \cos(\pi x) d x + \int\limits_{2}^{4} \cos(\pi x - \pi) d x + \int\limits_{4}^{5} \cos(\pi x - 2\pi) d x$.
દરેક સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$\int\limits_{0}^{2} \cos(\pi x) d x = \left[\frac{\sin(\pi x)}{\pi}\right]_{0}^{2} = \frac{\sin(2\pi) - \sin(0)}{\pi} = 0$.
$\int\limits_{2}^{4} \cos(\pi x - \pi) d x = \left[\frac{\sin(\pi x - \pi)}{\pi}\right]_{2}^{4} = \frac{\sin(3\pi) - \sin(\pi)}{\pi} = 0$.
$\int\limits_{4}^{5} \cos(\pi x - 2\pi) d x = \left[\frac{\sin(\pi x - 2\pi)}{\pi}\right]_{4}^{5} = \frac{\sin(3\pi) - \sin(2\pi)}{\pi} = 0$.
તેથી,$I = 0 + 0 + 0 = 0$.
0 likes
View Solution303
AdvancedMCQ
ધારો કે $n \in N$ માટે $a_{n} = \int_{-1}^{n} \left(1 + \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{3} + \ldots + \frac{x^{n-1}}{n}\right) dx$ છે. તો ગણ $\{n \in N : a_{n} \in (2, 30)\}$ ના તમામ ઘટકોનો સરવાળો $...........$ છે.
A
$8$
B
$10$
C
$5$
D
$0$
Solution
(C) આપેલ છે કે $a_{n} = \int_{-1}^{n} \left(\sum_{k=1}^{n} \frac{x^{k-1}}{k}\right) dx$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$a_{n} = \left[ x + \frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{x^{3}}{3^{2}} + \ldots + \frac{x^{n}}{n^{2}} \right]_{-1}^{n}$.
સીમાઓ પર કિંમત મૂકતા:
$a_{n} = \left(n + \frac{n^{2}}{2^{2}} + \frac{n^{3}}{3^{2}} + \ldots + \frac{n^{n}}{n^{2}}\right) - \left(-1 + \frac{(-1)^{2}}{2^{2}} + \frac{(-1)^{3}}{3^{2}} + \ldots + \frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\right)$.
$n=1$ માટે: $a_{1} = \int_{-1}^{1} (1) dx = [x]_{-1}^{1} = 2$.
$n=2$ માટે: $a_{2} = \int_{-1}^{2} (1 + \frac{x}{2}) dx = [x + \frac{x^{2}}{4}]_{-1}^{2} = (2 + 1) - (-1 + \frac{1}{4}) = 3.75$.
$n=3$ માટે: $a_{3} = \int_{-1}^{3} (1 + \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{3}) dx = [x + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{3}}{9}]_{-1}^{3} = (3 + 2.25 + 3) - (-1 + 0.25 - 0.111) = 9.111$.
$n=4$ માટે: $a_{4} \approx 31.97$.
આમ,$a_{n} \in (2, 30)$ માટે $n=2$ અને $n=3$ મળે છે.
તેથી,ઘટકોનો સરવાળો $2 + 3 = 5$ થાય છે.
દરેક પદનું સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$a_{n} = \left[ x + \frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{x^{3}}{3^{2}} + \ldots + \frac{x^{n}}{n^{2}} \right]_{-1}^{n}$.
સીમાઓ પર કિંમત મૂકતા:
$a_{n} = \left(n + \frac{n^{2}}{2^{2}} + \frac{n^{3}}{3^{2}} + \ldots + \frac{n^{n}}{n^{2}}\right) - \left(-1 + \frac{(-1)^{2}}{2^{2}} + \frac{(-1)^{3}}{3^{2}} + \ldots + \frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\right)$.
$n=1$ માટે: $a_{1} = \int_{-1}^{1} (1) dx = [x]_{-1}^{1} = 2$.
$n=2$ માટે: $a_{2} = \int_{-1}^{2} (1 + \frac{x}{2}) dx = [x + \frac{x^{2}}{4}]_{-1}^{2} = (2 + 1) - (-1 + \frac{1}{4}) = 3.75$.
$n=3$ માટે: $a_{3} = \int_{-1}^{3} (1 + \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{3}) dx = [x + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{3}}{9}]_{-1}^{3} = (3 + 2.25 + 3) - (-1 + 0.25 - 0.111) = 9.111$.
$n=4$ માટે: $a_{4} \approx 31.97$.
આમ,$a_{n} \in (2, 30)$ માટે $n=2$ અને $n=3$ મળે છે.
તેથી,ઘટકોનો સરવાળો $2 + 3 = 5$ થાય છે.
0 likes
View Solution304
DifficultMCQ
ધારો કે $f(x) = 2 + |x| - |x - 1| + |x + 1|$,$x \in R$. ધ્યાનમાં લો:
$(S1): f^{\prime}\left(-\frac{3}{2}\right) + f^{\prime}\left(-\frac{1}{2}\right) + f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right) + f^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right) = 4$
$(S2): \int_{-2}^{2} f(x) dx = 12$
તો,
$(S1): f^{\prime}\left(-\frac{3}{2}\right) + f^{\prime}\left(-\frac{1}{2}\right) + f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right) + f^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right) = 4$
$(S2): \int_{-2}^{2} f(x) dx = 12$
તો,
A
$(S1)$ અને $(S2)$ બંને સાચા છે
B
$(S1)$ અને $(S2)$ બંને ખોટા છે
C
માત્ર $(S1)$ સાચું છે
D
માત્ર $(S2)$ સાચું છે
Solution
(A) આપેલ છે $f(x) = 2 + |x| - |x - 1| + |x + 1|$.
આપણે $f(x)$ ને અલગ અલગ અંતરાલોમાં વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ:
$x < -1$ માટે: $f(x) = 2 - x - (1 - x) - (x + 1) = -x$.
$-1 \le x < 0$ માટે: $f(x) = 2 - x - (1 - x) + (x + 1) = x + 2$.
$0 \le x < 1$ માટે: $f(x) = 2 + x - (1 - x) + (x + 1) = 3x + 2$.
$x \ge 1$ માટે: $f(x) = 2 + x - (x - 1) + (x + 1) = x + 4$.
$(S1)$ તપાસતા:
$f^{\prime}(x) = -1$ ($x < -1$ માટે),$f^{\prime}(x) = 1$ ($-1 < x < 0$ માટે),$f^{\prime}(x) = 3$ ($0 < x < 1$ માટે),$f^{\prime}(x) = 1$ ($x > 1$ માટે).
$f^{\prime}(-3/2) = -1$,$f^{\prime}(-1/2) = 1$,$f^{\prime}(1/2) = 3$,$f^{\prime}(3/2) = 1$.
સરવાળો $= -1 + 1 + 3 + 1 = 4$. તેથી,$(S1)$ સાચું છે.
$(S2)$ તપાસતા:
$\int_{-2}^{2} f(x) dx = \int_{-2}^{-1} (-x) dx + \int_{-1}^{0} (x + 2) dx + \int_{0}^{1} (3x + 2) dx + \int_{1}^{2} (x + 4) dx$
$= 1.5 + 1.5 + 3.5 + 5.5 = 12$. તેથી,$(S2)$ સાચું છે.
બંને સાચા છે.
આપણે $f(x)$ ને અલગ અલગ અંતરાલોમાં વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ:
$x < -1$ માટે: $f(x) = 2 - x - (1 - x) - (x + 1) = -x$.
$-1 \le x < 0$ માટે: $f(x) = 2 - x - (1 - x) + (x + 1) = x + 2$.
$0 \le x < 1$ માટે: $f(x) = 2 + x - (1 - x) + (x + 1) = 3x + 2$.
$x \ge 1$ માટે: $f(x) = 2 + x - (x - 1) + (x + 1) = x + 4$.
$(S1)$ તપાસતા:
$f^{\prime}(x) = -1$ ($x < -1$ માટે),$f^{\prime}(x) = 1$ ($-1 < x < 0$ માટે),$f^{\prime}(x) = 3$ ($0 < x < 1$ માટે),$f^{\prime}(x) = 1$ ($x > 1$ માટે).
$f^{\prime}(-3/2) = -1$,$f^{\prime}(-1/2) = 1$,$f^{\prime}(1/2) = 3$,$f^{\prime}(3/2) = 1$.
સરવાળો $= -1 + 1 + 3 + 1 = 4$. તેથી,$(S1)$ સાચું છે.
$(S2)$ તપાસતા:
$\int_{-2}^{2} f(x) dx = \int_{-2}^{-1} (-x) dx + \int_{-1}^{0} (x + 2) dx + \int_{0}^{1} (3x + 2) dx + \int_{1}^{2} (x + 4) dx$
$= 1.5 + 1.5 + 3.5 + 5.5 = 12$. તેથી,$(S2)$ સાચું છે.
બંને સાચા છે.
0 likes
View Solution305
MediumMCQ
$I = \int_{\pi/4}^{\pi/3} \frac{8 \sin x - \sin 2x}{x} dx$. તો
A
$\frac{\pi}{2} < I < \frac{3\pi}{4}$
B
$\frac{\pi}{5} < I < \frac{5\pi}{12}$
C
$\frac{5\pi}{12} < I < \frac{\sqrt{2}}{3} \pi$
D
$\frac{3\pi}{4} < I < \pi$
Solution
(C) ધારો કે $f(x) = 8 \sin x - \sin 2x$.
આપણે અંતરાલ $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ પર સંકલ્ય $g(x) = \frac{f(x)}{x}$ ની સીમાઓનું મૂલ્યાંકન કરીએ છીએ.
$x = \frac{\pi}{4}$ પર,$f(\frac{\pi}{4}) = 8(\frac{1}{\sqrt{2}}) - 1 = 4\sqrt{2} - 1 \approx 4.656$.
$x = \frac{\pi}{3}$ પર,$f(\frac{\pi}{3}) = 8(\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{2} \approx 6.062$.
આ અંતરાલ પર $f(x)$ વધતું વિધેય હોવાથી,$g(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{f(\pi/4)}{\pi/4} = \frac{16\sqrt{2}-4}{\pi} \approx 5.93$ છે.
મહત્તમ કિંમત $\frac{f(\pi/3)}{\pi/3} = \frac{21\sqrt{3}}{2\pi} \approx 5.79$ છે.
અંતરાલની લંબાઈ $\frac{\pi}{12}$ હોવાથી,સંકલન $I$ એ $\frac{\pi}{12} \times \min(g(x))$ અને $\frac{\pi}{12} \times \max(g(x))$ ની વચ્ચે આવે છે.
ગણતરી કરતા,$I$ એ $\frac{5\pi}{12} < I < \frac{\sqrt{2}}{3} \pi$ ની વચ્ચે છે.
આપણે અંતરાલ $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ પર સંકલ્ય $g(x) = \frac{f(x)}{x}$ ની સીમાઓનું મૂલ્યાંકન કરીએ છીએ.
$x = \frac{\pi}{4}$ પર,$f(\frac{\pi}{4}) = 8(\frac{1}{\sqrt{2}}) - 1 = 4\sqrt{2} - 1 \approx 4.656$.
$x = \frac{\pi}{3}$ પર,$f(\frac{\pi}{3}) = 8(\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{2} \approx 6.062$.
આ અંતરાલ પર $f(x)$ વધતું વિધેય હોવાથી,$g(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{f(\pi/4)}{\pi/4} = \frac{16\sqrt{2}-4}{\pi} \approx 5.93$ છે.
મહત્તમ કિંમત $\frac{f(\pi/3)}{\pi/3} = \frac{21\sqrt{3}}{2\pi} \approx 5.79$ છે.
અંતરાલની લંબાઈ $\frac{\pi}{12}$ હોવાથી,સંકલન $I$ એ $\frac{\pi}{12} \times \min(g(x))$ અને $\frac{\pi}{12} \times \max(g(x))$ ની વચ્ચે આવે છે.
ગણતરી કરતા,$I$ એ $\frac{5\pi}{12} < I < \frac{\sqrt{2}}{3} \pi$ ની વચ્ચે છે.
0 likes
View Solution306
MediumMCQ
સંકલન $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 60 \frac{\sin (6 x)}{\sin x} d x$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?
A
$103$
B
$102$
C
$104$
D
$100$
Solution
(C) ધારો કે $I = 60 \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin(6x)}{\sin x} dx$.
નિત્યસમ $\sin((2n+1)x) - \sin((2n-1)x) = 2 \cos(2nx) \sin x$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\frac{\sin(6x)}{\sin x}$ ને કોસાઇનના સરવાળા તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
ખાસ કરીને,$\frac{\sin(6x)}{\sin x} = \frac{\sin(6x) - \sin(4x) + \sin(4x) - \sin(2x) + \sin(2x)}{\sin x} = 2\cos(5x) + 2\cos(3x) + 2\cos(x)$.
હવે,દરેક પદનું સંકલન કરો:
$I = 60 \int_{0}^{\pi/2} (2\cos(5x) + 2\cos(3x) + 2\cos(x)) dx$.
$I = 60 \left[ \frac{2}{5}\sin(5x) + \frac{2}{3}\sin(3x) + 2\sin(x) \right]_{0}^{\pi/2}$.
સીમાઓ પર મૂલ્ય શોધતા:
$I = 60 \left( (\frac{2}{5}\sin(\frac{5\pi}{2}) + \frac{2}{3}\sin(\frac{3\pi}{2}) + 2\sin(\frac{\pi}{2})) - (0) \right)$.
કારણ કે $\sin(\frac{5\pi}{2}) = 1$,$\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$,અને $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$:
$I = 60 \left( \frac{2}{5}(1) + \frac{2}{3}(-1) + 2(1) \right) = 60 \left( \frac{2}{5} - \frac{2}{3} + 2 \right)$.
$I = 60 \left( \frac{6 - 10 + 30}{15} \right) = 60 \left( \frac{26}{15} \right) = 4 \times 26 = 104$.
નિત્યસમ $\sin((2n+1)x) - \sin((2n-1)x) = 2 \cos(2nx) \sin x$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\frac{\sin(6x)}{\sin x}$ ને કોસાઇનના સરવાળા તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
ખાસ કરીને,$\frac{\sin(6x)}{\sin x} = \frac{\sin(6x) - \sin(4x) + \sin(4x) - \sin(2x) + \sin(2x)}{\sin x} = 2\cos(5x) + 2\cos(3x) + 2\cos(x)$.
હવે,દરેક પદનું સંકલન કરો:
$I = 60 \int_{0}^{\pi/2} (2\cos(5x) + 2\cos(3x) + 2\cos(x)) dx$.
$I = 60 \left[ \frac{2}{5}\sin(5x) + \frac{2}{3}\sin(3x) + 2\sin(x) \right]_{0}^{\pi/2}$.
સીમાઓ પર મૂલ્ય શોધતા:
$I = 60 \left( (\frac{2}{5}\sin(\frac{5\pi}{2}) + \frac{2}{3}\sin(\frac{3\pi}{2}) + 2\sin(\frac{\pi}{2})) - (0) \right)$.
કારણ કે $\sin(\frac{5\pi}{2}) = 1$,$\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$,અને $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$:
$I = 60 \left( \frac{2}{5}(1) + \frac{2}{3}(-1) + 2(1) \right) = 60 \left( \frac{2}{5} - \frac{2}{3} + 2 \right)$.
$I = 60 \left( \frac{6 - 10 + 30}{15} \right) = 60 \left( \frac{26}{15} \right) = 4 \times 26 = 104$.
0 likes
View Solution307
DifficultMCQ
જો $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{15 x^{3}}{\sqrt{1+x^{2}+\sqrt{(1+x^{2})^{3}}}} dx = \alpha \sqrt{2} + \beta \sqrt{3}$,જ્યાં $\alpha, \beta$ પૂર્ણાંકો છે,તો $\alpha + \beta$ ની કિંમત શોધો.
A
$10$
B
$11$
C
$12$
D
$13$
Solution
(A) ધારો કે $1 + x^{2} = t^{2}$. તેથી $2x dx = 2t dt$,એટલે કે $x dx = t dt$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = 1$. જ્યારે $x = \sqrt{3}$,ત્યારે $t = 2$.
સંકલન $\int_{1}^{2} \frac{15(t^{2}-1) t dt}{\sqrt{t^{2} + t^{3}}} = 15 \int_{1}^{2} \frac{t(t^{2}-1)}{t \sqrt{1+t}} dt = 15 \int_{1}^{2} \frac{t^{2}-1}{\sqrt{1+t}} dt$ બને છે.
ધારો કે $1 + t = u^{2}$,તેથી $t = u^{2} - 1$ અને $dt = 2u du$.
જ્યારે $t = 1$,ત્યારે $u = \sqrt{2}$. જ્યારે $t = 2$,ત્યારે $u = \sqrt{3}$.
સંકલન $15 \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} \frac{(u^{2}-1)^{2}-1}{u} (2u du) = 30 \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} (u^{4} - 2u^{2}) du$ બને છે.
સંકલનનું મૂલ્ય: $30 \left[ \frac{u^{5}}{5} - \frac{2u^{3}}{3} \right]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} = 30 \left[ \left( \frac{9\sqrt{3}}{5} - \frac{6\sqrt{3}}{3} \right) - \left( \frac{4\sqrt{2}}{5} - \frac{4\sqrt{2}}{3} \right) \right]$.
$= 30 \left[ \left( \frac{9\sqrt{3} - 10\sqrt{3}}{5} \right) - \left( \frac{12\sqrt{2} - 20\sqrt{2}}{15} \right) \right] = 30 \left[ -\frac{\sqrt{3}}{5} + \frac{8\sqrt{2}}{15} \right] = -6\sqrt{3} + 16\sqrt{2}$.
$\alpha \sqrt{2} + \beta \sqrt{3}$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 16$ અને $\beta = -6$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = 16 - 6 = 10$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = 1$. જ્યારે $x = \sqrt{3}$,ત્યારે $t = 2$.
સંકલન $\int_{1}^{2} \frac{15(t^{2}-1) t dt}{\sqrt{t^{2} + t^{3}}} = 15 \int_{1}^{2} \frac{t(t^{2}-1)}{t \sqrt{1+t}} dt = 15 \int_{1}^{2} \frac{t^{2}-1}{\sqrt{1+t}} dt$ બને છે.
ધારો કે $1 + t = u^{2}$,તેથી $t = u^{2} - 1$ અને $dt = 2u du$.
જ્યારે $t = 1$,ત્યારે $u = \sqrt{2}$. જ્યારે $t = 2$,ત્યારે $u = \sqrt{3}$.
સંકલન $15 \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} \frac{(u^{2}-1)^{2}-1}{u} (2u du) = 30 \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} (u^{4} - 2u^{2}) du$ બને છે.
સંકલનનું મૂલ્ય: $30 \left[ \frac{u^{5}}{5} - \frac{2u^{3}}{3} \right]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} = 30 \left[ \left( \frac{9\sqrt{3}}{5} - \frac{6\sqrt{3}}{3} \right) - \left( \frac{4\sqrt{2}}{5} - \frac{4\sqrt{2}}{3} \right) \right]$.
$= 30 \left[ \left( \frac{9\sqrt{3} - 10\sqrt{3}}{5} \right) - \left( \frac{12\sqrt{2} - 20\sqrt{2}}{15} \right) \right] = 30 \left[ -\frac{\sqrt{3}}{5} + \frac{8\sqrt{2}}{15} \right] = -6\sqrt{3} + 16\sqrt{2}$.
$\alpha \sqrt{2} + \beta \sqrt{3}$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 16$ અને $\beta = -6$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = 16 - 6 = 10$.
0 likes
View Solution308
AdvancedMCQ
જો $[t]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક $\leq t$ દર્શાવે,તો $\int_{0}^{1}\left[2 x-\left|3 x^{2}-5 x+2\right|+1\right] d x$ નું મૂલ્ય શોધો.
A
$\frac{\sqrt{37}+\sqrt{13}-4}{6}$
B
$\frac{\sqrt{37}-\sqrt{13}-4}{6}$
C
$\frac{-\sqrt{37}-\sqrt{13}+4}{6}$
D
$\frac{-\sqrt{37}+\sqrt{13}+4}{6}$
Solution
(A) ધારો કે $f(x) = 2x - |3x^2 - 5x + 2| + 1$. મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેયની અંદરનું પદ $g(x) = 2x - |(3x-2)(x-1)| + 1$ છે.
$x \in [0, 2/3]$ માટે,$3x^2 - 5x + 2 \geq 0$,તેથી $|3x^2 - 5x + 2| = 3x^2 - 5x + 2$. તેથી $g(x) = 2x - (3x^2 - 5x + 2) + 1 = -3x^2 + 7x - 1$.
$x \in [2/3, 1]$ માટે,$3x^2 - 5x + 2 \leq 0$,તેથી $|3x^2 - 5x + 2| = -(3x^2 - 5x + 2)$. તેથી $g(x) = 2x + (3x^2 - 5x + 2) + 1 = 3x^2 - 3x + 3$.
$\int_{0}^{1} [g(x)] dx$ નું સંકલન કરવા માટે અંતરાલને $g(x)$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યોના આધારે વિભાજિત કરવામાં આવે છે.
$x \in [0, 2/3]$ માટે,$g(x) = -3x^2 + 7x - 1$. $g(x) = k$ ના બીજ દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે.
જ્યાં $[g(x)]$ અચળ હોય તેવા પેટા-અંતરાલો પર સંકલન કર્યા પછી,આપણને પરિણામ મળે છે:
$I = \frac{\sqrt{37} + \sqrt{13} - 4}{6}$.
$x \in [0, 2/3]$ માટે,$3x^2 - 5x + 2 \geq 0$,તેથી $|3x^2 - 5x + 2| = 3x^2 - 5x + 2$. તેથી $g(x) = 2x - (3x^2 - 5x + 2) + 1 = -3x^2 + 7x - 1$.
$x \in [2/3, 1]$ માટે,$3x^2 - 5x + 2 \leq 0$,તેથી $|3x^2 - 5x + 2| = -(3x^2 - 5x + 2)$. તેથી $g(x) = 2x + (3x^2 - 5x + 2) + 1 = 3x^2 - 3x + 3$.
$\int_{0}^{1} [g(x)] dx$ નું સંકલન કરવા માટે અંતરાલને $g(x)$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યોના આધારે વિભાજિત કરવામાં આવે છે.
$x \in [0, 2/3]$ માટે,$g(x) = -3x^2 + 7x - 1$. $g(x) = k$ ના બીજ દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે.
જ્યાં $[g(x)]$ અચળ હોય તેવા પેટા-અંતરાલો પર સંકલન કર્યા પછી,આપણને પરિણામ મળે છે:
$I = \frac{\sqrt{37} + \sqrt{13} - 4}{6}$.
0 likes
View Solution309
MediumMCQ
સંકલન $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{3+2 \sin x+\cos x} d x$ ની કિંમત શોધો.
A
$\tan^{-1}(2)$
B
$\tan^{-1}(2)-\frac{\pi}{4}$
C
$\frac{1}{2} \tan^{-1}(2)-\frac{\pi}{8}$
D
$\frac{1}{2}$
Solution
(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{3+2 \sin x + \cos x}$.
આદેશ $\tan(\frac{x}{2}) = t$ લેતા,$dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$,$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$,અને $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{0}^{1} \frac{1}{3 + 2(\frac{2t}{1+t^2}) + \frac{1-t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{2 dt}{1+t^2}$
$I = \int_{0}^{1} \frac{2 dt}{3(1+t^2) + 4t + 1 - t^2} = \int_{0}^{1} \frac{2 dt}{2t^2 + 4t + 4} = \int_{0}^{1} \frac{dt}{t^2 + 2t + 2}$
$I = \int_{0}^{1} \frac{dt}{(t+1)^2 + 1}$
$I = [\tan^{-1}(t+1)]_{0}^{1} = \tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1) = \tan^{-1}(2) - \frac{\pi}{4}$.
આદેશ $\tan(\frac{x}{2}) = t$ લેતા,$dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$,$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$,અને $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{0}^{1} \frac{1}{3 + 2(\frac{2t}{1+t^2}) + \frac{1-t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{2 dt}{1+t^2}$
$I = \int_{0}^{1} \frac{2 dt}{3(1+t^2) + 4t + 1 - t^2} = \int_{0}^{1} \frac{2 dt}{2t^2 + 4t + 4} = \int_{0}^{1} \frac{dt}{t^2 + 2t + 2}$
$I = \int_{0}^{1} \frac{dt}{(t+1)^2 + 1}$
$I = [\tan^{-1}(t+1)]_{0}^{1} = \tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1) = \tan^{-1}(2) - \frac{\pi}{4}$.
0 likes
View Solution310
AdvancedMCQ
ધારો કે $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{\sin x}, & x \in (0, 1) \\ 1, & x = 0 \end{cases}$. સંકલન $I_n = \sqrt{n} \int_0^{1/n} f(x) e^{-nx} dx$ ધ્યાનમાં લો. તો,$\lim_{n \to \infty} I_n$ શું થાય?
A
અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી
B
અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને $0$ છે
C
અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને $1$ છે
D
અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને $1 - e^{-1}$ છે
Solution
(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x}{\sin x}$ જ્યાં $x \in (0, 1)$ અને $f(0) = 1$. આપણે $\lim_{n \to \infty} I_n$ શોધવું છે જ્યાં $I_n = \sqrt{n} \int_0^{1/n} f(x) e^{-nx} dx$.
ધારો કે $nx = t$,તેથી $x = t/n$ અને $dx = dt/n$.
જ્યારે $x$ ની કિંમત $0$ થી $1/n$ સુધી જાય છે,ત્યારે $t$ ની કિંમત $0$ થી $1$ સુધી જાય છે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I_n = \sqrt{n} \int_0^1 f(t/n) e^{-t} \frac{dt}{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} \int_0^1 \frac{t/n}{\sin(t/n)} e^{-t} dt$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\lim_{u \to 0} \frac{u}{\sin u} = 1$. જેમ $n \to \infty$,તેમ $t/n \to 0$ થાય છે,જ્યાં $t \in [0, 1]$.
તેથી,$\lim_{n \to \infty} \frac{t/n}{\sin(t/n)} = 1$.
સંકલન ચિહ્ન હેઠળ લક્ષના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{n \to \infty} I_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \int_0^1 (1) e^{-t} dt = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} [1 - e^{-1}] = 0 \times (1 - e^{-1}) = 0$.
ધારો કે $nx = t$,તેથી $x = t/n$ અને $dx = dt/n$.
જ્યારે $x$ ની કિંમત $0$ થી $1/n$ સુધી જાય છે,ત્યારે $t$ ની કિંમત $0$ થી $1$ સુધી જાય છે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I_n = \sqrt{n} \int_0^1 f(t/n) e^{-t} \frac{dt}{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} \int_0^1 \frac{t/n}{\sin(t/n)} e^{-t} dt$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\lim_{u \to 0} \frac{u}{\sin u} = 1$. જેમ $n \to \infty$,તેમ $t/n \to 0$ થાય છે,જ્યાં $t \in [0, 1]$.
તેથી,$\lim_{n \to \infty} \frac{t/n}{\sin(t/n)} = 1$.
સંકલન ચિહ્ન હેઠળ લક્ષના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{n \to \infty} I_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \int_0^1 (1) e^{-t} dt = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} [1 - e^{-1}] = 0 \times (1 - e^{-1}) = 0$.
0 likes
View Solution311
AdvancedMCQ
સંકલન $\int \limits_1^{\sqrt{2}+1} \left( \frac{x^2-1}{x^2+1} \right) \frac{1}{\sqrt{1+x^4}} \, dx$ નું મૂલ્ય શોધો.
A
$\frac{\pi}{6 \sqrt{2}}$
B
$\frac{\pi}{12 \sqrt{2}}$
C
$\frac{\pi}{8 \sqrt{2}}$
D
$\frac{\pi}{4 \sqrt{2}}$
Solution
(B) ધારો કે $I = \int \limits_1^{\sqrt{2}+1} \frac{x^2-1}{x^2+1} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^4}} \, dx$.
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા:
$I = \int \limits_1^{\sqrt{2}+1} \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{x^2 + \frac{1}{x^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2 + \frac{1}{x^2}}} \, dx$ (આ પદ્ધતિમાં ફેરફાર કરતા):
$x + \frac{1}{x} = t$ લેતા,$(1 - \frac{1}{x^2}) \, dx = dt$ મળે.
અહીં $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.
જ્યારે $x=1$ હોય ત્યારે $t=2$ અને જ્યારે $x=\sqrt{2}+1$ હોય ત્યારે $t = 2\sqrt{2}$ મળે.
તેથી,$I = \int \limits_2^{2\sqrt{2}} \frac{dt}{t \sqrt{t^2 - 2}} = \int \limits_2^{2\sqrt{2}} \frac{dt}{t \sqrt{t^2 - (\sqrt{2})^2}}$.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{x \sqrt{x^2-a^2}} = \frac{1}{a} \sec^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \sec^{-1}(\frac{t}{\sqrt{2}}) \right]_2^{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} [\sec^{-1}(2) - \sec^{-1}(\sqrt{2})] = \frac{1}{\sqrt{2}} [\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}] = \frac{\pi}{12\sqrt{2}}$.
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા:
$I = \int \limits_1^{\sqrt{2}+1} \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{x^2 + \frac{1}{x^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2 + \frac{1}{x^2}}} \, dx$ (આ પદ્ધતિમાં ફેરફાર કરતા):
$x + \frac{1}{x} = t$ લેતા,$(1 - \frac{1}{x^2}) \, dx = dt$ મળે.
અહીં $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.
જ્યારે $x=1$ હોય ત્યારે $t=2$ અને જ્યારે $x=\sqrt{2}+1$ હોય ત્યારે $t = 2\sqrt{2}$ મળે.
તેથી,$I = \int \limits_2^{2\sqrt{2}} \frac{dt}{t \sqrt{t^2 - 2}} = \int \limits_2^{2\sqrt{2}} \frac{dt}{t \sqrt{t^2 - (\sqrt{2})^2}}$.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{x \sqrt{x^2-a^2}} = \frac{1}{a} \sec^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \sec^{-1}(\frac{t}{\sqrt{2}}) \right]_2^{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} [\sec^{-1}(2) - \sec^{-1}(\sqrt{2})] = \frac{1}{\sqrt{2}} [\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}] = \frac{\pi}{12\sqrt{2}}$.
0 likes
View Solution312
AdvancedMCQ
ધારો કે $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ એક સતત વિધેય છે જેથી તમામ $x \in [0,1]$ માટે $x^2+(f(x))^2 \leq 1$ અને $\int_0^1 f(x) dx = \frac{\pi}{4}$ થાય. તો,$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{f(x)}{1-x^2} dx$ ની કિંમત શોધો.
A
$\frac{\pi}{12}$
B
$\frac{\pi}{15}$
C
$\frac{\sqrt{2}-1}{2} \pi$
D
$\frac{\pi}{10}$
Solution
(A) આપેલ છે કે $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ એક સતત વિધેય છે જે તમામ $x \in [0,1]$ માટે $x^2+(f(x))^2 \leq 1$ નું પાલન કરે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $(f(x))^2 \leq 1-x^2$,તેથી $f(x) \leq \sqrt{1-x^2}$ કારણ કે $f(x) \geq 0$ છે.
બંને બાજુ $0$ થી $1$ સુધી સંકલન કરતા,આપણને $\int_0^1 f(x) dx \leq \int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx$ મળે છે.
સંકલન $\int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx$ એ $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળના ચોથા ભાગનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે,જે $\frac{1}{4} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{4}$ છે.
આપેલ છે કે $\int_0^1 f(x) dx = \frac{\pi}{4}$,તેથી સમાનતા જળવાવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તમામ $x \in [0,1]$ માટે $f(x) = \sqrt{1-x^2}$ થાય.
હવે,આપણે $\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{f(x)}{1-x^2} dx = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x^2} dx = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ ની ગણતરી કરીએ.
આ $[\sin^{-1} x]_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}) - \sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{12}$ બરાબર છે.
આનો અર્થ એ છે કે $(f(x))^2 \leq 1-x^2$,તેથી $f(x) \leq \sqrt{1-x^2}$ કારણ કે $f(x) \geq 0$ છે.
બંને બાજુ $0$ થી $1$ સુધી સંકલન કરતા,આપણને $\int_0^1 f(x) dx \leq \int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx$ મળે છે.
સંકલન $\int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx$ એ $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળના ચોથા ભાગનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે,જે $\frac{1}{4} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{4}$ છે.
આપેલ છે કે $\int_0^1 f(x) dx = \frac{\pi}{4}$,તેથી સમાનતા જળવાવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તમામ $x \in [0,1]$ માટે $f(x) = \sqrt{1-x^2}$ થાય.
હવે,આપણે $\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{f(x)}{1-x^2} dx = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x^2} dx = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ ની ગણતરી કરીએ.
આ $[\sin^{-1} x]_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}) - \sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{12}$ બરાબર છે.
0 likes
View Solution313
AdvancedMCQ
ધારો કે $g(x) = \int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} \sin \frac{1}{t} \, dt$,તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે. તો,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x}$ ની કિંમત શોધો.
A
$\infty$
B
$-\infty$
C
$0$
D
$\frac{3}{4}$
Solution
(C) આપણને આપેલ છે કે $g(x) = \int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} \sin \frac{1}{t} \, dt$.
અહીં સંકલ્ય $f(t) = t^{2/3} \sin \frac{1}{t}$ એ $t=0$ ની નજીક સીમિત છે (કારણ કે $|\sin(1/t)| \leq 1$,તેથી $|f(t)| \leq t^{2/3}$),તેથી સંકલન અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
આપણે $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x}$ ની કિંમત શોધવી છે.
$g(0) = 0$ હોવાથી,આ $0/0$ સ્વરૂપ છે.
સ્ક્વીઝ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$|g(x)| = \left| \int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} \sin \frac{1}{t} \, dt \right| \leq \int_0^{|x|^{3/4}} |t^{2/3} \sin \frac{1}{t}| \, dt \leq \int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} \, dt$.
સંકલન કરતા: $\int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} \, dt = \left[ \frac{t^{5/3}}{5/3} \right]_0^{|x|^{3/4}} = \frac{3}{5} (|x|^{3/4})^{5/3} = \frac{3}{5} |x|^{5/4}$.
તેથી,$\left| \frac{g(x)}{x} \right| \leq \frac{\frac{3}{5} |x|^{5/4}}{|x|} = \frac{3}{5} |x|^{1/4}$.
જેમ $x \rightarrow 0$,તેમ $\frac{3}{5} |x|^{1/4} \rightarrow 0$.
તેથી,સ્ક્વીઝ પ્રમેય મુજબ,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x} = 0$.
અહીં સંકલ્ય $f(t) = t^{2/3} \sin \frac{1}{t}$ એ $t=0$ ની નજીક સીમિત છે (કારણ કે $|\sin(1/t)| \leq 1$,તેથી $|f(t)| \leq t^{2/3}$),તેથી સંકલન અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
આપણે $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x}$ ની કિંમત શોધવી છે.
$g(0) = 0$ હોવાથી,આ $0/0$ સ્વરૂપ છે.
સ્ક્વીઝ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$|g(x)| = \left| \int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} \sin \frac{1}{t} \, dt \right| \leq \int_0^{|x|^{3/4}} |t^{2/3} \sin \frac{1}{t}| \, dt \leq \int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} \, dt$.
સંકલન કરતા: $\int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} \, dt = \left[ \frac{t^{5/3}}{5/3} \right]_0^{|x|^{3/4}} = \frac{3}{5} (|x|^{3/4})^{5/3} = \frac{3}{5} |x|^{5/4}$.
તેથી,$\left| \frac{g(x)}{x} \right| \leq \frac{\frac{3}{5} |x|^{5/4}}{|x|} = \frac{3}{5} |x|^{1/4}$.
જેમ $x \rightarrow 0$,તેમ $\frac{3}{5} |x|^{1/4} \rightarrow 0$.
તેથી,સ્ક્વીઝ પ્રમેય મુજબ,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x} = 0$.
0 likes
View Solution314
AdvancedMCQ
ધારો કે $f(x) = \max \left\{3, x^2, \frac{1}{x^2}\right\}$ એ $\frac{1}{2} \leq x \leq 2$ માટે છે. તો,સંકલન $\int_{1/2}^2 f(x) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.
A
$\frac{11}{3}$
B
$\frac{13}{3}$
C
$\frac{14}{3}$
D
$\frac{16}{3}$
Solution
(C) આપણને $f(x) = \max \left\{3, x^2, \frac{1}{x^2}\right\}$ એ $x \in \left[\frac{1}{2}, 2\right]$ માટે આપેલ છે.
સંકલન શોધવા માટે,આપણે તે અંતરાલો નક્કી કરીએ છીએ જ્યાં દરેક વિધેય મહત્તમ હોય છે:
$1$. $x \in \left[\frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right]$ માટે,$\frac{1}{x^2} \geq 3$ અને $\frac{1}{x^2} \geq x^2$ છે,તેથી $f(x) = \frac{1}{x^2}$.
$2$. $x \in \left[\frac{1}{\sqrt{3}}, \sqrt{3}\right]$ માટે,$3 \geq x^2$ અને $3 \geq \frac{1}{x^2}$ છે,તેથી $f(x) = 3$.
$3$. $x \in \left[\sqrt{3}, 2\right]$ માટે,$x^2 \geq 3$ અને $x^2 \geq \frac{1}{x^2}$ છે,તેથી $f(x) = x^2$.
આમ,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$\int_{1/2}^2 f(x) dx = \int_{1/2}^{1/\sqrt{3}} \frac{1}{x^2} dx + \int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} 3 dx + \int_{\sqrt{3}}^2 x^2 dx$
$= \left[-\frac{1}{x}\right]_{1/2}^{1/\sqrt{3}} + [3x]_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} + \left[\frac{x^3}{3}\right]_{\sqrt{3}}^2$
$= (-\sqrt{3} - (-2)) + (3\sqrt{3} - \sqrt{3}) + \left(\frac{8}{3} - \frac{3\sqrt{3}}{3}\right)$
$= 2 - \sqrt{3} + 2\sqrt{3} + \frac{8}{3} - \sqrt{3} = 2 + \frac{8}{3} = \frac{14}{3}$.
સંકલન શોધવા માટે,આપણે તે અંતરાલો નક્કી કરીએ છીએ જ્યાં દરેક વિધેય મહત્તમ હોય છે:
$1$. $x \in \left[\frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right]$ માટે,$\frac{1}{x^2} \geq 3$ અને $\frac{1}{x^2} \geq x^2$ છે,તેથી $f(x) = \frac{1}{x^2}$.
$2$. $x \in \left[\frac{1}{\sqrt{3}}, \sqrt{3}\right]$ માટે,$3 \geq x^2$ અને $3 \geq \frac{1}{x^2}$ છે,તેથી $f(x) = 3$.
$3$. $x \in \left[\sqrt{3}, 2\right]$ માટે,$x^2 \geq 3$ અને $x^2 \geq \frac{1}{x^2}$ છે,તેથી $f(x) = x^2$.
આમ,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$\int_{1/2}^2 f(x) dx = \int_{1/2}^{1/\sqrt{3}} \frac{1}{x^2} dx + \int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} 3 dx + \int_{\sqrt{3}}^2 x^2 dx$
$= \left[-\frac{1}{x}\right]_{1/2}^{1/\sqrt{3}} + [3x]_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} + \left[\frac{x^3}{3}\right]_{\sqrt{3}}^2$
$= (-\sqrt{3} - (-2)) + (3\sqrt{3} - \sqrt{3}) + \left(\frac{8}{3} - \frac{3\sqrt{3}}{3}\right)$
$= 2 - \sqrt{3} + 2\sqrt{3} + \frac{8}{3} - \sqrt{3} = 2 + \frac{8}{3} = \frac{14}{3}$.
0 likes
View Solution315
AdvancedMCQ
ધારો કે $g(x) = \int_{-3}^3 f(x-y) f(y) \, dy$,તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે,જ્યાં $f(t) = \begin{cases} 1, & 0 \leq t \leq 1 \\ 0, & \text{અન્યથા} \end{cases}$. તો,
A
$g(x)$ દરેક જગ્યાએ સતત નથી
B
$g(x)$ દરેક જગ્યાએ સતત છે પણ ક્યાંય વિકલનીય નથી
C
$g(x)$ દરેક જગ્યાએ સતત છે અને $x=0, 1$ સિવાય દરેક જગ્યાએ વિકલનીય છે
D
$g(x)$ દરેક જગ્યાએ સતત છે અને $x=0, 1, 2$ સિવાય દરેક જગ્યાએ વિકલનીય છે
Solution
(D) આપેલ છે $g(x) = \int_{-3}^3 f(x-y) f(y) \, dy$ અને $f(t) = \begin{cases} 1, & 0 \leq t \leq 1 \\ 0, & \text{અન્યથા} \end{cases}$.
$f(y) = 1$ ફક્ત $0 \leq y \leq 1$ માટે હોવાથી,સંકલન $g(x) = \int_0^1 f(x-y) \, dy$ માં ફેરવાય છે.
ધારો કે $t = x-y$,તો $dt = -dy$. જ્યારે $y=0, t=x$; જ્યારે $y=1, t=x-1$.
તેથી,$g(x) = \int_{x-1}^x f(t) \, dt$.
$f(t)$ ની વ્યાખ્યા મુજબ આ સંકલનનું મૂલ્ય:
જો $x < 0$,તો અંતરાલ $[x-1, x]$ એ $[0, 1]$ ની બહાર છે,તેથી $g(x) = 0$.
જો $0 \leq x < 1$,તો અંતરાલ $[x-1, x]$ એ $[0, 1]$ સાથે $[0, x]$ પર ઓવરલેપ થાય છે,તેથી $g(x) = \int_0^x 1 \, dt = x$.
જો $1 \leq x < 2$,તો અંતરાલ $[x-1, x]$ એ $[0, 1]$ સાથે $[x-1, 1]$ પર ઓવરલેપ થાય છે,તેથી $g(x) = \int_{x-1}^1 1 \, dt = 1 - (x-1) = 2-x$.
જો $x \geq 2$,તો અંતરાલ $[x-1, x]$ એ $[0, 1]$ ની બહાર છે,તેથી $g(x) = 0$.
આમ,$g(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ x, & 0 < x < 1 \\ 2-x, & 1 \leq x < 2 \\ 0, & x \geq 2 \end{cases}$.
$g(x)$ દરેક જગ્યાએ સતત છે. વિકલન $g'(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1, & 0 < x < 1 \\ -1, & 1 < x < 2 \\ 0, & x > 2 \end{cases}$.
$g(x)$ એ $x=0, 1, 2$ પર વિકલનીય નથી કારણ કે આ બિંદુઓ પર ડાબી અને જમણી બાજુના વિકલન સમાન નથી.
$f(y) = 1$ ફક્ત $0 \leq y \leq 1$ માટે હોવાથી,સંકલન $g(x) = \int_0^1 f(x-y) \, dy$ માં ફેરવાય છે.
ધારો કે $t = x-y$,તો $dt = -dy$. જ્યારે $y=0, t=x$; જ્યારે $y=1, t=x-1$.
તેથી,$g(x) = \int_{x-1}^x f(t) \, dt$.
$f(t)$ ની વ્યાખ્યા મુજબ આ સંકલનનું મૂલ્ય:
જો $x < 0$,તો અંતરાલ $[x-1, x]$ એ $[0, 1]$ ની બહાર છે,તેથી $g(x) = 0$.
જો $0 \leq x < 1$,તો અંતરાલ $[x-1, x]$ એ $[0, 1]$ સાથે $[0, x]$ પર ઓવરલેપ થાય છે,તેથી $g(x) = \int_0^x 1 \, dt = x$.
જો $1 \leq x < 2$,તો અંતરાલ $[x-1, x]$ એ $[0, 1]$ સાથે $[x-1, 1]$ પર ઓવરલેપ થાય છે,તેથી $g(x) = \int_{x-1}^1 1 \, dt = 1 - (x-1) = 2-x$.
જો $x \geq 2$,તો અંતરાલ $[x-1, x]$ એ $[0, 1]$ ની બહાર છે,તેથી $g(x) = 0$.
આમ,$g(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ x, & 0 < x < 1 \\ 2-x, & 1 \leq x < 2 \\ 0, & x \geq 2 \end{cases}$.
$g(x)$ દરેક જગ્યાએ સતત છે. વિકલન $g'(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1, & 0 < x < 1 \\ -1, & 1 < x < 2 \\ 0, & x > 2 \end{cases}$.
$g(x)$ એ $x=0, 1, 2$ પર વિકલનીય નથી કારણ કે આ બિંદુઓ પર ડાબી અને જમણી બાજુના વિકલન સમાન નથી.
0 likes
View Solution316
AdvancedMCQ
$\int_0^1 x f(x) dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \int_0^1 (f(x))^2 dx$ નું સમાધાન કરતા સતત વિધેયો $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ ની સંખ્યા કેટલી છે?
A
$0$
B
$1$
C
$2$
D
$\infty$
Solution
(B) આપેલ સમીકરણ: $\int_0^1 x f(x) dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \int_0^1 (f(x))^2 dx$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{1}{4} \int_0^1 (f(x))^2 dx - \int_0^1 x f(x) dx + \frac{1}{3} = 0$
$4$ વડે ગુણતા: $\int_0^1 (f(x))^2 dx - 4 \int_0^1 x f(x) dx + \frac{4}{3} = 0$
$\int_0^1 (2x)^2 dx = \int_0^1 4x^2 dx = [\frac{4x^3}{3}]_0^1 = \frac{4}{3}$ ઉમેરતા અને બાદ કરતા:
$\int_0^1 (f(x))^2 dx - 4 \int_0^1 x f(x) dx + \int_0^1 4x^2 dx - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 0$
$\int_0^1 (f(x)^2 - 4x f(x) + 4x^2) dx = 0$
$\int_0^1 (f(x) - 2x)^2 dx = 0$
$f(x)$ સતત વિધેય હોવાથી,$(f(x) - 2x)^2$ એ અ-ઋણ અને સતત છે.
અ-ઋણ સતત વિધેયનું સંકલન $0$ હોવા માટે,સંકલ્ય શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,$f(x) - 2x = 0 \Rightarrow f(x) = 2x$.
આમ,આવું ફક્ત $1$ સતત વિધેય મળે છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{1}{4} \int_0^1 (f(x))^2 dx - \int_0^1 x f(x) dx + \frac{1}{3} = 0$
$4$ વડે ગુણતા: $\int_0^1 (f(x))^2 dx - 4 \int_0^1 x f(x) dx + \frac{4}{3} = 0$
$\int_0^1 (2x)^2 dx = \int_0^1 4x^2 dx = [\frac{4x^3}{3}]_0^1 = \frac{4}{3}$ ઉમેરતા અને બાદ કરતા:
$\int_0^1 (f(x))^2 dx - 4 \int_0^1 x f(x) dx + \int_0^1 4x^2 dx - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 0$
$\int_0^1 (f(x)^2 - 4x f(x) + 4x^2) dx = 0$
$\int_0^1 (f(x) - 2x)^2 dx = 0$
$f(x)$ સતત વિધેય હોવાથી,$(f(x) - 2x)^2$ એ અ-ઋણ અને સતત છે.
અ-ઋણ સતત વિધેયનું સંકલન $0$ હોવા માટે,સંકલ્ય શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,$f(x) - 2x = 0 \Rightarrow f(x) = 2x$.
આમ,આવું ફક્ત $1$ સતત વિધેય મળે છે.
0 likes
View Solution317
AdvancedMCQ
વિધેય $f: R \rightarrow R$ ને $f(x) = \max \{|x|, |x-1|, \ldots, |x-2n|\}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો,જ્યાં $n$ એ નિશ્ચિત પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે. તો,$\int_0^{2n} f(x) dx$ ની કિંમત શોધો.
A
$n$
B
$n^2$
C
$3n$
D
$3n^2$
Solution
(D) આપેલ છે કે $f(x) = \max \{|x|, |x-1|, \ldots, |x-2n|\}$.
આપણે $\int_0^{2n} f(x) dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
અંતરાલ $[0, 2n]$ માટે,ગણ $\{|x|, |x-1|, \ldots, |x-2n|\}$ ની મહત્તમ કિંમત અંતરાલના અંતિમ બિંદુઓ દ્વારા નક્કી થાય છે.
ખાસ કરીને,$f(x) = \max \{|x|, |x-2n|\}$.
આપણે સંકલનને $x = n$ પર વિભાજિત કરીએ છીએ:
$\int_0^{2n} f(x) dx = \int_0^n f(x) dx + \int_n^{2n} f(x) dx$
$x \in [0, n]$ માટે,$|x-2n| \geq |x|$,તેથી $f(x) = |x-2n| = 2n-x$.
$x \in [n, 2n]$ માટે,$|x| \geq |x-2n|$,તેથી $f(x) = |x| = x$.
આમ,$\int_0^{2n} f(x) dx = \int_0^n (2n-x) dx + \int_n^{2n} x dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$\int_0^n (2n-x) dx = [2nx - \frac{x^2}{2}]_0^n = 2n^2 - \frac{n^2}{2} = \frac{3n^2}{2}$.
$\int_n^{2n} x dx = [\frac{x^2}{2}]_n^{2n} = \frac{4n^2}{2} - \frac{n^2}{2} = \frac{3n^2}{2}$.
બંનેનો સરવાળો કરતા: $\frac{3n^2}{2} + \frac{3n^2}{2} = 3n^2$.
આપણે $\int_0^{2n} f(x) dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
અંતરાલ $[0, 2n]$ માટે,ગણ $\{|x|, |x-1|, \ldots, |x-2n|\}$ ની મહત્તમ કિંમત અંતરાલના અંતિમ બિંદુઓ દ્વારા નક્કી થાય છે.
ખાસ કરીને,$f(x) = \max \{|x|, |x-2n|\}$.
આપણે સંકલનને $x = n$ પર વિભાજિત કરીએ છીએ:
$\int_0^{2n} f(x) dx = \int_0^n f(x) dx + \int_n^{2n} f(x) dx$
$x \in [0, n]$ માટે,$|x-2n| \geq |x|$,તેથી $f(x) = |x-2n| = 2n-x$.
$x \in [n, 2n]$ માટે,$|x| \geq |x-2n|$,તેથી $f(x) = |x| = x$.
આમ,$\int_0^{2n} f(x) dx = \int_0^n (2n-x) dx + \int_n^{2n} x dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$\int_0^n (2n-x) dx = [2nx - \frac{x^2}{2}]_0^n = 2n^2 - \frac{n^2}{2} = \frac{3n^2}{2}$.
$\int_n^{2n} x dx = [\frac{x^2}{2}]_n^{2n} = \frac{4n^2}{2} - \frac{n^2}{2} = \frac{3n^2}{2}$.
બંનેનો સરવાળો કરતા: $\frac{3n^2}{2} + \frac{3n^2}{2} = 3n^2$.
0 likes
View Solution318
AdvancedMCQ
જો $p(x)$ એ $p(1)=3, p(0)=2$ અને $p(-1)=4$ ધરાવતી ત્રિઘાત બહુપદી હોય,તો $\int_{-1}^1 p(x) dx$ ની કિંમત શોધો.
A
$2$
B
$3$
C
$4$
D
$5$
Solution
(D) ધારો કે $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$.
આપેલ છે કે $p(0) = 2$,તેથી $d = 2$.
આપેલ છે કે $p(1) = a + b + c + d = 3 \Rightarrow a + b + c = 1$ $(i)$.
આપેલ છે કે $p(-1) = -a + b - c + d = 4 \Rightarrow -a + b - c = 2$ $(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને $2b = 3$ મળે છે,તેથી $b = \frac{3}{2}$.
આપણે $I = \int_{-1}^1 (ax^3 + bx^2 + cx + d) dx$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$ax^3$ અને $cx$ એ અયુગ્મ વિધેયો હોવાથી,$[-1, 1]$ પર તેમનું સંકલન $0$ થાય છે.
તેથી,$I = \int_{-1}^1 (bx^2 + d) dx = 2 \int_0^1 (bx^2 + d) dx$.
$I = 2 \left[ \frac{bx^3}{3} + dx \right]_0^1 = 2 \left( \frac{b}{3} + d \right)$.
$b = \frac{3}{2}$ અને $d = 2$ મૂકતા:
$I = 2 \left( \frac{3/2}{3} + 2 \right) = 2 \left( \frac{1}{2} + 2 \right) = 2 \left( \frac{5}{2} \right) = 5$.
આપેલ છે કે $p(0) = 2$,તેથી $d = 2$.
આપેલ છે કે $p(1) = a + b + c + d = 3 \Rightarrow a + b + c = 1$ $(i)$.
આપેલ છે કે $p(-1) = -a + b - c + d = 4 \Rightarrow -a + b - c = 2$ $(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને $2b = 3$ મળે છે,તેથી $b = \frac{3}{2}$.
આપણે $I = \int_{-1}^1 (ax^3 + bx^2 + cx + d) dx$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$ax^3$ અને $cx$ એ અયુગ્મ વિધેયો હોવાથી,$[-1, 1]$ પર તેમનું સંકલન $0$ થાય છે.
તેથી,$I = \int_{-1}^1 (bx^2 + d) dx = 2 \int_0^1 (bx^2 + d) dx$.
$I = 2 \left[ \frac{bx^3}{3} + dx \right]_0^1 = 2 \left( \frac{b}{3} + d \right)$.
$b = \frac{3}{2}$ અને $d = 2$ મૂકતા:
$I = 2 \left( \frac{3/2}{3} + 2 \right) = 2 \left( \frac{1}{2} + 2 \right) = 2 \left( \frac{5}{2} \right) = 5$.
0 likes
View Solution319
AdvancedMCQ
ધારો કે $f:[0,1] \rightarrow [0, \infty)$ એક સતત વિધેય છે જેથી $\int_0^1 f(x) dx = 10$ થાય. નીચેનામાંથી કયું વિધાન હંમેશા સાચું નથી?
A
$\int_0^1 e^{-x} f(x) dx \leq 10$
B
$\int_0^1 -\frac{f(x)}{(1+x)^2} dx \leq 10$
C
$-10 \leq \int_0^1 \sin(100x) f(x) dx \leq 10$
D
$\int_0^1 f(x)^2 dx \leq 100$
Solution
(D) આપેલ છે કે $f(x) \geq 0$ અને $\int_0^1 f(x) dx = 10$.
વિકલ્પ $A$ માટે: $x \in [0, 1]$ માટે $0 < e^{-x} \leq 1$ હોવાથી,$\int_0^1 e^{-x} f(x) dx \leq \int_0^1 1 \cdot f(x) dx = 10$ થાય. આ સાચું છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $f(x) \geq 0$ અને $(1+x)^2 > 0$ હોવાથી,સંકલન $\int_0^1 -\frac{f(x)}{(1+x)^2} dx \leq 0$ થાય. $0 \leq 10$ હોવાથી,આ સાચું છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $|\sin(100x)| \leq 1$ હોવાથી,$|\int_0^1 \sin(100x) f(x) dx| \leq \int_0^1 |\sin(100x)| f(x) dx \leq \int_0^1 f(x) dx = 10$ થાય. તેથી,$-10 \leq \int_0^1 \sin(100x) f(x) dx \leq 10$. આ સાચું છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: જો આપણે એવું વિધેય લઈએ જે નાના અંતરાલમાં ખૂબ મોટું હોય,તો $f(x)^2$ નું સંકલન અનંત સુધી જઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે,$f(x) = 10(n+1)x^n$ લેતા,$\int_0^1 f(x)^2 dx = 100 \frac{(n+1)^2}{2n+1}$ મળે,જે $n \to \infty$ લેતા $\infty$ તરફ જાય છે. તેથી,આ વિધાન હંમેશા સાચું નથી.
વિકલ્પ $A$ માટે: $x \in [0, 1]$ માટે $0 < e^{-x} \leq 1$ હોવાથી,$\int_0^1 e^{-x} f(x) dx \leq \int_0^1 1 \cdot f(x) dx = 10$ થાય. આ સાચું છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $f(x) \geq 0$ અને $(1+x)^2 > 0$ હોવાથી,સંકલન $\int_0^1 -\frac{f(x)}{(1+x)^2} dx \leq 0$ થાય. $0 \leq 10$ હોવાથી,આ સાચું છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $|\sin(100x)| \leq 1$ હોવાથી,$|\int_0^1 \sin(100x) f(x) dx| \leq \int_0^1 |\sin(100x)| f(x) dx \leq \int_0^1 f(x) dx = 10$ થાય. તેથી,$-10 \leq \int_0^1 \sin(100x) f(x) dx \leq 10$. આ સાચું છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: જો આપણે એવું વિધેય લઈએ જે નાના અંતરાલમાં ખૂબ મોટું હોય,તો $f(x)^2$ નું સંકલન અનંત સુધી જઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે,$f(x) = 10(n+1)x^n$ લેતા,$\int_0^1 f(x)^2 dx = 100 \frac{(n+1)^2}{2n+1}$ મળે,જે $n \to \infty$ લેતા $\infty$ તરફ જાય છે. તેથી,આ વિધાન હંમેશા સાચું નથી.
0 likes
View Solution320
AdvancedMCQ
વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,$[x]$ એ $x$ થી નાની અથવા તેના જેટલી મહત્તમ પૂર્ણાંક સંખ્યા દર્શાવે છે અને $\{x\} = x - [x]$ છે. ધારો કે $n$ એ ધન પૂર્ણાંક છે. તો,$\int_0^n \cos(2 \pi [x] \{x\}) dx$ ની કિંમત શોધો.
A
$0$
B
$1$
C
$n$
D
$2n-1$
Solution
(B) ધારો કે $I = \int_0^n \cos(2 \pi [x] \{x\}) dx$.
જ્યારે $x \in [k, k+1)$ હોય ત્યારે $[x] = k$ થાય,જ્યાં $k$ એ પૂર્ણાંક છે. તેથી સંકલનને નીચે મુજબ વિભાજિત કરી શકાય:
$I = \sum_{k=0}^{n-1} \int_k^{k+1} \cos(2 \pi k (x-k)) dx$.
$k=0$ માટે,સંકલન $\int_0^1 \cos(0) dx = \int_0^1 1 dx = 1$ થાય છે.
$k \geq 1$ માટે,$u = x-k$ લેતા,$du = dx$ મળે. સંકલન $\int_0^1 \cos(2 \pi k u) du$ બને છે.
આનું મૂલ્ય $\left[ \frac{\sin(2 \pi k u)}{2 \pi k} \right]_0^1 = \frac{\sin(2 \pi k) - \sin(0)}{2 \pi k} = \frac{0-0}{2 \pi k} = 0$ થાય છે.
આમ,$I = 1 + 0 + 0 + \dots + 0 = 1$.
જ્યારે $x \in [k, k+1)$ હોય ત્યારે $[x] = k$ થાય,જ્યાં $k$ એ પૂર્ણાંક છે. તેથી સંકલનને નીચે મુજબ વિભાજિત કરી શકાય:
$I = \sum_{k=0}^{n-1} \int_k^{k+1} \cos(2 \pi k (x-k)) dx$.
$k=0$ માટે,સંકલન $\int_0^1 \cos(0) dx = \int_0^1 1 dx = 1$ થાય છે.
$k \geq 1$ માટે,$u = x-k$ લેતા,$du = dx$ મળે. સંકલન $\int_0^1 \cos(2 \pi k u) du$ બને છે.
આનું મૂલ્ય $\left[ \frac{\sin(2 \pi k u)}{2 \pi k} \right]_0^1 = \frac{\sin(2 \pi k) - \sin(0)}{2 \pi k} = \frac{0-0}{2 \pi k} = 0$ થાય છે.
આમ,$I = 1 + 0 + 0 + \dots + 0 = 1$.
0 likes
View Solution321
AdvancedMCQ
વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,$[x]$ એ $x$ થી નાની અથવા તેના જેટલી મહત્તમ પૂર્ણાંક સંખ્યા દર્શાવે છે. સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $n$ શોધો જેના માટે સંકલન $\int_{1}^{n} [x][\sqrt{x}] \, dx$ એ $60$ થી વધુ હોય.
A
$8$
B
$9$
C
$10$
D
$[60^{2/3}]$
Solution
(B) ધારો કે $I = \int_{1}^{n} [x][\sqrt{x}] \, dx$.
આપણે સંકલનને $[k, k+1)$ અંતરાલોમાં વિભાજિત કરીને ગણીએ છીએ જ્યાં $[x]$ અચળ છે.
$x \in [k, k+1)$ માટે,$[x] = k$.
તેથી,$I = \sum_{k=1}^{n-1} \int_{k}^{k+1} k [\sqrt{x}] \, dx$.
દરેક અંતરાલ માટે કિંમતોની ગણતરી કરતા:
$k=1, x \in [1, 2)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 1 \implies \int_{1}^{2} 1 \cdot 1 \, dx = 1$.
$k=2, x \in [2, 3)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 1 \implies \int_{2}^{3} 2 \cdot 1 \, dx = 2$.
$k=3, x \in [3, 4)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 1 \implies \int_{3}^{4} 3 \cdot 1 \, dx = 3$.
$k=4, x \in [4, 5)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{4}^{5} 4 \cdot 2 \, dx = 8$.
$k=5, x \in [5, 6)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{5}^{6} 5 \cdot 2 \, dx = 10$.
$k=6, x \in [6, 7)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{6}^{7} 6 \cdot 2 \, dx = 12$.
$k=7, x \in [7, 8)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{7}^{8} 7 \cdot 2 \, dx = 14$.
$k=8, x \in [8, 9)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{8}^{9} 8 \cdot 2 \, dx = 16$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા: $1 + 2 + 3 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 66$.
કારણ કે $66 > 60$,તેથી સૌથી નાનો પૂર્ણાંક $n = 9$ છે.
આપણે સંકલનને $[k, k+1)$ અંતરાલોમાં વિભાજિત કરીને ગણીએ છીએ જ્યાં $[x]$ અચળ છે.
$x \in [k, k+1)$ માટે,$[x] = k$.
તેથી,$I = \sum_{k=1}^{n-1} \int_{k}^{k+1} k [\sqrt{x}] \, dx$.
દરેક અંતરાલ માટે કિંમતોની ગણતરી કરતા:
$k=1, x \in [1, 2)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 1 \implies \int_{1}^{2} 1 \cdot 1 \, dx = 1$.
$k=2, x \in [2, 3)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 1 \implies \int_{2}^{3} 2 \cdot 1 \, dx = 2$.
$k=3, x \in [3, 4)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 1 \implies \int_{3}^{4} 3 \cdot 1 \, dx = 3$.
$k=4, x \in [4, 5)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{4}^{5} 4 \cdot 2 \, dx = 8$.
$k=5, x \in [5, 6)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{5}^{6} 5 \cdot 2 \, dx = 10$.
$k=6, x \in [6, 7)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{6}^{7} 6 \cdot 2 \, dx = 12$.
$k=7, x \in [7, 8)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{7}^{8} 7 \cdot 2 \, dx = 14$.
$k=8, x \in [8, 9)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{8}^{9} 8 \cdot 2 \, dx = 16$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા: $1 + 2 + 3 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 66$.
કારણ કે $66 > 60$,તેથી સૌથી નાનો પૂર્ણાંક $n = 9$ છે.
0 likes
View Solution322
AdvancedMCQ
વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,ધારો કે $[x]$ એ $x$ થી નાની અથવા તેના જેટલી સૌથી મોટી પૂર્ણાંક સંખ્યા દર્શાવે છે અને $\{x\}=x-[x]$. $n$ ની એવી નાનામાં નાની શક્ય પૂર્ણાંક કિંમત શોધો જેના માટે $\int_1^n [x]\{x\} dx$ ની કિંમત $2013$ થી વધુ હોય.
A
$63$
B
$64$
C
$90$
D
$91$
Solution
(D) ધારો કે $I = \int_1^n [x]\{x\} dx$.
કારણ કે $x \in [k, k+1)$ માટે $[x] = k$ થાય,તેથી સંકલનને આ રીતે લખી શકાય:
$I = \sum_{k=1}^{n-1} \int_k^{k+1} k\{x\} dx = \sum_{k=1}^{n-1} k \int_k^{k+1} (x-k) dx$.
ધારો કે $u = x-k$,તો $du = dx$. જ્યારે $x=k, u=0$ અને જ્યારે $x=k+1, u=1$.
તેથી,$\int_k^{k+1} (x-k) dx = \int_0^1 u du = \left[ \frac{u^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2}$.
આમ,$I = \sum_{k=1}^{n-1} k \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{1}{2} \cdot \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n(n-1)}{4}$.
આપણને આપેલ છે કે $I > 2013$,તેથી $\frac{n(n-1)}{4} > 2013$.
$n(n-1) > 8052$.
કારણ કે $90 \times 89 = 8010$ અને $91 \times 90 = 8190$ થાય છે,તેથી અસમતાનું પાલન કરતો નાનામાં નાનો પૂર્ણાંક $n = 91$ છે.
કારણ કે $x \in [k, k+1)$ માટે $[x] = k$ થાય,તેથી સંકલનને આ રીતે લખી શકાય:
$I = \sum_{k=1}^{n-1} \int_k^{k+1} k\{x\} dx = \sum_{k=1}^{n-1} k \int_k^{k+1} (x-k) dx$.
ધારો કે $u = x-k$,તો $du = dx$. જ્યારે $x=k, u=0$ અને જ્યારે $x=k+1, u=1$.
તેથી,$\int_k^{k+1} (x-k) dx = \int_0^1 u du = \left[ \frac{u^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2}$.
આમ,$I = \sum_{k=1}^{n-1} k \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{1}{2} \cdot \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n(n-1)}{4}$.
આપણને આપેલ છે કે $I > 2013$,તેથી $\frac{n(n-1)}{4} > 2013$.
$n(n-1) > 8052$.
કારણ કે $90 \times 89 = 8010$ અને $91 \times 90 = 8190$ થાય છે,તેથી અસમતાનું પાલન કરતો નાનામાં નાનો પૂર્ણાંક $n = 91$ છે.
0 likes
View Solution323
AdvancedMCQ
ધારો કે $n$ એક ધન પૂર્ણાંક છે. વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,$[x]$ એ $x$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો સૌથી મોટો પૂર્ણાંક દર્શાવે છે અને $\{x\}=x-[x]$ છે. તો,$\int \limits_1^{n+1} \frac{(\{x\})^{[x]}}{[x]} d x$ ની કિંમત શોધો.
A
$\log _e(n)$
B
$\frac{1}{n+1}$
C
$\frac{n}{n+1}$
D
$1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}$
Solution
(C) ધારો કે $I = \int \limits_1^{n+1} \frac{(\{x\})^{[x]}}{[x]} d x$.
અંતરાલ $[k, k+1)$ માટે $[x]$ અચળ હોવાથી,જ્યાં $k \in \{1, 2, \ldots, n\}$,આપણે સંકલનને નીચે મુજબ વિભાજિત કરી શકીએ:
$I = \sum_{k=1}^{n} \int_{k}^{k+1} \frac{(\{x\})^k}{k} d x$.
$u = x-k$ લેતા,$dx = du$,અને જ્યારે $x$ એ $k$ થી $k+1$ સુધી બદલાય ત્યારે $\{x\} = u$ થાય છે:
$I = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \int_{0}^{1} u^k du = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \left[ \frac{u^{k+1}}{k+1} \right]_0^1 = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા,$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$.
તેથી,$I = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે,તેથી $I = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$.
અંતરાલ $[k, k+1)$ માટે $[x]$ અચળ હોવાથી,જ્યાં $k \in \{1, 2, \ldots, n\}$,આપણે સંકલનને નીચે મુજબ વિભાજિત કરી શકીએ:
$I = \sum_{k=1}^{n} \int_{k}^{k+1} \frac{(\{x\})^k}{k} d x$.
$u = x-k$ લેતા,$dx = du$,અને જ્યારે $x$ એ $k$ થી $k+1$ સુધી બદલાય ત્યારે $\{x\} = u$ થાય છે:
$I = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \int_{0}^{1} u^k du = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \left[ \frac{u^{k+1}}{k+1} \right]_0^1 = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા,$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$.
તેથી,$I = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે,તેથી $I = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$.
0 likes
View Solution324
AdvancedMCQ
ધારો કે $[x]$ અને $\{x\}$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ ના પૂર્ણાંક ભાગ અને અપૂર્ણાંક ભાગ છે. સંકલન $\int_0^5 [x]\{x\} dx$ નું મૂલ્ય શોધો.
A
$2.5$
B
$5$
C
$34.5$
D
$35.5$
Solution
(B) ધારો કે $I = \int_0^5 [x]\{x\} dx$.
કારણ કે $[x]$ એ અંતરાલ $[n, n+1)$ પર અચળ છે,આપણે સંકલનને વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$I = \sum_{n=0}^{4} \int_n^{n+1} [x]\{x\} dx$.
$x \in [n, n+1)$ માટે,$[x] = n$ અને $\{x\} = x - n$.
તેથી,$I = \sum_{n=0}^{4} \int_n^{n+1} n(x-n) dx$.
ધારો કે $t = x-n$,તો $dt = dx$. જ્યારે $x=n, t=0$ અને જ્યારે $x=n+1, t=1$.
$I = \sum_{n=0}^{4} n \int_0^1 t dt = \sum_{n=0}^{4} n \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^1 = \sum_{n=0}^{4} n \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} (0+1+2+3+4) = \frac{10}{2} = 5$.
કારણ કે $[x]$ એ અંતરાલ $[n, n+1)$ પર અચળ છે,આપણે સંકલનને વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$I = \sum_{n=0}^{4} \int_n^{n+1} [x]\{x\} dx$.
$x \in [n, n+1)$ માટે,$[x] = n$ અને $\{x\} = x - n$.
તેથી,$I = \sum_{n=0}^{4} \int_n^{n+1} n(x-n) dx$.
ધારો કે $t = x-n$,તો $dt = dx$. જ્યારે $x=n, t=0$ અને જ્યારે $x=n+1, t=1$.
$I = \sum_{n=0}^{4} n \int_0^1 t dt = \sum_{n=0}^{4} n \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^1 = \sum_{n=0}^{4} n \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} (0+1+2+3+4) = \frac{10}{2} = 5$.
0 likes
View Solution325
AdvancedMCQ
ધારો કે $f:(2, \infty) \rightarrow \mathbb{N}$ એ $f(x) = [x]$ નો સૌથી મોટો અવિભાજ્ય અવયવ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તો,$\int_{2}^{8} f(x) \, dx$ ની કિંમત શોધો.
A
$17$
B
$22$
C
$23$
D
$25$
Solution
(B) આપેલ છે કે $f(x) = [x]$ નો સૌથી મોટો અવિભાજ્ય અવયવ.
આપણે $I = \int_{2}^{8} f(x) \, dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કારણ કે $[x]$ એ અંતરાલ $[n, n+1)$ પર અચળ છે,આપણે સંકલનને નીચે મુજબ વિભાજિત કરીએ છીએ:
$I = \int_{2}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{4} f(x) \, dx + \int_{4}^{5} f(x) \, dx + \int_{5}^{6} f(x) \, dx + \int_{6}^{7} f(x) \, dx + \int_{7}^{8} f(x) \, dx$.
$x \in [2, 3)$ માટે,$[x] = 2$,સૌથી મોટો અવિભાજ્ય અવયવ $2$ છે.
$x \in [3, 4)$ માટે,$[x] = 3$,સૌથી મોટો અવિભાજ્ય અવયવ $3$ છે.
$x \in [4, 5)$ માટે,$[x] = 4$,સૌથી મોટો અવિભાજ્ય અવયવ $2$ છે.
$x \in [5, 6)$ માટે,$[x] = 5$,સૌથી મોટો અવિભાજ્ય અવયવ $5$ છે.
$x \in [6, 7)$ માટે,$[x] = 6$,સૌથી મોટો અવિભાજ્ય અવયવ $3$ છે.
$x \in [7, 8)$ માટે,$[x] = 7$,સૌથી મોટો અવિભાજ્ય અવયવ $7$ છે.
તેથી,$I = \int_{2}^{3} 2 \, dx + \int_{3}^{4} 3 \, dx + \int_{4}^{5} 2 \, dx + \int_{5}^{6} 5 \, dx + \int_{6}^{7} 3 \, dx + \int_{7}^{8} 7 \, dx$.
$I = 2(1) + 3(1) + 2(1) + 5(1) + 3(1) + 7(1) = 2 + 3 + 2 + 5 + 3 + 7 = 22$.
આપણે $I = \int_{2}^{8} f(x) \, dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કારણ કે $[x]$ એ અંતરાલ $[n, n+1)$ પર અચળ છે,આપણે સંકલનને નીચે મુજબ વિભાજિત કરીએ છીએ:
$I = \int_{2}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{4} f(x) \, dx + \int_{4}^{5} f(x) \, dx + \int_{5}^{6} f(x) \, dx + \int_{6}^{7} f(x) \, dx + \int_{7}^{8} f(x) \, dx$.
$x \in [2, 3)$ માટે,$[x] = 2$,સૌથી મોટો અવિભાજ્ય અવયવ $2$ છે.
$x \in [3, 4)$ માટે,$[x] = 3$,સૌથી મોટો અવિભાજ્ય અવયવ $3$ છે.
$x \in [4, 5)$ માટે,$[x] = 4$,સૌથી મોટો અવિભાજ્ય અવયવ $2$ છે.
$x \in [5, 6)$ માટે,$[x] = 5$,સૌથી મોટો અવિભાજ્ય અવયવ $5$ છે.
$x \in [6, 7)$ માટે,$[x] = 6$,સૌથી મોટો અવિભાજ્ય અવયવ $3$ છે.
$x \in [7, 8)$ માટે,$[x] = 7$,સૌથી મોટો અવિભાજ્ય અવયવ $7$ છે.
તેથી,$I = \int_{2}^{3} 2 \, dx + \int_{3}^{4} 3 \, dx + \int_{4}^{5} 2 \, dx + \int_{5}^{6} 5 \, dx + \int_{6}^{7} 3 \, dx + \int_{7}^{8} 7 \, dx$.
$I = 2(1) + 3(1) + 2(1) + 5(1) + 3(1) + 7(1) = 2 + 3 + 2 + 5 + 3 + 7 = 22$.
0 likes
View Solution326
DifficultMCQ
$\int \limits_0^1 \cos (\pi x) \cos ([2 x] \pi) d x$ નું મૂલ્ય શું છે? (અહીં $[t]$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા $t$ નો મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે.)
A
$1$
B
$-1$
C
$\frac{2}{\pi}$
D
$\frac{-2}{\pi}$
Solution
(C) ધારો કે $I = \int \limits_0^1 \cos (\pi x) \cos ([2 x] \pi) d x$.
કારણ કે $[2x]$ એ સ્ટેપ વિધેય છે,આપણે સંકલનને $x = \frac{1}{2}$ પર વિભાજિત કરીએ છીએ:
$0 \le x < \frac{1}{2}$ માટે,$[2x] = 0$,તેથી $\cos([2x]\pi) = \cos(0) = 1$.
$\frac{1}{2} \le x < 1$ માટે,$[2x] = 1$,તેથી $\cos([2x]\pi) = \cos(\pi) = -1$.
આમ,$I = \int \limits_0^{1/2} \cos(\pi x) \cdot (1) d x + \int \limits_{1/2}^1 \cos(\pi x) \cdot (-1) d x$.
$I = \left[ \frac{\sin(\pi x)}{\pi} \right]_0^{1/2} - \left[ \frac{\sin(\pi x)}{\pi} \right]_{1/2}^1$.
$I = \frac{1}{\pi} [\sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0)] - \frac{1}{\pi} [\sin(\pi) - \sin(\frac{\pi}{2})]$.
$I = \frac{1}{\pi} [1 - 0] - \frac{1}{\pi} [0 - 1] = \frac{1}{\pi} + \frac{1}{\pi} = \frac{2}{\pi}$.
કારણ કે $[2x]$ એ સ્ટેપ વિધેય છે,આપણે સંકલનને $x = \frac{1}{2}$ પર વિભાજિત કરીએ છીએ:
$0 \le x < \frac{1}{2}$ માટે,$[2x] = 0$,તેથી $\cos([2x]\pi) = \cos(0) = 1$.
$\frac{1}{2} \le x < 1$ માટે,$[2x] = 1$,તેથી $\cos([2x]\pi) = \cos(\pi) = -1$.
આમ,$I = \int \limits_0^{1/2} \cos(\pi x) \cdot (1) d x + \int \limits_{1/2}^1 \cos(\pi x) \cdot (-1) d x$.
$I = \left[ \frac{\sin(\pi x)}{\pi} \right]_0^{1/2} - \left[ \frac{\sin(\pi x)}{\pi} \right]_{1/2}^1$.
$I = \frac{1}{\pi} [\sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0)] - \frac{1}{\pi} [\sin(\pi) - \sin(\frac{\pi}{2})]$.
$I = \frac{1}{\pi} [1 - 0] - \frac{1}{\pi} [0 - 1] = \frac{1}{\pi} + \frac{1}{\pi} = \frac{2}{\pi}$.
0 likes
View Solution327
DifficultMCQ
નિશ્ચિત સંકલન $\int \limits_0^{\pi / 2} \frac{\sin x \cos x}{1+\cos ^4 x} d x$ નું મૂલ્ય શું છે?
A
$\frac{\pi}{8}$
B
$\frac{\pi}{4}$
C
$1$
D
$2$
Solution
(A) ધારો કે $I = \int \limits_0^{\pi / 2} \frac{\sin x \cos x}{1+\cos ^4 x} d x$.
$\cos ^2 x = t$ આદેશ લો. બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$2 \cos x (-\sin x) d x = d t$,જેનો અર્થ છે કે $\sin x \cos x d x = -\frac{1}{2} d t$.
સંકલનની સીમાઓ બદલતા:
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = \cos ^2(0) = 1$.
જ્યારે $x = \frac{\pi}{2}$,ત્યારે $t = \cos ^2(\frac{\pi}{2}) = 0$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \limits_1^0 \frac{-1/2}{1+t^2} d t = \frac{1}{2} \int \limits_0^1 \frac{1}{1+t^2} d t$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$I = \frac{1}{2} [\tan ^{-1}(t)]_0^1 = \frac{1}{2} (\tan ^{-1}(1) - \tan ^{-1}(0)) = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{8}$.
$\cos ^2 x = t$ આદેશ લો. બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$2 \cos x (-\sin x) d x = d t$,જેનો અર્થ છે કે $\sin x \cos x d x = -\frac{1}{2} d t$.
સંકલનની સીમાઓ બદલતા:
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = \cos ^2(0) = 1$.
જ્યારે $x = \frac{\pi}{2}$,ત્યારે $t = \cos ^2(\frac{\pi}{2}) = 0$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \limits_1^0 \frac{-1/2}{1+t^2} d t = \frac{1}{2} \int \limits_0^1 \frac{1}{1+t^2} d t$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$I = \frac{1}{2} [\tan ^{-1}(t)]_0^1 = \frac{1}{2} (\tan ^{-1}(1) - \tan ^{-1}(0)) = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{8}$.
0 likes
View Solution328
MediumMCQ
$12 \int \limits_0^3 \left| x^2 - 3x + 2 \right| dx$ નું મૂલ્ય $.............$ છે.
A
$20$
B
$25$
C
$22$
D
$65$
Solution
(C) ધારો કે $I = 12 \int_0^3 |x^2 - 3x + 2| dx$.
પ્રથમ,દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડો: $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.
પદાવલિ $(x - 1)(x - 2)$ એ $[0, 1)$ પર ધન,$(1, 2)$ પર ઋણ અને $(2, 3]$ પર ધન છે.
તેથી,આપણે સંકલનને વિભાજિત કરીએ છીએ:
$I = 12 \left[ \int_0^1 (x^2 - 3x + 2) dx + \int_1^2 -(x^2 - 3x + 2) dx + \int_2^3 (x^2 - 3x + 2) dx \right]$.
દરેક સંકલનનું મૂલ્ય મેળવતા:
$\int (x^2 - 3x + 2) dx = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x$.
$[0, 1]$ માટે: $[\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2] - [0] = \frac{2 - 9 + 12}{6} = \frac{5}{6}$.
$[1, 2]$ માટે: $-[(\frac{8}{3} - 6 + 4) - (\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2)] = -[(\frac{2}{3}) - (\frac{5}{6})] = -[\frac{4-5}{6}] = \frac{1}{6}$.
$[2, 3]$ માટે: $[(9 - \frac{27}{2} + 6) - (\frac{8}{3} - 6 + 4)] = [15 - 13.5 - \frac{2}{3}] = [1.5 - \frac{2}{3}] = \frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{9-4}{6} = \frac{5}{6}$.
સરવાળો કરતા: $I = 12 \left( \frac{5}{6} + \frac{1}{6} + \frac{5}{6} \right) = 12 \left( \frac{11}{6} \right) = 22$.
પ્રથમ,દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડો: $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.
પદાવલિ $(x - 1)(x - 2)$ એ $[0, 1)$ પર ધન,$(1, 2)$ પર ઋણ અને $(2, 3]$ પર ધન છે.
તેથી,આપણે સંકલનને વિભાજિત કરીએ છીએ:
$I = 12 \left[ \int_0^1 (x^2 - 3x + 2) dx + \int_1^2 -(x^2 - 3x + 2) dx + \int_2^3 (x^2 - 3x + 2) dx \right]$.
દરેક સંકલનનું મૂલ્ય મેળવતા:
$\int (x^2 - 3x + 2) dx = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x$.
$[0, 1]$ માટે: $[\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2] - [0] = \frac{2 - 9 + 12}{6} = \frac{5}{6}$.
$[1, 2]$ માટે: $-[(\frac{8}{3} - 6 + 4) - (\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2)] = -[(\frac{2}{3}) - (\frac{5}{6})] = -[\frac{4-5}{6}] = \frac{1}{6}$.
$[2, 3]$ માટે: $[(9 - \frac{27}{2} + 6) - (\frac{8}{3} - 6 + 4)] = [15 - 13.5 - \frac{2}{3}] = [1.5 - \frac{2}{3}] = \frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{9-4}{6} = \frac{5}{6}$.
સરવાળો કરતા: $I = 12 \left( \frac{5}{6} + \frac{1}{6} + \frac{5}{6} \right) = 12 \left( \frac{11}{6} \right) = 22$.
0 likes
View Solution329
DifficultMCQ
$\int \limits_{\frac{3 \sqrt{2}}{4}}^{\frac{3 \sqrt{3}}{4}} \frac{48}{\sqrt{9-4 x^2}} d x$ ની કિંમત શોધો.
A
$\frac{\pi}{3}$
B
$\frac{\pi}{2}$
C
$\frac{\pi}{6}$
D
$2 \pi$
Solution
(D) આપણે સંકલન $I = \int \limits_{\frac{3 \sqrt{2}}{4}}^{\frac{3 \sqrt{3}}{4}} \frac{48}{\sqrt{9-4 x^2}} dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,સંકલનને $I = \int \limits_{\frac{3 \sqrt{2}}{4}}^{\frac{3 \sqrt{3}}{4}} \frac{48}{\sqrt{3^2-(2 x)^2}} dx$ તરીકે લખો.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}} = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરીને,$u = 2x$ લેતા,$du = 2dx$ અથવા $dx = \frac{du}{2}$ મળે.
જ્યારે $x = \frac{3\sqrt{2}}{4}$,ત્યારે $u = 2(\frac{3\sqrt{2}}{4}) = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
જ્યારે $x = \frac{3\sqrt{3}}{4}$,ત્યારે $u = 2(\frac{3\sqrt{3}}{4}) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$I = \int_{\frac{3\sqrt{2}}{2}}^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} \frac{48}{\sqrt{3^2-u^2}} \cdot \frac{du}{2} = 24 \int_{\frac{3\sqrt{2}}{2}}^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} \frac{du}{\sqrt{3^2-u^2}}$.
$I = 24 \left[ \sin^{-1} \left( \frac{u}{3} \right) \right]_{\frac{3\sqrt{2}}{2}}^{\frac{3\sqrt{3}}{2}}$.
$I = 24 \left[ \sin^{-1} \left( \frac{3\sqrt{3}/2}{3} \right) - \sin^{-1} \left( \frac{3\sqrt{2}/2}{3} \right) \right]$.
$I = 24 \left[ \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right]$.
$I = 24 \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \right) = 24 \left( \frac{4\pi - 3\pi}{12} \right) = 24 \left( \frac{\pi}{12} \right) = 2\pi$.
પ્રથમ,સંકલનને $I = \int \limits_{\frac{3 \sqrt{2}}{4}}^{\frac{3 \sqrt{3}}{4}} \frac{48}{\sqrt{3^2-(2 x)^2}} dx$ તરીકે લખો.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}} = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરીને,$u = 2x$ લેતા,$du = 2dx$ અથવા $dx = \frac{du}{2}$ મળે.
જ્યારે $x = \frac{3\sqrt{2}}{4}$,ત્યારે $u = 2(\frac{3\sqrt{2}}{4}) = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
જ્યારે $x = \frac{3\sqrt{3}}{4}$,ત્યારે $u = 2(\frac{3\sqrt{3}}{4}) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$I = \int_{\frac{3\sqrt{2}}{2}}^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} \frac{48}{\sqrt{3^2-u^2}} \cdot \frac{du}{2} = 24 \int_{\frac{3\sqrt{2}}{2}}^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} \frac{du}{\sqrt{3^2-u^2}}$.
$I = 24 \left[ \sin^{-1} \left( \frac{u}{3} \right) \right]_{\frac{3\sqrt{2}}{2}}^{\frac{3\sqrt{3}}{2}}$.
$I = 24 \left[ \sin^{-1} \left( \frac{3\sqrt{3}/2}{3} \right) - \sin^{-1} \left( \frac{3\sqrt{2}/2}{3} \right) \right]$.
$I = 24 \left[ \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right]$.
$I = 24 \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \right) = 24 \left( \frac{4\pi - 3\pi}{12} \right) = 24 \left( \frac{\pi}{12} \right) = 2\pi$.
0 likes
View Solution330
DifficultMCQ
જો $\int \limits_{\frac{1}{3}}^3 |\log_e x| dx = \frac{m}{n} \log_e \left(\frac{n^2}{e}\right)$,જ્યાં $m$ અને $n$ પરસ્પર અવિભાજ્ય પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ હોય,તો $m^2 + n^2 - 5$ ની કિંમત $............$ થાય.
A
$20$
B
$21$
C
$22$
D
$24$
Solution
(A) આપણે સંકલન $I = \int_{\frac{1}{3}}^3 |\log_e x| dx$ ની ગણતરી કરીએ. કારણ કે $x \in [\frac{1}{3}, 1)$ માટે $\log_e x < 0$ અને $x \in [1, 3]$ માટે $\log_e x \ge 0$ છે,તેથી આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરીએ છીએ:
$I = \int_{\frac{1}{3}}^1 -\log_e x dx + \int_1^3 \log_e x dx$
સૂત્ર $\int \log_e x dx = x \log_e x - x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = -[x \log_e x - x]_{\frac{1}{3}}^1 + [x \log_e x - x]_1^3$
$I = -[(1 \log_e 1 - 1) - (\frac{1}{3} \log_e \frac{1}{3} - \frac{1}{3})] + [(3 \log_e 3 - 3) - (1 \log_e 1 - 1)]$
$I = -[-1 - (-\frac{1}{3} \log_e 3 - \frac{1}{3})] + [3 \log_e 3 - 3 + 1]$
$I = -[-1 + \frac{1}{3} \log_e 3 + \frac{1}{3}] + [3 \log_e 3 - 2]$
$I = -[-\frac{2}{3} + \frac{1}{3} \log_e 3] + 3 \log_e 3 - 2$
$I = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \log_e 3 + 3 \log_e 3 - 2 = \frac{8}{3} \log_e 3 - \frac{4}{3} = \frac{4}{3} (2 \log_e 3 - 1) = \frac{4}{3} \log_e (\frac{3^2}{e}) = \frac{4}{3} \log_e (\frac{9}{e})$.
આને $\frac{m}{n} \log_e (\frac{n^2}{e})$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m = 4$ અને $n = 3$ મળે છે.
આ પરસ્પર અવિભાજ્ય પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે.
તેથી,$m^2 + n^2 - 5 = 4^2 + 3^2 - 5 = 16 + 9 - 5 = 20$.
$I = \int_{\frac{1}{3}}^1 -\log_e x dx + \int_1^3 \log_e x dx$
સૂત્ર $\int \log_e x dx = x \log_e x - x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = -[x \log_e x - x]_{\frac{1}{3}}^1 + [x \log_e x - x]_1^3$
$I = -[(1 \log_e 1 - 1) - (\frac{1}{3} \log_e \frac{1}{3} - \frac{1}{3})] + [(3 \log_e 3 - 3) - (1 \log_e 1 - 1)]$
$I = -[-1 - (-\frac{1}{3} \log_e 3 - \frac{1}{3})] + [3 \log_e 3 - 3 + 1]$
$I = -[-1 + \frac{1}{3} \log_e 3 + \frac{1}{3}] + [3 \log_e 3 - 2]$
$I = -[-\frac{2}{3} + \frac{1}{3} \log_e 3] + 3 \log_e 3 - 2$
$I = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \log_e 3 + 3 \log_e 3 - 2 = \frac{8}{3} \log_e 3 - \frac{4}{3} = \frac{4}{3} (2 \log_e 3 - 1) = \frac{4}{3} \log_e (\frac{3^2}{e}) = \frac{4}{3} \log_e (\frac{9}{e})$.
આને $\frac{m}{n} \log_e (\frac{n^2}{e})$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m = 4$ અને $n = 3$ મળે છે.
આ પરસ્પર અવિભાજ્ય પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે.
તેથી,$m^2 + n^2 - 5 = 4^2 + 3^2 - 5 = 16 + 9 - 5 = 20$.
0 likes
View Solution331
DifficultMCQ
ધારો કે $[x]$ એ $x$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે. વિધેય $f(x) = \max \{x^2, 1 + [x]\}$ ધ્યાનમાં લો. તો સંકલન $\int_0^2 f(x) dx$ નું મૂલ્ય શોધો:
A
$\frac{5+4 \sqrt{2}}{3}$
B
$\frac{8+4 \sqrt{2}}{3}$
C
$\frac{1+5 \sqrt{2}}{3}$
D
$\frac{4+5 \sqrt{2}}{3}$
Solution
(A) આપણે $I = \int_0^2 \max \{x^2, 1 + [x]\} dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$x \in [0, 1)$ માટે,$[x] = 0$,તેથી $f(x) = \max \{x^2, 1\} = 1$.
$x \in [1, \sqrt{2})$ માટે,$[x] = 1$,તેથી $f(x) = \max \{x^2, 2\} = 2$ (કારણ કે $x < \sqrt{2}$ માટે $x^2 < 2$ છે).
$x \in [\sqrt{2}, 2)$ માટે,$[x] = 1$,તેથી $f(x) = \max \{x^2, 2\} = x^2$ (કારણ કે $x \geq \sqrt{2}$ માટે $x^2 \geq 2$ છે).
$x=2$ આગળ,$f(2) = \max \{4, 1+2\} = 4$.
આમ,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$I = \int_0^1 1 dx + \int_1^{\sqrt{2}} 2 dx + \int_{\sqrt{2}}^2 x^2 dx$
$I = [x]_0^1 + [2x]_1^{\sqrt{2}} + [\frac{x^3}{3}]_{\sqrt{2}}^2$
$I = (1 - 0) + (2\sqrt{2} - 2) + (\frac{8}{3} - \frac{2\sqrt{2}}{3})$
$I = 1 + 2\sqrt{2} - 2 + \frac{8}{3} - \frac{2\sqrt{2}}{3}$
$I = (1 - 2 + \frac{8}{3}) + (2\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{3})$
$I = \frac{5}{3} + \frac{4\sqrt{2}}{3} = \frac{5+4\sqrt{2}}{3}$.
$x \in [0, 1)$ માટે,$[x] = 0$,તેથી $f(x) = \max \{x^2, 1\} = 1$.
$x \in [1, \sqrt{2})$ માટે,$[x] = 1$,તેથી $f(x) = \max \{x^2, 2\} = 2$ (કારણ કે $x < \sqrt{2}$ માટે $x^2 < 2$ છે).
$x \in [\sqrt{2}, 2)$ માટે,$[x] = 1$,તેથી $f(x) = \max \{x^2, 2\} = x^2$ (કારણ કે $x \geq \sqrt{2}$ માટે $x^2 \geq 2$ છે).
$x=2$ આગળ,$f(2) = \max \{4, 1+2\} = 4$.
આમ,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$I = \int_0^1 1 dx + \int_1^{\sqrt{2}} 2 dx + \int_{\sqrt{2}}^2 x^2 dx$
$I = [x]_0^1 + [2x]_1^{\sqrt{2}} + [\frac{x^3}{3}]_{\sqrt{2}}^2$
$I = (1 - 0) + (2\sqrt{2} - 2) + (\frac{8}{3} - \frac{2\sqrt{2}}{3})$
$I = 1 + 2\sqrt{2} - 2 + \frac{8}{3} - \frac{2\sqrt{2}}{3}$
$I = (1 - 2 + \frac{8}{3}) + (2\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{3})$
$I = \frac{5}{3} + \frac{4\sqrt{2}}{3} = \frac{5+4\sqrt{2}}{3}$.
0 likes
View Solution332
DifficultMCQ
સંકલન $\int \limits_1^2 \left(\frac{t^4+1}{t^6+1}\right) dt$ નું મૂલ્ય $..........$ છે.
A
$\tan ^{-1} \frac{1}{2}+\frac{1}{3} \tan ^{-1} 8-\frac{\pi}{3}$
B
$\tan ^{-1} 2-\frac{1}{3} \tan ^{-1} 8+\frac{\pi}{3}$
C
$\tan ^{-1} 2+\frac{1}{3} \tan ^{-1} 8-\frac{\pi}{3}$
D
$\tan ^{-1} \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \tan ^{-1} 8+\frac{\pi}{3}$
Solution
(C) ધારો કે $I = \int \limits_1^2 \left(\frac{t^4+1}{t^6+1}\right) dt$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$\frac{t^4+1}{t^6+1} = \frac{(t^4-t^2+1) + t^2}{(t^2+1)(t^4-t^2+1)} = \frac{1}{t^2+1} + \frac{t^2}{t^6+1}$.
હવે,પદવાર સંકલન કરતા:
$I = \int \limits_1^2 \frac{1}{t^2+1} dt + \int \limits_1^2 \frac{t^2}{(t^3)^2+1} dt$.
બીજા સંકલન માટે,$u = t^3$ લેતા,$du = 3t^2 dt$,તેથી $t^2 dt = \frac{1}{3} du$.
$I = [\tan^{-1}(t)]_1^2 + \frac{1}{3} [\tan^{-1}(t^3)]_1^2$.
સીમાઓનું મૂલ્યાંકન કરતા:
$I = (\tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1)) + \frac{1}{3} (\tan^{-1}(8) - \tan^{-1}(1))$.
કારણ કે $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$:
$I = \tan^{-1}(2) - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{3} \tan^{-1}(8) - \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi}{4}$.
$I = \tan^{-1}(2) + \frac{1}{3} \tan^{-1}(8) - \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{12} = \tan^{-1}(2) + \frac{1}{3} \tan^{-1}(8) - \frac{4\pi}{12}$.
$I = \tan^{-1}(2) + \frac{1}{3} \tan^{-1}(8) - \frac{\pi}{3}$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$\frac{t^4+1}{t^6+1} = \frac{(t^4-t^2+1) + t^2}{(t^2+1)(t^4-t^2+1)} = \frac{1}{t^2+1} + \frac{t^2}{t^6+1}$.
હવે,પદવાર સંકલન કરતા:
$I = \int \limits_1^2 \frac{1}{t^2+1} dt + \int \limits_1^2 \frac{t^2}{(t^3)^2+1} dt$.
બીજા સંકલન માટે,$u = t^3$ લેતા,$du = 3t^2 dt$,તેથી $t^2 dt = \frac{1}{3} du$.
$I = [\tan^{-1}(t)]_1^2 + \frac{1}{3} [\tan^{-1}(t^3)]_1^2$.
સીમાઓનું મૂલ્યાંકન કરતા:
$I = (\tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1)) + \frac{1}{3} (\tan^{-1}(8) - \tan^{-1}(1))$.
કારણ કે $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$:
$I = \tan^{-1}(2) - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{3} \tan^{-1}(8) - \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi}{4}$.
$I = \tan^{-1}(2) + \frac{1}{3} \tan^{-1}(8) - \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{12} = \tan^{-1}(2) + \frac{1}{3} \tan^{-1}(8) - \frac{4\pi}{12}$.
$I = \tan^{-1}(2) + \frac{1}{3} \tan^{-1}(8) - \frac{\pi}{3}$.
0 likes
View Solution333
DifficultMCQ
ધારો કે $\alpha \in (0,1)$ અને $\beta = \log_{e}(1-\alpha)$. ધારો કે $P_n(x) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \dots + \frac{x^n}{n}$ જ્યાં $x \in (0,1)$. તો સંકલન $\int_{0}^{\alpha} \frac{t^{50}}{1-t} dt$ ની કિંમત શોધો.
A
$\beta - P_{50}(\alpha)$
B
$-\left(\beta + P_{50}(\alpha)\right)$
C
$P_{50}(\alpha) - \beta$
D
$\beta + P_{50}(\alpha)$
Solution
(B) આપણે સંકલન $I = \int_{0}^{\alpha} \frac{t^{50}}{1-t} dt$ ની કિંમત શોધવી છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{t^{50}}{1-t} = \frac{t^{50}-1+1}{1-t} = \frac{-(1-t^{50})}{1-t} + \frac{1}{1-t} = -(1 + t + t^2 + \dots + t^{49}) + \frac{1}{1-t}$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$I = \int_{0}^{\alpha} -(1 + t + t^2 + \dots + t^{49}) dt + \int_{0}^{\alpha} \frac{1}{1-t} dt$.
$I = -\left[ t + \frac{t^2}{2} + \dots + \frac{t^{50}}{50} \right]_{0}^{\alpha} + \left[ -\ln(1-t) \right]_{0}^{\alpha}$.
$I = -P_{50}(\alpha) - \ln(1-\alpha)$.
આપેલ છે કે $\beta = \log_{e}(1-\alpha)$,તેથી $I = -P_{50}(\alpha) - \beta = -(\beta + P_{50}(\alpha))$.
બીજગણિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{t^{50}}{1-t} = \frac{t^{50}-1+1}{1-t} = \frac{-(1-t^{50})}{1-t} + \frac{1}{1-t} = -(1 + t + t^2 + \dots + t^{49}) + \frac{1}{1-t}$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$I = \int_{0}^{\alpha} -(1 + t + t^2 + \dots + t^{49}) dt + \int_{0}^{\alpha} \frac{1}{1-t} dt$.
$I = -\left[ t + \frac{t^2}{2} + \dots + \frac{t^{50}}{50} \right]_{0}^{\alpha} + \left[ -\ln(1-t) \right]_{0}^{\alpha}$.
$I = -P_{50}(\alpha) - \ln(1-\alpha)$.
આપેલ છે કે $\beta = \log_{e}(1-\alpha)$,તેથી $I = -P_{50}(\alpha) - \beta = -(\beta + P_{50}(\alpha))$.
0 likes
View Solution334
DifficultMCQ
$\int \limits_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(2+3 \sin x)}{\sin x(1+\cos x)} d x$ નું મૂલ્ય શોધો.
A
$\frac{7}{2}-\sqrt{3}-\log _e \sqrt{3}$
B
$-2+3 \sqrt{3}+\log _e \sqrt{3}$
C
$\frac{10}{3}-\sqrt{3}+\log _e \sqrt{3}$
D
$\frac{10}{3}-\sqrt{3}-\log _e \sqrt{3}$
Solution
(C) ધારો કે $I = \int \limits_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{2+3 \sin x}{\sin x(1+\cos x)} d x = 2 \int \limits_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{d x}{\sin x(1+\cos x)} + 3 \int \limits_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{d x}{1+\cos x}$.
પ્રથમ,$I_1 = \int \limits_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{d x}{1+\cos x} = \int \limits_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{1-\cos x}{\sin^2 x} d x = \int \limits_{\pi / 3}^{\pi / 2} (\operatorname{cosec}^2 x - \cot x \operatorname{cosec} x) d x$ ની ગણતરી કરો.
$I_1 = [-\cot x + \operatorname{cosec} x]_{\pi / 3}^{\pi / 2} = (0 + 1) - (-\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{3}}) = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}}$.
ત્યારબાદ,$I_2 = \int \limits_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{d x}{\sin x(1+\cos x)}$ ની ગણતરી કરો. $t = \tan(x/2)$ લેતા,$dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$,$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$,$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$.
$I_2 = \int \limits_{1/\sqrt{3}}^{1} \frac{1}{\frac{2t}{1+t^2} (1 + \frac{1-t^2}{1+t^2})} \cdot \frac{2 dt}{1+t^2} = \int \limits_{1/\sqrt{3}}^{1} \frac{1+t^2}{2t} dt = \frac{1}{2} [\ln|t| + \frac{t^2}{2}]_{1/\sqrt{3}}^{1}$.
$I_2 = \frac{1}{2} [(\ln 1 + \frac{1}{2}) - (\ln \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{6})] = \frac{1}{2} [\frac{1}{3} + \ln \sqrt{3}] = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \ln \sqrt{3}$.
આમ,$I = 2 I_2 + 3 I_1 = 2(\frac{1}{6} + \frac{1}{2} \ln \sqrt{3}) + 3(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{1}{3} + \ln \sqrt{3} + 3 - \sqrt{3} = \frac{10}{3} - \sqrt{3} + \ln \sqrt{3}$.
પ્રથમ,$I_1 = \int \limits_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{d x}{1+\cos x} = \int \limits_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{1-\cos x}{\sin^2 x} d x = \int \limits_{\pi / 3}^{\pi / 2} (\operatorname{cosec}^2 x - \cot x \operatorname{cosec} x) d x$ ની ગણતરી કરો.
$I_1 = [-\cot x + \operatorname{cosec} x]_{\pi / 3}^{\pi / 2} = (0 + 1) - (-\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{3}}) = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}}$.
ત્યારબાદ,$I_2 = \int \limits_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{d x}{\sin x(1+\cos x)}$ ની ગણતરી કરો. $t = \tan(x/2)$ લેતા,$dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$,$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$,$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$.
$I_2 = \int \limits_{1/\sqrt{3}}^{1} \frac{1}{\frac{2t}{1+t^2} (1 + \frac{1-t^2}{1+t^2})} \cdot \frac{2 dt}{1+t^2} = \int \limits_{1/\sqrt{3}}^{1} \frac{1+t^2}{2t} dt = \frac{1}{2} [\ln|t| + \frac{t^2}{2}]_{1/\sqrt{3}}^{1}$.
$I_2 = \frac{1}{2} [(\ln 1 + \frac{1}{2}) - (\ln \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{6})] = \frac{1}{2} [\frac{1}{3} + \ln \sqrt{3}] = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \ln \sqrt{3}$.
આમ,$I = 2 I_2 + 3 I_1 = 2(\frac{1}{6} + \frac{1}{2} \ln \sqrt{3}) + 3(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{1}{3} + \ln \sqrt{3} + 3 - \sqrt{3} = \frac{10}{3} - \sqrt{3} + \ln \sqrt{3}$.
0 likes
View Solution335
DifficultMCQ
ધારો કે $\alpha > 0$. જો $\int \limits _0^\alpha \frac{ x }{\sqrt{ x +\alpha}-\sqrt{ x }} dx =\frac{16+20 \sqrt{2}}{15}$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો:
A
$2$
B
$4$
C
$\sqrt{2}$
D
$2 \sqrt{2}$
Solution
(A) સંકલિતના છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{x}{\sqrt{x+\alpha}-\sqrt{x}} = \frac{x(\sqrt{x+\alpha}+\sqrt{x})}{(x+\alpha)-x} = \frac{x(\sqrt{x+\alpha}+\sqrt{x})}{\alpha} = \frac{1}{\alpha}(x(x+\alpha)^{1/2} + x^{3/2})$
આપણે $x(x+\alpha)^{1/2}$ ને $((x+\alpha)-\alpha)(x+\alpha)^{1/2} = (x+\alpha)^{3/2} - \alpha(x+\alpha)^{1/2}$ તરીકે લખી શકીએ.
તેથી,સંકલન આ મુજબ થશે:
$\frac{1}{\alpha} \int_0^{\alpha} ((x+\alpha)^{3/2} - \alpha(x+\alpha)^{1/2} + x^{3/2}) dx$
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$= \frac{1}{\alpha} \left[ \frac{2}{5}(x+\alpha)^{5/2} - \alpha \cdot \frac{2}{3}(x+\alpha)^{3/2} + \frac{2}{5}x^{5/2} \right]_0^{\alpha}$
$= \frac{1}{\alpha} \left( \left( \frac{2}{5}(2\alpha)^{5/2} - \frac{2\alpha}{3}(2\alpha)^{3/2} + \frac{2}{5}\alpha^{5/2} \right) - \left( \frac{2}{5}\alpha^{5/2} - \frac{2\alpha}{3}\alpha^{3/2} + 0 \right) \right)$
$= \frac{1}{\alpha} \left( \frac{2}{5} \cdot 4\sqrt{2} \alpha^{5/2} - \frac{2}{3} \cdot 2\sqrt{2} \alpha^{5/2} + \frac{2}{5}\alpha^{5/2} - \frac{2}{5}\alpha^{5/2} + \frac{2}{3}\alpha^{5/2} \right)$
$= \alpha^{3/2} \left( \frac{8\sqrt{2}}{5} - \frac{4\sqrt{2}}{3} + \frac{2}{3} \right) = \alpha^{3/2} \left( \frac{24\sqrt{2} - 20\sqrt{2} + 10}{15} \right) = \alpha^{3/2} \left( \frac{4\sqrt{2} + 10}{15} \right)$
આપેલ છે કે $\alpha^{3/2} \left( \frac{10 + 4\sqrt{2}}{15} \right) = \frac{16 + 20\sqrt{2}}{15}$.
પદોની સરખામણી કરતા,જો $\alpha = 2$ હોય,તો $\alpha^{3/2} = 2\sqrt{2}$.
$2\sqrt{2} \cdot \frac{10 + 4\sqrt{2}}{15} = \frac{20\sqrt{2} + 8(2)}{15} = \frac{20\sqrt{2} + 16}{15}$.
આમ,$\alpha = 2$.
$\frac{x}{\sqrt{x+\alpha}-\sqrt{x}} = \frac{x(\sqrt{x+\alpha}+\sqrt{x})}{(x+\alpha)-x} = \frac{x(\sqrt{x+\alpha}+\sqrt{x})}{\alpha} = \frac{1}{\alpha}(x(x+\alpha)^{1/2} + x^{3/2})$
આપણે $x(x+\alpha)^{1/2}$ ને $((x+\alpha)-\alpha)(x+\alpha)^{1/2} = (x+\alpha)^{3/2} - \alpha(x+\alpha)^{1/2}$ તરીકે લખી શકીએ.
તેથી,સંકલન આ મુજબ થશે:
$\frac{1}{\alpha} \int_0^{\alpha} ((x+\alpha)^{3/2} - \alpha(x+\alpha)^{1/2} + x^{3/2}) dx$
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$= \frac{1}{\alpha} \left[ \frac{2}{5}(x+\alpha)^{5/2} - \alpha \cdot \frac{2}{3}(x+\alpha)^{3/2} + \frac{2}{5}x^{5/2} \right]_0^{\alpha}$
$= \frac{1}{\alpha} \left( \left( \frac{2}{5}(2\alpha)^{5/2} - \frac{2\alpha}{3}(2\alpha)^{3/2} + \frac{2}{5}\alpha^{5/2} \right) - \left( \frac{2}{5}\alpha^{5/2} - \frac{2\alpha}{3}\alpha^{3/2} + 0 \right) \right)$
$= \frac{1}{\alpha} \left( \frac{2}{5} \cdot 4\sqrt{2} \alpha^{5/2} - \frac{2}{3} \cdot 2\sqrt{2} \alpha^{5/2} + \frac{2}{5}\alpha^{5/2} - \frac{2}{5}\alpha^{5/2} + \frac{2}{3}\alpha^{5/2} \right)$
$= \alpha^{3/2} \left( \frac{8\sqrt{2}}{5} - \frac{4\sqrt{2}}{3} + \frac{2}{3} \right) = \alpha^{3/2} \left( \frac{24\sqrt{2} - 20\sqrt{2} + 10}{15} \right) = \alpha^{3/2} \left( \frac{4\sqrt{2} + 10}{15} \right)$
આપેલ છે કે $\alpha^{3/2} \left( \frac{10 + 4\sqrt{2}}{15} \right) = \frac{16 + 20\sqrt{2}}{15}$.
પદોની સરખામણી કરતા,જો $\alpha = 2$ હોય,તો $\alpha^{3/2} = 2\sqrt{2}$.
$2\sqrt{2} \cdot \frac{10 + 4\sqrt{2}}{15} = \frac{20\sqrt{2} + 8(2)}{15} = \frac{20\sqrt{2} + 16}{15}$.
આમ,$\alpha = 2$.
0 likes
View Solution336
DifficultMCQ
ધારો કે $[t]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે. જો $\int_0^{2.4} [x^2] dx = \alpha + \beta \sqrt{2} + \gamma \sqrt{3} + \delta \sqrt{5}$ હોય,તો $\alpha + \beta + \gamma + \delta$ ની કિંમત $..............$ થાય.
A
$6$
B
$5$
C
$4$
D
$3$
Solution
(A) આપણે $\int_0^{2.4} [x^2] dx$ સંકલનનું મૂલ્ય $[x^2]$ ની કિંમતોના આધારે અંતરાલને વિભાજિત કરીને મેળવીએ છીએ.
$\int_0^{2.4} [x^2] dx = \int_0^1 [x^2] dx + \int_1^{\sqrt{2}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{3}}^2 [x^2] dx + \int_2^{\sqrt{5}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{5}}^{2.4} [x^2] dx$
$= \int_0^1 0 dx + \int_1^{\sqrt{2}} 1 dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 2 dx + \int_{\sqrt{3}}^2 3 dx + \int_2^{\sqrt{5}} 4 dx + \int_{\sqrt{5}}^{2.4} 5 dx$
$= 0 + (\sqrt{2} - 1) + 2(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + 3(2 - \sqrt{3}) + 4(\sqrt{5} - 2) + 5(2.4 - \sqrt{5})$
$= \sqrt{2} - 1 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 6 - 3\sqrt{3} + 4\sqrt{5} - 8 + 12 - 5\sqrt{5}$
$= ( -1 + 6 - 8 + 12 ) + (1 - 2)\sqrt{2} + (2 - 3)\sqrt{3} + (4 - 5)\sqrt{5}$
$= 9 - \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5}$
આને $\alpha + \beta \sqrt{2} + \gamma \sqrt{3} + \delta \sqrt{5}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 9$,$\beta = -1$,$\gamma = -1$,અને $\delta = -1$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 9 - 1 - 1 - 1 = 6$.
$\int_0^{2.4} [x^2] dx = \int_0^1 [x^2] dx + \int_1^{\sqrt{2}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{3}}^2 [x^2] dx + \int_2^{\sqrt{5}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{5}}^{2.4} [x^2] dx$
$= \int_0^1 0 dx + \int_1^{\sqrt{2}} 1 dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 2 dx + \int_{\sqrt{3}}^2 3 dx + \int_2^{\sqrt{5}} 4 dx + \int_{\sqrt{5}}^{2.4} 5 dx$
$= 0 + (\sqrt{2} - 1) + 2(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + 3(2 - \sqrt{3}) + 4(\sqrt{5} - 2) + 5(2.4 - \sqrt{5})$
$= \sqrt{2} - 1 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 6 - 3\sqrt{3} + 4\sqrt{5} - 8 + 12 - 5\sqrt{5}$
$= ( -1 + 6 - 8 + 12 ) + (1 - 2)\sqrt{2} + (2 - 3)\sqrt{3} + (4 - 5)\sqrt{5}$
$= 9 - \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5}$
આને $\alpha + \beta \sqrt{2} + \gamma \sqrt{3} + \delta \sqrt{5}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 9$,$\beta = -1$,$\gamma = -1$,અને $\delta = -1$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 9 - 1 - 1 - 1 = 6$.
0 likes
View Solution337
AdvancedMCQ
સંકલન $\int \limits_{-\log _{e} 2}^{\log _e 2} e^x \ln \left(e^x+\sqrt{1+e^{2 x}}\right) d x$ ની કિંમત શોધો.
A
$\log _{e}\left(\frac{2(2+\sqrt{5})}{\sqrt{1+\sqrt{5}}}\right)-\frac{\sqrt{5}}{2}$
B
$\log _e\left(\frac{\sqrt{2}(3-\sqrt{5})^2}{\sqrt{1+\sqrt{5}}}\right)+\frac{\sqrt{5}}{2}$
C
$\log _{e}\left(\frac{(2+\sqrt{5})^2}{\sqrt{1+\sqrt{5}}}\right)+\frac{\sqrt{5}}{2}$
D
$\log _e\left(\frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{5})^2}{\sqrt{1+\sqrt{5}}}\right)-\frac{\sqrt{5}}{2}$
Solution
(D) ધારો કે $I = \int \limits_{-\ln 2}^{\ln 2} e^x \ln \left(e^x+\sqrt{1+e^{2 x}}\right) d x$.
$e^x = t$ લેતા,$e^x dx = dt$ મળે. જ્યારે $x = -\ln 2$,ત્યારે $t = 1/2$ અને જ્યારે $x = \ln 2$,ત્યારે $t = 2$.
$I = \int \limits_{1/2}^{2} \ln \left(t+\sqrt{1+t^2}\right) dt$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int u dv = uv - \int v du$. $u = \ln(t+\sqrt{1+t^2})$ અને $dv = dt$ લેતા.
$du = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} dt$ મળે.
$I = [t \ln(t+\sqrt{1+t^2})]_{1/2}^{2} - \int \limits_{1/2}^{2} \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} dt$.
$I = [2 \ln(2+\sqrt{5}) - \frac{1}{2} \ln(\frac{1+\sqrt{5}}{2})] - [\sqrt{1+t^2}]_{1/2}^{2}$.
$I = 2 \ln(2+\sqrt{5}) - \frac{1}{2} \ln(\frac{1+\sqrt{5}}{2}) - (\sqrt{5} - \frac{\sqrt{5}}{2})$.
$I = \ln \left( \frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{5})^2}{\sqrt{1+\sqrt{5}}} \right) - \frac{\sqrt{5}}{2}$.
$e^x = t$ લેતા,$e^x dx = dt$ મળે. જ્યારે $x = -\ln 2$,ત્યારે $t = 1/2$ અને જ્યારે $x = \ln 2$,ત્યારે $t = 2$.
$I = \int \limits_{1/2}^{2} \ln \left(t+\sqrt{1+t^2}\right) dt$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int u dv = uv - \int v du$. $u = \ln(t+\sqrt{1+t^2})$ અને $dv = dt$ લેતા.
$du = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} dt$ મળે.
$I = [t \ln(t+\sqrt{1+t^2})]_{1/2}^{2} - \int \limits_{1/2}^{2} \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} dt$.
$I = [2 \ln(2+\sqrt{5}) - \frac{1}{2} \ln(\frac{1+\sqrt{5}}{2})] - [\sqrt{1+t^2}]_{1/2}^{2}$.
$I = 2 \ln(2+\sqrt{5}) - \frac{1}{2} \ln(\frac{1+\sqrt{5}}{2}) - (\sqrt{5} - \frac{\sqrt{5}}{2})$.
$I = \ln \left( \frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{5})^2}{\sqrt{1+\sqrt{5}}} \right) - \frac{\sqrt{5}}{2}$.
0 likes
View Solution338
DifficultMCQ
$m, n > 0$ માટે,ધારો કે $\alpha(m, n)=\int_0^2 t^m(1+3 t)^n d t$. જો $11 \alpha(10,6)+18 \alpha(11,5)= p (14)^6$ હોય,તો $p$ ની કિંમત $......$ છે.
A
$31$
B
$32$
C
$30$
D
$33$
Solution
(B) આપેલ છે કે $\alpha(m, n) = \int_0^2 t^m(1+3t)^n dt$.
આપણે $11\alpha(10, 6) + 18\alpha(11, 5)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સંકલન $I = \int_0^2 t^{10}(1+3t)^6 dt$ ધ્યાનમાં લો.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = (1+3t)^6$ અને $dv = t^{10} dt$ લો.
તેથી $du = 6(1+3t)^5 \cdot 3 dt = 18(1+3t)^5 dt$ અને $v = \frac{t^{11}}{11}$ મળે.
તેથી,$\alpha(10, 6) = \left[ \frac{t^{11}}{11}(1+3t)^6 \right]_0^2 - \int_0^2 \frac{t^{11}}{11} \cdot 18(1+3t)^5 dt$.
બંને બાજુ $11$ વડે ગુણતા:
$11\alpha(10, 6) = \left[ t^{11}(1+3t)^6 \right]_0^2 - 18 \int_0^2 t^{11}(1+3t)^5 dt$.
$11\alpha(10, 6) = 2^{11}(1+3(2))^6 - 0 - 18\alpha(11, 5)$.
$11\alpha(10, 6) + 18\alpha(11, 5) = 2^{11}(7)^6$.
$11\alpha(10, 6) + 18\alpha(11, 5) = 2^5 \cdot 2^6 \cdot 7^6 = 32 \cdot (2 \cdot 7)^6 = 32(14)^6$.
આને $p(14)^6$ સાથે સરખાવતા,આપણને $p = 32$ મળે છે.
આપણે $11\alpha(10, 6) + 18\alpha(11, 5)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સંકલન $I = \int_0^2 t^{10}(1+3t)^6 dt$ ધ્યાનમાં લો.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = (1+3t)^6$ અને $dv = t^{10} dt$ લો.
તેથી $du = 6(1+3t)^5 \cdot 3 dt = 18(1+3t)^5 dt$ અને $v = \frac{t^{11}}{11}$ મળે.
તેથી,$\alpha(10, 6) = \left[ \frac{t^{11}}{11}(1+3t)^6 \right]_0^2 - \int_0^2 \frac{t^{11}}{11} \cdot 18(1+3t)^5 dt$.
બંને બાજુ $11$ વડે ગુણતા:
$11\alpha(10, 6) = \left[ t^{11}(1+3t)^6 \right]_0^2 - 18 \int_0^2 t^{11}(1+3t)^5 dt$.
$11\alpha(10, 6) = 2^{11}(1+3(2))^6 - 0 - 18\alpha(11, 5)$.
$11\alpha(10, 6) + 18\alpha(11, 5) = 2^{11}(7)^6$.
$11\alpha(10, 6) + 18\alpha(11, 5) = 2^5 \cdot 2^6 \cdot 7^6 = 32 \cdot (2 \cdot 7)^6 = 32(14)^6$.
આને $p(14)^6$ સાથે સરખાવતા,આપણને $p = 32$ મળે છે.
0 likes
View Solution339
DifficultMCQ
ધારો કે વિધેય $f :[0,2] \rightarrow R$ એ $f(x)=\begin{cases} e^{\min \{x^2, x-[x]\}}, & x \in[0,1) \\ e^{[x-\log_e x]}, & x \in[1,2] \end{cases}$ મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $[t]$ એ $t$ થી નાનો અથવા તેના બરાબર મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે. તો સંકલન $\int_0^2 x f(x) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.
A
$2e - 1$
B
$1 + \frac{3e}{2}$
C
$2e - \frac{1}{2}$
D
$(e-1)(e^2 + \frac{1}{2})$
Solution
(C) $x \in [0, 1)$ માટે,$[x] = 0$ છે,તેથી $x - [x] = x$ થાય. $x \in [0, 1]$ માટે $x^2 \le x$ હોવાથી,$\min \{x^2, x\} = x^2$ થાય. તેથી $f(x) = e^{x^2}$.
$x \in [1, 2]$ માટે,$x - \log_e x$ ધ્યાનમાં લો. $x \ge 1$ હોવાથી,$\log_e x \ge 0$ છે. $x \in [1, 2]$ માટે,$1 \le x - \log_e x < 2 - \log_e 2 \approx 1.307$ થાય. તેથી $[x - \log_e x] = 1$. આમ $f(x) = e^1 = e$.
હવે,સંકલન $\int_0^2 x f(x) dx = \int_0^1 x e^{x^2} dx + \int_1^2 x e dx$ છે.
પ્રથમ ભાગ માટે,$u = x^2$ લેતા,$du = 2x dx$ મળે,તેથી $\int_0^1 x e^{x^2} dx = \frac{1}{2} \int_0^1 e^u du = \frac{1}{2} [e^u]_0^1 = \frac{1}{2}(e - 1)$.
બીજા ભાગ માટે,$\int_1^2 x e dx = e [\frac{x^2}{2}]_1^2 = e(\frac{4}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{3e}{2}$.
બંનેનો સરવાળો કરતા: $\frac{1}{2}(e - 1) + \frac{3e}{2} = \frac{e}{2} - \frac{1}{2} + \frac{3e}{2} = 2e - \frac{1}{2}$.
$x \in [1, 2]$ માટે,$x - \log_e x$ ધ્યાનમાં લો. $x \ge 1$ હોવાથી,$\log_e x \ge 0$ છે. $x \in [1, 2]$ માટે,$1 \le x - \log_e x < 2 - \log_e 2 \approx 1.307$ થાય. તેથી $[x - \log_e x] = 1$. આમ $f(x) = e^1 = e$.
હવે,સંકલન $\int_0^2 x f(x) dx = \int_0^1 x e^{x^2} dx + \int_1^2 x e dx$ છે.
પ્રથમ ભાગ માટે,$u = x^2$ લેતા,$du = 2x dx$ મળે,તેથી $\int_0^1 x e^{x^2} dx = \frac{1}{2} \int_0^1 e^u du = \frac{1}{2} [e^u]_0^1 = \frac{1}{2}(e - 1)$.
બીજા ભાગ માટે,$\int_1^2 x e dx = e [\frac{x^2}{2}]_1^2 = e(\frac{4}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{3e}{2}$.
બંનેનો સરવાળો કરતા: $\frac{1}{2}(e - 1) + \frac{3e}{2} = \frac{e}{2} - \frac{1}{2} + \frac{3e}{2} = 2e - \frac{1}{2}$.
0 likes
View Solution340
DifficultMCQ
જો $\int \limits_{-0.15}^{0.15} |100 x^2 - 1| dx = \frac{k}{3000}$ હોય,તો $k$ ની કિંમત $..........$ છે.
A
$574$
B
$573$
C
$572$
D
$575$
Solution
(D) વિધેય $f(x) = |100x^2 - 1|$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી,$\int_{-0.15}^{0.15} |100x^2 - 1| dx = 2 \int_{0}^{0.15} |100x^2 - 1| dx$ થાય.
ક્રિટીકલ પોઈન્ટ $100x^2 - 1 = 0$ લેતા,$x^2 = \frac{1}{100}$,તેથી $x = 0.1$ (જે અંતરાલ $[0, 0.15]$ માં છે).
તેથી,$I = 2 \left[ \int_{0}^{0.1} (1 - 100x^2) dx + \int_{0.1}^{0.15} (100x^2 - 1) dx \right]$.
સંકલન કરતા:
$I = 2 \left[ x - \frac{100x^3}{3} \right]_0^{0.1} + 2 \left[ \frac{100x^3}{3} - x \right]_{0.1}^{0.15}$.
$I = 2 \left( 0.1 - \frac{0.1}{3} \right) + 2 \left( 0.1125 - 0.15 - \frac{0.1}{3} + 0.1 \right)$.
$I = 2 \left( \frac{0.2}{3} \right) + 2 \left( 0.0625 - \frac{0.1}{3} \right) = \frac{0.2}{3} + 0.125$.
$I = \frac{0.575}{3} = \frac{575}{3000}$.
$\frac{k}{3000}$ સાથે સરખાવતા,$k = 575$ મળે છે.
ક્રિટીકલ પોઈન્ટ $100x^2 - 1 = 0$ લેતા,$x^2 = \frac{1}{100}$,તેથી $x = 0.1$ (જે અંતરાલ $[0, 0.15]$ માં છે).
તેથી,$I = 2 \left[ \int_{0}^{0.1} (1 - 100x^2) dx + \int_{0.1}^{0.15} (100x^2 - 1) dx \right]$.
સંકલન કરતા:
$I = 2 \left[ x - \frac{100x^3}{3} \right]_0^{0.1} + 2 \left[ \frac{100x^3}{3} - x \right]_{0.1}^{0.15}$.
$I = 2 \left( 0.1 - \frac{0.1}{3} \right) + 2 \left( 0.1125 - 0.15 - \frac{0.1}{3} + 0.1 \right)$.
$I = 2 \left( \frac{0.2}{3} \right) + 2 \left( 0.0625 - \frac{0.1}{3} \right) = \frac{0.2}{3} + 0.125$.
$I = \frac{0.575}{3} = \frac{575}{3000}$.
$\frac{k}{3000}$ સાથે સરખાવતા,$k = 575$ મળે છે.
0 likes
View Solution341
AdvancedMCQ
ધારો કે $x \in R$ માટે,$S_0(x) = x$,$S_k(x) = C_k x + k \int_0^x S_{k-1}(t) dt$,જ્યાં $C_0 = 1$,$C_k = 1 - \int_0^1 S_{k-1}(x) dx$,$k = 1, 2, 3, \ldots$. તો $S_2(3) + 6C_3$ ની કિંમત $...........$ થાય.
A
$17$
B
$16$
C
$18$
D
$11$
Solution
(C) આપેલ છે કે $S_0(x) = x$ અને $C_0 = 1$.
$k=1$ માટે: $C_1 = 1 - \int_0^1 S_0(x) dx = 1 - \int_0^1 x dx = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$S_1(x) = C_1 x + 1 \int_0^x S_0(t) dt = \frac{1}{2}x + \int_0^x t dt = \frac{1}{2}x + \frac{x^2}{2}$.
$k=2$ માટે: $C_2 = 1 - \int_0^1 S_1(x) dx = 1 - \int_0^1 (\frac{1}{2}x + \frac{x^2}{2}) dx = 1 - [\frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{6}]_0^1 = 1 - (\frac{1}{4} + \frac{1}{6}) = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$.
$S_2(x) = C_2 x + 2 \int_0^x S_1(t) dt = \frac{7}{12}x + 2 \int_0^x (\frac{1}{2}t + \frac{t^2}{2}) dt = \frac{7}{12}x + 2 [\frac{t^2}{4} + \frac{t^3}{6}]_0^x = \frac{7}{12}x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$.
$k=3$ માટે: $C_3 = 1 - \int_0^1 S_2(x) dx = 1 - \int_0^1 (\frac{7}{12}x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}) dx = 1 - [\frac{7x^2}{24} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{12}]_0^1 = 1 - (\frac{7}{24} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12}) = 1 - \frac{7+4+2}{24} = 1 - \frac{13}{24} = \frac{11}{24}$.
હવે,$S_2(3) = \frac{7}{12}(3) + \frac{3^2}{2} + \frac{3^3}{3} = \frac{7}{4} + \frac{9}{2} + 9 = \frac{7+18+36}{4} = \frac{61}{4}$.
અંતે,$S_2(3) + 6C_3 = \frac{61}{4} + 6(\frac{11}{24}) = \frac{61}{4} + \frac{11}{4} = \frac{72}{4} = 18$.
$k=1$ માટે: $C_1 = 1 - \int_0^1 S_0(x) dx = 1 - \int_0^1 x dx = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$S_1(x) = C_1 x + 1 \int_0^x S_0(t) dt = \frac{1}{2}x + \int_0^x t dt = \frac{1}{2}x + \frac{x^2}{2}$.
$k=2$ માટે: $C_2 = 1 - \int_0^1 S_1(x) dx = 1 - \int_0^1 (\frac{1}{2}x + \frac{x^2}{2}) dx = 1 - [\frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{6}]_0^1 = 1 - (\frac{1}{4} + \frac{1}{6}) = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$.
$S_2(x) = C_2 x + 2 \int_0^x S_1(t) dt = \frac{7}{12}x + 2 \int_0^x (\frac{1}{2}t + \frac{t^2}{2}) dt = \frac{7}{12}x + 2 [\frac{t^2}{4} + \frac{t^3}{6}]_0^x = \frac{7}{12}x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$.
$k=3$ માટે: $C_3 = 1 - \int_0^1 S_2(x) dx = 1 - \int_0^1 (\frac{7}{12}x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}) dx = 1 - [\frac{7x^2}{24} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{12}]_0^1 = 1 - (\frac{7}{24} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12}) = 1 - \frac{7+4+2}{24} = 1 - \frac{13}{24} = \frac{11}{24}$.
હવે,$S_2(3) = \frac{7}{12}(3) + \frac{3^2}{2} + \frac{3^3}{3} = \frac{7}{4} + \frac{9}{2} + 9 = \frac{7+18+36}{4} = \frac{61}{4}$.
અંતે,$S_2(3) + 6C_3 = \frac{61}{4} + 6(\frac{11}{24}) = \frac{61}{4} + \frac{11}{4} = \frac{72}{4} = 18$.
0 likes
View Solution342
AdvancedMCQ
ધારો કે $f_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\sum_{k=1}^n \sin^{k-1} x\right) \left(\sum_{k=1}^n (2k-1) \sin^{k-1} x\right) \cos x \, dx$,જ્યાં $n \in N$. તો $f_{21} - f_{20}$ ની કિંમત $...........$ છે.
A
$40$
B
$41$
C
$42$
D
$43$
Solution
(B) ધારો કે $u = \sin x$,તેથી $du = \cos x \, dx$. જ્યારે $x=0, u=0$ અને જ્યારે $x=\frac{\pi}{2}, u=1$.
$f_n = \int_0^1 \left(\sum_{k=1}^n u^{k-1}\right) \left(\sum_{k=1}^n (2k-1) u^{k-1}\right) du$.
ધારો કે $S_1 = \sum_{k=1}^n u^{k-1} = 1 + u + u^2 + \dots + u^{n-1} = \frac{1-u^n}{1-u}$.
ધારો કે $S_2 = \sum_{k=1}^n (2k-1) u^{k-1} = \frac{d}{du} \sum_{k=1}^n u^{2k-1} = \frac{d}{du} (u + u^3 + \dots + u^{2n-1}) = \frac{d}{du} \left( u \frac{1-u^{2n}}{1-u^2} \right)$.
વિકલન અને સંકલન કરતા,આપણને મળે છે $f_n = n^2$.
આમ,$f_{21} - f_{20} = 21^2 - 20^2 = (21-20)(21+20) = 41$.
$f_n = \int_0^1 \left(\sum_{k=1}^n u^{k-1}\right) \left(\sum_{k=1}^n (2k-1) u^{k-1}\right) du$.
ધારો કે $S_1 = \sum_{k=1}^n u^{k-1} = 1 + u + u^2 + \dots + u^{n-1} = \frac{1-u^n}{1-u}$.
ધારો કે $S_2 = \sum_{k=1}^n (2k-1) u^{k-1} = \frac{d}{du} \sum_{k=1}^n u^{2k-1} = \frac{d}{du} (u + u^3 + \dots + u^{2n-1}) = \frac{d}{du} \left( u \frac{1-u^{2n}}{1-u^2} \right)$.
વિકલન અને સંકલન કરતા,આપણને મળે છે $f_n = n^2$.
આમ,$f_{21} - f_{20} = 21^2 - 20^2 = (21-20)(21+20) = 41$.
0 likes
View Solution343
DifficultMCQ
જો $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{3+x}+\sqrt{1+x}} d x=a+b \sqrt{2}+c \sqrt{3}$,જ્યાં $a, b, c$ સંમેય સંખ્યાઓ છે,તો $2 a+3 b-4 c$ ની કિંમત શોધો:
A
$4$
B
$10$
C
$7$
D
$8$
Solution
(D) સંકલિતનું સંમેયીકરણ કરતા: $\int_0^1 \frac{\sqrt{3+x}-\sqrt{1+x}}{(3+x)-(1+x)} d x = \frac{1}{2} \int_0^1 (\sqrt{3+x}-\sqrt{1+x}) d x$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $\frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3}(3+x)^{3/2} - \frac{2}{3}(1+x)^{3/2} \right]_0^1$
$= \frac{1}{3} \left[ (3+x)^{3/2} - (1+x)^{3/2} \right]_0^1$
$= \frac{1}{3} \left[ (4^{3/2} - 2^{3/2}) - (3^{3/2} - 1^{3/2}) \right]$
$= \frac{1}{3} \left[ (8 - 2\sqrt{2}) - (3\sqrt{3} - 1) \right] = \frac{1}{3} [9 - 2\sqrt{2} - 3\sqrt{3}] = 3 - \frac{2}{3}\sqrt{2} - \sqrt{3}$
$a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=3$,$b=-\frac{2}{3}$,$c=-1$ મળે છે
$2a+3b-4c = 2(3) + 3(-\frac{2}{3}) - 4(-1) = 6 - 2 + 4 = 8$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $\frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3}(3+x)^{3/2} - \frac{2}{3}(1+x)^{3/2} \right]_0^1$
$= \frac{1}{3} \left[ (3+x)^{3/2} - (1+x)^{3/2} \right]_0^1$
$= \frac{1}{3} \left[ (4^{3/2} - 2^{3/2}) - (3^{3/2} - 1^{3/2}) \right]$
$= \frac{1}{3} \left[ (8 - 2\sqrt{2}) - (3\sqrt{3} - 1) \right] = \frac{1}{3} [9 - 2\sqrt{2} - 3\sqrt{3}] = 3 - \frac{2}{3}\sqrt{2} - \sqrt{3}$
$a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=3$,$b=-\frac{2}{3}$,$c=-1$ મળે છે
$2a+3b-4c = 2(3) + 3(-\frac{2}{3}) - 4(-1) = 6 - 2 + 4 = 8$
0 likes
View Solution344
DifficultMCQ
$9 \int_0^9 \left[ \sqrt{\frac{10x}{x+1}} \right] dx$ નું મૂલ્ય શોધો,જ્યાં $[t]$ એ $t$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે.
A
$155$
B
$166$
C
$444$
D
$421$
Solution
(A) ધારો કે $f(x) = \sqrt{\frac{10x}{x+1}} = \sqrt{10 - \frac{10}{x+1}}$.
જેમ $x$ એ $0$ થી $9$ સુધી વધે છે,તેમ $f(x)$ એ $0$ થી $3$ સુધી વધે છે.
$[f(x)]$ નું મૂલ્ય ત્યારે બદલાય છે જ્યારે $f(x) = k$ હોય,જ્યાં $k \in \{1, 2, 3\}$.
$f(x) = 1$ માટે: $\frac{10x}{x+1} = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{9}$.
$f(x) = 2$ માટે: $\frac{10x}{x+1} = 4 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$.
$f(x) = 3$ માટે: $\frac{10x}{x+1} = 9 \Rightarrow x = 9$.
આમ,સંકલન $I = 9 \int_0^9 [f(x)] dx$ નીચે મુજબ થશે:
$I = 9 \left( \int_0^{1/9} 0 dx + \int_{1/9}^{2/3} 1 dx + \int_{2/3}^9 2 dx \right)$.
$I = 9 \left( 0 + (\frac{2}{3} - \frac{1}{9}) + 2(9 - \frac{2}{3}) \right)$.
$I = 9 \left( \frac{5}{9} + 2(\frac{25}{3}) \right) = 9 \left( \frac{5}{9} + \frac{50}{3} \right) = 5 + 150 = 155$.
જેમ $x$ એ $0$ થી $9$ સુધી વધે છે,તેમ $f(x)$ એ $0$ થી $3$ સુધી વધે છે.
$[f(x)]$ નું મૂલ્ય ત્યારે બદલાય છે જ્યારે $f(x) = k$ હોય,જ્યાં $k \in \{1, 2, 3\}$.
$f(x) = 1$ માટે: $\frac{10x}{x+1} = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{9}$.
$f(x) = 2$ માટે: $\frac{10x}{x+1} = 4 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$.
$f(x) = 3$ માટે: $\frac{10x}{x+1} = 9 \Rightarrow x = 9$.
આમ,સંકલન $I = 9 \int_0^9 [f(x)] dx$ નીચે મુજબ થશે:
$I = 9 \left( \int_0^{1/9} 0 dx + \int_{1/9}^{2/3} 1 dx + \int_{2/3}^9 2 dx \right)$.
$I = 9 \left( 0 + (\frac{2}{3} - \frac{1}{9}) + 2(9 - \frac{2}{3}) \right)$.
$I = 9 \left( \frac{5}{9} + 2(\frac{25}{3}) \right) = 9 \left( \frac{5}{9} + \frac{50}{3} \right) = 5 + 150 = 155$.
0 likes
View Solution345
DifficultMCQ
ધારો કે $a$ અને $b$ એવા વાસ્તવિક અચળાંકો છે કે જેથી વિધેય $f(x) = \begin{cases} x^2+3x+a, & x \leq 1 \\ bx+2, & x > 1 \end{cases}$ એ $\mathbb{R}$ પર વિકલનીય છે. તો,$\int_{-2}^2 f(x) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.
A
$\frac{15}{6}$
B
$\frac{19}{6}$
C
$21$
D
$17$
Solution
(D) $f(x)$ એ $\mathbb{R}$ પર વિકલનીય હોવા માટે,તે $x = 1$ આગળ સતત હોવું જોઈએ.
તેથી,$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \implies 1^2 + 3(1) + a = b(1) + 2 \implies 4 + a = b + 2 \implies a = b - 2$.
વળી,$x = 1$ આગળ વિકલિત અસ્તિત્વ ધરાવતું હોવું જોઈએ.
$x < 1$ માટે $f'(x) = 2x + 3$ અને $x > 1$ માટે $f'(x) = b$.
$x = 1$ આગળ વિકલનીયતા માટે,$\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \implies 2(1) + 3 = b \implies b = 5$.
$a = b - 2$ માં $b = 5$ મૂકતા,આપણને $a = 3$ મળે છે.
હવે,સંકલન ગણીએ:
$\int_{-2}^2 f(x) dx = \int_{-2}^1 (x^2 + 3x + 3) dx + \int_1^2 (5x + 2) dx$.
$= \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 3x \right]_{-2}^1 + \left[ \frac{5x^2}{2} + 2x \right]_1^2$.
$= \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 3 \right) - \left( \frac{-8}{3} + 6 - 6 \right) + \left( (10 + 4) - (\frac{5}{2} + 2) \right)$.
$= (\frac{2 + 9 + 18}{6}) - (-\frac{8}{3}) + (14 - \frac{9}{2}) = \frac{29}{6} + \frac{16}{6} + \frac{19}{2} = \frac{45}{6} + \frac{57}{6} = \frac{102}{6} = 17$.
તેથી,$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \implies 1^2 + 3(1) + a = b(1) + 2 \implies 4 + a = b + 2 \implies a = b - 2$.
વળી,$x = 1$ આગળ વિકલિત અસ્તિત્વ ધરાવતું હોવું જોઈએ.
$x < 1$ માટે $f'(x) = 2x + 3$ અને $x > 1$ માટે $f'(x) = b$.
$x = 1$ આગળ વિકલનીયતા માટે,$\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \implies 2(1) + 3 = b \implies b = 5$.
$a = b - 2$ માં $b = 5$ મૂકતા,આપણને $a = 3$ મળે છે.
હવે,સંકલન ગણીએ:
$\int_{-2}^2 f(x) dx = \int_{-2}^1 (x^2 + 3x + 3) dx + \int_1^2 (5x + 2) dx$.
$= \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 3x \right]_{-2}^1 + \left[ \frac{5x^2}{2} + 2x \right]_1^2$.
$= \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 3 \right) - \left( \frac{-8}{3} + 6 - 6 \right) + \left( (10 + 4) - (\frac{5}{2} + 2) \right)$.
$= (\frac{2 + 9 + 18}{6}) - (-\frac{8}{3}) + (14 - \frac{9}{2}) = \frac{29}{6} + \frac{16}{6} + \frac{19}{2} = \frac{45}{6} + \frac{57}{6} = \frac{102}{6} = 17$.
0 likes
View Solution346
DifficultMCQ
જો સંકલન $525 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2 x \cos^{\frac{11}{2}} x \left(1+\cos^{\frac{5}{2}} x\right)^{\frac{1}{2}} d x$ એ $(n \sqrt{2}-64)$ બરાબર હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.
A
$176$
B
$175$
C
$170$
D
$174$
Solution
(A) ધારો કે $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x \cdot (\cos x)^{\frac{11}{2}} \left(1 + (\cos x)^{\frac{5}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} dx$.
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos x \cdot (\cos x)^{\frac{11}{2}} \left(1 + (\cos x)^{\frac{5}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} dx = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x (\cos x)^{\frac{13}{2}} \left(1 + (\cos x)^{\frac{5}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} dx$.
ધારો કે $\cos x = t^2$,તેથી $-\sin x dx = 2t dt$. જ્યારે $x=0, t=1$; જ્યારે $x=\frac{\pi}{2}, t=0$.
$I = 2 \int_1^0 (t^2)^{\frac{13}{2}} (1 + (t^2)^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{2}} (-2t dt) = 4 \int_0^1 t^{13} (1 + t^5)^{\frac{1}{2}} t dt = 4 \int_0^1 t^{14} \sqrt{1+t^5} dt$.
ધારો કે $1+t^5 = k^2$,તેથી $5t^4 dt = 2k dk$. જ્યારે $t=0, k=1$; જ્યારે $t=1, k=\sqrt{2}$.
વળી $t^5 = k^2-1$,તેથી $t^{10} = (k^2-1)^2$.
$I = 4 \int_1^{\sqrt{2}} (k^2-1)^2 \cdot k \cdot \frac{2k}{5} dk = \frac{8}{5} \int_1^{\sqrt{2}} (k^6 - 2k^4 + k^2) dk$.
$I = \frac{8}{5} \left[ \frac{k^7}{7} - \frac{2k^5}{5} + \frac{k^3}{3} \right]_1^{\sqrt{2}} = \frac{8}{5} \left[ (\frac{8\sqrt{2}}{7} - \frac{8\sqrt{2}}{5} + \frac{2\sqrt{2}}{3}) - (\frac{1}{7} - \frac{2}{5} + \frac{1}{3}) \right]$.
$I = \frac{8}{5} \left[ \frac{120\sqrt{2} - 168\sqrt{2} + 70\sqrt{2}}{105} - \frac{15 - 42 + 35}{105} \right] = \frac{8}{5} \left[ \frac{22\sqrt{2}}{105} - \frac{8}{105} \right] = \frac{176\sqrt{2} - 64}{525}$.
આમ,$525 I = 176\sqrt{2} - 64$.
$(n \sqrt{2}-64)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 176$ મળે છે.
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos x \cdot (\cos x)^{\frac{11}{2}} \left(1 + (\cos x)^{\frac{5}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} dx = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x (\cos x)^{\frac{13}{2}} \left(1 + (\cos x)^{\frac{5}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} dx$.
ધારો કે $\cos x = t^2$,તેથી $-\sin x dx = 2t dt$. જ્યારે $x=0, t=1$; જ્યારે $x=\frac{\pi}{2}, t=0$.
$I = 2 \int_1^0 (t^2)^{\frac{13}{2}} (1 + (t^2)^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{2}} (-2t dt) = 4 \int_0^1 t^{13} (1 + t^5)^{\frac{1}{2}} t dt = 4 \int_0^1 t^{14} \sqrt{1+t^5} dt$.
ધારો કે $1+t^5 = k^2$,તેથી $5t^4 dt = 2k dk$. જ્યારે $t=0, k=1$; જ્યારે $t=1, k=\sqrt{2}$.
વળી $t^5 = k^2-1$,તેથી $t^{10} = (k^2-1)^2$.
$I = 4 \int_1^{\sqrt{2}} (k^2-1)^2 \cdot k \cdot \frac{2k}{5} dk = \frac{8}{5} \int_1^{\sqrt{2}} (k^6 - 2k^4 + k^2) dk$.
$I = \frac{8}{5} \left[ \frac{k^7}{7} - \frac{2k^5}{5} + \frac{k^3}{3} \right]_1^{\sqrt{2}} = \frac{8}{5} \left[ (\frac{8\sqrt{2}}{7} - \frac{8\sqrt{2}}{5} + \frac{2\sqrt{2}}{3}) - (\frac{1}{7} - \frac{2}{5} + \frac{1}{3}) \right]$.
$I = \frac{8}{5} \left[ \frac{120\sqrt{2} - 168\sqrt{2} + 70\sqrt{2}}{105} - \frac{15 - 42 + 35}{105} \right] = \frac{8}{5} \left[ \frac{22\sqrt{2}}{105} - \frac{8}{105} \right] = \frac{176\sqrt{2} - 64}{525}$.
આમ,$525 I = 176\sqrt{2} - 64$.
$(n \sqrt{2}-64)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 176$ મળે છે.
0 likes
View Solution347
DifficultMCQ
જો $\int_0^{\frac{\pi}{3}} \cos^4 x \, dx = a\pi + b\sqrt{3}$ હોય,જ્યાં $a$ અને $b$ સંમેય સંખ્યાઓ છે,તો $9a + 8b$ ની કિંમત શોધો:
A
$2$
B
$1$
C
$3$
D
$\frac{3}{2}$
Solution
(A) આપણે સંકલન $I = \int_0^{\pi/3} \cos^4 x \, dx$ ની ગણતરી કરીએ.
નિત્યસમ $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\cos^4 x = \left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}(1 + 2\cos 2x + \cos^2 2x)$.
$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$ મૂકતા,$\cos^4 x = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\cos 4x = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x$.
હવે,દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$I = \int_0^{\pi/3} \left(\frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x\right) dx$
$I = \left[ \frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{32}\sin 4x \right]_0^{\pi/3}$
$I = \left( \frac{3}{8} \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{1}{4}\sin\frac{2\pi}{3} + \frac{1}{32}\sin\frac{4\pi}{3} \right) - (0)$
$I = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{32} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$I = \frac{\pi}{8} + \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\sqrt{3}}{64} = \frac{\pi}{8} + \frac{8\sqrt{3} - \sqrt{3}}{64} = \frac{\pi}{8} + \frac{7\sqrt{3}}{64}$.
$a\pi + b\sqrt{3}$ સાથે સરખાવતા,$a = \frac{1}{8}$ અને $b = \frac{7}{64}$ મળે છે.
તેથી,$9a + 8b = 9(\frac{1}{8}) + 8(\frac{7}{64}) = \frac{9}{8} + \frac{7}{8} = \frac{16}{8} = 2$.
નિત્યસમ $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\cos^4 x = \left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}(1 + 2\cos 2x + \cos^2 2x)$.
$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$ મૂકતા,$\cos^4 x = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\cos 4x = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x$.
હવે,દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$I = \int_0^{\pi/3} \left(\frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x\right) dx$
$I = \left[ \frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{32}\sin 4x \right]_0^{\pi/3}$
$I = \left( \frac{3}{8} \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{1}{4}\sin\frac{2\pi}{3} + \frac{1}{32}\sin\frac{4\pi}{3} \right) - (0)$
$I = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{32} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$I = \frac{\pi}{8} + \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\sqrt{3}}{64} = \frac{\pi}{8} + \frac{8\sqrt{3} - \sqrt{3}}{64} = \frac{\pi}{8} + \frac{7\sqrt{3}}{64}$.
$a\pi + b\sqrt{3}$ સાથે સરખાવતા,$a = \frac{1}{8}$ અને $b = \frac{7}{64}$ મળે છે.
તેથી,$9a + 8b = 9(\frac{1}{8}) + 8(\frac{7}{64}) = \frac{9}{8} + \frac{7}{8} = \frac{16}{8} = 2$.
0 likes
View Solution348
DifficultMCQ
ધારો કે $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ અને $F(x)=\int_0^x t f(t) d t$. જો $F(x^2)=x^4+x^5$ હોય,તો $\sum_{r=1}^{12} f(r^2)$ ની કિંમત શોધો:
A
$345$
B
$245$
C
$219$
D
$456$
Solution
(C) આપેલ છે કે $F(x) = \int_0^x t f(t) dt$. કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$F'(x) = x f(x)$.
આપેલ છે કે $F(x^2) = x^4 + x^5$. ધારો કે $u = x^2$,તો $F(u) = u^2 + u^{5/2}$.
$u$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $F'(u) = 2u + \frac{5}{2} u^{3/2}$ મળે છે.
કારણ કે $F'(u) = u f(u)$,તેથી $u f(u) = 2u + \frac{5}{2} u^{3/2}$.
$u$ વડે ભાગતા,આપણને $f(u) = 2 + \frac{5}{2} u^{1/2}$ મળે છે.
આપણે $\sum_{r=1}^{12} f(r^2)$ શોધવાનું છે. $u = r^2$ મૂકતા,$f(r^2) = 2 + \frac{5}{2} (r^2)^{1/2} = 2 + \frac{5}{2} r$.
આમ,$\sum_{r=1}^{12} f(r^2) = \sum_{r=1}^{12} (2 + \frac{5}{2} r) = \sum_{r=1}^{12} 2 + \frac{5}{2} \sum_{r=1}^{12} r$.
$= 2(12) + \frac{5}{2} \left( \frac{12 \times 13}{2} \right) = 24 + \frac{5}{2} (78) = 24 + 5(39) = 24 + 195 = 219$.
આપેલ છે કે $F(x^2) = x^4 + x^5$. ધારો કે $u = x^2$,તો $F(u) = u^2 + u^{5/2}$.
$u$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $F'(u) = 2u + \frac{5}{2} u^{3/2}$ મળે છે.
કારણ કે $F'(u) = u f(u)$,તેથી $u f(u) = 2u + \frac{5}{2} u^{3/2}$.
$u$ વડે ભાગતા,આપણને $f(u) = 2 + \frac{5}{2} u^{1/2}$ મળે છે.
આપણે $\sum_{r=1}^{12} f(r^2)$ શોધવાનું છે. $u = r^2$ મૂકતા,$f(r^2) = 2 + \frac{5}{2} (r^2)^{1/2} = 2 + \frac{5}{2} r$.
આમ,$\sum_{r=1}^{12} f(r^2) = \sum_{r=1}^{12} (2 + \frac{5}{2} r) = \sum_{r=1}^{12} 2 + \frac{5}{2} \sum_{r=1}^{12} r$.
$= 2(12) + \frac{5}{2} \left( \frac{12 \times 13}{2} \right) = 24 + \frac{5}{2} (78) = 24 + 5(39) = 24 + 195 = 219$.
0 likes
View Solution349
DifficultMCQ
સંકલન $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{136 \sin x}{3 \sin x+5 \cos x} dx$ ની કિંમત શોધો:
A
$3 \pi-50 \log _e 2+20 \log _e 5$
B
$3 \pi-25 \log _e 2+10 \log _e 5$
C
$3 \pi-10 \log _e(2 \sqrt{2})+10 \log _e 5$
D
$3 \pi-30 \log _e 2+20 \log _e 5$
Solution
(A) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{136 \sin x}{3 \sin x+5 \cos x} dx$.
અંશને $136 \sin x = A(3 \sin x + 5 \cos x) + B(3 \cos x - 5 \sin x)$ તરીકે લખતા.
$\sin x$ અને $\cos x$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$136 = 3A - 5B$ ... $(1)$
$0 = 5A + 3B$ ... $(2)$
$(2)$ પરથી,$B = -\frac{5}{3}A$. તેને $(1)$ માં મૂકતા:
$136 = 3A - 5(-\frac{5}{3}A) = 3A + \frac{25}{3}A = \frac{34}{3}A$.
તેથી,$A = \frac{136 \times 3}{34} = 12$ અને $B = -\frac{5}{3}(12) = -20$.
હવે,$I = \int_0^{\pi / 4} \frac{12(3 \sin x + 5 \cos x) - 20(3 \cos x - 5 \sin x)}{3 \sin x + 5 \cos x} dx$.
$I = 12 \int_0^{\pi / 4} dx - 20 \int_0^{\pi / 4} \frac{3 \cos x - 5 \sin x}{3 \sin x + 5 \cos x} dx$.
$I = 12[x]_0^{\pi / 4} - 20[\ln|3 \sin x + 5 \cos x|]_0^{\pi / 4}$.
$I = 12(\frac{\pi}{4}) - 20[\ln(\frac{3}{\sqrt{2}} + \frac{5}{\sqrt{2}}) - \ln(5)]$.
$I = 3\pi - 20[\ln(\frac{8}{\sqrt{2}}) - \ln(5)] = 3\pi - 20[\ln(4\sqrt{2}) - \ln(5)]$.
$I = 3\pi - 20[\ln(2^{5/2}) - \ln(5)] = 3\pi - 20[\frac{5}{2}\ln 2 - \ln 5]$.
$I = 3\pi - 50 \ln 2 + 20 \ln 5$.
અંશને $136 \sin x = A(3 \sin x + 5 \cos x) + B(3 \cos x - 5 \sin x)$ તરીકે લખતા.
$\sin x$ અને $\cos x$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$136 = 3A - 5B$ ... $(1)$
$0 = 5A + 3B$ ... $(2)$
$(2)$ પરથી,$B = -\frac{5}{3}A$. તેને $(1)$ માં મૂકતા:
$136 = 3A - 5(-\frac{5}{3}A) = 3A + \frac{25}{3}A = \frac{34}{3}A$.
તેથી,$A = \frac{136 \times 3}{34} = 12$ અને $B = -\frac{5}{3}(12) = -20$.
હવે,$I = \int_0^{\pi / 4} \frac{12(3 \sin x + 5 \cos x) - 20(3 \cos x - 5 \sin x)}{3 \sin x + 5 \cos x} dx$.
$I = 12 \int_0^{\pi / 4} dx - 20 \int_0^{\pi / 4} \frac{3 \cos x - 5 \sin x}{3 \sin x + 5 \cos x} dx$.
$I = 12[x]_0^{\pi / 4} - 20[\ln|3 \sin x + 5 \cos x|]_0^{\pi / 4}$.
$I = 12(\frac{\pi}{4}) - 20[\ln(\frac{3}{\sqrt{2}} + \frac{5}{\sqrt{2}}) - \ln(5)]$.
$I = 3\pi - 20[\ln(\frac{8}{\sqrt{2}}) - \ln(5)] = 3\pi - 20[\ln(4\sqrt{2}) - \ln(5)]$.
$I = 3\pi - 20[\ln(2^{5/2}) - \ln(5)] = 3\pi - 20[\frac{5}{2}\ln 2 - \ln 5]$.
$I = 3\pi - 50 \ln 2 + 20 \ln 5$.
1 likes
View Solution350
DifficultMCQ
ધારો કે $[t]$ એ $t$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો સૌથી મોટો પૂર્ણાંક દર્શાવે છે. જો $\int_0^3 \left( [x^2] + [\frac{x^2}{2}] \right) dx = a + b\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5} + c\sqrt{6} - \sqrt{7}$,જ્યાં $a, b, c \in \mathbb{Z}$,તો $a + b + c$ ની કિંમત શોધો:
A
$21$
B
$12$
C
$29$
D
$23$
Solution
(D) આપણે સંકલન $I = \int_0^3 [x^2] dx + \int_0^3 [\frac{x^2}{2}] dx$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
$\int_0^3 [x^2] dx$ માટે:
$[x^2] = 0$ જ્યારે $x \in [0, 1)$,$1$ જ્યારે $x \in [1, \sqrt{2})$,$2$ જ્યારે $x \in [\sqrt{2}, \sqrt{3})$,$3$ જ્યારે $x \in [\sqrt{3}, 2)$,$4$ જ્યારે $x \in [2, \sqrt{5})$,$5$ જ્યારે $x \in [\sqrt{5}, \sqrt{6})$,$6$ જ્યારે $x \in [\sqrt{6}, \sqrt{7})$,$7$ જ્યારે $x \in [\sqrt{7}, \sqrt{8})$,$8$ જ્યારે $x \in [\sqrt{8}, 3)$.
આનું મૂલ્ય $24 - 3\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5} - \sqrt{6} - \sqrt{7}$ મળે છે.
$\int_0^3 [\frac{x^2}{2}] dx$ માટે:
$[\frac{x^2}{2}] = 0$ જ્યારે $x \in [0, \sqrt{2})$,$1$ જ્યારે $x \in [\sqrt{2}, 2)$,$2$ જ્યારે $x \in [2, \sqrt{6})$,$3$ જ્યારે $x \in [\sqrt{6}, \sqrt{8})$,$4$ જ્યારે $x \in [\sqrt{8}, 3)$.
આનું મૂલ્ય $10 - 3\sqrt{2} - \sqrt{6}$ મળે છે.
બંનેનો સરવાળો કરતા: $I = 34 - 6\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5} - 2\sqrt{6} - \sqrt{7}$.
સરખામણી કરતા $a = 31, b = -6, c = -2$ લેતા,$a + b + c = 31 - 6 - 2 = 23$ મળે છે.
$\int_0^3 [x^2] dx$ માટે:
$[x^2] = 0$ જ્યારે $x \in [0, 1)$,$1$ જ્યારે $x \in [1, \sqrt{2})$,$2$ જ્યારે $x \in [\sqrt{2}, \sqrt{3})$,$3$ જ્યારે $x \in [\sqrt{3}, 2)$,$4$ જ્યારે $x \in [2, \sqrt{5})$,$5$ જ્યારે $x \in [\sqrt{5}, \sqrt{6})$,$6$ જ્યારે $x \in [\sqrt{6}, \sqrt{7})$,$7$ જ્યારે $x \in [\sqrt{7}, \sqrt{8})$,$8$ જ્યારે $x \in [\sqrt{8}, 3)$.
આનું મૂલ્ય $24 - 3\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5} - \sqrt{6} - \sqrt{7}$ મળે છે.
$\int_0^3 [\frac{x^2}{2}] dx$ માટે:
$[\frac{x^2}{2}] = 0$ જ્યારે $x \in [0, \sqrt{2})$,$1$ જ્યારે $x \in [\sqrt{2}, 2)$,$2$ જ્યારે $x \in [2, \sqrt{6})$,$3$ જ્યારે $x \in [\sqrt{6}, \sqrt{8})$,$4$ જ્યારે $x \in [\sqrt{8}, 3)$.
આનું મૂલ્ય $10 - 3\sqrt{2} - \sqrt{6}$ મળે છે.
બંનેનો સરવાળો કરતા: $I = 34 - 6\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5} - 2\sqrt{6} - \sqrt{7}$.
સરખામણી કરતા $a = 31, b = -6, c = -2$ લેતા,$a + b + c = 31 - 6 - 2 = 23$ મળે છે.
0 likes
View Solution7-2.Definite Integral — Fundamental definite integration · Frequently Asked Questions
1Are these 7-2.Definite Integral questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D papers from this chapter in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFor Teachers & Institutes
Generate a 7-2.Definite Integral Exam Paper in 2 Minutes
Select subtopic & difficulty — Sets A, B, C, D auto-generated with No Repeat logic.
First 3 chapters of every subject are free — no payment required.