Fundamental integration Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $2-x=t$.
તેથી,$-dx = dt$,જેનો અર્થ છે કે $dx = -dt$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{1}{\sqrt{(2-x)^{2}+1}} dx = -\int \frac{1}{\sqrt{t^{2}+1}} dt$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} dx = \log |x + \sqrt{x^{2}+a^{2}}| + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= -\log |t + \sqrt{t^{2}+1}| + C$.
હવે $t = 2-x$ પાછું મૂકતા:
$= -\log |2-x + \sqrt{(2-x)^{2}+1}| + C$.
કારણ કે $-\log|u| = \log|1/u|$,આને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$= \log \left| \frac{1}{(2-x) + \sqrt{x^{2}-4x+5}} \right| + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

(A) ધારો કે $5x = t$.
તેથી,$5 dx = dt$,જેનો અર્થ છે કે $dx = \frac{1}{5} dt$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{1}{\sqrt{9-25 x^{2}}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{3^{2}-(5x)^{2}}} dx$
$= \frac{1}{5} \int \frac{1}{\sqrt{3^{2}-t^{2}}} dt$
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} dx = \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{5} \sin^{-1}(\frac{t}{3}) + C$
$t = 5x$ પાછા મૂકતા:
$= \frac{1}{5} \sin^{-1}(\frac{5x}{3}) + C$,જ્યાં $C$ એ એક સ્વૈર અચળાંક છે.

(N/A) $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+2x+2}} dx$ નું સંકલન કરવા માટે,આપણે છેદમાં રહેલા દ્વિઘાત પદાવલિ માટે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
$x^{2}+2x+2 = (x^{2}+2x+1)+1 = (x+1)^{2}+1^{2}$.
હવે,સંકલન આ મુજબ થશે: $\int \frac{1}{\sqrt{(x+1)^{2}+1^{2}}} dx$.
ધારો કે $t = x+1$,તેથી $dt = dx$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{1}{\sqrt{t^{2}+a^{2}}} dt = \log |t + \sqrt{t^{2}+a^{2}}| + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=1$:
$\int \frac{1}{\sqrt{t^{2}+1^{2}}} dt = \log |t + \sqrt{t^{2}+1}| + C$.
$t = x+1$ ની કિંમત પાછી મૂકતા:
$= \log |(x+1) + \sqrt{(x+1)^{2}+1}| + C$
$= \log |(x+1) + \sqrt{x^{2}+2x+2}| + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

(N/A) $\int \frac{1}{\sqrt{7-6x-x^{2}}} dx$ નું સંકલન કરવા માટે,આપણે પ્રથમ દ્વિઘાત પદાવલિ $7-6x-x^{2}$ માટે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
$7-6x-x^{2} = 7 - (x^{2} + 6x)$
$= 7 - (x^{2} + 6x + 9 - 9)$
$= 7 - ((x+3)^{2} - 9)$
$= 7 + 9 - (x+3)^{2}$
$= 16 - (x+3)^{2}$
$= (4)^{2} - (x+3)^{2}$
હવે,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$\int \frac{1}{\sqrt{(4)^{2} - (x+3)^{2}}} dx$
ધારો કે $u = x+3$,તેથી $du = dx$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}} du = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$= \sin^{-1}(\frac{x+3}{4}) + C$,જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.

(C) સંકલન $\int \frac{d x}{x^{2}+2 x+2}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે છેદમાં પૂર્ણવર્ગ બનાવીશું.
$x^{2}+2 x+2 = (x^{2}+2 x+1) + 1 = (x+1)^{2} + 1^{2}$.
હવે,સંકલન $\int \frac{d x}{(x+1)^{2} + 1^{2}}$ બને છે.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{d u}{u^{2} + a^{2}} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = x+1$ અને $a = 1$ છે,આપણને મળે છે:
$\int \frac{d x}{(x+1)^{2} + 1^{2}} = \tan^{-1}(x+1) + C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) સંકલન $I = \int \frac{dx}{\sqrt{9x-4x^{2}}}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે વર્ગમૂળની અંદર પૂર્ણવર્ગ પદાવલિ બનાવીશું.
$I = \int \frac{dx}{\sqrt{-4(x^{2}-\frac{9}{4}x)}}$
$I = \int \frac{dx}{\sqrt{-4(x^{2}-\frac{9}{4}x + \frac{81}{64} - \frac{81}{64})}}$
$I = \int \frac{dx}{\sqrt{-4[(x-\frac{9}{8})^{2} - (\frac{9}{8})^{2}]}}$
$I = \int \frac{dx}{2\sqrt{(\frac{9}{8})^{2} - (x-\frac{9}{8})^{2}}}$
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dy}{\sqrt{a^{2}-y^{2}}} = \sin^{-1}(\frac{y}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = \frac{9}{8}$ અને $y = x - \frac{9}{8}$ છે:
$I = \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{x-\frac{9}{8}}{\frac{9}{8}}\right) + C$
$I = \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{8x-9}{9}\right) + C$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(N/A) ધારો કે $I = \int \sqrt{4-x^{2}} \, dx = \int \sqrt{(2)^{2}-(x)^{2}} \, dx$.
આપણે પ્રમાણિત સંકલન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) + C$.
અહીં,$a = 2$ છે.
સૂત્રમાં $a = 2$ મૂકતા:
$I = \frac{x}{2} \sqrt{4-x^{2}} + \frac{4}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{2}\right) + C$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$I = \frac{x}{2} \sqrt{4-x^{2}} + 2 \sin^{-1} \left(\frac{x}{2}\right) + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

ધારો કે $I = \int \sqrt{1-4x^2} dx = \int \sqrt{(1)^2 - (2x)^2} dx$.
$2x = t$ આદેશ લેતા,$2 dx = dt$,જેનો અર્થ છે કે $dx = \frac{1}{2} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \int \sqrt{1^2 - t^2} dt$.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{a} \right) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2} \left[ \frac{t}{2} \sqrt{1 - t^2} + \frac{1^2}{2} \sin^{-1} \left( \frac{t}{1} \right) \right] + C$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$I = \frac{t}{4} \sqrt{1 - t^2} + \frac{1}{4} \sin^{-1} (t) + C$.
$t = 2x$ પાછા મૂકતા:
$I = \frac{2x}{4} \sqrt{1 - (2x)^2} + \frac{1}{4} \sin^{-1} (2x) + C$.
$I = \frac{x}{2} \sqrt{1 - 4x^2} + \frac{1}{4} \sin^{-1} (2x) + C$,જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.

ધારો કે $I = \int \sqrt{1-4x-x^{2}} dx$.
આનું સંકલન કરવા માટે,આપણે વર્ગમૂળની અંદર પૂર્ણવર્ગ પદાવલિ બનાવીએ:
$1-4x-x^{2} = 1 - (x^{2} + 4x) = 1 - (x^{2} + 4x + 4 - 4) = 1 - ((x+2)^{2} - 4) = 5 - (x+2)^{2}$.
તેથી,$I = \int \sqrt{(\sqrt{5})^{2} - (x+2)^{2}} dx$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \sqrt{a^{2} - t^{2}} dt = \frac{t}{2} \sqrt{a^{2} - t^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1}(\frac{t}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $t = x+2$ અને $a = \sqrt{5}$:
$I = \frac{x+2}{2} \sqrt{5 - (x+2)^{2}} + \frac{5}{2} \sin^{-1}(\frac{x+2}{\sqrt{5}}) + C$.
વર્ગમૂળની અંદરના પદને મૂળ સ્વરૂપમાં પાછું લાવતા:
$I = \frac{x+2}{2} \sqrt{1-4x-x^{2}} + \frac{5}{2} \sin^{-1}(\frac{x+2}{\sqrt{5}}) + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

ધારો કે $I = \int \sqrt{1+\frac{x^{2}}{9}} \, dx$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$I = \int \sqrt{\frac{9+x^{2}}{9}} \, dx = \frac{1}{3} \int \sqrt{9+x^{2}} \, dx = \frac{1}{3} \int \sqrt{3^{2}+x^{2}} \, dx$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \sqrt{x^{2}+a^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^{2}+a^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \ln |x + \sqrt{x^{2}+a^{2}}| + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 3$:
$I = \frac{1}{3} \left[ \frac{x}{2} \sqrt{x^{2}+3^{2}} + \frac{3^{2}}{2} \ln |x + \sqrt{x^{2}+3^{2}}| \right] + C$.
$I = \frac{1}{3} \left[ \frac{x}{2} \sqrt{x^{2}+9} + \frac{9}{2} \ln |x + \sqrt{x^{2}+9}| \right] + C$.
$I = \frac{x}{6} \sqrt{x^{2}+9} + \frac{3}{2} \ln |x + \sqrt{x^{2}+9}| + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈચ્છિક અચળાંક છે.

(D) આપણે $\int \sqrt{x^{2}+a^{2}} \, dx$ માટેના પ્રમાણિત સંકલન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\int \sqrt{x^{2}+a^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^{2}+a^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \log |x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}| + C$
$\int \sqrt{1+x^{2}} \, dx$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$ મળે છે.
સૂત્રમાં $a = 1$ મૂકતા:
$\int \sqrt{1+x^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{1+x^{2}} + \frac{1^{2}}{2} \log |x+\sqrt{1+x^{2}}| + C$
$= \frac{x}{2} \sqrt{1+x^{2}} + \frac{1}{2} \log |x+\sqrt{1+x^{2}}| + C$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

$\int \frac{1}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x+b}} dx$ નું સંકલન કરવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ છેદનું સંમેયીકરણ કરીશું:
$\frac{1}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x+b}} = \frac{1}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x+b}} \times \frac{\sqrt{x+a}-\sqrt{x+b}}{\sqrt{x+a}-\sqrt{x+b}}$
$= \frac{\sqrt{x+a}-\sqrt{x+b}}{(x+a)-(x+b)} = \frac{\sqrt{x+a}-\sqrt{x+b}}{a-b}$
હવે,પદાવલિનું સંકલન કરતા:
$\int \frac{1}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x+b}} dx = \frac{1}{a-b} \int (\sqrt{x+a}-\sqrt{x+b}) dx$
$= \frac{1}{a-b} \left[ \int (x+a)^{\frac{1}{2}} dx - \int (x+b)^{\frac{1}{2}} dx \right]$
$= \frac{1}{a-b} \left[ \frac{(x+a)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \frac{(x+b)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right] + C$
$= \frac{2}{3(a-b)} \left[ (x+a)^{\frac{3}{2}} - (x+b)^{\frac{3}{2}} \right] + C$

આપેલ સંકલન $I = \int \frac{e^{5 \log x}-e^{4 \log x}}{e^{3 \log x}-e^{2 \log x}} dx$ છે.
$a \log b = \log b^a$ અને $e^{\log x} = x$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે સંકલ્યને સરળ બનાવીએ:
$\frac{e^{5 \log x}-e^{4 \log x}}{e^{3 \log x}-e^{2 \log x}} = \frac{e^{\log x^5} - e^{\log x^4}}{e^{\log x^3} - e^{\log x^2}} = \frac{x^5 - x^4}{x^3 - x^2}$
અંશ અને છેદમાં પદોને સામાન્ય કાઢતા:
$= \frac{x^4(x - 1)}{x^2(x - 1)}$
$x \neq 1$ અને $x \neq 0$ માટે,આપણે $(x - 1)$ અને $x^2$ ને છેદ ઉડાડી શકીએ છીએ:
$= x^2$
હવે,સરળ બનાવેલા વિધેયનું સંકલન કરતા:
$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$,જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{\sin ^{8} x-\cos ^{8} x}{1-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x} \, dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{8} x - \cos ^{8} x = (\sin ^{4} x - \cos ^{4} x)(\sin ^{4} x + \cos ^{4} x) = (\sin ^{2} x - \cos ^{2} x)(\sin ^{2} x + \cos ^{2} x)(\sin ^{4} x + \cos ^{4} x)$.
કારણ કે $\sin ^{2} x + \cos ^{2} x = 1$,તેથી $\sin ^{8} x - \cos ^{8} x = (\sin ^{2} x - \cos ^{2} x)(\sin ^{4} x + \cos ^{4} x)$.
વળી,$\sin ^{4} x + \cos ^{4} x = (\sin ^{2} x + \cos ^{2} x)^{2} - 2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x = 1 - 2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x$.
આ કિંમતોને સંકલ્યમાં મૂકતા:
$\frac{(\sin ^{2} x - \cos ^{2} x)(1 - 2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x)}{1 - 2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x} = \sin ^{2} x - \cos ^{2} x = -(\cos ^{2} x - \sin ^{2} x) = -\cos 2x$.
તેથી,$I = \int -\cos 2x \, dx = -\frac{\sin 2x}{2} + C$.

(N/A) ધારો કે $I=\int \frac{\sin ^{-1} \sqrt{x}-\cos ^{-1} \sqrt{x}}{\sin ^{-1} \sqrt{x}+\cos ^{-1} \sqrt{x}} d x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} \sqrt{x}+\cos ^{-1} \sqrt{x}=\frac{\pi}{2}$,તેથી $\cos ^{-1} \sqrt{x}=\frac{\pi}{2}-\sin ^{-1} \sqrt{x}$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I=\int \frac{\sin ^{-1} \sqrt{x}-(\frac{\pi}{2}-\sin ^{-1} \sqrt{x})}{\frac{\pi}{2}} d x = \frac{2}{\pi} \int (2 \sin ^{-1} \sqrt{x}-\frac{\pi}{2}) d x = \frac{4}{\pi} \int \sin ^{-1} \sqrt{x} d x - x$.
ધારો કે $I_1 = \int \sin ^{-1} \sqrt{x} d x$. $\sqrt{x}=t$ લેતા,$x=t^2$ અને $dx=2t dt$.
$I_1 = \int \sin ^{-1} t \cdot 2t dt = 2 [\frac{t^2}{2} \sin ^{-1} t - \int \frac{t^2}{2\sqrt{1-t^2}} dt] = t^2 \sin ^{-1} t - \int \frac{t^2}{\sqrt{1-t^2}} dt$.
$\int \frac{t^2}{\sqrt{1-t^2}} dt = \int \frac{-(1-t^2)+1}{\sqrt{1-t^2}} dt = -\int \sqrt{1-t^2} dt + \int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} dt = -[\frac{t}{2}\sqrt{1-t^2} + \frac{1}{2}\sin ^{-1} t] + \sin ^{-1} t = -\frac{t}{2}\sqrt{1-t^2} + \frac{1}{2}\sin ^{-1} t$.
તેથી,$I_1 = t^2 \sin ^{-1} t + \frac{t}{2}\sqrt{1-t^2} - \frac{1}{2}\sin ^{-1} t = (t^2 - \frac{1}{2}) \sin ^{-1} t + \frac{t}{2}\sqrt{1-t^2}$.
$t=\sqrt{x}$ પાછા મૂકતા:
$I = \frac{4}{\pi} [(x - \frac{1}{2}) \sin ^{-1} \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2}\sqrt{1-x}] - x + C = \frac{2(2x-1)}{\pi} \sin ^{-1} \sqrt{x} + \frac{2}{\pi} \sqrt{x-x^2} - x + C$.

(A) ધારો કે $I = \int \tan ^{-1}(\sec x+\tan x) d x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ અને $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$,તેથી $\sec x + \tan x = \frac{1+\sin x}{\cos x}$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા,$1+\sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$ અને $\cos x = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})$.
આમ,$\frac{1+\sin x}{\cos x} = \frac{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2}{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})} = \frac{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}}$.
અંશ અને છેદને $\cos \frac{x}{2}$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1+\tan \frac{x}{2}}{1-\tan \frac{x}{2}} = \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})$ મળે છે.
તેથી,$I = \int \tan^{-1}(\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})) d x = \int (\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}) d x$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા,આપણને $I = \frac{\pi x}{4} + \frac{x^2}{4} + c$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $f^{\prime}(x)=x-\frac{5}{x^5}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$f(x) = \int \left(x - 5x^{-5}\right) dx$
$f(x) = \frac{x^2}{2} - 5 \left( \frac{x^{-4}}{-4} \right) + c$
$f(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{5}{4x^4} + c$
આપેલ છે કે $f(1) = 4$,તેથી $x=1$ મૂકતા:
$4 = \frac{1^2}{2} + \frac{5}{4(1)^4} + c$
$4 = \frac{1}{2} + \frac{5}{4} + c$
$4 = \frac{2+5}{4} + c$
$4 = \frac{7}{4} + c$
$c = 4 - \frac{7}{4} = \frac{16-7}{4} = \frac{9}{4}$
આમ,$f(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{5}{4x^4} + \frac{9}{4}$.

(A) આપેલ વેગ $v = 6t - \frac{t^2}{6}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $v = \frac{ds}{dt}$,તેથી $ds = v \, dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int ds = \int (6t - \frac{t^2}{6}) dt$.
$s = 6 \frac{t^2}{2} - \frac{1}{6} \frac{t^3}{3} + C = 3t^2 - \frac{t^3}{18} + C$.
આપેલ છે કે $t = 0$ સમયે $s = 0$,આ કિંમતો મૂકતા $0 = 3(0)^2 - \frac{(0)^3}{18} + C$,તેથી $C = 0$.
આમ,સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $s = 3t^2 - \frac{t^3}{18}$ છે.
$3 \text{ s}$ માં કાપેલું અંતર શોધવા માટે,આપણે $t = 3$ સમયે $s$ ની ગણતરી કરીએ:
$s(3) = 3(3)^2 - \frac{(3)^3}{18} = 3(9) - \frac{27}{18} = 27 - \frac{3}{2} = \frac{54 - 3}{2} = \frac{51}{2} \text{ એકમો}$.

(C) આપેલ છે,$v = \frac{ds}{dt} = 6t - \frac{t^2}{6}$.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$s = \int (6t - \frac{t^2}{6}) dt = 3t^2 - \frac{t^3}{18} + C$.
આપેલ છે કે $t = 0$ સમયે $s = 0$ છે,તેથી અચળાંક $C$ શોધવા માટે આ કિંમતો મૂકતા:
$0 = 3(0)^2 - \frac{(0)^3}{18} + C \implies C = 0$.
આમ,સ્થાનાંતરનું વિધેય $s(t) = 3t^2 - \frac{t^3}{18}$ છે.
$3 \ s$ માં કાપેલું અંતર શોધવા માટે,આપણે $s(3)$ ની ગણતરી કરીએ:
$s(3) = 3(3)^2 - \frac{(3)^3}{18} = 3(9) - \frac{27}{18} = 27 - \frac{3}{2} = \frac{54 - 3}{2} = \frac{51}{2}$.

(C) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{e^{2030 \log x}-e^{2029 \log x}}{e^{2028 \log x}-e^{2027 \log x}} \,d x$ છે.
ગુણધર્મ $e^{n \log x} = e^{\log x^n} = x^n$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે સંકલ્યને ફરીથી લખી શકીએ:
$I = \int \frac{x^{2030} - x^{2029}}{x^{2028} - x^{2027}} \,d x$.
અંશ અને છેદમાંથી સામાન્ય ઘાત બહાર કાઢતા:
$I = \int \frac{x^{2029}(x - 1)}{x^{2027}(x - 1)} \,d x$.
ધારો કે $x \neq 1$,તો આપણે $(x - 1)$ પદને રદ કરી શકીએ છીએ:
$I = \int \frac{x^{2029}}{x^{2027}} \,d x = \int x^{2029 - 2027} \,d x = \int x^2 \,d x$.
$x^2$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{x^3}{3} + c$,જ્યાં $c$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\int \frac{(2\cos^2 x - 1) - (2\cos^2 \alpha - 1)}{\cos x - \cos \alpha} dx$
$= \int \frac{2\cos^2 x - 2\cos^2 \alpha}{\cos x - \cos \alpha} dx$
$= 2 \int \frac{(\cos x - \cos \alpha)(\cos x + \cos \alpha)}{\cos x - \cos \alpha} dx$
$= 2 \int (\cos x + \cos \alpha) dx$
$= 2 (\sin x + x \cos \alpha) + c$
$= 2 \sin x + 2x \cos \alpha + c$.

(B) આપણી પાસે સંકલન $I = \int \frac{dx}{\sin^2 x \cos^2 x}$ છે.
કારણ કે $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$,આપણે સંકલનને આ રીતે લખી શકીએ:
$I = \int \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx$
$I = \int \left( \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} \right) dx$
$I = \int \left( \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x} \right) dx$
$I = \int (\sec^2 x + \csc^2 x) dx$
પ્રમાણિત સંકલન $\int \sec^2 x dx = \tan x$ અને $\int \csc^2 x dx = -\cot x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \tan x - \cot x + c$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{x^2+1}{(x+1)^2} dx$.
અંશને આ રીતે લખી શકાય: $x^2+1 = (x^2+2x+1) - 2x = (x+1)^2 - 2x$.
તેથી,$I = \int \frac{(x+1)^2 - 2x}{(x+1)^2} dx = \int 1 dx - \int \frac{2x}{(x+1)^2} dx$.
બીજા સંકલન માટે,$2x = 2(x+1) - 2$ લખો.
$I = x - \int \frac{2(x+1)-2}{(x+1)^2} dx = x - 2 \int \frac{1}{x+1} dx + 2 \int \frac{1}{(x+1)^2} dx$.
આ પદોનું સંકલન કરતા,આપણને મળે છે $I = x - 2 \log |x+1| + 2 \left( -\frac{1}{x+1} \right) + c$.
$I = x - 2 \log |x+1| - \frac{2}{x+1} + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \tan ^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}\right) d x$
નિત્યસમ $1-\sin x = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2$ અને $1+\sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \tan ^{-1}\left(\sqrt{\frac{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2}{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2}}\right) d x$
$I = \int \tan ^{-1}\left(\frac{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}\right) d x$
અંશ અને છેદને $\cos \frac{x}{2}$ વડે ભાગતા:
$I = \int \tan ^{-1}\left(\frac{1 - \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan \frac{x}{2}}\right) d x$
કારણ કે $\tan(\frac{\pi}{4} - \theta) = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}$:
$I = \int \tan ^{-1}\left(\tan \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)\right) d x$
$I = \int \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) d x$
$I = \frac{\pi}{4} x - \frac{x^2}{4} + c$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $x^4+x^2+1 = (x^2+1)^2 - x^2 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$.
તેથી,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$I = \int \frac{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}{x^2-x+1} \,d x$
$I = \int (x^2+x+1) \,d x$
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$I = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + c$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f^{\prime}(x)=4 x^3-3 x^{-4}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$f(x) = \int (4x^3 - 3x^{-4}) dx$
$f(x) = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 3 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} + c$
$f(x) = x^4 + \frac{1}{x^3} + c$
આપેલ છે કે $f(2) = 0$,તેથી $x = 2$ મૂકતા:
$0 = (2)^4 + \frac{1}{2^3} + c$
$0 = 16 + \frac{1}{8} + c$
$0 = \frac{128+1}{8} + c$
$c = -\frac{129}{8}$
આમ,$f(x) = x^4 + \frac{1}{x^3} - \frac{129}{8}$.

(C) $\text{સૌ પ્રથમ, સંકલ્ય } \frac{x^3-7x+6}{x^2+3x} \text{ પર બહુપદીનો ભાગાકાર કરો.}
x^3-7x+6 \text{ ને } x^2+3x \text{ વડે ભાગતા ભાગફળ } (x-3) \text{ અને શેષ } (2x+6) \text{ મળે છે.}
\text{તેથી, } \frac{x^3-7x+6}{x^2+3x} = x-3 + \frac{2x+6}{x^2+3x}.
\text{શેષ પદને સરળ બનાવતા: } \frac{2x+6}{x^2+3x} = \frac{2(x+3)}{x(x+3)} = \frac{2}{x} \text{ (જ્યાં } x \neq -3).
\text{હવે, પદાવલિનું સંકલન કરતા: } \int (x-3+\frac{2}{x}) dx.
= \int x dx - \int 3 dx + \int \frac{2}{x} dx.
= \frac{x^2}{2} - 3x + 2 \log |x| + c.$

(C) આપણી પાસે $I = \int \frac{\sin \frac{5x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} dx$ છે.
નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\frac{5x}{2} = 2x + \frac{x}{2}$ લખીએ છીએ.
$I = \int \frac{\sin(2x + \frac{x}{2})}{\sin \frac{x}{2}} dx = \int \frac{\sin 2x \cos \frac{x}{2} + \cos 2x \sin \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} dx$.
$I = \int (\sin 2x \cot \frac{x}{2} + \cos 2x) dx$.
વૈકલ્પિક રીતે,સરવાળાથી ગુણાકારના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sin \frac{5x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} = \frac{\sin(2x + \frac{x}{2})}{\sin \frac{x}{2}} = \frac{\sin 2x \cos \frac{x}{2} + \cos 2x \sin \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} = \cos 2x + \sin 2x \cot \frac{x}{2}$.
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ અને $\cot \frac{x}{2} = \frac{1+\cos x}{\sin x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 2x \cot \frac{x}{2} = 2 \sin x \cos x \cdot \frac{1+\cos x}{\sin x} = 2 \cos x(1+\cos x) = 2 \cos x + 2 \cos^2 x$.
કારણ કે $2 \cos^2 x = 1 + \cos 2x$,તેથી:
$\cos 2x + 2 \cos x + 1 + \cos 2x = 1 + 2 \cos x + 2 \cos 2x$.
સંકલન કરતા: $\int (1 + 2 \cos x + 2 \cos 2x) dx = x + 2 \sin x + \sin 2x + C$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે બે $n$-ઘાતનો તફાવત માટેનું બીજગણિતીય નિત્યસમ આ મુજબ છે:
$(x-a)(x^{n-1}+x^{n-2}a+\ldots+a^{n-1}) = x^n - a^n$.
આ કિંમતને સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\int(x^n - a^n)dx$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં પદવાર સંકલન કરતા:
$\int x^n dx - \int a^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} - a^n x + C$.

(C) ધારો કે $I = \int [1+2 \tan^2 x + 2 \tan x \sec x]^{1/2} dx$.
$1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ હોવાથી,આપણે વર્ગમૂળની અંદરના પદને આ રીતે લખી શકીએ:
$I = \int [\sec^2 x + \tan^2 x + 2 \sec x \tan x]^{1/2} dx$.
આ એક પૂર્ણવર્ગ છે:
$I = \int [(\sec x + \tan x)^2]^{1/2} dx = \int (\sec x + \tan x) dx$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$I = \int \sec x dx + \int \tan x dx$.
$I = \log |\sec x + \tan x| + \log |\sec x| + c$.
ગુણધર્મ $\log a + \log b = \log(ab)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \log |\sec x(\sec x + \tan x)| + c$.

(A) સંકલન $I = \int \frac{1}{\cos x+\sqrt{3} \sin x} dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,છેદને $2$ વડે ગુણી અને ભાગતા:
$I = \int \frac{1}{2(\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x)} dx$
નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = \sin(x + \frac{\pi}{6})$:
$I = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin(x + \frac{\pi}{6})} dx$
$I = \frac{1}{2} \int \csc(x + \frac{\pi}{6}) dx$
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \csc \theta d\theta = \log |\tan(\frac{\theta}{2})| + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2} \log |\tan(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{12})| + C$

(A) સંકલન $I = \int \frac{dx}{\sqrt{5+4x-x^2}}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે વર્ગમૂળની અંદરની દ્વિઘાત પદાવલિ માટે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$5+4x-x^2 = -(x^2-4x-5) = -((x-2)^2 - 4 - 5) = -( (x-2)^2 - 9 ) = 9 - (x-2)^2$.
આ કિંમતને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dx}{\sqrt{3^2 - (x-2)^2}}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \sin^{-1}\left(\frac{x-2}{3}\right) + c$.

(A) આપેલ છે કે $f^{\prime}(x)=k(\cos x+\sin x)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$f(x) = \int k(\cos x + \sin x) dx = k(\sin x - \cos x) + C$.
શરત $f(0) = 9$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(0) = k(\sin 0 - \cos 0) + C = k(0 - 1) + C = -k + C = 9$ ...$(1)$.
શરત $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 15$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = k\left(\sin \frac{\pi}{2} - \cos \frac{\pi}{2}\right) + C = k(1 - 0) + C = k + C = 15$ ...$(2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(-k + C) + (k + C) = 9 + 15 \Rightarrow 2C = 24 \Rightarrow C = 12$.
$C = 12$ ને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$k + 12 = 15 \Rightarrow k = 3$.
આમ,$f(x) = 3(\sin x - \cos x) + 12$.

(B) આપણને સંકલન $I = \int \frac{dx}{\cos 2x + \sin^2 x}$ આપેલ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે તેને છેદમાં મૂકીએ છીએ:
$I = \int \frac{dx}{1 - 2\sin^2 x + \sin^2 x}$
$I = \int \frac{dx}{1 - \sin^2 x}$
નિત્યસમ $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \frac{dx}{\cos^2 x}$
$I = \int \sec^2 x \, dx$
$\sec^2 x$ નું સંકલન $\tan x + c$ થાય છે.
તેથી,$I = \tan x + c$.

(D) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{dx}{\cos 2x - \cos^2 x}$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,છેદમાં કિંમત મૂકતા:
$I = \int \frac{dx}{(2\cos^2 x - 1) - \cos^2 x} = \int \frac{dx}{\cos^2 x - 1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 x - 1 = - (1 - \cos^2 x) = -\sin^2 x$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dx}{-\sin^2 x} = -\int \csc^2 x \, dx$.
કારણ કે $\cot x$ નું વિકલન $-\csc^2 x$ થાય છે,તેથી $-\csc^2 x$ નું સંકલન $\cot x + c$ થાય.
તેથી,$I = \cot x + c$.

(A) સંકલન $\int \frac{d x}{x^{2}+4 x+13}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે છેદમાં પૂર્ણવર્ગ બનાવીએ છીએ:
$x^{2}+4 x+13 = (x^{2}+4 x+4) + 9 = (x+2)^{2} + 3^{2}$.
હવે,સંકલન $\int \frac{d x}{(x+2)^{2} + 3^{2}}$ બને છે.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \frac{d x}{x^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + c$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=3$ અને ચલ $(x+2)$ છે:
$\int \frac{d x}{(x+2)^{2} + 3^{2}} = \frac{1}{3} \tan^{-1}\left(\frac{x+2}{3}\right) + c$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) $I = \int \frac{1}{\sin x \cdot \cos^2 x} \, dx$
$I = \int \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cdot \cos^2 x} \, dx$
$I = \int \frac{\sin^2 x}{\sin x \cdot \cos^2 x} \, dx + \int \frac{\cos^2 x}{\sin x \cdot \cos^2 x} \, dx$
$I = \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} \, dx + \int \frac{1}{\sin x} \, dx$
$I = \int \tan x \sec x \, dx + \int \operatorname{cosec} x \, dx$
$I = \sec x + \ln |\operatorname{cosec} x - \cot x| + c$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\int \frac{1}{x^{2}+a^{2}} d x = \frac{1}{a} \tan ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+c$.
આપેલ સંકલન $I = \int \frac{1}{16 x^{2}+9} d x$ છે.
છેદમાંથી $16$ સામાન્ય લેતા:
$I = \frac{1}{16} \int \frac{1}{x^{2}+\frac{9}{16}} d x = \frac{1}{16} \int \frac{1}{x^{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}} d x$.
$a = \frac{3}{4}$ લઈને સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{16} \times \frac{1}{3/4} \tan ^{-1}\left(\frac{x}{3/4}\right)+c$.
$I = \frac{1}{16} \times \frac{4}{3} \tan ^{-1}\left(\frac{4 x}{3}\right)+c$.
$I = \frac{1}{12} \tan ^{-1}\left(\frac{4 x}{3}\right)+c$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x$ અને $g(x) = \sin x$.
સૌ પ્રથમ,આપણે સંયોજિત વિધેય $f(g(x))$ શોધીએ:
$f(g(x)) = f(\sin x) = \sin x$.
હવે,આપણે સંકલન મેળવીએ:
$\int f(g(x)) \, dx = \int \sin x \, dx$.
પ્રમાણિત સંકલનના સૂત્ર $\int \sin x \, dx = -\cos x + c$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\int f(g(x)) \, dx = -\cos x + c$.

(D) ધારો કે $I = \int \cos \left(\frac{x}{16}\right) \cdot \cos \left(\frac{x}{8}\right) \cdot \cos \left(\frac{x}{4}\right) \cdot \sin \left(\frac{x}{16}\right) dx$.
નિત્યસમ $\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\sin \left(\frac{x}{16}\right) \cos \left(\frac{x}{16}\right) = \frac{1}{2} \sin \left(\frac{x}{8}\right)$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{2} \sin \left(\frac{x}{8}\right) \cos \left(\frac{x}{8}\right) \cos \left(\frac{x}{4}\right) dx$.
ફરીથી નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$\sin \left(\frac{x}{8}\right) \cos \left(\frac{x}{8}\right) = \frac{1}{2} \sin \left(\frac{x}{4}\right)$.
તેથી,$I = \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin \left(\frac{x}{4}\right) \cos \left(\frac{x}{4}\right) dx = \frac{1}{4} \int \sin \left(\frac{x}{4}\right) \cos \left(\frac{x}{4}\right) dx$.
છેલ્લી વાર નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$\sin \left(\frac{x}{4}\right) \cos \left(\frac{x}{4}\right) = \frac{1}{2} \sin \left(\frac{x}{2}\right)$.
આમ,$I = \frac{1}{4} \int \frac{1}{2} \sin \left(\frac{x}{2}\right) dx = \frac{1}{8} \int \sin \left(\frac{x}{2}\right) dx$.
$\sin \left(\frac{x}{2}\right)$ નું સંકલન કરતા,આપણને $-2 \cos \left(\frac{x}{2}\right)$ મળે છે.
$I = \frac{1}{8} \cdot (-2 \cos \left(\frac{x}{2}\right)) + c = -\frac{1}{4} \cos \left(\frac{x}{2}\right) + c$.

(C) આપણી પાસે સંકલન $I = \int \frac{\sin 7 x}{\cos 9 x \cos 2 x} \,d x$ છે।
$7x = 9x - 2x$ હોવાથી, આપણે $\sin 7x = \sin(9x - 2x)$ લખી શકીએ।
નિત્યસમ $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{\sin 9x \cos 2x - \cos 9x \sin 2x}{\cos 9x \cos 2x} \,d x$.
અપૂર્ણાંકને અલગ કરતા:
$I = \int \left( \frac{\sin 9x \cos 2x}{\cos 9x \cos 2x} - \frac{\cos 9x \sin 2x}{\cos 9x \cos 2x} \right) \,d x$.
$I = \int (\tan 9x - \tan 2x) \,d x$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$I = \int \tan 9x \,d x - \int \tan 2x \,d x$.
સૂત્ર $\int \tan(ax) \,d x = \frac{1}{a} \ln |\sec(ax)| + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{9} \ln |\sec 9x| - \frac{1}{2} \ln |\sec 2x| + c$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{\cos x(1+\cos x)}$.
આપણે સંકલ્યને $\frac{1}{\cos x(1+\cos x)} = \frac{1+\cos x - \cos x}{\cos x(1+\cos x)} = \frac{1}{\cos x} - \frac{1}{1+\cos x}$ તરીકે લખી શકીએ.
હવે,$I = \int \sec x \, dx - \int \frac{dx}{1+\cos x}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int \sec x \, dx = \log |\sec x + \tan x| + c_1$.
બીજા ભાગ માટે,નિત્યસમ $1+\cos x = 2 \cos^2 \left(\frac{x}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરો.
તેથી,$\int \frac{dx}{1+\cos x} = \int \frac{dx}{2 \cos^2 \left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{1}{2} \int \sec^2 \left(\frac{x}{2}\right) dx$.
આનું સંકલન કરતા,આપણને $\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan(x/2)}{1/2} = \tan \left(\frac{x}{2}\right) + c_2$ મળે છે.
આ બંનેને જોડતા,$I = \log |\sec x + \tan x| - \tan \left(\frac{x}{2}\right) + c$.

(B) ધારો કે $I = \int (1 - \cos x) \operatorname{cosec}^2 x \, dx$
નિત્યસમ $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ અને $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{\sin^2 x} \, dx$
$I = \int \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{(2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2})^2} \, dx$
$I = \int \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{4 \sin^2 \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2}} \, dx$
$I = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \, dx$
$I = \frac{1}{2} \int \sec^2 \frac{x}{2} \, dx$
$\sec^2 \frac{x}{2}$ નું સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan \frac{x}{2}}{1/2} + c$
$I = \tan \frac{x}{2} + c$

(D) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{\cos 8 x+1}{\cot 2 x-\tan 2 x} \,d x$ છે.
નિત્યસમ $1+\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા, $\cos 8x + 1 = 2 \cos^2 4x$ મળે.
છેદ $\frac{\cos 2x}{\sin 2x} - \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{\cos^2 2x - \sin^2 2x}{\sin 2x \cos 2x} = \frac{\cos 4x}{\frac{1}{2} \sin 4x} = \frac{2 \cos 4x}{\sin 4x}$ થાય.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{2 \cos^2 4x}{\frac{2 \cos 4x}{\sin 4x}} \,d x = \int \cos 4x \sin 4x \,d x$.
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$I = \frac{1}{2} \int 2 \sin 4x \cos 4x \,d x = \frac{1}{2} \int \sin 8x \,d x$.
$\sin 8x$ નું સંકલન $\frac{-\cos 8x}{8}$ થાય.
તેથી, $I = \frac{1}{2} \left( \frac{-\cos 8x}{8} \right) + c = \frac{-\cos 8x}{16} + c$.
$A \cos 8x + c$ સાથે સરખાવતા, $A = \frac{-1}{16}$ મળે.

(A) સંકલન $I = \int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \, dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે વર્ગમૂળની અંદરના અંશ અને છેદને $(1+x)$ વડે ગુણીએ છીએ:
$I = \int \sqrt{\frac{(1+x)(1+x)}{(1-x)(1+x)}} \, dx = \int \sqrt{\frac{(1+x)^2}{1-x^2}} \, dx$
$I = \int \frac{1+x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$
પ્રથમ ભાગ માટે,$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \sin^{-1} x$ થાય.
બીજા ભાગ માટે,ધારો કે $u = 1-x^2$,તેથી $du = -2x \, dx$,એટલે કે $x \, dx = -\frac{1}{2} du$:
$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = -\frac{1}{2} \int u^{-1/2} \, du = -\frac{1}{2} \cdot 2u^{1/2} = -\sqrt{1-x^2}$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $I = \sin^{-1} x - \sqrt{1-x^2} + C$ મળે છે.

(B) આપણી પાસે સંકલન $I = \int \frac{5(x^6+1)}{x^2+1} \, dx$ છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=x^2$ અને $b=1$,આપણે લખી શકીએ કે $x^6+1 = (x^2)^3+1^3 = (x^2+1)(x^4-x^2+1)$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{5(x^2+1)(x^4-x^2+1)}{x^2+1} \, dx$
$I = 5 \int (x^4-x^2+1) \, dx$
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$I = 5 \left( \frac{x^5}{5} - \frac{x^3}{3} + x \right) + C$
$I = x^5 - \frac{5x^3}{3} + 5x + C$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\sin ^8 x-\cos ^8 x}{1-2 \sin ^2 x \cos ^2 x} dx$.
તફાવતની રીત $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે અંશના અવયવ પાડી શકીએ છીએ:
$\sin^8 x - \cos^8 x = (\sin^4 x - \cos^4 x)(\sin^4 x + \cos^4 x) = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x + \cos^4 x)$.
કારણ કે $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,આ $(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^4 x + \cos^4 x)$ માં સરળ બને છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$.
આ કિંમતને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)(1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x)}{1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x} dx$.
$I = \int (\sin^2 x - \cos^2 x) dx$.
નિત્યસમ $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x$ મળે છે.
$I = \int -\cos 2x dx = -\frac{1}{2} \sin 2x + C$.

(C) આપણી પાસે સંકલન $I = \int \frac{\sin 4x}{\sin x} \, dx$ છે.
નિત્યસમ $\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x = 4 \sin x \cos x \cos 2x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે:
$I = \int \frac{4 \sin x \cos x \cos 2x}{\sin x} \, dx = 4 \int \cos x \cos 2x \, dx$.
સૂત્ર $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $2 \cos 2x \cos x = \cos(2x+x) + \cos(2x-x) = \cos 3x + \cos x$.
આમ,$I = 2 \int (\cos 3x + \cos x) \, dx$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા,આપણને મળે:
$I = 2 \left( \frac{\sin 3x}{3} + \sin x \right) + C = \frac{2}{3} \sin 3x + 2 \sin x + C$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{2 x^3-1}{x^4+x} \,d x$.
છેદને $x(x^3+1)$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$I = \int \frac{2 x^3-1}{x(x^3+1)} \,d x$.
આંશિક અપૂર્ણાંક અથવા અવલોકનનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\frac{2x^3-1}{x(x^3+1)} = \frac{-1}{x} + \frac{3x^2}{x^3+1}$ લખી શકીએ.
બંને પદોનું સંકલન કરતા:
$I = \int \left( \frac{3x^2}{x^3+1} - \frac{1}{x} \right) \,d x$.
$I = \log|x^3+1| - \log|x| + C$.
$I = \log \left| \frac{x^3+1}{x} \right| + C$.

(A) ધારો કે $I = \int x^{x}(1+\log x) dx$.
$u = x^{x}$ આદેશ લો.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\log u = x \log x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$.
તેથી,$\frac{du}{dx} = u(1 + \log x) = x^{x}(1 + \log x)$.
માટે,$du = x^{x}(1 + \log x) dx$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int du = u + c$.
$u$ ની જગ્યાએ $x^{x}$ મૂકતા,આપણને $I = x^{x} + c$ મળે છે.
આપેલ પદ $k x^{x} + c$ સાથે સરખાવતા,$k = 1$ મળે છે.
કારણ કે $\log_{e} e = 1$,તેથી સાચો વિકલ્પ $A$ છે.