Fundamental integration Questions in Gujarati

(A) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{\sin \alpha}{\sqrt{1 + \cos \alpha}} d \alpha$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \cos \alpha = 2 \cos^2 (\frac{\alpha}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{2 \sin (\frac{\alpha}{2}) \cos (\frac{\alpha}{2})}{\sqrt{2 \cos^2 (\frac{\alpha}{2})}} d \alpha$
ધારો કે $\cos (\frac{\alpha}{2}) > 0$,તો છેદ $\sqrt{2} \cos (\frac{\alpha}{2})$ થશે:
$I = \int \frac{2 \sin (\frac{\alpha}{2}) \cos (\frac{\alpha}{2})}{\sqrt{2} \cos (\frac{\alpha}{2})} d \alpha$
$I = \sqrt{2} \int \sin (\frac{\alpha}{2}) d \alpha$
$\sin (\frac{\alpha}{2})$ નું $\alpha$ ની સાપેક્ષ સંકલન કરતા:
$I = \sqrt{2} \times (-2 \cos (\frac{\alpha}{2})) + c$
$I = -2 \sqrt{2} \cos (\frac{\alpha}{2}) + c$.

(B) આપણે સંકલન શોધવાનું છે: $\int \left( \frac{x}{a} + \frac{b}{x} + x^a + b^x + ab \right) dx$
સંકલનના સરવાળાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$= \int \frac{x}{a} dx + \int \frac{b}{x} dx + \int x^a dx + \int b^x dx + \int ab dx$
$= \frac{1}{a} \int x dx + b \int \frac{1}{x} dx + \int x^a dx + \int b^x dx + ab \int 1 dx$
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{a} \cdot \frac{x^2}{2} + b \log |x| + \frac{x^{a+1}}{a+1} + \frac{b^x}{\log b} + abx + C$
$= \frac{x^2}{2a} + b \log |x| + \frac{x^{a+1}}{a+1} + \frac{b^x}{\log b} + abx + C$

(B) આપેલ છે કે $f^{\prime}(x)=\tan ^2 x+\cot ^2 x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$f(x)=\int(\tan ^2 x+\cot ^2 x) dx$.
નિત્યસમ $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ અને $\cot^2 x = \operatorname{cosec}^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x)=\int(\sec^2 x - 1 + \operatorname{cosec}^2 x - 1) dx$.
$f(x)=\int(\sec^2 x + \operatorname{cosec}^2 x - 2) dx$.
$f(x)=\tan x - \cot x - 2x + C$.
આપેલ છે કે $f\left(\frac{\pi}{4}\right)=0$:
$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - \cot\left(\frac{\pi}{4}\right) - 2\left(\frac{\pi}{4}\right) + C = 0$.
$1 - 1 - \frac{\pi}{2} + C = 0$.
$C = \frac{\pi}{2}$.
તેથી,$f(x)=\tan x - \cot x - 2x + \frac{\pi}{2}$.

(C) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{x^3-x^2+x-1}{x-1} dx$ છે.
અંશના અવયવ પાડતા: $x^3-x^2+x-1 = x^2(x-1) + 1(x-1) = (x^2+1)(x-1)$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા: $I = \int \frac{(x^2+1)(x-1)}{x-1} dx$.
સામાન્ય પદ $(x-1)$ ને દૂર કરતા: $I = \int (x^2+1) dx$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા: $I = \frac{x^3}{3} + x + C$.

(B) પ્રથમ,$f(x)$ ને સરળ બનાવો:\\ $f(x) = \tan^{-1}\left(\frac{2\cos^2(x/2)}{2\sin(x/2)\cos(x/2)}\right) = \tan^{-1}(\cot(x/2)) = \tan^{-1}(\tan(\pi/2 - x/2)) = \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}$.\\ ત્યારબાદ,$g(x)$ ને સરળ બનાવો:\\ $g(x) = \tan^{-1}\left(\frac{2\sin(x/2)\cos(x/2)}{2\sin^2(x/2)}\right) = \tan^{-1}(\cot(x/2)) = \tan^{-1}(\tan(\pi/2 - x/2)) = \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}$.\\ હવે,સરવાળો શોધો:\\ $f(x) + g(x) = (\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}) + (\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}) = \pi - x$.\\ અંતે,સરવાળાનું સંકલન કરો:\\ $\int (\pi - x) \, dx = \pi x - \frac{x^2}{2} + C$.\\ આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) આપેલ સંકલન: $I = \int \frac{\sin^3(x) + \cos^3(x)}{\sin^2(x) \cos^2(x)} \, dx$
અંશના દરેક પદને છેદ વડે ભાગતા:
$I = \int \left( \frac{\sin^3(x)}{\sin^2(x) \cos^2(x)} + \frac{\cos^3(x)}{\sin^2(x) \cos^2(x)} \right) \, dx$
$I = \int \left( \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} \right) \, dx$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int (\tan(x) \sec(x) + \cot(x) \operatorname{cosec}(x)) \, dx$
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$\int \sec(x) \tan(x) \, dx = \sec(x)$
$\int \operatorname{cosec}(x) \cot(x) \, dx = -\operatorname{cosec}(x)$
તેથી,$I = \sec(x) - \operatorname{cosec}(x) + C$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) આપણને સંકલન $I = \int(1-\cos x) \operatorname{cosec}^2 x \, dx$ આપેલ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1-\cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ અને $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int (2 \sin^2 \frac{x}{2}) \cdot \frac{1}{\sin^2 x} \, dx$
$I = \int \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{(2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2})^2} \, dx$
$I = \int \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{4 \sin^2 \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2}} \, dx$
$I = \int \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} \, dx$
$I = \frac{1}{2} \int \sec^2 \frac{x}{2} \, dx$
$\sec^2 \frac{x}{2}$ નું સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan \frac{x}{2}}{1/2} + c = \tan \frac{x}{2} + c$.
આને $f(x) + c$ સાથે સરખાવતા,$f(x) = \tan \frac{x}{2}$ મળે છે.

(B) આપણને સંકલન $I = \int \frac{1+x+\sqrt{x+x^2}}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}} d x$ આપેલ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે અંશને $(1+x) + \sqrt{x(1+x)}$ તરીકે લખીએ છીએ.
આને $\sqrt{1+x}(\sqrt{1+x} + \sqrt{x})$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય છે.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{\sqrt{1+x}(\sqrt{1+x} + \sqrt{x})}{\sqrt{x} + \sqrt{1+x}} d x$.
અંશ અને છેદમાંથી $(\sqrt{1+x} + \sqrt{x})$ પદ ઉડી જશે.
$I = \int \sqrt{1+x} d x$.
સંકલનના ઘાત નિયમ $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 1+x$ અને $du = dx$:
$I = \frac{(1+x)^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}(1+x)^{3/2} + C$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{1+x+\sqrt{x(1+x)}}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}} dx$.
અહીં $1+x = (\sqrt{1+x})^2$ અને $x = (\sqrt{x})^2$ છે.
તેથી,અંશને $(\sqrt{1+x})^2 + (\sqrt{x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{1+x}$ તરીકે લખી શકાય.
આ પદાવલિને આ રીતે લખીએ:
$I = \int \frac{(\sqrt{1+x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}} dx$.
અંશમાંથી $\sqrt{1+x}$ સામાન્ય લેતા:
$I = \int \frac{\sqrt{1+x}(\sqrt{1+x} + \sqrt{x})}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}} dx$.
સમાન પદ $(\sqrt{x}+\sqrt{1+x})$ ને છેદતા:
$I = \int \sqrt{1+x} dx$.
ઘાતનો નિયમ $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + c$ વાપરતા:
$I = \frac{(1+x)^{3/2}}{3/2} + c = \frac{2}{3}(1+x)^{3/2} + c$.

(A) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{1}{9 \cos^2 x - 24 \sin x \cos x + 16 \sin^2 x} dx$ છે.
અંશ અને છેદને $\cos^2 x$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{\sec^2 x}{9 - 24 \tan x + 16 \tan^2 x} dx$.
ધારો કે $u = \tan x$,તેથી $du = \sec^2 x dx$.
સંકલન $I = \int \frac{du}{(3 - 4u)^2} = \int (3 - 4u)^{-2} du$ બને છે.
સંકલન માટે ઘાતનો નિયમ વાપરતા:
$I = \frac{(3 - 4u)^{-1}}{(-1) \times (-4)} + c = \frac{1}{4(3 - 4u)} + c$.
$u = \tan x$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{1}{4(3 - 4 \tan x)} + c = \frac{1}{4(3 - 4 \frac{\sin x}{\cos x})} + c = \frac{\cos x}{4(3 \cos x - 4 \sin x)} + c$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે ઘાતાંકીય વિધેય માટે ટેલર શ્રેણીનું વિસ્તરણ $e^u = \sum_{r=0}^{\infty} \frac{u^r}{r!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શ્રેણીમાં $u = 2x$ મૂકતા,આપણને $\sum_{r=0}^{\infty} \frac{(2x)^r}{r!} = \sum_{r=0}^{\infty} \frac{x^r 2^r}{r!} = e^{2x}$ મળે છે.
હવે,આપણે સંકલન $\int e^{2x} dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સંકલનના સૂત્ર $\int e^{ax} dx = \frac{e^{ax}}{a} + c$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 2$ છે,આપણને $\int e^{2x} dx = \frac{e^{2x}}{2} + c$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) સંકલન $I = \int \frac{x^4-16 x^2+2 x+8}{x^3-4 x^2+2} d x$ ઉકેલવા માટે,આપણે બહુપદીનો ભાગાકાર કરીએ.
$x^4-16 x^2+2 x+8$ ને $x^3-4 x^2+2$ વડે ભાગતા:
$x^4-16 x^2+2 x+8 = (x+4)(x^3-4 x^2+2) + (0x^2 + 0x + 0)$.
બાકી રહેતી કિંમત $0$ હોવાથી,પદાવલિ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$I = \int (x+4) d x$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$I = \frac{x^2}{2} + 4x + C = \frac{x^2+8x}{2} + C$.

(B) સંકલન $\int \frac{x^4+1}{x^2+1} dx$ ઉકેલવા માટે,આપણે બહુપદી ભાગાકાર અથવા બીજગણિતીય ફેરફાર કરીએ છીએ.
આપણે $x^4+1$ ને $(x^4-1) + 2 = (x^2-1)(x^2+1) + 2$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આમ,$\frac{x^4+1}{x^2+1} = \frac{(x^2-1)(x^2+1) + 2}{x^2+1} = x^2 - 1 + \frac{2}{x^2+1}$.
હવે,દરેક પદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરો:
$\int (x^2 - 1 + \frac{2}{x^2+1}) dx = \int x^2 dx - \int 1 dx + 2 \int \frac{1}{x^2+1} dx$.
$= \frac{x^3}{3} - x + 2 \tan^{-1} x + E$.
આને $Ax^3 + Bx^2 + Cx + D \tan^{-1} x + E$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$A = \frac{1}{3}$,$B = 0$,$C = -1$,$D = 2$.
તેથી,$A+B+C+D = \frac{1}{3} + 0 - 1 + 2 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$.

(B) ધારો કે $I = \int \sec \left(x-\frac{\pi}{3}\right) \sec \left(x+\frac{\pi}{6}\right) d x$.
$\sin \left(\left(x+\frac{\pi}{6}\right) - \left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right) = \sin \left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ વડે ગુણતા અને ભાગતા.
તેથી,$I = \int \frac{\sin \left(\left(x+\frac{\pi}{6}\right) - \left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right)}{\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)} d x$.
$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right) \cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right) - \cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right) \sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right)}{\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)} d x$.
$I = \int \left( \frac{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)} - \frac{\sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right)}{\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)} \right) d x$.
$I = \int \tan \left(x+\frac{\pi}{6}\right) d x - \int \tan \left(x-\frac{\pi}{3}\right) d x$.
$I = \log \left| \sec \left(x+\frac{\pi}{6}\right) \right| - \log \left| \sec \left(x-\frac{\pi}{3}\right) \right| + c$.
$I = \log \left| \frac{\sec \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{\sec \left(x-\frac{\pi}{3}\right)} \right| + c$.
નોંધ: $\sec \theta = 1/\cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આ $\log \left| \frac{\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)}{\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)} \right| + c$ થાય છે,જે વિકલ્પ $B$ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) સંકલન $I = \int \frac{1}{x^2+x+1} \, dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે છેદમાં પૂર્ણવર્ગ બનાવીએ છીએ:
$x^2+x+1 = (x^2+x+\frac{1}{4}) + \frac{3}{4} = (x+\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2$.
આ કિંમતને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} \, dx$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{1}{u^2+a^2} \, du = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{u}{a}) + c$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = x+\frac{1}{2}$ અને $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$I = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \tan^{-1}\left(\frac{x+\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right) + c$.
પદને સાદું રૂપ આપતા:
$I = \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) + c$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ધારો કે $I = \int \sin^3 x \cos^2 x \, dx$.
આપણે $\sin^3 x$ ને $\sin^2 x \cdot \sin x = (1 - \cos^2 x) \sin x$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$I = \int (1 - \cos^2 x) \cos^2 x \sin x \, dx$.
ધારો કે $u = \cos x$,તો $du = -\sin x \, dx$,અથવા $\sin x \, dx = -du$.
સંકલનમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$I = \int (1 - u^2) u^2 (-du) = \int (u^4 - u^2) \, du$.
$u$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા:
$I = \frac{u^5}{5} - \frac{u^3}{3} + c$.
$u = \cos x$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{\cos^5 x}{5} - \frac{\cos^3 x}{3} + c$.
આપેલા વિકલ્પો $\sin x$ અને $\cos x$ ના સ્વરૂપમાં હોવાથી,વિકલ્પ $A$ નું વિકલન ચકાસતા તે મૂળ વિધેય મળે છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો જવાબ છે.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{x}{x \tan x + 1} \, dx = \int \frac{x \cos x}{x \sin x + \cos x} \, dx$.
ધારો કે $u = x \sin x + \cos x$.
તેથી $du = (\sin x + x \cos x - \sin x) \, dx = x \cos x \, dx$.
આમ,$I = \int \frac{1}{u} \, du = \log |u| + k = \log |x \sin x + \cos x| + k$.
આને $\log f(x) + k$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = |x \sin x + \cos x|$ મળે છે.
હવે,$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = |\frac{\pi}{4} \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)|$ ની કિંમત શોધો.
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = |\frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}| = |\frac{\pi + 4}{4 \sqrt{2}}| = \frac{\pi + 4}{4 \sqrt{2}}$.

(A) ધારો કે $I = \int (\tan^7 x + \tan x) dx$.
આપણે $\tan x$ સામાન્ય કાઢી શકીએ:
$I = \int \tan x (\tan^6 x + 1) dx$.
નિત્યસમ $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\tan^6 x = (\sec^2 x - 1)^3$.
વૈકલ્પિક રીતે,પદાવલિને નીચે મુજબ સાદું રૂપ આપો:
$I = \int (\tan^5 x(\tan^2 x + 1) - \tan^3 x(\tan^2 x + 1) + \tan x(\tan^2 x + 1)) dx$.
કારણ કે $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$:
$I = \int (\tan^5 x \sec^2 x - \tan^3 x \sec^2 x + \tan x \sec^2 x) dx$.
ધારો કે $u = \tan x$,તો $du = \sec^2 x dx$.
$I = \int (u^5 - u^3 + u) du = \frac{u^6}{6} - \frac{u^4}{4} + \frac{u^2}{2} + C$.
$\frac{u^2}{12}$ સામાન્ય કાઢતા:
$I = \frac{u^2}{12} (2u^4 - 3u^2 + 6) + C$.
$u = \tan x$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{\tan^2 x}{12} (2 \tan^4 x - 3 \tan^2 x + 6) + C$.

(D) આપણને સંકલન $I = \int \frac{2 x^2 \cos \left(x^2\right)-\sin \left(x^2\right)}{x^2} d x$ આપેલ છે.
આપણે અપૂર્ણાંકને અલગ કરીને સંકલ્યને ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$I = \int \left( 2 \cos(x^2) - \frac{\sin(x^2)}{x^2} \right) dx$.
વૈકલ્પિક રીતે,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $\frac{\sin(x^2)}{x}$ નું વિકલન તપાસો:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{\sin(x^2)}{x} \right) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\sin(x^2)) - \sin(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2}$
$= \frac{x \cdot (\cos(x^2) \cdot 2x) - \sin(x^2) \cdot 1}{x^2}$
$= \frac{2x^2 \cos(x^2) - \sin(x^2)}{x^2}$.
તેથી,$\int \frac{2 x^2 \cos \left(x^2\right)-\sin \left(x^2\right)}{x^2} d x = \frac{\sin \left(x^2\right)}{x} + c$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{\cos x + x \sin x}{x(x + \cos x)} dx$.
અંશને આ રીતે લખી શકાય: $\cos x + x \sin x = (x + \cos x) - x(1 - \sin x)$.
તેથી,$I = \int \frac{(x + \cos x) - x(1 - \sin x)}{x(x + \cos x)} dx$.
સંકલનને અલગ પાડતા: $I = \int \frac{x + \cos x}{x(x + \cos x)} dx - \int \frac{x(1 - \sin x)}{x(x + \cos x)} dx$.
$I = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1 - \sin x}{x + \cos x} dx$.
ધારો કે $u = x + \cos x$,તો $du = (1 - \sin x) dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા: $I = \ln |x| - \int \frac{1}{u} du$.
$I = \ln |x| - \ln |u| + C$.
$I = \ln |x| - \ln |x + \cos x| + C$.
$I = \ln \left| \frac{x}{x + \cos x} \right| + C$.

(B) $I = \int \frac{2}{1+x+x^2} dx = \int \frac{2}{(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx$
ધારો કે $x + \frac{1}{2} = v$,તેથી $dx = dv$.
સૂત્ર $\int \frac{1}{v^2 + a^2} dv = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{v}{a}) + c$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$I = 2 \times \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \tan^{-1}(\frac{v}{\frac{\sqrt{3}}{2}}) + c$
$I = \frac{4}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\frac{2v}{\sqrt{3}}) + c$
$v = x + \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$I = \frac{4}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\frac{2(x + \frac{1}{2})}{\sqrt{3}}) + c = \frac{4}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) + c$

(B) ધારો કે $I = \int \frac{\sin ^{-1} \sqrt{x} - \cos ^{-1} \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sin ^{-1} \sqrt{x} + \cos ^{-1} \sqrt{x})} dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} \sqrt{x} + \cos ^{-1} \sqrt{x} = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\cos ^{-1} \sqrt{x} = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} \sqrt{x}$.
આ કિંમત મૂકતા,$I = \int \frac{\sin ^{-1} \sqrt{x} - (\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} \sqrt{x})}{\sqrt{x}(\frac{\pi}{2})} dx = \frac{2}{\pi} \int \frac{2 \sin ^{-1} \sqrt{x} - \frac{\pi}{2}}{\sqrt{x}} dx$.
ધારો કે $\sqrt{x} = t$,તો $\frac{1}{2\sqrt{x}} dx = dt$,એટલે કે $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 dt$.
$I = \frac{2}{\pi} \int (2 \sin ^{-1} t - \frac{\pi}{2}) (2 dt) = \frac{8}{\pi} \int \sin ^{-1} t dt - 2 \int dt$.
$\int \sin ^{-1} t dt = t \sin ^{-1} t + \sqrt{1-t^2} + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{8}{\pi} (t \sin ^{-1} t + \sqrt{1-t^2}) - 2t + C$.
$t = \sqrt{x}$ મૂકતા:
$I = \frac{8}{\pi} (\sqrt{x} \sin ^{-1} \sqrt{x} + \sqrt{1-x}) - 2\sqrt{x} + C$.

(C) આપણને સંકલન $I = \int \frac{\sin ^2 \alpha-\sin ^2 x}{\cos x-\cos \alpha} d x$ આપેલ છે.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે અંશને ફરીથી લખી શકીએ:
$\sin^2 \alpha - \sin^2 x = (1 - \cos^2 \alpha) - (1 - \cos^2 x) = \cos^2 x - \cos^2 \alpha$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{\cos^2 x - \cos^2 \alpha}{\cos x - \cos \alpha} d x$.
તફાવતના વર્ગના સૂત્ર $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{(\cos x - \cos \alpha)(\cos x + \cos \alpha)}{\cos x - \cos \alpha} d x$.
સામાન્ય પદ $(\cos x - \cos \alpha)$ ને દૂર કરતા:
$I = \int (\cos x + \cos \alpha) d x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$I = \sin x + x \cos \alpha + C$.
આને $f(x) + Ax + B$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = \sin x$ અને $A = \cos \alpha$ મળે છે.

(A) આપેલ છે,$\int \frac{1}{x^2}(2 x+1)^3 d x$
અંશનું વિસ્તરણ $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરતા:
$(2x+1)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2(1) + 3(2x)(1)^2 + (1)^3 = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$
હવે,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$\int \frac{8x^3 + 12x^2 + 6x + 1}{x^2} d x$
$= \int (8x + 12 + \frac{6}{x} + \frac{1}{x^2}) d x$
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$= 8 \int x d x + 12 \int d x + 6 \int \frac{1}{x} d x + \int x^{-2} d x$
$= 8(\frac{x^2}{2}) + 12x + 6 \log |x| + (\frac{x^{-1}}{-1}) + C$
$= 4x^2 + 12x + 6 \log |x| - \frac{1}{x} + C$

(D) આપેલ છે કે $\int \cos ^{-1} \sqrt{\frac{x}{a+x}} d x = f(x) + C$.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,સંકલનનું વિકલન એ સંકલ્ય છે:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} \int \cos ^{-1} \sqrt{\frac{x}{a+x}} d x = \cos ^{-1} \sqrt{\frac{x}{a+x}}$.
હવે,આપણે $f^{\prime}(a)$ શોધવાની જરૂર છે.
$f^{\prime}(x)$ ના પદમાં $x = a$ મૂકતા:
$f^{\prime}(a) = \cos ^{-1} \sqrt{\frac{a}{a+a}} = \cos ^{-1} \sqrt{\frac{a}{2a}}$.
વર્ગમૂળની અંદરના અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા:
$f^{\prime}(a) = \cos ^{-1} \sqrt{\frac{1}{2}} = \cos ^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
કારણ કે $\cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી:
$f^{\prime}(a) = \frac{\pi}{4}$.

(B) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{(x - 1)^2}{(x^2 + 1)^2} dx$ છે.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા,$(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$ મળે.
તેથી,$I = \int \frac{x^2 + 1 - 2x}{(x^2 + 1)^2} dx$.
સંકલનને અલગ પાડતા,$I = \int \frac{x^2 + 1}{(x^2 + 1)^2} dx - \int \frac{2x}{(x^2 + 1)^2} dx$.
આનું સાદું રૂપ $I = \int \frac{1}{x^2 + 1} dx - \int 2x(x^2 + 1)^{-2} dx$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \tan^{-1}(x)$.
બીજા ભાગ માટે,ધારો કે $u = x^2 + 1$,તો $du = 2x dx$.
તેથી,$\int 2x(x^2 + 1)^{-2} dx = \int u^{-2} du = \frac{u^{-1}}{-1} = -\frac{1}{u} = -\frac{1}{x^2 + 1}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$I = \tan^{-1}(x) - (-\frac{1}{x^2 + 1}) + k = \tan^{-1}(x) + \frac{1}{x^2 + 1} + k$.
આપેલ સ્વરૂપ $\tan^{-1}(x) + g(x) + k$ સાથે સરખાવતા,$g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ મળે છે.

(B) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{1 + x + \sqrt{x(1 + x)}}{\sqrt{x} + \sqrt{1 + x}} dx$ છે.
અંશને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય:
$1 + x + \sqrt{x} \cdot \sqrt{1 + x} = \sqrt{1 + x} \cdot \sqrt{1 + x} + \sqrt{x} \cdot \sqrt{1 + x}$.
$\sqrt{1 + x}$ સામાન્ય લેતા:
$\sqrt{1 + x} (\sqrt{1 + x} + \sqrt{x})$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{\sqrt{1 + x} (\sqrt{1 + x} + \sqrt{x})}{\sqrt{x} + \sqrt{1 + x}} dx$.
સમાન પદ $(\sqrt{x} + \sqrt{1 + x})$ ને દૂર કરતા:
$I = \int \sqrt{1 + x} dx = \int (1 + x)^{1/2} dx$.
ઘાતનો નિયમ $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + c$ વાપરતા:
$I = \frac{(1 + x)^{3/2}}{3/2} + c = \frac{2}{3} (1 + x)^{3/2} + c$.

(A) ધારો કે $I = \int (1 - \cos x) \operatorname{cosec}^2 x \, dx$.
નિત્યસમ $1 - \cos x = 2 \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right)$ અને $\operatorname{cosec}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int 2 \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin^2 x} \, dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin x = 2 \sin \left(\frac{x}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}\right)$,તેથી $\sin^2 x = 4 \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right) \cos^2 \left(\frac{x}{2}\right)$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{2 \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right)}{4 \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right) \cos^2 \left(\frac{x}{2}\right)} \, dx$.
$I = \int \frac{1}{2 \cos^2 \left(\frac{x}{2}\right)} \, dx = \frac{1}{2} \int \sec^2 \left(\frac{x}{2}\right) \, dx$.
$\sec^2 \left(\frac{x}{2}\right)$ નું સંકલન $2 \tan \left(\frac{x}{2}\right)$ થાય છે.
$I = \frac{1}{2} \cdot 2 \tan \left(\frac{x}{2}\right) + C = \tan \left(\frac{x}{2}\right) + C$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{\sin x \cos x}$.
અંશ અને છેદને $\sec^2 x$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{\sec^2 x dx}{\tan x}$.
$\tan x = t$ આદેશ લેતા,$\sec^2 x dx = dt$ મળે.
તેથી,$I = \int \frac{dt}{t} = \log |t| + c$.
$t = \tan x$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = \log |\tan x| + c$ મળે છે.

(B) સંકલન $I = \int \frac{x^2+1}{x^4+1} dx$ ઉકેલવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગીએ છીએ:
$I = \int \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{x^2 + \frac{1}{x^2}} dx$
આપણે છેદને $(x - \frac{1}{x})^2 + 2$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$I = \int \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{(x - \frac{1}{x})^2 + (\sqrt{2})^2} dx$
ધારો કે $t = x - \frac{1}{x}$. તો $dt = (1 + \frac{1}{x^2}) dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dt}{t^2 + (\sqrt{2})^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right) + c$
$t = x - \frac{1}{x} = \frac{x^2-1}{x}$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{x^2-1}{\sqrt{2}x}\right) + c$
આમ,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{x^2-1}{\sqrt{2}x}\right)$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{1+\cos (4 x)}{\cot x-\tan x} d x$.
નિત્યસમ $1+\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $1+\cos(4x) = 2\cos^2(2x)$ મળે છે.
વળી,$\cot x - \tan x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{\cos(2x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)} = 2\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{2\cos^2(2x)}{2\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}} dx = \int \cos(2x) \sin(2x) dx$.
નિત્યસમ $\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin(2x)\cos(2x) = \frac{1}{2}\sin(4x)$ મળે.
$I = \int \frac{1}{2}\sin(4x) dx = \frac{1}{2} \left( \frac{-\cos(4x)}{4} \right) + C = -\frac{1}{8}\cos(4x) + C$.
આને $A\cos(4x)+B$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = -\frac{1}{8}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{\sqrt{7-6x-x^2}}$.
પ્રથમ,દ્વિઘાત પદાવલિ $7-6x-x^2$ માટે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરીએ:
$7-6x-x^2 = 7 - (x^2 + 6x) = 7 - (x^2 + 6x + 9 - 9) = 7 - ((x+3)^2 - 9) = 16 - (x+3)^2 = 4^2 - (x+3)^2$.
હવે,આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dx}{\sqrt{4^2 - (x+3)^2}}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 4$ અને $x$ ની જગ્યાએ $(x+3)$ છે:
$I = \sin^{-1}\left(\frac{x+3}{4}\right) + C$.

(C) ધારો કે $I = \int (\sec^4 x + \tan^4 x) \, dx$.
નિત્યસમ $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\tan^4 x = (\sec^2 x - 1)^2 = \sec^4 x - 2 \sec^2 x + 1$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int (\sec^4 x + \sec^4 x - 2 \sec^2 x + 1) \, dx$
$I = \int (2 \sec^4 x - 2 \sec^2 x + 1) \, dx$
$I = \int (2 \sec^2 x \cdot \sec^2 x - 2 \sec^2 x + 1) \, dx$
$I = \int (2(1 + \tan^2 x) \sec^2 x - 2 \sec^2 x + 1) \, dx$
$I = \int (2 \sec^2 x + 2 \tan^2 x \sec^2 x - 2 \sec^2 x + 1) \, dx$
$I = \int (2 \tan^2 x \sec^2 x + 1) \, dx$
ધારો કે $u = \tan x$,તો $du = \sec^2 x \, dx$.
$I = \int (2u^2 + 1) \, du = \frac{2}{3} u^3 + u + c$
$I = \frac{2}{3} \tan^3 x + \tan x + c$.

(D) આપેલ છે કે $g\left(\frac{t+1}{2 t+1}\right)=t+1$.
ધારો કે $x = \frac{t+1}{2 t+1}$.
તેથી $x(2t+1) = t+1 \Rightarrow 2tx + x = t+1 \Rightarrow t(2x-1) = 1-x$.
આમ,$t = \frac{1-x}{2x-1}$.
$g(x) = t+1$ માં $t$ ની કિંમત મૂકતા:
$g(x) = \frac{1-x}{2x-1} + 1 = \frac{1-x+2x-1}{2x-1} = \frac{x}{2x-1}$.
હવે,$\int g(x) dx = \int \frac{x}{2x-1} dx$.
$= \frac{1}{2} \int \frac{2x}{2x-1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x-1+1}{2x-1} dx$.
$= \frac{1}{2} \int \left(1 + \frac{1}{2x-1}\right) dx$.
$= \frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{2} \log _e|2x-1|\right) + C$.
$= \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \log _e|2x-1| + C$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{e^x-1}{e^x+1} dx$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ: $I = \int \frac{(e^x+1)-2}{e^x+1} dx$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $I = \int (1 - \frac{2}{e^x+1}) dx = \int 1 dx - 2 \int \frac{1}{e^x+1} dx$.
$\int \frac{1}{e^x+1} dx$ નું સંકલન કરવા માટે,અંશ અને છેદને $e^{-x}$ વડે ગુણો:
$I = x - 2 \int \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}} dx$.
ધારો કે $t = 1+e^{-x}$,તેથી $dt = -e^{-x} dx$,જેનો અર્થ છે કે $e^{-x} dx = -dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = x - 2 \int \frac{-dt}{t} = x + 2 \int \frac{1}{t} dt$.
$I = x + 2 \log_e|t| + c = x + 2 \log_e(1+e^{-x}) + c$.
કારણ કે $1+e^{-x} = \frac{e^x+1}{e^x}$,તેથી:
$I = x + 2 \log_e(\frac{e^x+1}{e^x}) + c = x + 2 \log_e(e^x+1) - 2 \log_e(e^x) + c$.
$I = x + 2 \log_e(e^x+1) - 2x + c = 2 \log_e(e^x+1) - x + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{x^2+2x+2}$.
છેદને પૂર્ણવર્ગની રીતે લખતા:
$x^2+2x+2 = (x^2+2x+1) + 1 = (x+1)^2 + 1$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dx}{(x+1)^2 + 1}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{du}{u^2+1} = \tan^{-1}(u) + c$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = x+1$ અને $du = dx$ છે:
$I = \tan^{-1}(x+1) + c$.
આને $I = f(x) + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે કે $f(x) = \tan^{-1}(x+1)$.

(C) ધારો કે $I = \int(3t^2 \sin \frac{1}{t} - t \cos \frac{1}{t}) dt$.
આપણે વિકલનનો ઉપયોગ કરીએ:
ધારો કે $f(t) = t^3$.
હવે,$\frac{d}{dt} (t^3 \sin \frac{1}{t}) = 3t^2 \sin \frac{1}{t} + t^3 \cos(\frac{1}{t}) \cdot (-\frac{1}{t^2}) = 3t^2 \sin \frac{1}{t} - t \cos \frac{1}{t}$.
આમ,$\int(3t^2 \sin \frac{1}{t} - t \cos \frac{1}{t}) dt = t^3 \sin \frac{1}{t} + c$.
આને $f(t) \sin(\frac{1}{t}) + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(t) = t^3$ મળે છે.
તેથી,$f(2) = 2^3 = 8$.

(C) ધારો કે $I = \int [(\ln x)^2 + 2 \ln x] dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{d}{dx} [x(\ln x)^2] = 1 \cdot (\ln x)^2 + x \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} = (\ln x)^2 + 2 \ln x$.
તેથી,વિકલનના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$\int [(\ln x)^2 + 2 \ln x] dx = x(\ln x)^2 + c$ થાય છે.

(A) આપણને સંકલન $I = \int [ \cos(x) \cdot \frac{d}{dx}(\csc(x)) ] dx$ આપેલ છે.
પ્રથમ,આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{d}{dx}(\csc(x)) = -\csc(x) \cot(x)$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int [ \cos(x) \cdot (-\csc(x) \cot(x)) ] dx$
$I = - \int [ \cos(x) \cdot \frac{1}{\sin(x)} \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} ] dx$
$I = - \int [ \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} ] dx$
$I = - \int \cot^2(x) dx$
નિત્યસમ $\cot^2(x) = \csc^2(x) - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = - \int (\csc^2(x) - 1) dx$
$I = - \int \csc^2(x) dx + \int 1 dx$
કારણ કે $\int \csc^2(x) dx = -\cot(x)$,તેથી:
$I = -(-\cot(x)) + x + c$
$I = \cot(x) + x + c$
આને $f(x) + g(x) + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = \cot(x)$ અને $g(x) = x$ મળે છે.
તેથી,$f(x) \cdot g(x) = x \cot(x)$.

(A) આપણે સંકલન $I = \int x \tan^2 x dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int x(\sec^2 x - 1) dx = \int x \sec^2 x dx - \int x dx$.
$\int x \sec^2 x dx$ માટે ખંડશઃ સંકલન (Integration by Parts) નો ઉપયોગ કરતા ($u = x$ અને $dv = \sec^2 x dx$ લેતા):
$I = [x \tan x - \int 1 \cdot \tan x dx] - \frac{x^2}{2} + C$.
કારણ કે $\int \tan x dx = \log_e(\sec x)$ હોવાથી:
$I = x \tan x - \log_e(\sec x) - \frac{x^2}{2} + C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે,$\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int x^{2020} \left(\frac{\pi}{2}\right) dx$
$I = \frac{\pi}{2} \int x^{2020} dx$
સંકલનના ઘાત નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:
$I = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{x^{2021}}{2021} + C$
કારણ કે $\frac{\pi}{2} = \tan^{-1} x + \cot^{-1} x$,આપણે લખી શકીએ:
$I = \frac{x^{2021}}{2021} (\tan^{-1} x + \cot^{-1} x) + C$
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{x+\sin x}{1+\cos x} d x$.
નિત્યસમ $1+\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ અને $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{x}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} d x + \int \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} d x$
$I = \frac{1}{2} \int x \sec^2 \frac{x}{2} d x + \int \tan \frac{x}{2} d x$.
પ્રથમ પદ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$\int x \sec^2 \frac{x}{2} d x = x \cdot \frac{\tan \frac{x}{2}}{1/2} - \int 1 \cdot \frac{\tan \frac{x}{2}}{1/2} d x = 2x \tan \frac{x}{2} - 2 \int \tan \frac{x}{2} d x$.
આ કિંમતને $I$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} (2x \tan \frac{x}{2} - 2 \int \tan \frac{x}{2} d x) + \int \tan \frac{x}{2} d x$
$I = x \tan \frac{x}{2} - \int \tan \frac{x}{2} d x + \int \tan \frac{x}{2} d x$
$I = x \tan \frac{x}{2} + C$.

(B) આપણને સંકલન $\int \frac{x^8+4}{x^4-2 x^2+2} d x$ આપેલ છે.
પ્રથમ,આપણે અંશમાં $4x^4$ ઉમેરીને અને બાદ કરીને તેને ફરીથી લખીએ:
$\int \frac{x^8+4x^4+4-4x^4}{x^4-2 x^2+2} d x = \int \frac{(x^4+2)^2 - (2x^2)^2}{x^4-2 x^2+2} d x$.
તફાવતના વર્ગના સૂત્ર $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\int \frac{(x^4+2-2x^2)(x^4+2+2x^2)}{x^4-2 x^2+2} d x = \int (x^4+2x^2+2) d x$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + 2x + k$.
આને $Ax^5+Bx^3+Cx+k$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = \frac{1}{5}$,$B = \frac{2}{3}$,અને $C = 2$ મળે છે.
હવે,$5A+3B+C$ ની ગણતરી કરીએ:
$5(\frac{1}{5}) + 3(\frac{2}{3}) + 2 = 1 + 2 + 2 = 5$.

(A) આપણી પાસે છે,$I = \int \frac{x^4+x^2+1}{x^2-x+1} dx$.
કારણ કે $x^4+x^2+1 = (x^2+1)^2 - x^2 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$,
તેથી આપણે સંકલ્યને સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$I = \int \frac{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}{x^2-x+1} dx = \int (x^2+x+1) dx$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + c$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{(x+1)^2}{x(x^2+1)} dx$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$ મળે છે.
તેથી,$I = \int \frac{x^2 + 2x + 1}{x(x^2+1)} dx$.
આપણે અંશને $(x^2+1) + 2x$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
આમ,$I = \int \frac{(x^2+1) + 2x}{x(x^2+1)} dx$.
સંકલનને અલગ કરતા,આપણને $I = \int \frac{x^2+1}{x(x^2+1)} dx + \int \frac{2x}{x(x^2+1)} dx$ મળે છે.
$I = \int \frac{1}{x} dx + 2 \int \frac{1}{x^2+1} dx$.
સંકલન કરતા,આપણને $I = \log |x| + 2 \tan^{-1}(x) + C$ મળે છે.
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(B) આપેલ સંકલન $I = \int \left( \frac{2x^3 - 3x + 5}{2x^2} \right) dx$ છે.
અંશના દરેક પદને $2x^2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \left( \frac{2x^3}{2x^2} - \frac{3x}{2x^2} + \frac{5}{2x^2} \right) dx = \int \left( x - \frac{3}{2x} + \frac{5}{2x^2} \right) dx$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$I = \frac{x^2}{2} - \frac{3}{2} \ln|x| - \frac{5}{2} \left( -\frac{1}{x} \right) + C = \frac{x^2}{2} - \frac{3}{2} \ln|x| + \frac{5}{2x} + C$.
જોકે,$\ln(x)$ પદ ફક્ત $x > 0$ માટે જ વ્યાખ્યાયિત છે. તેથી,આ સંકલન $x > 0$ માટે માન્ય છે.
આથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે,$\int \frac{x^2}{2 x^2+6 \sqrt{2} x+9} d x$.
નોંધો કે $2 x^2+6 \sqrt{2} x+9 = (\sqrt{2} x+3)^2$ થાય છે.
અંશને આ રીતે લખી શકાય:
$x^2 = \frac{1}{2} (2 x^2 + 6 \sqrt{2} x + 9) - 3 \sqrt{2} x - \frac{9}{2}$.
તેથી,સંકલન આ મુજબ થશે:
$\int \left( \frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{2} x + \frac{9}{2}}{(\sqrt{2} x + 3)^2} \right) d x = \frac{x}{2} - \int \frac{3 \sqrt{2} x + \frac{9}{2}}{(\sqrt{2} x + 3)^2} d x$.
ધારો કે $u = \sqrt{2} x + 3$,તો $du = \sqrt{2} dx$,તેથી $dx = \frac{du}{\sqrt{2}}$ અને $x = \frac{u-3}{\sqrt{2}}$.
સંકલનનો ભાગ $\int \frac{3 \sqrt{2} (\frac{u-3}{\sqrt{2}}) + \frac{9}{2}}{u^2} \frac{du}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{3u - 9 + \frac{9}{2}}{u^2} du = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{3u - \frac{9}{2}}{u^2} du = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \left( \frac{3}{u} - \frac{9}{2u^2} \right) du$ છે.
$= \frac{1}{\sqrt{2}} [3 \log |u| + \frac{9}{2u}] + c = \frac{3}{\sqrt{2}} \log |\sqrt{2} x + 3| + \frac{9}{2 \sqrt{2} (\sqrt{2} x + 3)} + c$.
આ કિંમતને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{x}{2} - \left( \frac{3}{\sqrt{2}} \log |\sqrt{2} x + 3| + \frac{9}{2 \sqrt{2} (\sqrt{2} x + 3)} \right) + c$.
વિકલ્પોમાં આપેલા સ્વરૂપ સાથે મેળવવા માટે,આપણે $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ સામાન્ય કાઢીએ:
$= \frac{1}{2 \sqrt{2}} [\sqrt{2} x - 6 \log |\sqrt{2} x + 3| - \frac{9}{\sqrt{2} x + 3}] + c$.
કૌંસમાં $3$ ઉમેરતા અને બાદ કરતા:
$= \frac{1}{2 \sqrt{2}} [(\sqrt{2} x + 3) - 3 - 6 \log |\sqrt{2} x + 3| - \frac{9}{\sqrt{2} x + 3}] + c$.
અચળ પદ $c$ માં સમાઈ જશે,તેથી આ વિકલ્પ $(a)$ સાથે મેળ ખાય છે.