मान लीजिए $\left| \begin{array}{cc} f'(x) & f(x) \\ f''(x) & f'(x) \end{array} \right| = 0$ जहाँ $f(x)$ एक सतत अवकलनीय फलन है,जिसमें $f'(x) \ne 0$ है और यह $f(0) = 1$ तथा $f'(0) = 2$ को संतुष्ट करता है,तो समीकरण $f(x) = x^2$ के हलों की संख्या क्या होगी?

निम्नलिखित में से कौन सा कथन असत्य है?
$1$. यदि $A$ एक $5 \times 5$ क्रम का विषम-सममित आव्यूह (skew-symmetric matrix) है,तो $A$ की कोटि (rank) $5$ से कम है।
$2$. यदि $P$ एक शून्येतर स्तंभ आव्यूह है और $Q$ एक शून्येतर पंक्ति आव्यूह है,तो $PQ$ की कोटि $1$ है।
$3$. $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \end{bmatrix}$ की कोटि $2$ है।
$4$. यदि रेखाएं $a_r x + b_r y + c_r = 0$ $(r = 1, 2, 3)$ भिन्न हैं और एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं,तो $\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}$ की कोटि $3$ है।

आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 4 \end{bmatrix}$ की कोटि (rank) है

$x \neq 0$ के लिए सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} 4 + x^2 & -6 & -2 \\ -6 & 9 + x^2 & 3 \\ -2 & 3 & 1 + x^2 \end{array} \right|$ निम्नलिखित में से किससे विभाज्य नहीं है?

मान लीजिए $a, b \in R-\{0\}$,और $I_2$ कोटि $2$ का तत्समक आव्यूह है। तो ब्लॉक आव्यूह $\begin{bmatrix} a I_2 & b I_2 \\ a I_2 & b I_2 \end{bmatrix}$ की कोटि (rank) क्या है?

आव्यूह $\left[\begin{array}{cccc}3 & 2 & 1 & -4 \\ 2 & 3 & 0 & -1 \\ 1 & -6 & 3 & -8\end{array}\right]$ की कोटि (rank) है