Fundamental integration Questions in Gujarati

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C$.
આપેલ સંકલન $I = \int \frac{dx}{\sqrt{4^2 - (3x)^2}}$ છે.
$u = 3x$ આદેશ લેતા,$du = 3dx$ મળે,તેથી $dx = \frac{du}{3}$.
$I = \int \frac{du/3}{\sqrt{4^2 - u^2}} = \frac{1}{3} \int \frac{du}{\sqrt{4^2 - u^2}}$.
$I = \frac{1}{3} \sin^{-1}(\frac{u}{4}) + C = \frac{1}{3} \sin^{-1}(\frac{3x}{4}) + C$.
આને $A \sin^{-1}(Bx) + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = \frac{1}{3}$ અને $B = \frac{3}{4}$ મળે છે.
તેથી,$A + B = \frac{1}{3} + \frac{3}{4} = \frac{4 + 9}{12} = \frac{13}{12}$.

(A) આપણને સંકલન $\int \frac{1}{\sqrt{9-16 x^2}} d x$ આપેલ છે.
છેદને $\sqrt{3^2-(4 x)^2}$ તરીકે ફરીથી લખો.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-u^2}} d u = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + c$ નો ઉપયોગ કરીને,જ્યાં $u = 4x$ અને $du = 4 dx$ છે,આપણને મળે છે:
$\int \frac{1}{\sqrt{3^2-(4 x)^2}} d x = \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{3^2-(4 x)^2}} d(4x) = \frac{1}{4} \sin^{-1}(\frac{4x}{3}) + c$.
આને $\alpha \sin^{-1}(\beta x) + c$ સાથે સરખાવતા,આપણે $\alpha = \frac{1}{4}$ અને $\beta = \frac{4}{3}$ મેળવીએ છીએ.
હવે,$\alpha + \frac{1}{\beta} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4/3} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$ ની ગણતરી કરો.

(A) આપેલ સંકલન સમીકરણ: $\int \frac{f(x)}{\log (\sin x)} d x = \log [\log \sin x] + c$.
$f(x)$ શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$\frac{d}{d x} \left( \int \frac{f(x)}{\log (\sin x)} d x \right) = \frac{d}{d x} (\log [\log \sin x] + c)$.
ડાબી બાજુએ કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{f(x)}{\log (\sin x)} = \frac{d}{d x} (\log [\log \sin x])$.
જમણી બાજુએ સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{d}{d x} (\log [\log \sin x]) = \frac{1}{\log \sin x} \cdot \frac{d}{d x} (\log \sin x)$.
કારણ કે $\frac{d}{d x} (\log \sin x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$,તેથી આપણને મળે છે:
$\frac{f(x)}{\log \sin x} = \frac{1}{\log \sin x} \cdot \cot x$.
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $f(x) = \cot x$ મળે છે.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{\sqrt{8+2x-x^2}}$.
પ્રથમ,વર્ગમૂળની અંદરની દ્વિઘાત પદાવલિ માટે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરીએ:
$8+2x-x^2 = -(x^2-2x-8) = -(x^2-2x+1-9) = -( (x-1)^2 - 9 ) = 9 - (x-1)^2$.
હવે,આ કિંમતને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dx}{\sqrt{9-(x-1)^2}} = \int \frac{dx}{\sqrt{3^2-(x-1)^2}}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+c$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \sin^{-1}\left(\frac{x-1}{3}\right)+c$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{1}{7-6 x-x^2} dx$.
પ્રથમ,છેદમાં પૂર્ણવર્ગ પદાવલિ બનાવો: $7-6x-x^2 = 7 - (x^2+6x) = 7 - (x^2+6x+9-9) = 16 - (x+3)^2$.
તેથી,$I = \int \frac{1}{16-(x+3)^2} dx$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{1}{a^2-x^2} dx = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + c$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=4$ અને $x$ ની જગ્યાએ $(x+3)$ છે:
$I = \frac{1}{2(4)} \log \left| \frac{4+(x+3)}{4-(x+3)} \right| + c$.
$I = \frac{1}{8} \log \left| \frac{7+x}{1-x} \right| + c$.

(A) આપણી પાસે $I = \int \tan^4 x dx = \int \tan^2 x (\sec^2 x - 1) dx$ છે.
$I = \int \tan^2 x \sec^2 x dx - \int \tan^2 x dx$.
$I = \int \tan^2 x \sec^2 x dx - \int (\sec^2 x - 1) dx$.
$I = \frac{\tan^3 x}{3} - \tan x + x + k$.
આને $a \tan^3 x + b \tan x + c x + k$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = \frac{1}{3}$,$b = -1$,અને $c = 1$ મળે છે.
તેથી,$a - b + c = \frac{1}{3} - (-1) + 1 = \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}$.

(A) આપેલ છે કે $f\left(\frac{x-4}{x-2}\right)=2x+1$.
ધારો કે $y = \frac{x-4}{x-2}$.
તેથી $y = \frac{x-2-2}{x-2} = 1 - \frac{2}{x-2}$.
આથી,$\frac{2}{x-2} = 1-y$,જેનો અર્થ છે કે $x-2 = \frac{2}{1-y} = \frac{-2}{y-1}$.
આમ,$x = 2 - \frac{2}{y-1} = \frac{2y-2-2}{y-1} = \frac{2y-4}{y-1}$.
હવે,$f(y) = 2x+1 = 2\left(\frac{2y-4}{y-1}\right) + 1 = \frac{4y-8+y-1}{y-1} = \frac{5y-9}{y-1} = \frac{5(y-1)-4}{y-1} = 5 - \frac{4}{y-1}$.
તેથી,$f(x) = 5 - \frac{4}{x-1}$.
હવે,$\int f(x) dx = \int \left(5 - \frac{4}{x-1}\right) dx = 5x - 4 \log |x-1| + c$.

(D) સંકલન $I = \int \frac{d x}{7+6 x-x^2}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે છેદમાં રહેલી દ્વિઘાત પદાવલિ માટે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરીએ:
$7+6 x-x^2 = -(x^2-6 x-7) = -(x^2-6 x+9-16) = 16-(x-3)^2$.
આમ,સંકલન $I = \int \frac{d x}{4^2-(x-3)^2}$ બને છે.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \frac{d x}{a^2-x^2} = \frac{1}{2 a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + c$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=4$ અને $x$ ની જગ્યાએ $(x-3)$ છે:
$I = \frac{1}{2(4)} \log \left| \frac{4+(x-3)}{4-(x-3)} \right| + c$.
લોગેરિધમની અંદરની પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$I = \frac{1}{8} \log \left| \frac{x+1}{7-x} \right| + c$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x}{x+1}$.
આપણે $F(x) = (fof)(x) = f(f(x)) = f\left(\frac{x}{x+1}\right) = \frac{\frac{x}{x+1}}{\frac{x}{x+1} + 1} = \frac{x}{x + (x+1)} = \frac{x}{2x+1}$ મેળવીએ છીએ.
હવે,આપણે સંકલન $\int F(x) \, dx = \int \frac{x}{2x+1} \, dx$ ની ગણતરી કરીએ.
સંકલન કરવા માટે,આપણે અંશમાં ફેરફાર કરીએ છીએ: $\frac{x}{2x+1} = \frac{1}{2} \left( \frac{2x+1-1}{2x+1} \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2x+1} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2(2x+1)}$.
પદ પ્રમાણે સંકલન કરતા: $\int \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2(2x+1)} \right) \, dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \log |2x+1| + c = \frac{x}{2} - \frac{1}{4} \log |2x+1| + c$.

(C) ધારો કે $I = \int \operatorname{cosec}(x-a) \cdot \operatorname{cosec} x \, dx$.
આપણે તેને $I = \int \frac{1}{\sin (x-a) \sin x} \, dx$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
$\sin a$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$I = \frac{1}{\sin a} \int \frac{\sin a}{\sin (x-a) \sin x} \, dx$.
$a$ ને $x - (x-a)$ તરીકે દર્શાવતા:
$I = \frac{1}{\sin a} \int \frac{\sin (x - (x-a))}{\sin (x-a) \sin x} \, dx$.
સૂત્ર $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{\sin a} \int \frac{\sin x \cos (x-a) - \cos x \sin (x-a)}{\sin (x-a) \sin x} \, dx$.
$I = \frac{1}{\sin a} \int \left( \frac{\sin x \cos (x-a)}{\sin (x-a) \sin x} - \frac{\cos x \sin (x-a)}{\sin (x-a) \sin x} \right) \, dx$.
$I = \frac{1}{\sin a} \int (\cot (x-a) - \cot x) \, dx$.
સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{1}{\sin a} [\log |\sin (x-a)| - \log |\sin x|] + c$.
ગુણધર્મ $\log m - \log n = \log(\frac{m}{n})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{\sin a} \log \left| \frac{\sin (x-a)}{\sin x} \right| + c$.
કારણ કે $\frac{1}{\sin x} = \operatorname{cosec} x$,આ નીચે મુજબ પણ લખી શકાય:
$I = \frac{1}{\sin a} \log |\sin (x-a) \cdot \operatorname{cosec} x| + c$.

(D) આપેલ સંકલન $I = \int \tan^{-1} \left( \sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}} \right) dx$ છે.
નિત્યસમ $1 - \sin x = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2$ અને $1 + \sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \tan^{-1} \sqrt{\frac{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2}{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2}} dx$
$I = \int \tan^{-1} \left( \frac{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}} \right) dx$
અંશ અને છેદને $\cos \frac{x}{2}$ વડે ભાગતા:
$I = \int \tan^{-1} \left( \frac{1 - \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan \frac{x}{2}} \right) dx$
સૂત્ર $\tan(\frac{\pi}{4} - \theta) = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \tan^{-1} \left( \tan \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) \right) dx$
$I = \int \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) dx$
પદવાર સંકલન કરતા:
$I = \frac{\pi}{4} x - \frac{x^2}{4} + C$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\sin 2x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx$.
નિત્યસમ $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{2 \sin x \cos x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx$
$I = 2 \int \frac{1}{\sin x \cos x} dx$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$I = 2 \int \frac{2}{2 \sin x \cos x} dx = 4 \int \frac{1}{\sin 2x} dx$
$I = 4 \int \operatorname{cosec} 2x dx$
સૂત્ર $\int \operatorname{cosec} u du = \log |\tan(u/2)| + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 4 \times \frac{1}{2} \log |\tan x| + c = 2 \log |\tan x| + c$
ગુણધર્મ $n \log a = \log a^n$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \log |\tan^2 x| + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\sin x}{\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)} d x$.
$x = (x - \frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4}$ મૂકતા,$I = \int \frac{\sin \left((x-\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4}\right)}{\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)} d x$.
નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \int \frac{\sin (x-\frac{\pi}{4}) \cos \frac{\pi}{4} + \cos (x-\frac{\pi}{4}) \sin \frac{\pi}{4}}{\sin (x-\frac{\pi}{4})} d x$.
$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,$I = \int \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cot (x-\frac{\pi}{4}) \right) d x$.
પદવાર સંકલન કરતા,$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int 1 d x + \frac{1}{\sqrt{2}} \int \cot (x-\frac{\pi}{4}) d x$.
$\cot u$ નું સંકલન $\log |\sin u|$ છે,તેથી $I = \frac{1}{\sqrt{2}} [x + \log |\sin (x-\frac{\pi}{4})|] + c$.

(C) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{dx}{32-2x^2} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{16-x^2}$.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{a^2-x^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + c$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=4$:
$I = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2(4)} \log \left| \frac{4+x}{4-x} \right| \right] + c$
$I = \frac{1}{16} [ \log |4+x| - \log |4-x| ] + c$
$I = -\frac{1}{16} \log |4-x| + \frac{1}{16} \log |4+x| + c$.
આને $A \log(4-x) + B \log(4+x) + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = -\frac{1}{16}$ અને $B = \frac{1}{16}$ મળે છે.

(B) સંકલન $I = \int \frac{1}{\sqrt{4x-x^2}} dx$ ઉકેલવા માટે,આપણે વર્ગમૂળની અંદરની દ્વિઘાત પદાવલિ માટે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
$4x - x^2 = -(x^2 - 4x) = -(x^2 - 4x + 4 - 4) = -( (x-2)^2 - 4 ) = 4 - (x-2)^2$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{\sqrt{4 - (x-2)^2}} dx$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - u^2}} du = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + c$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 2$ અને $u = x-2$ છે:
$I = \sin^{-1}\left(\frac{x-2}{2}\right) + c$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $x^5 + 1 = (x+1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)$.
તેથી,સંકલન $\int \frac{(x+1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)}{x+1} \, dx = \int (x^4 - x^3 + x^2 - x + 1) \, dx$ થાય.
દરેક પદનું સંકલન કરતા,આપણને $\frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x + c$ મળે છે.
આને સરવાળાના સંકેતમાં $\sum_{n=1}^5 (-1)^{n+1} \cdot \frac{x^n}{n} + c$ તરીકે લખી શકાય છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{\cos 3x}{\sin x} dx$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 3x = \cos(2x + x) = \cos 2x \cos x - \sin 2x \sin x$ નો ઉપયોગ કરતા,
$\cos 3x = (1 - 2 \sin^2 x) \cos x - (2 \sin x \cos x) \sin x = \cos x - 2 \sin^2 x \cos x - 2 \sin^2 x \cos x = \cos x - 4 \sin^2 x \cos x$.
તેથી,$\frac{\cos 3x}{\sin x} = \frac{\cos x - 4 \sin^2 x \cos x}{\sin x} = \cot x - 4 \sin x \cos x = \cot x - 2 \sin 2x$.
હવે,સંકલન કરતા: $\int (\cot x - 2 \sin 2x) dx = \int \cot x dx - 2 \int \sin 2x dx$.
$= \log |\sin x| - 2 (-\frac{\cos 2x}{2}) + C = \log |\sin x| + \cos 2x + C$.
આને $p \cos 2x + q \log |\sin x| + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $p = 1$ અને $q = 1$ મળે છે.
તેથી,$p + q = 1 + 1 = 2$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $1-\cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ અને $1+\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ થાય છે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} d x = \int \tan^2 \frac{x}{2} d x$.
નિત્યસમ $\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\int (\sec^2 \frac{x}{2} - 1) d x$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$= \int \sec^2 \frac{x}{2} d x - \int 1 d x$.
$= 2 \tan \frac{x}{2} - x + C$.

(A) આપેલ છે કે $\frac{d}{d x}(f(x))=4 x^3-3 x^{-4}$.
$f(x)$ શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીએ છીએ:
$f(x) = \int (4 x^3-3 x^{-4}) d x$.
$f(x) = 4 \frac{x^4}{4} - 3 \frac{x^{-3}}{-3} + C$.
$f(x) = x^4 + x^{-3} + C = x^4 + \frac{1}{x^3} + C$.
આપેલ છે કે $f(2) = 0$,તેથી $x=2$ મૂકતા:
$f(2) = 2^4 + \frac{1}{2^3} + C = 0$.
$16 + \frac{1}{8} + C = 0$.
$C = - (16 + \frac{1}{8}) = - \frac{128+1}{8} = - \frac{129}{8}$.
તેથી,$f(x) = x^4 + \frac{1}{x^3} - \frac{129}{8}$.

(B) સંકલન $I = \int \frac{d x}{x^2+2 x+5}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે છેદમાં પૂર્ણવર્ગ બનાવીશું.
$x^2 + 2x + 5 = (x^2 + 2x + 1) + 4 = (x+1)^2 + 2^2$.
હવે,સંકલન $I = \int \frac{d x}{(x+1)^2 + 2^2}$ બને છે.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 2$ અને ચલ $(x+1)$ છે:
$I = \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x+1}{2}\right) + C$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) સંકલન $I = \int \frac{1}{e^x+1} dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે સંકલ્યને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$I = \int \frac{1}{e^x(1 + e^{-x})} dx = \int \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}} dx$.
ધારો કે $u = 1 + e^{-x}$. તો $du = -e^{-x} dx$,જેનો અર્થ છે કે $e^{-x} dx = -du$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \frac{-du}{u} = -\log |u| + C = -\log |1 + e^{-x}| + C$.
આને આપણે આ રીતે સાદું રૂપ આપી શકીએ:
$I = -\log \left| \frac{e^x + 1}{e^x} \right| + C = -(\log |e^x + 1| - \log |e^x|) + C = -\log |e^x + 1| + x + C$.
વૈકલ્પિક રીતે,$I = \int \frac{1}{e^x+1} dx = \int \frac{e^x+1-e^x}{e^x+1} dx = \int (1 - \frac{e^x}{e^x+1}) dx = x - \log |e^x+1| + C$.
કારણ કે $x = \log(e^x)$,તેથી $I = \log(e^x) - \log |e^x+1| + C = \log \left| \frac{e^x}{e^x+1} \right| + C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપણી પાસે સંકલન $I = \int \frac{\operatorname{cosec}^2 x}{\sec ^2 x} \, dx$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\operatorname{cosec}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$ અને $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \, dx = \int \cot^2 x \, dx$.
નિત્યસમ $\cot^2 x = \operatorname{cosec}^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int (\operatorname{cosec}^2 x - 1) \, dx$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$I = \int \operatorname{cosec}^2 x \, dx - \int 1 \, dx = -\cot x - x + C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) સંકલન $I = \int \frac{1}{\sqrt{2x-x^2}} dx$ ઉકેલવા માટે,આપણે વર્ગમૂળની અંદરની પદાવલિ માટે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરીએ:
$2x - x^2 = -(x^2 - 2x) = -(x^2 - 2x + 1 - 1) = -( (x-1)^2 - 1 ) = 1 - (x-1)^2$.
આ કિંમતને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{\sqrt{1 - (x-1)^2}} dx$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - u^2}} du = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = x-1$ અને $a = 1$ છે:
$I = \sin^{-1}(\frac{x-1}{1}) + C = \sin^{-1}(x-1) + C$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f^{\prime}(x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(3x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ નો ઉપયોગ કરતા,વિકલિતને આ રીતે લખી શકાય:
$f^{\prime}(x) = \sin(3x)$.
$f(x)$ શોધવા માટે,આપણે $f^{\prime}(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીશું:
$f(x) = \int \sin(3x) \, dx = -\frac{\cos(3x)}{3} + c$.
શરત $f(0) = \frac{1}{3}$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = 0$ મૂકતા:
$f(0) = -\frac{\cos(0)}{3} + c = \frac{1}{3}$.
$\cos(0) = 1$ હોવાથી:
$-\frac{1}{3} + c = \frac{1}{3}$.
$c$ માટે ઉકેલતા:
$c = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

(C) આપેલ છે કે ખોદકામનો દર $\frac{dA}{dt} = \frac{2}{\sqrt{t}}$.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$A = \int \frac{2}{\sqrt{t}} dt = 2 \int t^{-1/2} dt = 2 \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = 4\sqrt{t} + C$.
જ્યારે $t = 0$,ત્યારે ખોદાયેલ વિસ્તાર $A = 0$,તેથી $C = 0$.
આમ,$A = 4\sqrt{t}$.
$40$ ચોરસ મીટર વિસ્તાર ખોદવા માટેનો સમય $t$ શોધવા માટે,$A = 40$ લો:
$40 = 4\sqrt{t} \Rightarrow \sqrt{t} = 10$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$t = 10^2 = 100$ મિનિટ.

(A) આપેલ સંકલન $ I = \int \frac{\cos 2x - \cos 2\theta}{\cos x - \cos \theta} dx $ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 2A = 2\cos^2 A - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,અંશને આ રીતે લખી શકાય:
$\cos 2x - \cos 2\theta = (2\cos^2 x - 1) - (2\cos^2 \theta - 1) = 2\cos^2 x - 2\cos^2 \theta = 2(\cos^2 x - \cos^2 \theta)$.
હવે,આ કિંમતને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{2(\cos^2 x - \cos^2 \theta)}{\cos x - \cos \theta} dx$.
તફાવતની રીત $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{2(\cos x - \cos \theta)(\cos x + \cos \theta)}{\cos x - \cos \theta} dx$.
સમાન પદ $(\cos x - \cos \theta)$ ને છેદતા:
$I = 2 \int (\cos x + \cos \theta) dx$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા ($\cos \theta$ અચળ છે):
$I = 2(\sin x + x \cos \theta) + C$.

(C) સંકલન $ I = \int \frac{1}{1+e^{x}} d x $ ની ગણતરી કરવા માટે:
અંશ અને છેદને $ e^{-x} $ વડે ગુણતા:
$ I = \int \frac{e^{-x}}{e^{-x}(1+e^{x})} d x $
$ I = \int \frac{e^{-x}}{e^{-x}+1} d x $
ધારો કે $ u = e^{-x} + 1 $. તેથી $ du = -e^{-x} d x $,જેનો અર્થ છે કે $ e^{-x} d x = -du $.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$ I = \int \frac{-du}{u} $
$ I = -\ln |u| + C $
$ I = -\ln |e^{-x} + 1| + C $
લોગેરિધમની અંદરની પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$ I = -\ln \left| \frac{1}{e^{x}} + 1 \right| + C $
$ I = -\ln \left| \frac{1+e^{x}}{e^{x}} \right| + C $
ગુણધર્મ $ -\ln(a/b) = \ln(b/a) $ નો ઉપયોગ કરતા:
$ I = \ln \left| \frac{e^{x}}{1+e^{x}} \right| + C $
આમ,સાચો વિકલ્પ $ C $ છે.

(B) આપેલ છે કે $\int f(x) dx = g(x)$.
આનો અર્થ એ થાય કે $f(x) = g'(x)$.
આપણે $\int f(x) g(x) dx$ સંકલન શોધવાનું છે.
$f(x) = g'(x)$ મૂકતા,આપણને $\int g'(x) g(x) dx$ મળે છે.
ધારો કે $g(x) = u$,તો $g'(x) dx = du$.
આથી સંકલન $\int u du = \frac{u^2}{2} + C$ બને છે.
$u = g(x)$ પાછું મૂકતા,આપણને $\frac{1}{2} g^2(x) + C$ મળે છે.

(B) આપણી પાસે $I = \int \frac{\sin \frac{5x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} dx$ છે.
નિત્યસમ $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરીને,અંશ અને છેદને $2 \cos \frac{x}{2}$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{2 \sin \frac{5x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} dx = \int \frac{\sin(3x) + \sin(2x)}{\sin x} dx$.
સૂત્રો $\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ અને $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{3 \sin x - 4 \sin^3 x + 2 \sin x \cos x}{\sin x} dx = \int (3 - 4 \sin^2 x + 2 \cos x) dx$.
$4 \sin^2 x = 2(1 - \cos 2x)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int (3 - 2(1 - \cos 2x) + 2 \cos x) dx = \int (3 - 2 + 2 \cos 2x + 2 \cos x) dx$.
$I = \int (1 + 2 \cos 2x + 2 \cos x) dx = x + \sin 2x + 2 \sin x + C$.

(B) આપેલ સંકલન: $I = \int \frac{\cos 2x - \cos 2\alpha}{\cos x - \cos \alpha} dx$
નિત્યસમ $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{(2\cos^2 x - 1) - (2\cos^2 \alpha - 1)}{\cos x - \cos \alpha} dx$
$I = \int \frac{2\cos^2 x - 2\cos^2 \alpha}{\cos x - \cos \alpha} dx$
$I = 2 \int \frac{(\cos x - \cos \alpha)(\cos x + \cos \alpha)}{\cos x - \cos \alpha} dx$
$I = 2 \int (\cos x + \cos \alpha) dx$
$x$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા:
$I = 2(\sin x + x \cos \alpha) + c$

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\sec x}{\sec x+\tan x} dx$.
અંશ અને છેદને $(\sec x - \tan x)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \frac{\sec x(\sec x - \tan x)}{\sec^2 x - \tan^2 x} dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$,તેથી સંકલન આ મુજબ સરળ બને છે:
$I = \int (\sec^2 x - \sec x \tan x) dx$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \tan x - \sec x + C$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta$.
$\theta = 4x$ માટે આ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $1 + \cos 8x = 2 \cos^2 4x$ મળે છે.
આ કિંમતને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{2 \cos^2 4x} dx$
$I = \frac{1}{2} \int \sec^2 4x dx$
પ્રમાણિત સંકલન $\int \sec^2(ax) dx = \frac{\tan(ax)}{a} + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan 4x}{4} + c$
$I = \frac{\tan 4x}{8} + c$

(C) ધારો કે $I = \int \sqrt{5-2x+x^2} dx$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,આપણને મળે છે $5-2x+x^2 = (x-1)^2 + 4 = (x-1)^2 + 2^2$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \sqrt{x^2+a^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2} \log |x + \sqrt{x^2+a^2}| + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x$ ની જગ્યાએ $(x-1)$ અને $a=2$ લેતા:
$I = \frac{x-1}{2} \sqrt{(x-1)^2 + 2^2} + \frac{2^2}{2} \log |(x-1) + \sqrt{(x-1)^2 + 2^2}| + C$.
$I = \frac{x-1}{2} \sqrt{5-2x+x^2} + 2 \log |(x-1) + \sqrt{5-2x+x^2}| + C$.

(B) આપેલ સંકલન: $ I = \int \frac{e^{6 \log x}-e^{5 \log x}}{e^{4 \log x}-e^{3 \log x}} dx $
લઘુગણકના ગુણધર્મ $ e^{k \log x} = x^k $ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે પદાવલિને સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$ I = \int \frac{x^6 - x^5}{x^4 - x^3} dx $
અંશ અને છેદમાંથી સામાન્ય પદો બહાર કાઢતા:
$ I = \int \frac{x^5(x - 1)}{x^3(x - 1)} dx $
$ x \neq 1 $ ધારીને,આપણે $ (x - 1) $ પદને છેદ ઉડાડી શકીએ છીએ:
$ I = \int \frac{x^5}{x^3} dx = \int x^2 dx $
$ x^2 $ નું $ x $ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$ I = \frac{x^3}{3} + c $

(C) ધારો કે $I = \int \operatorname{cosec}(x-a) \operatorname{cosec} x \, dx$.
$\sin a$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$I = \int \frac{\sin a}{\sin a \sin(x-a) \sin x} \, dx$.
$\sin a = \sin(x - (x-a))$ હોવાથી:
$I = \frac{1}{\sin a} \int \frac{\sin(x - (x-a))}{\sin(x-a) \sin x} \, dx$.
$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{\sin a} \int \frac{\sin x \cos(x-a) - \cos x \sin(x-a)}{\sin(x-a) \sin x} \, dx$.
$I = \frac{1}{\sin a} \int \left( \frac{\cos(x-a)}{\sin(x-a)} - \frac{\cos x}{\sin x} \right) \, dx$.
$I = \frac{1}{\sin a} \int (\cot(x-a) - \cot x) \, dx$.
સંકલન કરતા:
$I = \frac{1}{\sin a} [\log |\sin(x-a)| - \log |\sin x|] + c$.
$I = \frac{1}{\sin a} \log \left| \frac{\sin(x-a)}{\sin x} \right| + c$.
આને $\frac{1}{\sin a} \log |\sin(x-a) \operatorname{cosec} x| + c$ તરીકે લખી શકાય.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{x^{2}+1}{x^{2}-1} d x$.
અંશને $x^{2}-1+2$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,$I = \int \frac{x^{2}-1+2}{x^{2}-1} d x$.
$I = \int \left( \frac{x^{2}-1}{x^{2}-1} + \frac{2}{x^{2}-1} \right) d x$.
$I = \int 1 d x + 2 \int \frac{1}{x^{2}-1} d x$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{1}{x^{2}-a^{2}} d x = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x-a}{x+a} \right| + c$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=1$:
$I = x + 2 \cdot \frac{1}{2(1)} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + c$.
$I = x + \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + c$.

(B) આપેલ સંકલન $ I = \int \frac{\sin ^{2} x}{1+\cos x} d x $ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $ \sin ^{2} x = 1 - \cos ^{2} x $ નો ઉપયોગ કરતા:
$ I = \int \frac{1 - \cos ^{2} x}{1 + \cos x} d x $.
કારણ કે $ 1 - \cos ^{2} x = (1 - \cos x)(1 + \cos x) $,તેથી પદ આ મુજબ થશે:
$ I = \int \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{1 + \cos x} d x $.
સામાન્ય પદ $ (1 + \cos x) $ ને દૂર કરતા:
$ I = \int (1 - \cos x) d x $.
દરેક પદનું સંકલન કરતા આપણને મળે છે:
$ I = x - \sin x + C $.

(B) આપેલ છે કે,$f^{\prime}(x)=a \sin x+b \cos x$ અને $f^{\prime}(0)=4$.
વિકલનમાં $x=0$ મૂકતા: $f^{\prime}(0)=a \sin(0)+b \cos(0) = b = 4$.
હવે,$f(x)$ શોધવા માટે $f^{\prime}(x)$ નું સંકલન કરતા:
$f(x) = \int (a \sin x + 4 \cos x) dx = -a \cos x + 4 \sin x + C$.
$f(0)=3$ નો ઉપયોગ કરતા: $f(0) = -a \cos(0) + 4 \sin(0) + C = -a + C = 3 \Rightarrow C = a+3$.
$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=5$ નો ઉપયોગ કરતા: $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = -a \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 4 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + C = 0 + 4(1) + C = 4+C = 5 \Rightarrow C = 1$.
$C=1$ ને $C=a+3$ માં મૂકતા: $1 = a+3 \Rightarrow a = -2$.
આમ,$f(x) = -(-2) \cos x + 4 \sin x + 1 = 2 \cos x + 4 \sin x + 1$.

(C) આપણને સંકલન $\int \frac{1}{1 + \sin x} dx$ આપેલ છે.
અંશ અને છેદને $(1 - \sin x)$ વડે ગુણતા:
$\int \frac{1 - \sin x}{1 - \sin^2 x} dx = \int \frac{1 - \sin x}{\cos^2 x} dx = \int (\sec^2 x - \sec x \tan x) dx = \tan x - \sec x + c$.
વૈકલ્પિક રીતે,અડધા ખૂણાના નિત્યસમ $\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\int \frac{1}{1 + \cos(\frac{\pi}{2} - x)} dx = \int \frac{1}{2 \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})} dx = \frac{1}{2} \int \sec^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) dx$.
આનું સંકલન કરતા,આપણને $\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})}{-\frac{1}{2}} + c = -\tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) + c = \tan(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}) + c$ મળે છે.
આને $\tan(f(x)) + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}$ મળે છે.
તેથી,$f'(x) = \frac{d}{dx}(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$.
આમ,$f'(0) = \frac{1}{2}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 - \sin 2x = \cos^2 x + \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = (\cos x - \sin x)^2$.
તેથી,$\int \sqrt{1 - \sin 2x} \, dx = \int |\cos x - \sin x| \, dx$.
આપેલ છે કે $x \notin [2n\pi - \frac{\pi}{4}, 2n\pi + \frac{3\pi}{4}]$,આ અંતરાલમાં પદ $\cos x - \sin x$ ઋણ છે.
તેથી,$|\cos x - \sin x| = -(\cos x - \sin x) = \sin x - \cos x$.
આનું સંકલન કરતા,આપણને $\int (\sin x - \cos x) \, dx = -\cos x - \sin x + c$ મળે છે.

(B) આપેલ સંકલન: $\int \frac{1}{1-\cos x} dx = \int \frac{1}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} dx$
$= \frac{1}{2} \int \operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2} dx$
$= \frac{1}{2} \left(-2 \cot \frac{x}{2}\right) + c = -\cot \frac{x}{2} + c$
આપણે જાણીએ છીએ કે $-\cot \theta = \tan \left(\theta - \frac{\pi}{2}\right)$.
તેથી,$-\cot \frac{x}{2} = \tan \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2}\right)$,જેની સરખામણી $\tan \left(\frac{x}{\alpha} + \beta\right)$ સાથે કરતા.
આમ,$\alpha = 2$ અને $\beta = -\frac{\pi}{2}$ મળે છે.
હવે,$\frac{\pi \alpha}{4} - \beta = \frac{\pi(2)}{4} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{x^5}{x^2+1} \, dx$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$\frac{x^5}{x^2+1} = \frac{x^3(x^2+1) - x^3}{x^2+1} = x^3 - \frac{x^3}{x^2+1}$.
વધુમાં,$\frac{x^3}{x^2+1} = \frac{x(x^2+1) - x}{x^2+1} = x - \frac{x}{x^2+1}$.
તેથી,$\frac{x^5}{x^2+1} = x^3 - x + \frac{x}{x^2+1}$.
હવે,દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$I = \int (x^3 - x + \frac{x}{x^2+1}) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2+1} \, dx$.
આદેશ $u = x^2+1$ અને $du = 2x \, dx$ લેતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} \log(x^2+1) + c$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે ઘાતાંકીય વિધેય માટે ટેલર શ્રેણીનું વિસ્તરણ $e^u = \sum_{r=0}^{\infty} \frac{u^r}{r!}$ છે.
$u = 3x$ મૂકતા,આપણને $\sum_{r=0}^{\infty} \frac{(3x)^r}{r!} = \sum_{r=0}^{\infty} \frac{x^r 3^r}{r!} = e^{3x}$ મળે છે.
હવે,આપણે $\int \left(\sum_{r=0}^{\infty} \frac{x^r 3^r}{r!}\right) dx$ સંકલનનું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
શ્રેણીને $e^{3x}$ વડે બદલતા,સંકલન $\int e^{3x} dx$ બને છે.
સંકલનનું સૂત્ર $\int e^{ax} dx = \frac{e^{ax}}{a} + c$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\int e^{3x} dx = \frac{e^{3x}}{3} + c$ મળે છે.

(C) આપણી પાસે સંકલન $I = \int \frac{\sin 7x}{\sin 2x \sin 5x} dx$ છે.
નિત્યસમ $\sin 7x = \sin(5x + 2x)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{\sin(5x + 2x)}{\sin 2x \sin 5x} dx$.
સૂત્ર $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{\sin 5x \cos 2x + \cos 5x \sin 2x}{\sin 2x \sin 5x} dx$.
અંશના દરેક પદને છેદ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{\sin 5x \cos 2x}{\sin 2x \sin 5x} dx + \int \frac{\cos 5x \sin 2x}{\sin 2x \sin 5x} dx$.
$I = \int \cot 2x dx + \int \cot 5x dx$.
પ્રમાણિત સંકલન $\int \cot(ax) dx = \frac{1}{a} \log |\sin(ax)| + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2} \log |\sin 2x| + \frac{1}{5} \log |\sin 5x| + c$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \int \frac{dx}{x^2+(\sqrt{2})^2}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}(\frac{x}{\sqrt{2}}) + C$.
$f(\sqrt{2}) = 0$ આપેલ હોવાથી,$x = \sqrt{2}$ મૂકતા:
$0 = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + C$
$0 = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}(1) + C$
$0 = \frac{1}{\sqrt{2}} (\frac{\pi}{4}) + C$
$C = -\frac{\pi}{4\sqrt{2}}$.
હવે,$f(0)$ શોધીએ:
$f(0) = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}(\frac{0}{\sqrt{2}}) - \frac{\pi}{4\sqrt{2}}$
$f(0) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0) - \frac{\pi}{4\sqrt{2}} = -\frac{\pi}{4\sqrt{2}}$.

(B) આપણને સંકલન $I = \int 3^{-\log _9 x^2} d x$ આપેલ છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $n \log_b a = \log_b a^n$ નો ઉપયોગ કરતા,$-\log _9 x^2 = \log _9 (x^2)^{-1} = \log _9 (\frac{1}{x^2})$ મળે.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int 3^{\log _9 (\frac{1}{x^2})} d x$ મળે.
ગુણધર્મ $a^{\log _b c} = c^{\log _b a}$ નો ઉપયોગ કરીને,$3^{\log _9 (\frac{1}{x^2})}$ ને $(\frac{1}{x^2})^{\log _9 3}$ તરીકે લખી શકાય.
કારણ કે $\log _9 3 = \log _{3^2} 3 = \frac{1}{2} \log _3 3 = \frac{1}{2}$,તેથી પદ $(\frac{1}{x^2})^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{x}$ બને છે.
આમ,$I = \int \frac{1}{x} d x = \log |x| + C$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{3x+2}{4x^2+4x+5} dx$.
અંશને છેદના વિકલિત તરીકે દર્શાવતા:
$3x+2 = \frac{3}{8}(8x+4) + \frac{1}{2}$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{\frac{3}{8}(8x+4) + \frac{1}{2}}{4x^2+4x+5} dx = \frac{3}{8} \int \frac{8x+4}{4x^2+4x+5} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{(2x+1)^2 + 2^2} dx$.
પ્રથમ ભાગ માટે,$u = 4x^2+4x+5$ લેતા,$du = (8x+4)dx$ મળે.
$I = \frac{3}{8} \log(4x^2+4x+5) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{(2x+1)^2 + 2^2} dx$.
સૂત્ર $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{3}{8} \log(4x^2+4x+5) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{2x+1}{2}) + C$.
$I = \frac{3}{8} \log(4x^2+4x+5) + \frac{1}{8} \tan^{-1}(x+\frac{1}{2}) + C$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$A = \frac{3}{8}$ અને $B = \frac{1}{8}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x)=1+2^x \log 2$.
$g(x)$ એ $f(x)$ નું પ્રતિ-વિકલિત હોવાથી,$g(x) = \int f(x) dx$.
$g(x) = \int (1+2^x \log 2) dx = x + \frac{2^x \log 2}{\log 2} + c = x + 2^x + c$.
તેથી,$y = x + 2^x + c$ ... $(i)$.
વક્ર $\left(-1, \frac{1}{2}\right)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{1}{2} = -1 + 2^{-1} + c$.
$\frac{1}{2} = -1 + \frac{1}{2} + c \implies c = 1$.
$c=1$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $y = x + 2^x + 1$ મળે છે.
$Y$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે,$x=0$ લેતા:
$y = 0 + 2^0 + 1 = 1 + 1 = 2$.
આમ,વક્ર $Y$-અક્ષને $(0,2)$ બિંદુએ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{1 + \tan x \tan(x + a)}{\tan x \tan(x + a)} dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan a = \tan((x + a) - x) = \frac{\tan(x + a) - \tan x}{1 + \tan x \tan(x + a)}$.
તેથી,$1 + \tan x \tan(x + a) = \frac{\tan(x + a) - \tan x}{\tan a}$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{\tan(x + a) - \tan x}{\tan a \tan x \tan(x + a)} dx$.
$I = \frac{1}{\tan a} \int \left( \frac{\tan(x + a)}{\tan x \tan(x + a)} - \frac{\tan x}{\tan x \tan(x + a)} \right) dx$.
$I = \cot a \int \left( \frac{1}{\tan x} - \frac{1}{\tan(x + a)} \right) dx$.
$I = \cot a \int (\cot x - \cot(x + a)) dx$.
સંકલન કરતા આપણને મળે છે:
$I = \cot a (\log |\sin x| - \log |\sin(x + a)|) + C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે $I = \int \sqrt{1+2 \cot x(\cot x+\operatorname{cosec} x)} \, dx$.
$1 = \operatorname{cosec}^2 x - \cot^2 x$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$I = \int \sqrt{\operatorname{cosec}^2 x - \cot^2 x + 2 \cot^2 x + 2 \cot x \operatorname{cosec} x} \, dx$
$I = \int \sqrt{\operatorname{cosec}^2 x + \cot^2 x + 2 \cot x \operatorname{cosec} x} \, dx$
$I = \int \sqrt{(\operatorname{cosec} x + \cot x)^2} \, dx$
$I = \int (\operatorname{cosec} x + \cot x) \, dx$
પ્રમાણિત સંકલન $\int \operatorname{cosec} x \, dx = \log |\operatorname{cosec} x - \cot x|$ અને $\int \cot x \, dx = \log |\sin x|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \log |\operatorname{cosec} x - \cot x| + \log |\sin x| + C$
$I = \log \left| \frac{1 - \cos x}{\sin x} \cdot \sin x \right| + C$
$I = \log |1 - \cos x| + C$
નિત્યસમ $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \log |2 \sin^2 \frac{x}{2}| + C$
$I = \log 2 + 2 \log |\sin \frac{x}{2}| + C$
અહીં $\log 2$ એક અચળાંક હોવાથી,તેને $C$ માં સમાવી શકાય છે:
$I = 2 \log |\sin \frac{x}{2}| + C$