Definite integration by substitution Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $I = \int_{\pi /3}^{\pi /2} \frac{\sqrt{1 + \cos x}}{(1 - \cos x)^{5/2}} \,dx$.
અંશ અને છેદને $\sqrt{1 - \cos x}$ વડે ગુણતા:
$I = \int_{\pi /3}^{\pi /2} \frac{\sqrt{1 - \cos^2 x}}{(1 - \cos x)^{5/2} \sqrt{1 - \cos x}} \,dx = \int_{\pi /3}^{\pi /2} \frac{\sin x}{(1 - \cos x)^3} \,dx$.
ધારો કે $1 - \cos x = t$,તેથી $\sin x \,dx = dt$.
જ્યારે $x = \frac{\pi}{3}$,ત્યારે $t = 1 - \cos(\frac{\pi}{3}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
જ્યારે $x = \frac{\pi}{2}$,ત્યારે $t = 1 - \cos(\frac{\pi}{2}) = 1 - 0 = 1$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{1/2}^{1} t^{-3} \,dt = \left[ \frac{t^{-2}}{-2} \right]_{1/2}^{1} = -\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{t^2} \right]_{1/2}^{1}$.
$I = -\frac{1}{2} \left( 1 - 4 \right) = -\frac{1}{2} (-3) = \frac{3}{2}$.

(C) આપણને સંકલન $I = \int_0^{\pi /4} \sec^7 \theta \sin^3 \theta \, d\theta$ આપેલ છે.
સંકલ્યને આ રીતે ફરીથી લખતા:
$I = \int_0^{\pi /4} \frac{\sin^3 \theta}{\cos^3 \theta} \cdot \sec^4 \theta \, d\theta = \int_0^{\pi /4} \tan^3 \theta \sec^4 \theta \, d\theta$.
કારણ કે $\sec^4 \theta = \sec^2 \theta \cdot \sec^2 \theta = (1 + \tan^2 \theta) \sec^2 \theta$,તેથી સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$I = \int_0^{\pi /4} \tan^3 \theta (1 + \tan^2 \theta) \sec^2 \theta \, d\theta$.
ધારો કે $t = \tan \theta$,તો $dt = \sec^2 \theta \, d\theta$.
જ્યારે $\theta = 0, t = 0$. જ્યારે $\theta = \pi /4, t = 1$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_0^1 t^3 (1 + t^2) \, dt = \int_0^1 (t^3 + t^5) \, dt$.
પદવાર સંકલન કરતા:
$I = \left[ \frac{t^4}{4} + \frac{t^6}{6} \right]_0^1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3 + 2}{12} = \frac{5}{12}$.

(A) ધારો કે $I = \int_{\pi /4}^{\pi /2} \cos \theta \csc^2 \theta \, d\theta$.
આપણે સંકલ્યને $\int_{\pi /4}^{\pi /2} \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta} \, d\theta$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
ધારો કે $t = \sin \theta$,તો $dt = \cos \theta \, d\theta$.
જ્યારે $\theta = \pi /4$,ત્યારે $t = \sin(\pi /4) = 1/\sqrt{2}$.
જ્યારે $\theta = \pi /2$,ત્યારે $t = \sin(\pi /2) = 1$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \frac{1}{t^2} \, dt = \int_{1/\sqrt{2}}^{1} t^{-2} \, dt$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$I = \left[ -\frac{1}{t} \right]_{1/\sqrt{2}}^{1} = \left( -\frac{1}{1} \right) - \left( -\frac{1}{1/\sqrt{2}} \right)$.
$I = -1 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1$.

(D) ધારો કે $I = \int_0^1 \frac{\tan^{-1} x}{1 + x^2} \,dx$.
$t = \tan^{-1} x$ આદેશ લેતા.
તેથી,$dt = \frac{1}{1 + x^2} \,dx$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = \tan^{-1}(0) = 0$.
જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $t = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_0^{\pi/4} t \,dt = \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^{\pi/4} = \frac{1}{2} \left( \left( \frac{\pi}{4} \right)^2 - 0^2 \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi^2}{16} = \frac{\pi^2}{32}$.

(B) ધારો કે $t = \log x$. તેથી,$dt = \frac{1}{x} dx$.
જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $t = \log 1 = 0$.
જ્યારે $x = 2$,ત્યારે $t = \log 2$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\int_{1}^{2} \frac{\cos(\log x)}{x} \, dx = \int_{0}^{\log 2} \cos(t) \, dt$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$\int_{0}^{\log 2} \cos(t) \, dt = [\sin(t)]_{0}^{\log 2} = \sin(\log 2) - \sin(0) = \sin(\log 2) - 0 = \sin(\log 2)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ધારો કે $t = \frac{1}{x}$.
તેથી,$dt = -\frac{1}{x^2} \,dx$,જેનો અર્થ છે કે $-\,dt = \frac{1}{x^2} \,dx$.
જ્યારે $x = \frac{1}{\pi}$,ત્યારે $t = \pi$.
જ્યારે $x = \frac{2}{\pi}$,ત્યારે $t = \frac{\pi}{2}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$\int_{1/\pi}^{2/\pi} \frac{\sin(1/x)}{x^2} \,dx = \int_{\pi}^{\pi/2} \sin(t) \cdot (-dt)$
$= \int_{\pi/2}^{\pi} \sin(t) \,dt$
$= [-\cos(t)]_{\pi/2}^{\pi}$
$= -(\cos(\pi) - \cos(\pi/2))$
$= -(-1 - 0) = 1$.

(D) ધારો કે $I = \int_0^{\pi /2} \frac{\sin x \cos x}{1 + \sin^4 x} \, dx$.
$\sin^2 x = t$ આદેશ લો.
તેથી,$2 \sin x \cos x \, dx = dt$,જેનો અર્થ છે કે $\sin x \cos x \, dx = \frac{1}{2} \, dt$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = \sin^2(0) = 0$.
જ્યારે $x = \frac{\pi}{2}$,ત્યારે $t = \sin^2(\frac{\pi}{2}) = 1$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_0^1 \frac{1}{1 + t^2} \cdot \frac{1}{2} \, dt = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{1}{1 + t^2} \, dt$.
$I = \frac{1}{2} [\tan^{-1} t]_0^1$.
$I = \frac{1}{2} (\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0)) = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{8}$.

(A) ધારો કે $t = \tan x$.
તેથી,$dt = \sec^2 x \, dx$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = \tan(0) = 0$.
જ્યારે $x = \frac{\pi}{4}$,ત્યારે $t = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int_0^1 t^6 \, dt = \left[ \frac{t^7}{7} \right]_0^1 = \frac{1}{7}(1^7 - 0^7) = \frac{1}{7}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે $I = \int_0^{\pi /6} \frac{\sin x}{\cos^3 x} \, dx = \int_0^{\pi /6} \tan x \sec^2 x \, dx$.
$t = \tan x$ આદેશ લેતા.
તેથી $dt = \sec^2 x \, dx$ મળે.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = \tan(0) = 0$.
જ્યારે $x = \pi/6$,ત્યારે $t = \tan(\pi/6) = 1/\sqrt{3}$.
આમ,$I = \int_0^{1/\sqrt{3}} t \, dt = \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^{1/\sqrt{3}} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 - 0 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.

(B) ધારો કે $I = \int_0^{\log 5} {\frac{{{e^x}\sqrt {{e^x} - 1} }}{{{e^x} + 3}}} \,dx$.
${e^x} - 1 = {t^2}$ આદેશ લેતા,${e^x} = {t^2} + 1$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા,${e^x}dx = 2t\,dt$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે ${t^2} = {e^0} - 1 = 0$,તેથી $t = 0$.
જ્યારે $x = \log 5$,ત્યારે ${t^2} = {e^{\log 5}} - 1 = 5 - 1 = 4$,તેથી $t = 2$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_0^2 {\frac{{2t \cdot t}}{{{t^2} + 1 + 3}}} \,dt = \int_0^2 {\frac{{2{t^2}}}{{{t^2} + 4}}} \,dt$.
$I = 2 \int_0^2 {\frac{{{t^2} + 4 - 4}}{{{t^2} + 4}}} \,dt = 2 \left[ {\int_0^2 {1\,dt - 4\int_0^2 {\frac{{dt}}{{{t^2} + 2^2}}} } } \right]$.
$I = 2 \left[ {t|_0^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{t}{2})|_0^2} \right]$.
$I = 2 \left[ {2 - 2 \tan^{-1}(1)} \right] = 2 \left[ {2 - 2(\frac{\pi}{4})} \right] = 4 - \pi$.

(A) ધારો કે $I = \int_1^e \frac{1 + \log x}{x} \, dx$.
$u = \log x$ આદેશ લેતા,$du = \frac{1}{x} \, dx$ મળે.
જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $u = \log 1 = 0$.
જ્યારે $x = e$,ત્યારે $u = \log e = 1$.
તેથી,$I = \int_0^1 (1 + u) \, du$.
$I = [u + \frac{u^2}{2}]_0^1$.
$I = (1 + \frac{1}{2}) - (0 + 0) = \frac{3}{2}$.

(A) ધારો કે $I = \int_0^2 \frac{3^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \, dx$.
$\sqrt{x} = t$ આદેશ લેતા.
તેથી,$\frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx = dt$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \, dt$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = 0$.
જ્યારે $x = 2$,ત્યારે $t = \sqrt{2}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_0^{\sqrt{2}} 3^t \cdot 2 \, dt$
$I = 2 \int_0^{\sqrt{2}} 3^t \, dt$
સૂત્ર $\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\log a} + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2 \left[ \frac{3^t}{\log 3} \right]_0^{\sqrt{2}}$
$I = \frac{2}{\log 3} (3^{\sqrt{2}} - 3^0)$
$I = \frac{2}{\log 3} (3^{\sqrt{2}} - 1)$.

(B) ધારો કે $I = \int_0^{\pi /2} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx$.
$\cos x = t$ આદેશ લેતા,$-\sin x \, dx = dt$,એટલે કે $\sin x \, dx = -dt$ મળે.
સંકલનની સીમાઓ બદલતા:
જ્યારે $x = 0$ હોય,ત્યારે $t = \cos(0) = 1$.
જ્યારે $x = \pi /2$ હોય,ત્યારે $t = \cos(\pi /2) = 0$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_1^0 \frac{-dt}{1 + t^2} = \int_0^1 \frac{dt}{1 + t^2}$.
પ્રમાણિત સંકલન $\int \frac{dt}{1 + t^2} = \tan^{-1} t$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = [\tan^{-1} t]_0^1 = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$.

(D) ધારો કે $1 + \tan x = t$. તેથી,$\sec^2 x \,dx = dt$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = 1 + \tan(0) = 1$.
જ્યારે $x = \pi/4$,ત્યારે $t = 1 + \tan(\pi/4) = 2$.
સંકલન $\int_1^2 \frac{dt}{t(t+1)}$ બને છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{t(t+1)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}$.
તેથી,$\int_1^2 \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1} \right) dt = [\log_e |t| - \log_e |t+1|]_1^2$.
$= [\log_e |\frac{t}{t+1}|]_1^2 = \log_e \left( \frac{2}{3} \right) - \log_e \left( \frac{1}{2} \right) = \log_e \left( \frac{2/3}{1/2} \right) = \log_e \left( \frac{4}{3} \right)$.

(D) ધારો કે $I = \int_0^a {{x^2}\sin {x^3}\,dx}$.
$t = x^3$ આદેશ લેતા,$dt = 3x^2\,dx$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x^2\,dx = \frac{dt}{3}$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = 0^3 = 0$. જ્યારે $x = a$,ત્યારે $t = a^3$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_0^{a^3} \sin(t) \cdot \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int_0^{a^3} \sin(t)\,dt$.
$\sin(t)$ નું સંકલન $-\cos(t)$ થાય છે:
$I = \frac{1}{3} [-\cos(t)]_0^{a^3} = -\frac{1}{3} [\cos(a^3) - \cos(0)]$.
કારણ કે $\cos(0) = 1$,તેથી:
$I = -\frac{1}{3} [\cos(a^3) - 1] = \frac{1}{3} (1 - \cos(a^3))$.

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{1} \frac{\tan^{-1} x}{1 + x^2} dx$.
$t = \tan^{-1} x$ આદેશ લેતા.
તેથી,$dt = \frac{1}{1 + x^2} dx$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = \tan^{-1}(0) = 0$.
જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $t = \tan^{-1}(1) = \pi / 4$.
તેથી,સંકલન $I = \int_{0}^{\pi / 4} t dt$ થશે.
સંકલન કરતા,$I = \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{\pi / 4}$.
$I = \frac{(\pi / 4)^2}{2} - 0 = \frac{\pi^2 / 16}{2} = \frac{\pi^2}{32}$.

(A) ધારો કે $I = \int_{8}^{15} \frac{dx}{(x - 3)\sqrt{x + 1}}$.
$t = \sqrt{x + 1}$ આદેશ લેતા,$t^2 = x + 1$,તેથી $x = t^2 - 1$ અને $dx = 2t \, dt$ મળે.
જ્યારે $x = 8$,ત્યારે $t = \sqrt{8 + 1} = 3$. જ્યારે $x = 15$,ત્યારે $t = \sqrt{15 + 1} = 4$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{3}^{4} \frac{2t \, dt}{(t^2 - 1 - 3)t} = \int_{3}^{4} \frac{2 \, dt}{t^2 - 4}$.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x - a}{x + a} \right| + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2 \times \frac{1}{2(2)} \left[ \log \left| \frac{t - 2}{t + 2} \right| \right]_{3}^{4}$.
$I = \frac{1}{2} \left[ \log \left( \frac{4 - 2}{4 + 2} \right) - \log \left( \frac{3 - 2}{3 + 2} \right) \right]$.
$I = \frac{1}{2} \left[ \log \left( \frac{2}{6} \right) - \log \left( \frac{1}{5} \right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \log \left( \frac{1}{3} \right) - \log \left( \frac{1}{5} \right) \right]$.
$I = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1/3}{1/5} \right) = \frac{1}{2} \log \frac{5}{3}$.

(A) ધારો કે $I = \int_1^{e^2} \frac{dx}{x(1 + \ln x)^2}$.
$t = 1 + \ln x$ આદેશ લેતા.
તેથી,$dt = \frac{1}{x} dx$ મળે.
સીમાઓ બદલતા:
જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $t = 1 + \ln(1) = 1 + 0 = 1$.
જ્યારે $x = e^2$,ત્યારે $t = 1 + \ln(e^2) = 1 + 2 = 3$.
હવે,સંકલનમાં કિંમતો મૂકતા:
$I = \int_1^3 \frac{dt}{t^2} = \int_1^3 t^{-2} dt$.
$t^{-2}$ નું સંકલન કરતા $\left[ \frac{t^{-1}}{-1} \right]_1^3 = \left[ -\frac{1}{t} \right]_1^3$ મળે.
સીમાઓ લાગુ પાડતા:
$I = -\left( \frac{1}{3} - \frac{1}{1} \right) = -\left( \frac{1}{3} - 1 \right) = -\left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{2}{3}$.

(C) ધારો કે $I = \int_{\log 2}^x \frac{du}{({e^u} - 1)^{1/2}} = \frac{\pi}{6}$.
$e^u - 1 = t^2$ આદેશ લેતા,$e^u du = 2t dt$,જેનો અર્થ છે કે $du = \frac{2t}{e^u} dt = \frac{2t}{t^2 + 1} dt$.
જ્યારે $u = \log 2$,ત્યારે $t = \sqrt{e^{\log 2} - 1} = \sqrt{2 - 1} = 1$.
જ્યારે $u = x$,ત્યારે $t = \sqrt{e^x - 1}$.
સંકલન આ મુજબ બનશે: $\int_{1}^{\sqrt{e^x - 1}} \frac{2t}{t^2 + 1} \cdot \frac{1}{t} dt = \int_{1}^{\sqrt{e^x - 1}} \frac{2}{t^2 + 1} dt = \frac{\pi}{6}$.
$2 [\tan^{-1} t]_{1}^{\sqrt{e^x - 1}} = \frac{\pi}{6}$.
$\tan^{-1}(\sqrt{e^x - 1}) - \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{12}$.
$\tan^{-1}(\sqrt{e^x - 1}) - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}$.
$\tan^{-1}(\sqrt{e^x - 1}) = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi + 3\pi}{12} = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$.
$\sqrt{e^x - 1} = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
$e^x - 1 = 3$.
$e^x = 4$.

(C) ધારો કે $I = \frac{1}{c}\int_{ac}^{bc} {f\left( \frac{x}{c} \right)} \,dx$.
$\frac{x}{c} = t$ આદેશ લેતા,જેનો અર્થ છે કે $x = ct$.
તેથી,વિકલન $dx = c \, dt$ થશે.
હવે,સંકલનની સીમાઓ બદલતા:
જ્યારે $x = ac$,ત્યારે $t = \frac{ac}{c} = a$.
જ્યારે $x = bc$,ત્યારે $t = \frac{bc}{c} = b$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{1}{c} \int_{a}^{b} f(t) \cdot (c \, dt)$
$I = \int_{a}^{b} f(t) \, dt$.
સંકલનનો ચલ એ ડમી ચલ હોવાથી,આપણે $t$ ને $x$ દ્વારા બદલી શકીએ છીએ:
$I = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\frac{d}{dx}F(x) = \frac{e^{\sin x}}{x}$.
આપણે સંકલન $I = \int_{1}^{4} \frac{3}{x} e^{\sin(x^3)} dx$ ની ગણતરી કરવાની છે.
આદેશ લેવા માટે અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ગુણતા:
$I = \int_{1}^{4} \frac{3x^2}{x^3} e^{\sin(x^3)} dx$.
ધારો કે $t = x^3$,તેથી $dt = 3x^2 dx$.
જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $t = 1^3 = 1$.
જ્યારે $x = 4$,ત્યારે $t = 4^3 = 64$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{1}^{64} \frac{e^{\sin t}}{t} dt$.
કારણ કે $\frac{d}{dt}F(t) = \frac{e^{\sin t}}{t}$,તેથી સંકલન:
$I = [F(t)]_{1}^{64} = F(64) - F(1)$.
આપેલ પદ $F(k) - F(1)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 64$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int_0^1 \frac{x^7}{\sqrt{1 - x^4}} dx = \int_0^1 \frac{x^6 \cdot x}{\sqrt{1 - x^4}} dx$.
$u = x^4$ લેતા,$du = 4x^3 dx$. તેથી $x^4 = u$ અને $x^2 = \sqrt{u}$.
$I = \int_0^1 \frac{x^4 \cdot x^3}{\sqrt{1 - x^4}} dx = \int_0^1 \frac{u}{\sqrt{1 - u}} \cdot \frac{1}{4} du$.
$1 - u = v^2$ લેતા,$du = -2v dv$. જ્યારે $u=0, v=1$; જ્યારે $u=1, v=0$.
$I = \frac{1}{4} \int_1^0 \frac{1 - v^2}{v} (-2v) dv = \frac{1}{2} \int_0^1 (1 - v^2) dv$.
$I = \frac{1}{2} [v - \frac{v^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

(C) ધારો કે $I = \int_a^b f(x)g(x) dx$.
આપેલ છે કે $\frac{d[f(x)]}{dx} = g(x)$,તેથી આપણે $g(x) dx = d[f(x)]$ લખી શકીએ.
$f(x) = t$ લેતા,$df(x) = dt$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $g(x) dx = dt$.
જ્યારે $x = a$ હોય ત્યારે $t = f(a)$ અને જ્યારે $x = b$ હોય ત્યારે $t = f(b)$ થાય.
આમ,સંકલન $I = \int_{f(a)}^{f(b)} t dt$ બને છે.
સંકલન કરતા,$I = \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{f(a)}^{f(b)} = \frac{[f(b)]^2 - [f(a)]^2}{2}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int_0^{\pi /4} \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x} \, dx$.
અંશ અને છેદને $\cos^2 x$ વડે ભાગતા:
$I = \int_0^{\pi /4} \frac{\sqrt{\tan x} / \cos^2 x}{(\sin x \cos x) / \cos^2 x} \, dx = \int_0^{\pi /4} \frac{\sqrt{\tan x} \sec^2 x}{\tan x} \, dx = \int_0^{\pi /4} \frac{\sec^2 x}{\sqrt{\tan x}} \, dx$.
ધારો કે $t = \tan x$,તેથી $dt = \sec^2 x \, dx$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = 0$. જ્યારે $x = \pi / 4$,ત્યારે $t = 1$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{t}} \, dt = \int_0^1 t^{-1/2} \, dt$.
સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$I = [2t^{1/2}]_0^1 = 2(1) - 2(0) = 2$.

(C) ધારો કે $t = e^{x^2}$.
તેથી,$dt = e^{x^2} \cdot 2x dx$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = e^{0^2} = e^0 = 1$.
જ્યારે $x = \sqrt{\ln(\frac{\pi}{2})}$,ત્યારે $t = e^{(\sqrt{\ln(\frac{\pi}{2})})^2} = e^{\ln(\frac{\pi}{2})} = \frac{\pi}{2}$.
આમ,સંકલન $\int_{1}^{\frac{\pi}{2}} \cos(t) dt$ બને છે.
સંકલનનું મૂલ્ય મેળવતા: $[\sin(t)]_{1}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(1) = 1 - \sin(1)$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{e^x \sqrt{e^x - 1}}{e^x + 3} dx$.
$t = e^x$ આદેશ લેતા,$dt = e^x dx$ મળે.
સંકલન $I = \int \frac{\sqrt{t - 1}}{t + 3} dt$ બને છે.
$u = \sqrt{t - 1}$ આદેશ લેતા,$u^2 = t - 1$,તેથી $t = u^2 + 1$ અને $2u du = dt$ મળે.
$I = \int \frac{u \cdot 2u du}{u^2 + 1 + 3} = 2 \int \frac{u^2}{u^2 + 4} du$.
$I = 2 \int \left( 1 - \frac{4}{u^2 + 4} \right) du = 2u - 8 \int \frac{1}{u^2 + 2^2} du$.
$I = 2u - 8 \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1}\left( \frac{u}{2} \right) = 2u - 4 \tan^{-1}\left( \frac{u}{2} \right)$.
$u = \sqrt{e^x - 1}$ પાછું મૂકતા,$2 \sqrt{e^x - 1} - 4 \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{e^x - 1}}{2} \right)$ મળે.
સીમા $0$ થી $\ln 5$ લેતા:
$x = \ln 5$ માટે,$e^x = 5$,તેથી $u = \sqrt{5 - 1} = 2$.
$x = 0$ માટે,$e^x = 1$,તેથી $u = \sqrt{1 - 1} = 0$.
પરિણામ $= [2(2) - 4 \tan^{-1}(1)] - [2(0) - 4 \tan^{-1}(0)] = 4 - 4(\frac{\pi}{4}) = 4 - \pi$.

(D) ધારો કે $I = \int\limits_0^{{{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^{\frac{1}{3}}}} {\,{x^5}\cdot\sin {x^3}\,dx} $.
$t = x^3$ આદેશ લેતા,$dt = 3x^2 dx$,જેનો અર્થ છે કે $x^2 dx = \frac{1}{3} dt$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = 0$.
જ્યારે $x = (\frac{\pi}{2})^{1/3}$,ત્યારે $t = \frac{\pi}{2}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} {t \cdot \sin(t) \cdot \frac{1}{3} dt} = \frac{1}{3} \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} {t \sin(t) dt}$.
ખંડશઃ સંકલન $\int u dv = uv - \int v du$ નો ઉપયોગ કરતા,$u = t$ અને $dv = \sin(t) dt$ લો.
તેથી $du = dt$ અને $v = -\cos(t)$.
$I = \frac{1}{3} [ -t \cos(t) |_0^{\frac{\pi}{2}} - \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} {-\cos(t) dt} ]$.
$I = \frac{1}{3} [ (- \frac{\pi}{2} \cos(\frac{\pi}{2}) + 0) + \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(t) dt ]$.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$,પ્રથમ પદ $0$ થશે.
$I = \frac{1}{3} [ \sin(t) |_0^{\frac{\pi}{2}} ] = \frac{1}{3} [ \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0) ] = \frac{1}{3} [ 1 - 0 ] = \frac{1}{3}$.

(C) ધારો કે $I = \int\limits_0^1 {\frac{{{{\tan }^{ - 1}}x}}{x}\,dx} $.
$x = \tan \theta$ આદેશ લેતા,$dx = \sec^2 \theta \, d\theta$ મળે.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $\theta = 0$ અને જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $\theta = \frac{\pi}{4}$.
$I = \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} {\frac{\theta}{{\tan \theta}} \cdot \sec^2 \theta \, d\theta} = \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} {\frac{\theta}{{\sin \theta \cos \theta}} \, d\theta} = \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} {\frac{{2\theta}}{{\sin 2\theta}} \, d\theta}$.
હવે $2\theta = y$ લેતા,$2 \, d\theta = dy$ એટલે કે $d\theta = \frac{1}{2} dy$.
જ્યારે $\theta = 0$,ત્યારે $y = 0$ અને જ્યારે $\theta = \frac{\pi}{4}$,ત્યારે $y = \frac{\pi}{2}$.
$I = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} {\frac{y}{{\sin y}} \cdot \frac{1}{2} \, dy} = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} {\frac{y}{{\sin y}} \, dy} = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} {\frac{x}{{\sin x}} \, dx}$.

(B) ધારો કે $I = \int_0^2 \frac{375 x^5}{(1 + x^2)^4} dx$.
$u = 1 + x^2$ આદેશ લેતા,$du = 2x dx$,તેથી $x^2 = u - 1$ અને $x dx = \frac{du}{2}$ મળે.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $u = 1$. જ્યારે $x = 2$,ત્યારે $u = 5$.
$I = \int_1^5 \frac{375 (x^2)^2 x}{(1 + x^2)^4} dx = \int_1^5 \frac{375 (u - 1)^2}{u^4} \cdot \frac{du}{2}$.
$I = \frac{375}{2} \int_1^5 \frac{u^2 - 2u + 1}{u^4} du = \frac{375}{2} \int_1^5 (u^{-2} - 2u^{-3} + u^{-4}) du$.
$I = \frac{375}{2} \left[ -u^{-1} + u^{-2} - \frac{1}{3} u^{-3} \right]_1^5$.
$I = \frac{375}{2} \left[ (-\frac{1}{5} + \frac{1}{25} - \frac{1}{375}) - (-1 + 1 - \frac{1}{3}) \right]$.
$I = \frac{375}{2} \left[ \frac{-75 + 15 - 1}{375} + \frac{1}{3} \right] = \frac{375}{2} \left[ \frac{-61}{375} + \frac{125}{375} \right] = \frac{375}{2} \cdot \frac{64}{375} = \frac{64}{2} = 32$.
$32 = 2^5$ હોવાથી,$2^n = 2^5$,જેનો અર્થ છે કે $n = 5$.

(A) ધારો કે $I = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1 - x^2} \ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right) dx$.
આદેશ લો $t = \ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right) = \ln(1 + x) - \ln(1 - x)$.
તેથી $dt = \left( \frac{1}{1 + x} - \frac{-1}{1 - x} \right) dx = \left( \frac{1 - x + 1 + x}{1 - x^2} \right) dx = \frac{2}{1 - x^2} dx$.
આમ,$\frac{dx}{1 - x^2} = \frac{1}{2} dt$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = \ln(1) = 0$.
જ્યારે $x = \frac{1}{2}$,ત્યારે $t = \ln \left( \frac{1 + 1/2}{1 - 1/2} \right) = \ln \left( \frac{3/2}{1/2} \right) = \ln 3$.
તેથી,$I = \int\limits_0^{\ln 3} t \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^{\ln 3} = \frac{1}{4} \ln^2 3$.
કારણ કે $\ln^2(1/3) = (\ln 1 - \ln 3)^2 = (-\ln 3)^2 = \ln^2 3$,તેથી જવાબ $\frac{1}{4} \ln^2 3$ અથવા $\frac{1}{4} \ln^2 \left( \frac{1}{3} \right)$ છે.

(D) ધારો કે $u = x \tan \theta$. તેથી $du = \tan \theta \, dx$,જેનો અર્થ છે કે $dx = \frac{du}{\tan \theta} = \cot \theta \, du$.
જ્યારે $x = \sin \theta$,ત્યારે $u = \sin \theta \tan \theta$.
જ્યારે $x = \cos \theta$,ત્યારે $u = \cos \theta \tan \theta = \sin \theta$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$\int_{\sin \theta}^{\cos \theta} f(x \tan \theta) \, dx = \int_{\sin \theta \tan \theta}^{\sin \theta} f(u) \cot \theta \, du$
$= \cot \theta \int_{\sin \theta \tan \theta}^{\sin \theta} f(u) \, du$
$= -\cot \theta \int_{\sin \theta}^{\sin \theta \tan \theta} f(u) \, du$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો જવાબ વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\frac{d}{dx} G(x) = \frac{e^{\tan x}}{x}$,જ્યાં $x \in (0, \pi/2)$.
ધારો કે $I = \int_{1/4}^{1/2} \frac{2}{x} e^{\tan(\pi x^2)} dx$.
સંકલનની અંદર $\pi$ વડે ગુણતા અને ભાગતા: $I = \int_{1/4}^{1/2} \frac{2\pi x}{\pi x^2} e^{\tan(\pi x^2)} dx$.
ધારો કે $t = \pi x^2$. તેથી $dt = 2\pi x dx$.
જ્યારે $x = 1/4$,ત્યારે $t = \pi/16$. જ્યારે $x = 1/2$,ત્યારે $t = \pi/4$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $I = \int_{\pi/16}^{\pi/4} \frac{e^{\tan t}}{t} dt$.
કારણ કે $\frac{d}{dt} G(t) = \frac{e^{\tan t}}{t}$,તેથી સંકલનનું મૂલ્ય $[G(t)]_{\pi/16}^{\pi/4} = G(\pi/4) - G(\pi/16)$ થશે.

(C) ધારો કે $I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \sec^{2/3} x \csc^{4/3} x \, dx$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ:
$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1}{\cos^{2/3} x \sin^{4/3} x} \, dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1}{\cos^{2/3} x \sin^{2/3} x \cdot \sin^{2/3} x} \, dx$
$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1}{(\sin x \cos x)^{2/3} \cdot \sin^{2/3} x} \, dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1}{\tan^{2/3} x \cdot \sin^2 x} \, dx$
$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\sec^2 x}{\tan^{2/3} x} \, dx$.
ધારો કે $\tan x = t$,તેથી $\sec^2 x \, dx = dt$.
જ્યારે $x = \pi/6$,ત્યારે $t = \tan(\pi/6) = 1/\sqrt{3} = 3^{-1/2}$.
જ્યારે $x = \pi/3$,ત્યારે $t = \tan(\pi/3) = \sqrt{3} = 3^{1/2}$.
$I = \int_{3^{-1/2}}^{3^{1/2}} t^{-2/3} \, dt = \left[ \frac{t^{1/3}}{1/3} \right]_{3^{-1/2}}^{3^{1/2}} = 3 \left[ t^{1/3} \right]_{3^{-1/2}}^{3^{1/2}}$
$I = 3 \left( (3^{1/2})^{1/3} - (3^{-1/2})^{1/3} \right) = 3 \left( 3^{1/6} - 3^{-1/6} \right)$
$I = 3^{1 + 1/6} - 3^{1 - 1/6} = 3^{7/6} - 3^{5/6}$.

(B) સંકલન $I = \int_{3}^{5} \frac{1}{2x + 3} dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
ધારો કે $u = 2x + 3$,તેથી $du = 2 dx$,જેનો અર્થ છે કે $dx = \frac{du}{2}$.
જ્યારે $x = 3$ હોય,ત્યારે $u = 2(3) + 3 = 9$.
જ્યારે $x = 5$ હોય,ત્યારે $u = 2(5) + 3 = 13$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{9}^{13} \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} [\ln |u|]_{9}^{13}$.
$I = \frac{1}{2} (\ln 13 - \ln 9) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{13}{9} \right)$.

(A) ધારો કે $I = \int_{4}^{9} \frac{\sqrt{x}}{\left(30-x^{\frac{3}{2}}\right)^{2}} d x$.
આપણે આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરીશું. ધારો કે $t = 30 - x^{\frac{3}{2}}$.
તેથી,$dt = -\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} dx$,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{x} dx = -\frac{2}{3} dt$.
જ્યારે $x = 4$,ત્યારે $t = 30 - 4^{\frac{3}{2}} = 30 - 8 = 22$.
જ્યારે $x = 9$,ત્યારે $t = 30 - 9^{\frac{3}{2}} = 30 - 27 = 3$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{22}^{3} -\frac{2}{3} \frac{dt}{t^2} = \frac{2}{3} \int_{3}^{22} t^{-2} dt$.
$I = \frac{2}{3} \left[ -\frac{1}{t} \right]_{3}^{22} = \frac{2}{3} \left( -\frac{1}{22} - (-\frac{1}{3}) \right) = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{22} \right)$.
$I = \frac{2}{3} \left( \frac{22 - 3}{66} \right) = \frac{2}{3} \left( \frac{19}{66} \right) = \frac{19}{99}$.

(1/8) ધારો કે $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{3} 2 t \cos 2 t \,d t$.
$\sin 2 t = u$ લો. તેથી,$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $2 \cos 2 t \,d t = d u$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\cos 2 t \,d t = \frac{1}{2} d u$.
હવે,સંકલનની સીમાઓ બદલો:
જ્યારે $t = 0$,ત્યારે $u = \sin(2 \times 0) = \sin 0 = 0$.
જ્યારે $t = \frac{\pi}{4}$,ત્યારે $u = \sin(2 \times \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{0}^{1} u^{3} \cdot \frac{1}{2} d u$
$I = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^{4}}{4} \right]_{0}^{1}$
$I = \frac{1}{2} \left( \frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4} \right)$
$I = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$.

(N/A) ધારો કે $I = \int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}+1} dx$.
આનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે,આપણે આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. ધારો કે $u = x^{2} + 1$. તો $du = 2x dx$,જેનો અર્થ છે કે $x dx = \frac{1}{2} du$.
સંકલનની સીમાઓ બદલતા:
જ્યારે $x = 2$,ત્યારે $u = 2^{2} + 1 = 5$.
જ્યારે $x = 3$,ત્યારે $u = 3^{2} + 1 = 10$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{5}^{10} \frac{1}{2u} du = \frac{1}{2} [\ln |u|]_{5}^{10}$.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2} (\ln 10 - \ln 5) = \frac{1}{2} \ln \left(\frac{10}{5}\right) = \frac{1}{2} \ln 2$.

(N/A) ધારો કે $I = \int_{0}^{1} x e^{x^{2}} d x$.
$x^{2} = t$ આદેશ લેતા,જેથી $2x \, dx = dt$ અથવા $x \, dx = \frac{1}{2} dt$ મળે.
સંકલનની સીમાઓ બદલતા:
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = 0^{2} = 0$.
જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $t = 1^{2} = 1$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{0}^{1} e^{t} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{t} dt$.
$e^{t}$ નું સંકલન $e^{t}$ થાય છે.
સીમાઓ લાગુ પાડતા:
$I = \frac{1}{2} [e^{t}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} (e^{1} - e^{0})$.
કારણ કે $e^{0} = 1$,તેથી:
$I = \frac{1}{2} (e - 1)$.

(A) ધારો કે $t = x^{5} + 1$. તેથી,$dt = 5x^{4} dx$.
જ્યારે $x = -1$,ત્યારે $t = (-1)^{5} + 1 = 0$.
જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $t = (1)^{5} + 1 = 2$.
તેથી,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$\int_{0}^{2} \sqrt{t} dt = \left[ \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{2}$
$= \frac{2}{3} (2^{\frac{3}{2}} - 0^{\frac{3}{2}})$
$= \frac{2}{3} (2\sqrt{2}) = \frac{4\sqrt{2}}{3}$.

(C) ધારો કે $t = \tan^{-1} x$. તેથી,$dt = \frac{1}{1+x^2} dx$.
સંકલનની સીમાઓ બદલતા:
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = \tan^{-1}(0) = 0$.
જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $t = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int_{0}^{1} \frac{\tan^{-1} x}{1+x^2} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} t dt$.
સંકલનનું મૂલ્ય મેળવતા:
$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} t dt = \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2} \left( \left( \frac{\pi}{4} \right)^2 - 0^2 \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi^2}{16} \right) = \frac{\pi^2}{32}$.

(A) સંકલન $\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+1} d x$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
ધારો કે $x^{2}+1 = t$. તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2x dx = dt$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x dx = \frac{1}{2} dt$.
હવે,સંકલનની સીમાઓ બદલો:
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = 0^{2} + 1 = 1$.
જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $t = 1^{2} + 1 = 2$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+1} d x = \int_{1}^{2} \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{t} dt$.
$\frac{1}{t}$ નું સંકલન $\log |t|$ થાય છે.
$= \frac{1}{2} [\log |t|]_{1}^{2}$.
$= \frac{1}{2} (\log 2 - \log 1)$.
કારણ કે $\log 1 = 0$,આપણને મળે છે:
$= \frac{1}{2} \log 2$.

ધારો કે $I = \int_{0}^{1} \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right) d x$.
$x = \tan \theta$ આદેશ લેતા,$d x = \sec ^{2} \theta d \theta$ મળે.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $\theta = 0$ અને જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $\theta = \frac{\pi}{4}$.
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{-1}(\sin 2 \theta) \sec ^{2} \theta d \theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2 \theta \sec ^{2} \theta d \theta$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int u v d \theta = u \int v d \theta - \int (u' \int v d \theta) d \theta$,જ્યાં $u = \theta$ અને $v = \sec^2 \theta$:
$I = 2 \left[ \theta \tan \theta - \int \tan \theta d \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = 2 [ \theta \tan \theta + \ln |\cos \theta| ]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$.
સીમાઓ મૂકતા:
$I = 2 \left[ \frac{\pi}{4} \tan \frac{\pi}{4} + \ln |\cos \frac{\pi}{4}| - (0 + \ln |\cos 0|) \right] = 2 \left[ \frac{\pi}{4} + \ln \frac{1}{\sqrt{2}} - 0 \right]$.
કારણ કે $\ln \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{2} \ln 2$:
$I = 2 \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2 \right] = \frac{\pi}{2} - \ln 2$.

(C) આપણે સંકલન $I = \int_{0}^{2} x \sqrt{x+2} \, dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ધારો કે $x+2 = t^{2}$. તેથી $x = t^{2}-2$ અને $dx = 2t \, dt$ થાય.
સંકલનની સીમાઓ બદલતા:
જ્યારે $x=0$,ત્યારે $t^{2} = 0+2 = 2$,તેથી $t = \sqrt{2}$.
જ્યારે $x=2$,ત્યારે $t^{2} = 2+2 = 4$,તેથી $t = 2$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{\sqrt{2}}^{2} (t^{2}-2) \sqrt{t^{2}} \cdot (2t) \, dt$
$I = \int_{\sqrt{2}}^{2} (t^{2}-2) \cdot t \cdot 2t \, dt$
$I = 2 \int_{\sqrt{2}}^{2} (t^{4}-2t^{2}) \, dt$
હવે,$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$I = 2 \left[ \frac{t^{5}}{5} - \frac{2t^{3}}{3} \right]_{\sqrt{2}}^{2}$
$I = 2 \left[ \left( \frac{32}{5} - \frac{16}{3} \right) - \left( \frac{(\sqrt{2})^{5}}{5} - \frac{2(\sqrt{2})^{3}}{3} \right) \right]$
$I = 2 \left[ \left( \frac{96-80}{15} \right) - \left( \frac{4\sqrt{2}}{5} - \frac{4\sqrt{2}}{3} \right) \right]$
$I = 2 \left[ \frac{16}{15} - \left( \frac{12\sqrt{2}-20\sqrt{2}}{15} \right) \right]$
$I = 2 \left[ \frac{16}{15} - \left( -\frac{8\sqrt{2}}{15} \right) \right] = 2 \left( \frac{16+8\sqrt{2}}{15} \right) = \frac{32+16\sqrt{2}}{15}$

(A) ધારો કે $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos ^{2} x} \,d x$.
$\cos x = t$ આદેશ લેતા,જેનો અર્થ છે કે $-\sin x \,d x = d t$ અથવા $\sin x \,d x = -d t$.
સંકલનની સીમાઓ બદલતા:
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = \cos(0) = 1$.
જ્યારે $x = \frac{\pi}{2}$,ત્યારે $t = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
હવે,આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{1}^{0} \frac{-d t}{1+t^{2}} = \int_{0}^{1} \frac{d t}{1+t^{2}}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{1}{1+t^2} \,dt = \tan^{-1} t + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = [\tan^{-1} t]_{0}^{1}$.
સીમાઓ પર મૂલ્ય શોધતા:
$I = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$.

(D) ધારો કે $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\sin 2 x}} d x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 2x = 1 - (1 - \sin 2x) = 1 - (\sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x) = 1 - (\sin x - \cos x)^2$.
તેથી,$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{1 - (\sin x - \cos x)^2}} d x$.
ધારો કે $t = \sin x - \cos x$. તો $dt = (\cos x + \sin x) dx$.
જ્યારે $x = \frac{\pi}{6}$,ત્યારે $t = \sin(\frac{\pi}{6}) - \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$.
જ્યારે $x = \frac{\pi}{3}$,ત્યારે $t = \sin(\frac{\pi}{3}) - \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
આમ,$I = \int_{\frac{1-\sqrt{3}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}-1}{2}} \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$.
કારણ કે $f(t) = \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$ એ યુગ્મ વિધેય છે,તેથી $I = 2 \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}-1}{2}} \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$.
$I = 2 [\sin^{-1} t]_{0}^{\frac{\sqrt{3}-1}{2}} = 2 \sin^{-1}(\frac{\sqrt{3}-1}{2})$.
$\sin^{-1}(\frac{\sqrt{3}-1}{2}) = \frac{\pi}{12}$ હોવાથી,
તેથી,$I = 2 \times \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$.

(D) ધારો કે $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x \tan^{-1}(\sin x) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin x \cos x \tan^{-1}(\sin x) dx$.
ધારો કે $\sin x = t$,તેથી $\cos x dx = dt$.
જ્યારે $x = 0, t = 0$ અને જ્યારે $x = \frac{\pi}{2}, t = 1$.
તેથી,$I = 2 \int_{0}^{1} t \tan^{-1}(t) dt$.....$(1)$.
$\int t \tan^{-1} t dt$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$\int t \tan^{-1} t dt = \tan^{-1} t \cdot \frac{t^2}{2} - \int \frac{1}{1+t^2} \cdot \frac{t^2}{2} dt$
$= \frac{t^2 \tan^{-1} t}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{t^2+1-1}{1+t^2} dt$
$= \frac{t^2 \tan^{-1} t}{2} - \frac{1}{2} \int (1 - \frac{1}{1+t^2}) dt$
$= \frac{t^2 \tan^{-1} t}{2} - \frac{1}{2} (t - \tan^{-1} t) = \frac{t^2 \tan^{-1} t}{2} - \frac{t}{2} + \frac{1}{2} \tan^{-1} t$.
નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્યાંકન કરતા:
$\int_{0}^{1} t \tan^{-1} t dt = [\frac{t^2 \tan^{-1} t}{2} - \frac{t}{2} + \frac{1}{2} \tan^{-1} t]_{0}^{1}$
$= (\frac{1 \cdot \frac{\pi}{4}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4}) - (0) = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} + \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$.
સમીકરણ $(1)$ માં કિંમત મૂકતા:
$I = 2 \times (\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}) = \frac{\pi}{2} - 1$.

(C) ધારો કે $I = \int \limits_0^1 (x^{21}+x^{14}+x^7)(2x^{14}+3x^7+6)^{1/7} dx$.
$t = 2x^{21} + 3x^{14} + 6x^7$ લેતા,
$dt = (42x^{20} + 42x^{13} + 42x^6) dx = 42x^6(x^{14} + x^7 + 1) dx$.
તેથી,$\int_0^1 (x^{21}+x^{14}+x^7)(2x^{14}+3x^7+6)^{1/7} dx = \frac{1}{42} \int_0^{11} t^{1/7} dt = \frac{1}{42} [\frac{7}{8} t^{8/7}]_0^{11} = \frac{1}{48} (11)^{8/7}$.
અહીં $l = 48, m = 8, n = 7$. $m$ અને $n$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,$l+m+n = 48+8+7 = 63$.

(B) આપેલ છે $y=f(x)$,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = f'(x)$ છે.
$x=1$ આગળ,$f'(1) = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$x=3$ આગળ,$f'(3) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
સંકલન $I = \int_1^3 ((f'(t))^2 + 1) f''(t) dt$ ધ્યાનમાં લો.
ધારો કે $z = f'(t)$,તો $dz = f''(t) dt$.
જ્યારે $t=1$,$z = f'(1) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
જ્યારે $t=3$,$z = f'(3) = 1$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{1/\sqrt{3}}^1 (z^2 + 1) dz = \left[ \frac{z^3}{3} + z \right]_{1/\sqrt{3}}^1$
$I = (\frac{1}{3} + 1) - (\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}})$
$I = \frac{4}{3} - (\frac{1}{9\sqrt{3}} + \frac{3}{3\sqrt{3}}) = \frac{4}{3} - \frac{10}{9\sqrt{3}} = \frac{4}{3} - \frac{10\sqrt{3}}{27}$.
હવે,$27I = 27(\frac{4}{3} - \frac{10\sqrt{3}}{27}) = 36 - 10\sqrt{3}$.
$\alpha + \beta\sqrt{3}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 36$ અને $\beta = -10$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = 36 - 10 = 26$.

(D) આપેલ છે કે $f(x)=\frac{x}{(1+x^4)^{1/4}}$.
પ્રથમ,$f(f(x)) = \frac{f(x)}{(1+f(x)^4)^{1/4}} = \frac{\frac{x}{(1+x^4)^{1/4}}}{(1+\frac{x^4}{1+x^4})^{1/4}} = \frac{x}{(1+2x^4)^{1/4}}$ મેળવીએ.
ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા,$g(x) = f(f(f(f(x)))) = \frac{x}{(1+4x^4)^{1/4}}$.
આપણે $I = 18 \int_0^{\sqrt{2\sqrt{5}}} \frac{x^4}{(1+4x^4)^{1/4}} dx$ ની ગણતરી કરવાની છે.
ધારો કે $1+4x^4 = t^4$,તેથી $16x^3 dx = 4t^3 dt$,જેનો અર્થ છે કે $x^3 dx = \frac{1}{4} t^3 dt$.
જ્યારે $x=0$,ત્યારે $t=1$. જ્યારે $x=\sqrt{2\sqrt{5}}$,ત્યારે $x^4 = 4(5) = 20$,તેથી $t^4 = 1+4(20) = 81$,એટલે કે $t=3$.
$I = 18 \int_1^3 \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{4} t^3 dt = \frac{18}{4} \int_1^3 t^2 dt = \frac{9}{2} [\frac{t^3}{3}]_1^3 = \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{3} (27-1) = \frac{3}{2} (26) = 39$.

(C) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\cos ^2 x \sin ^2 x}{\left(\cos ^3 x+\sin ^3 x\right)^2} d x$.
અંશ અને છેદને $\cos^6 x$ વડે ભાગતા:
$I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\frac{\cos ^2 x \sin ^2 x}{\cos^6 x}}{\left(\frac{\cos ^3 x+\sin ^3 x}{\cos^3 x}\right)^2} d x = \int_0^{\pi / 4} \frac{\tan^2 x \sec^2 x}{(1+\tan^3 x)^2} d x$.
ધારો કે $t = 1 + \tan^3 x$. તેથી $dt = 3 \tan^2 x \sec^2 x d x$,જેનો અર્થ છે કે $\tan^2 x \sec^2 x d x = \frac{dt}{3}$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = 1 + 0 = 1$. જ્યારે $x = \pi / 4$,ત્યારે $t = 1 + (1)^3 = 2$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \frac{1}{3} \int_1^2 \frac{dt}{t^2} = \frac{1}{3} \left[ -\frac{1}{t} \right]_1^2 = \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} - (-1) \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{6}$.