Properties of determinants Questions in Gujarati

(C) $a = 1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{n-1} = 2^n - 1$.
$b = 1 + 3 + 9 + \cdots + 3^{n-1} = \frac{3^n - 1}{2} \Rightarrow 2b = 3^n - 1$.
$c = 1 + 5 + 25 + \cdots + 5^{n-1} = \frac{5^n - 1}{4} \Rightarrow 4c = 5^n - 1$.
નિશ્ચાયકમાં કિંમતો મુકતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2^n - 1 & 3^n - 1 & 5^n - 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2^n & 3^n & 5^n \end{array}\right|$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ હારને અલગ કરતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2^n & 3^n & 5^n \\ 2 & 2 & 2 \\ 2^n & 3^n & 5^n \end{array}\right| - \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2^n & 3^n & 5^n \end{array}\right|$.
પ્રથમ નિશ્ચાયકમાં હાર $1$ અને હાર $3$ સમાન છે,તેથી તેનું મૂલ્ય $0$ છે.
બીજા નિશ્ચાયકમાં હાર $2$ એ હાર $1$ ના $2$ ગણા છે,તેથી તેનું મૂલ્ય $0$ છે.
તેથી,$\Delta = 0 - 0 = 0$.

(D) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|$.
વિકલ્પ $(A)$: $\left|\begin{array}{ccc}a+1 & b+1 & c+1 \\ a^2+1 & b^2+1 & c^2+1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right| = \Delta + 0 = \Delta$.
વિકલ્પ $(B)$: $C_1 \rightarrow C_1-C_2$ અને $C_2 \rightarrow C_2-C_3$ લેતા,આપણને $\left|\begin{array}{ccc}a-b & b-c & c \\ a^2-b^2 & b^2-c^2 & c^2 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|$ મળે છે. $R_3$ ની સાપેક્ષે વિસ્તરણ કરતા,આપણને $(a-b)(b^2-c^2) - (b-c)(a^2-b^2) = (a-b)(b-c)(b+c) - (b-c)(a-b)(a+b) = (a-b)(b-c)(b+c-a-b) = (a-b)(b-c)(c-a)$ મળે છે,જે $\Delta$ નું મૂલ્ય છે.
વિકલ્પ $(C)$: $\left|\begin{array}{ccc}a(a+1) & b(b+1) & c(c+1) \\ a+1 & b+1 & c+1 \\ -1 & -1 & -1\end{array}\right|$. $R_2$ ને $R_1$ માં ઉમેરતા,આપણને $\left|\begin{array}{ccc}(a+1)^2 & (b+1)^2 & (c+1)^2 \\ a+1 & b+1 & c+1 \\ -1 & -1 & -1\end{array}\right|$ મળે છે. આનું સાદું રૂપ $\Delta$ થાય છે.
વિકલ્પ $(D)$: નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{ccc}a+b & b+c & c+a \\ a^2+b^2 & b^2+c^2 & c^2+a^2 \\ 2 & 2 & 2\end{array}\right|$ એ $\Delta$ ને સમાન નથી.

(A) ધારો કે $A$ એ $n$ ક્રમનો વિસંમિત શ્રેણિક છે. વ્યાખ્યા મુજબ,$A^T = -A$.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને મળે $|A^T| = |-A|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|A^T| = |A|$ અને $|-A| = (-1)^n |A|$,તેથી $|A| = (-1)^n |A|$.
એકી ક્રમના શ્રેણિક માટે,$n = 3$,તેથી $|A| = (-1)^3 |A| = -|A|$.
આનો અર્થ એ થાય કે $2|A| = 0$,જેનો અર્થ છે કે $|A| = 0$.
તેથી,એકી ક્રમના વિસંમિત શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક હંમેશા $0$ હોય છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) ધારો કે આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta$ છે. સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_2$ લાગુ કરતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 1+\sin^2 \theta + \cos^2 \theta & \cos^2 \theta & 4\sin 4\theta \\ \sin^2 \theta + 1 + \cos^2 \theta & 1+\cos^2 \theta & 4\sin 4\theta \\ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta & \cos^2 \theta & 1+4\sin 4\theta \end{array}\right| = 0$
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,આ સરળ થઈને નીચે મુજબ બને છે:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2 & \cos^2 \theta & 4\sin 4\theta \\ 2 & 1+\cos^2 \theta & 4\sin 4\theta \\ 1 & \cos^2 \theta & 1+4\sin 4\theta \end{array}\right| = 0$
$R_1 \to R_1 - R_2$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 2 & 1+\cos^2 \theta & 4\sin 4\theta \\ 1 & \cos^2 \theta & 1+4\sin 4\theta \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$-(-1) \times [2(1+4\sin 4\theta) - 4\sin 4\theta] = 0$
$1 \times [2 + 8\sin 4\theta - 4\sin 4\theta] = 0$
$2 + 4\sin 4\theta = 0$
$\sin 4\theta = -\frac{1}{2}$
$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$0 < 4\theta < 2\pi$ થાય.
$4\theta$ ના મૂલ્યો જેના માટે $\sin 4\theta = -\frac{1}{2}$ થાય તે $\frac{7\pi}{6}$ અને $\frac{11\pi}{6}$ છે.
જો $4\theta = \frac{7\pi}{6}$,તો $\theta = \frac{7\pi}{24}$.
જો $4\theta = \frac{11\pi}{6}$,તો $\theta = \frac{11\pi}{24}$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$\frac{7\pi}{24}$ એ સાચું મૂલ્ય છે.

(D) આપેલ નિશ્ચાયક: $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3\end{array}\right|$
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ $C_1 \rightarrow C_1 - C_2$ અને $C_3 \rightarrow C_3 - C_2$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ a^2-b^2 & b^2 & c^2-b^2 \\ a^3-b^3 & b^3 & c^3-b^3\end{array}\right|$
$C_1$ માંથી $(a-b)$ અને $C_3$ માંથી $(c-b)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (a-b)(c-b) \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ a+b & b^2 & c+b \\ a^2+ab+b^2 & b^3 & c^2+bc+b^2\end{array}\right|$
$C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = (a-b)(c-b) \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ a+b & b^2 & c-a \\ a^2+ab+b^2 & b^3 & c^2-a^2+bc-ab\end{array}\right|$
કારણ કે $c^2-a^2+bc-ab = (c-a)(c+a) + b(c-a) = (c-a)(a+b+c)$,તેથી $C_3$ માંથી $(c-a)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (a-b)(c-b)(c-a) \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ a+b & b^2 & 1 \\ a^2+ab+b^2 & b^3 & a+b+c\end{array}\right|$
$R_1$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (a-b)(c-b)(c-a) \cdot (-1) \cdot [(a+b)(a+b+c) - (a^2+ab+b^2)]$
$\Delta = (a-b)(b-c)(c-a) [a^2+ab+ac+ab+b^2+bc - a^2-ab-b^2]$
$\Delta = (a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)$.

(B) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} a+b+2c & a & b \\ c & b+c+2a & b \\ c & a & c+a+2b \end{array}\right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2(a+b+c) & a & b \\ 2(a+b+c) & b+c+2a & b \\ 2(a+b+c) & a & c+a+2b \end{array}\right|$.
$C_1$ માંથી $2(a+b+c)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = 2(a+b+c) \left|\begin{array}{ccc} 1 & a & b \\ 1 & b+c+2a & b \\ 1 & a & c+a+2b \end{array}\right|$.
હાર પ્રક્રિયા $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = 2(a+b+c) \left|\begin{array}{ccc} 1 & a & b \\ 0 & a+b+c & 0 \\ 0 & 0 & a+b+c \end{array}\right|$.
$C_1$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = 2(a+b+c) \cdot (1) \cdot [(a+b+c)(a+b+c) - 0] = 2(a+b+c)^3$.

(C) આપેલ છે કે $\det A = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = K$.
આપણને $\det B = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 + 2a_1 & b_2 + 2b_1 & c_2 + 2c_1 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$ આપેલ છે.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે હાર પ્રક્રિયા $R_2 \to R_2 - 2R_1$ લાગુ કરીએ છીએ.
આ પ્રક્રિયા નિશ્ચાયકના મૂલ્યમાં કોઈ ફેરફાર કરતી નથી.
$\det B = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ (a_2 + 2a_1) - 2a_1 & (b_2 + 2b_1) - 2b_1 & (c_2 + 2c_1) - 2c_1 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$
$\det B = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$
પરિણામી નિશ્ચાયક $\det A$ સમાન હોવાથી,આપણને $\det B = K$ મળે છે.

(C) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a+b & a+2b & a+3b \\ a+2b & a+3b & a+4b \\ a+4b & a+5b & a+6b\end{array}\right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ $C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ અને $C_3 \rightarrow C_3 - C_2$ લાગુ પાડતા:
$C_2 \rightarrow C_2 - C_1 = (a+2b)-(a+b) = b$,$(a+3b)-(a+2b) = b$,$(a+5b)-(a+4b) = b$.
$C_3 \rightarrow C_3 - C_2 = (a+3b)-(a+2b) = b$,$(a+4b)-(a+3b) = b$,$(a+6b)-(a+5b) = b$.
આમ,$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a+b & b & b \\ a+2b & b & b \\ a+4b & b & b\end{array}\right|$.
અહીં સ્તંભ $C_2$ અને સ્તંભ $C_3$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(C) ધારો કે $P$ એ $n$ કક્ષાનો ચોરસ શ્રેણિક છે.
આપણે નિશ્ચાયકનો ગુણધર્મ જાણીએ છીએ કે $|kP| = k^n |P|$,જ્યાં $k$ એ અચળ સંખ્યા છે.
આ પ્રશ્નમાં,નિશ્ચાયકની કક્ષા $n = 3$ છે અને અચળ ગુણક $k = 3$ છે.
આપેલ છે કે મૂળ નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $|P| = A$ છે.
તેથી,નવા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $|3P| = 3^3 |P|$ થશે.
$|3P| = 27 \times A = 27A$.

(C) ધારો કે આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$.
પ્રક્રિયા $C_1 \rightarrow C_1 - C_2$ લાગુ કરતા,પ્રથમ સ્તંભ નીચે મુજબ બને છે:
$C_1(1) = (\sin \theta + \operatorname{cosec} \theta)^2 - (\sin \theta - \operatorname{cosec} \theta)^2 = 4(\sin \theta)(\operatorname{cosec} \theta) = 4(1) = 4$.
$C_1(2) = (\cos \theta + \sec \theta)^2 - (\cos \theta - \sec \theta)^2 = 4(\cos \theta)(\sec \theta) = 4(1) = 4$.
$C_1(3) = (\tan \theta + \cot \theta)^2 - (\tan \theta - \cot \theta)^2 = 4(\tan \theta)(\cot \theta) = 4(1) = 4$.
હવે,નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 4 & (\sin \theta-\operatorname{cosec} \theta)^2 & 2020 \\ 4 & (\cos \theta-\sec \theta)^2 & 2020 \\ 4 & (\tan \theta-\cot \theta)^2 & 2020 \end{array}\right|$ છે.
અહીં પ્રથમ સ્તંભ $C_1$ અને ત્રીજો સ્તંભ $C_3$ પ્રમાણસર હોવાથી (ખાસ કરીને,$C_3 = 505 \times C_1$),નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક: $\left|\begin{array}{ccc}a+b+2c & a & b \\ c & 2a+b+c & b \\ c & a & a+2b+c\end{array}\right|=2$.
$C_1 \rightarrow C_1+C_2+C_3$ લેતા:
$\left|\begin{array}{ccc}2(a+b+c) & a & b \\ 2(a+b+c) & 2a+b+c & b \\ 2(a+b+c) & a & a+2b+c\end{array}\right|=2$.
$C_1$ માંથી $2(a+b+c)$ સામાન્ય લેતા:
$2(a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & a & b \\ 1 & 2a+b+c & b \\ 1 & a & a+2b+c\end{array}\right|=2$.
$R_2 \rightarrow R_2-R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3-R_1$ લેતા:
$2(a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & a & b \\ 0 & a+b+c & 0 \\ 0 & 0 & a+b+c\end{array}\right|=2$.
$C_1$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$2(a+b+c)(a+b+c)^2 = 2 \Rightarrow 2(a+b+c)^3 = 2 \Rightarrow (a+b+c)^3 = 1$.
આમ,$a+b+c = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે: $a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$.
$a+b+c=1$ હોવાથી,કિંમત $(1)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ થાય.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $2$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\det(A) = 5$ અને $\det(B^T \cdot A^T) = -15$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $M$ માટે,$\det(M) = \det(M^T)$ થાય છે.
વળી,નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ મુજબ $\det(X \cdot Y) = \det(X) \cdot \det(Y)$ થાય છે.
તેથી,$\det(B^T \cdot A^T) = \det(B^T) \cdot \det(A^T) = \det(B) \cdot \det(A) = -15$.
$\det(A) = 5$ ની કિંમત મૂકતા:
$\det(B) \cdot 5 = -15$.
આમ,$\det(B) = \frac{-15}{5} = -3$.

(C) ધારો કે $D_1 = \begin{vmatrix} a & a+1 & a-1 \\ -b & b+1 & b-1 \\ c & c-1 & c+1 \end{vmatrix}$ અને $D_2 = \begin{vmatrix} a+1 & b+1 & c-1 \\ a-1 & b-1 & c+1 \\ (-1)^{n+2} a & (-1)^{n-1} b & (-1)^n c \end{vmatrix}$.
આપણને $D_1 + D_2 = 0$ આપેલ છે.
$D_2$ માં,ત્રીજી હારમાંથી $(-1)^n$ સામાન્ય લેતા: $D_2 = (-1)^n \begin{vmatrix} a+1 & b+1 & c-1 \\ a-1 & b-1 & c+1 \\ a & -b & c \end{vmatrix}$.
હવે,$D_2$ પર સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ કરતા: $C_1$ અને $C_2$ ની અદલાબદલી કરો,પછી $C_2$ અને $C_3$ ની અદલાબદલી કરો. બે અદલાબદલી કરવાથી નિશાનીમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
$D_2 = (-1)^n \begin{vmatrix} a & a+1 & a-1 \\ -b & b+1 & b-1 \\ c & c-1 & c+1 \end{vmatrix} = (-1)^n D_1$.
આમ,$D_1 + (-1)^n D_1 = 0 \Rightarrow (1 + (-1)^n) D_1 = 0$.
આ સમીકરણ કોઈપણ $a, b, c$ માટે સાચું રહે તે માટે,$1 + (-1)^n = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $(-1)^n = -1$.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $n$ એકી પૂર્ણાંક હોય.

(B) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\alpha & \beta & \gamma \\ a & b & c \\ l & m & n\end{array}\right|$.
પ્રથમ,$C_1$ અને $C_2$ ની અદલાબદલી કરતા: $\Delta = -\left|\begin{array}{ccc}\beta & \alpha & \gamma \\ b & a & c \\ m & l & n\end{array}\right|$.
ત્યારબાદ,$C_2$ અને $C_3$ ની અદલાબદલી કરતા: $\Delta = (-1)^2 \left|\begin{array}{ccc}\beta & \gamma & \alpha \\ b & c & a \\ m & n & l\end{array}\right|$.
છેલ્લે,$R_1$ અને $R_3$ ની અદલાબદલી કરતા: $\Delta = (-1)^3 \left|\begin{array}{ccc}m & n & l \\ b & c & a \\ \beta & \gamma & \alpha\end{array}\right|$.
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને $K = 3$ મળે છે.

(D) સૌ પ્રથમ,આપણે $\Delta_1$ ને સરળ બનાવીએ:
$\Delta_1 = \left|\begin{array}{ccc}1 & a^2 & bc \\ 1 & b^2 & ca \\ 1 & c^2 & ab\end{array}\right|$
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\Delta_1 = \left|\begin{array}{ccc}1 & a^2 & bc \\ 0 & b^2-a^2 & c(a-b) \\ 0 & c^2-a^2 & b(a-c)\end{array}\right| = (b-a)(c-a) \left|\begin{array}{ccc}1 & a^2 & bc \\ 0 & b+a & -c \\ 0 & c+a & -b\end{array}\right|$
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા: $(b-a)(c-a) [-(b+a)b + c(c+a)] = (b-a)(c-a) [-b^2-ab+c^2+ac] = (b-a)(c-a) [(c-b)(c+b) + a(c-b)] = (b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c) = (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$.
ત્યારબાદ,આપણે $\Delta_2$ ને સરળ બનાવીએ:
$\Delta_2 = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3\end{array}\right| = (a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)$.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta_1}{\Delta_2} = \frac{6}{11}$,તેથી $\frac{(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)}{(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)} = \frac{a+b+c}{ab+bc+ca} = \frac{6}{11}$.
તેથી,$11(a+b+c) = 6(ab+bc+ca)$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & x & x+1 \\ 2x & x(x-1) & (x+1)x \\ 3x(x-1) & x(x-1)(x-2) & (x+1)x(x-1) \end{array} \right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_3 \rightarrow C_3 - C_2$ લાગુ પાડતા:
$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & x & (x+1) - x \\ 2x & x(x-1) & (x+1)x - x(x-1) \\ 3x(x-1) & x(x-1)(x-2) & (x+1)x(x-1) - x(x-1)(x-2) \end{array} \right|$.
ત્રીજા સ્તંભનું સાદુંરૂપ આપતા:
$(x+1) - x = 1$.
$(x+1)x - x(x-1) = x^2 + x - x^2 + x = 2x$.
$(x+1)x(x-1) - x(x-1)(x-2) = x(x-1) [ (x+1) - (x-2) ] = x(x-1) [ 3 ] = 3x(x-1)$.
આમ,$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & x & 1 \\ 2x & x(x-1) & 2x \\ 3x(x-1) & x(x-1)(x-2) & 3x(x-1) \end{array} \right|$.
અહીં સ્તંભ $C_1$ અને સ્તંભ $C_3$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.
તેથી,દરેક $x$ માટે $f(x) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $f(100) = 0$.

(D) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^2 \theta & \cos ^2 \theta & 4 \sin 4 \theta \\ \sin ^2 \theta & 1+\cos ^2 \theta & 4 \sin 4 \theta \\ \sin ^2 \theta & \cos ^2 \theta & 1+4 \sin 4 \theta\end{array}\right| = 0$
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ કરતા:
$\Delta = (2 + 4\sin 4\theta) \left|\begin{array}{ccc}1 & \cos^2 \theta & 4\sin 4\theta \\ 1 & 1+\cos^2 \theta & 4\sin 4\theta \\ 1 & \cos^2 \theta & 1+4\sin 4\theta\end{array}\right| = 0$
હવે હાર પ્રક્રિયા $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ કરતા:
$\Delta = (2 + 4\sin 4\theta) \left|\begin{array}{ccc}1 & \cos^2 \theta & 4\sin 4\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right| = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા,$(2 + 4\sin 4\theta)(1) = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $2 + 4\sin 4\theta = 0$.
તેથી,$\sin 4\theta = -\frac{1}{2}$.
$\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$ હોવાથી,$4\theta \in (0, 2\pi)$. $\sin 4\theta = -\frac{1}{2}$ માટે $4\theta$ ની કિંમતો $\frac{7\pi}{6}$ અને $\frac{11\pi}{6}$ છે.
$4\theta = \frac{7\pi}{6}$ માટે,$\theta = \frac{7\pi}{24}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $\frac{7\pi}{24}$ છે.

(C) ધારો કે આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & bc+ad & b^2c^2+a^2d^2 \\ 1 & ca+bd & c^2a^2+b^2d^2 \\ 1 & ab+cd & a^2b^2+c^2d^2\end{array}\right|$ છે.
$R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ અને $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}0 & c(b-a)+d(a-b) & c^2(b^2-a^2)+d^2(a^2-b^2) \\ 0 & c(a-b)+d(b-a) & c^2(a^2-b^2)+d^2(b^2-a^2) \\ 1 & ab+cd & a^2b^2+c^2d^2\end{array}\right|$.
$R_1$ અને $R_2$ માંથી $(a-b)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (a-b)^2 \left|\begin{array}{ccc}0 & -(c-d) & -(c^2-d^2) \\ 0 & (c-d) & (c^2-d^2) \\ 1 & ab+cd & a^2b^2+c^2d^2\end{array}\right|$.
આ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા આપણને $(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)$ મળે છે.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1+x^3 \\ y & y^2 & 1+y^3 \\ z & z^2 & 1+z^3\end{array}\right|=0$.
આપણે નિશ્ચાયકને બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ: $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & x^3 \\ y & y^2 & y^3 \\ z & z^2 & z^3\end{array}\right| = 0$.
બીજા નિશ્ચાયકમાંથી $xyz$ સામાન્ય લેતા: $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right| + xyz \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2\end{array}\right| = 0$.
સ્તંભોની અદલાબદલી ($C_1 \leftrightarrow C_2$ અને પછી $C_2 \leftrightarrow C_3$) કરતા,બીજો નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right|$ બને છે.
આમ,$(1+xyz) \left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right| = 0$.
કારણ કે $x \neq y \neq z$,નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right| \neq 0$.
તેથી,$1+xyz = 0$.

(D) ધારો કે $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $R$ એ ગુણોત્તર શ્રેણી $(GP)$ નો સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
તેથી,$n$-મું પદ $T_n = a R^{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $x = T_p = a R^{p-1}$,$y = T_q = a R^{q-1}$,અને $z = T_r = a R^{r-1}$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા:
$\log x = \log a + (p-1) \log R$
$\log y = \log a + (q-1) \log R$
$\log z = \log a + (r-1) \log R$
હવે,આ કિંમતો નિશ્ચાયકમાં મૂકતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll} \log a + (p-1) \log R & p & 1 \\ \log a + (q-1) \log R & q & 1 \\ \log a + (r-1) \log R & r & 1 \end{array}\right|$
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે તેને બે નિશ્ચાયકોમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll} \log a & p & 1 \\ \log a & q & 1 \\ \log a & r & 1 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll} (p-1) \log R & p & 1 \\ (q-1) \log R & q & 1 \\ (r-1) \log R & r & 1 \end{array}\right|$
પ્રથમ નિશ્ચાયકમાં,પ્રથમ સ્તંભ એ ત્રીજા સ્તંભના $\log a$ ગણા છે,તેથી તેની કિંમત $0$ છે.
બીજા નિશ્ચાયકમાં,$C_2 \rightarrow C_2 - C_3$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = 0 + \log R \left|\begin{array}{lll} p-1 & p-1 & 1 \\ q-1 & q-1 & 1 \\ r-1 & r-1 & 1 \end{array}\right|$
અહીં પ્રથમ અને બીજો સ્તંભ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકની કિંમત $0$ થાય છે.
આમ,$\Delta = 0 + 0 = 0$.

(D) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a-b-c & 2a & 2a \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b\end{array}\right|$.
$R_1 \rightarrow R_1 + R_2 + R_3$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a+b+c & a+b+c & a+b+c \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b\end{array}\right|$
$R_1$ માંથી $(a+b+c)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b\end{array}\right|$
$C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ અને $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2b & -(a+b+c) & 0 \\ 2c & 0 & -(a+b+c)\end{array}\right|$
$R_1$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (a+b+c) [1 \cdot (-(a+b+c)) \cdot (-(a+b+c))]$
$\Delta = (a+b+c) \cdot (a+b+c)^2 = (a+b+c)^3$.

(D) ધારો કે $A = \left|\begin{array}{lll}1990 & 1991 & 1992 \\ 1991 & 1992 & 1993 \\ 1992 & 1993 & 1994\end{array}\right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ $C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ અને $C_3 \rightarrow C_3 - C_2$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$A = \left|\begin{array}{ccc}1990 & 1991-1990 & 1992-1991 \\ 1991 & 1992-1991 & 1993-1992 \\ 1992 & 1993-1992 & 1994-1993\end{array}\right|$
$A = \left|\begin{array}{ccc}1990 & 1 & 1 \\ 1991 & 1 & 1 \\ 1992 & 1 & 1\end{array}\right|$
અહીં સ્તંભ $C_2$ અને સ્તંભ $C_3$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(C) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left|\begin{array}{ccc}p & b & c \\ p+a & q+b & 2c \\ a & b & r\end{array}\right|=0$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને બીજી હારને વિભાજિત કરતા:
$\left|\begin{array}{ccc}p & b & c \\ p & q & c \\ a & b & r\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}p & b & c \\ a & b & c \\ a & b & r\end{array}\right| = 0$.
પ્રથમ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $p(qr - bc) - b(ar - ac) + c(ab - aq) = pqr - pbc - abr + abc + abc - acq = pqr - pbc - abr - acq + 2abc = 0$.
આમ,$pqr - pbc - abr - acq = -2abc$.
હવે,પદાવલિ $E = \frac{p}{p-a} + \frac{q}{q-b} + \frac{r}{r-c}$ ને ધ્યાનમાં લો.
આને $E = (1 + \frac{a}{p-a}) + (1 + \frac{b}{q-b}) + (1 + \frac{c}{r-c}) = 3 + \frac{a}{p-a} + \frac{b}{q-b} + \frac{c}{r-c}$ તરીકે લખી શકાય છે.
વૈકલ્પિક રીતે,સમીકરણ $pqr - pbc - abr - acq = -2abc$ ને $(p-a)(q-b)(r-c)$ વડે ભાગતા પરિણામ $2$ મળે છે.

(D) આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} x^k & x^{k+2} & x^{k+3} \\ y^k & y^{k+2} & y^{k+3} \\ z^k & z^{k+2} & z^{k+3} \end{vmatrix}$ છે.
$R_1, R_2, R_3$ માંથી અનુક્રમે $x^k, y^k, z^k$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (xyz)^k \begin{vmatrix} 1 & x^2 & x^3 \\ 1 & y^2 & y^3 \\ 1 & z^2 & z^3 \end{vmatrix}$.
નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} 1 & x^2 & x^3 \\ 1 & y^2 & y^3 \\ 1 & z^2 & z^3 \end{vmatrix}$ નું મૂલ્ય $(x-y)(y-z)(z-x)(xy+yz+zx)$ છે.
તેથી,$\Delta = (xyz)^k (x-y)(y-z)(z-x)(xy+yz+zx)$.
આપણે $(xy+yz+zx) = xyz \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right)$ લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$\Delta = (xyz)^k (xyz) (x-y)(y-z)(z-x) \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right) = (xyz)^{k+1} (x-y)(y-z)(z-x) \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right)$.
આને આપેલ પદાવલિ $(x-y)(y-z)(z-x) \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $(xyz)^{k+1} = 1$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $k+1 = 0$,તેથી $k = -1$.

(D) ધારો કે $G$.$P$. $a, ar, ar^2, \dots$ છે. તેથી $n$-મું પદ $a_n = ar^{n-1}$ છે.
લઘુગણક લેતા,આપણને મળે $\log a_n = \log a + (n-1) \log r$.
ધારો કે $A = \log a$ અને $D = \log r$. તેથી $\log a_n = A + (n-1)D$.
નિશ્ચાયક આ મુજબ બને છે:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll} A+(n-1)D & A+nD & A+(n+1)D \\ A+(n+2)D & A+(n+3)D & A+(n+4)D \\ A+(n+5)D & A+(n+6)D & A+(n+7)D \end{array}\right|$
હવે હાર પર પ્રક્રિયા $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_2$ કરતા:
$R_2 - R_1 = \begin{bmatrix} 3D & 3D & 3D \end{bmatrix}$
$R_3 - R_2 = \begin{bmatrix} 3D & 3D & 3D \end{bmatrix}$
અહીં બે હાર ($R_2$ અને $R_3$) સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(B) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a^{2}+10 & a b & a c \\ a b & b^{2}+10 & b c \\ a c & b c & c^{2}+10\end{array}\right|$.
$R_1$ ને $a$ વડે,$R_2$ ને $b$ વડે અને $R_3$ ને $c$ વડે ગુણતા:
$\Delta = \frac{1}{abc} \left|\begin{array}{ccc}a(a^{2}+10) & a^2 b & a^2 c \\ ab^2 & b(b^{2}+10) & b^2 c \\ ac^2 & bc^2 & c(c^{2}+10)\end{array}\right|$.
$C_1, C_2, C_3$ માંથી અનુક્રમે $a, b, c$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = \frac{abc}{abc} \left|\begin{array}{ccc}a^{2}+10 & a^{2} & a^{2} \\ b^{2} & b^{2}+10 & b^{2} \\ c^{2} & c^{2} & c^{2}+10\end{array}\right|$.
$R_1 \rightarrow R_1 + R_2 + R_3$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = (a^2+b^2+c^2+10) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ b^2 & b^2+10 & b^2 \\ c^2 & c^2 & c^2+10\end{array}\right|$.
$C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ અને $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = (a^2+b^2+c^2+10) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ b^2 & 10 & 0 \\ c^2 & 0 & 10\end{array}\right|$.
$R_1$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (a^2+b^2+c^2+10) \times (10 \times 10) = 100(a^2+b^2+c^2+10)$.
આમ,નિશ્ચાયક $100$ વડે વિભાજ્ય છે.

(D) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a^{2} & b c & c^{2}+a c \\ a^{2}+a b & b^{2} & c a \\ a b & b^{2}+b c & c^{2}\end{array}\right|$.
$C_1$ માંથી $a$,$C_2$ માંથી $b$ અને $C_3$ માંથી $c$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = abc \left|\begin{array}{ccc}a & c & c+a \\ a+b & b & a \\ b & b+c & c\end{array}\right|$.
$C_1 \to C_1 + C_2 - C_3$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = abc \left|\begin{array}{ccc}0 & c & c+a \\ 2b & b & a \\ 2b & b+c & c\end{array}\right|$.
$R_3 \to R_3 - R_2$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = abc \left|\begin{array}{ccc}0 & c & c+a \\ 2b & b & a \\ 0 & c & c-a\end{array}\right|$.
$C_1$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = abc \cdot (-2b) \cdot \left|\begin{array}{cc}c & c+a \\ c & c-a\end{array}\right| = -2ab^2c \cdot (c^2 - ac - c^2 - ac) = -2ab^2c \cdot (-2ac) = 4a^2b^2c^2$.
$k a^2b^2c^2$ સાથે સરખાવતા,$k = 4$ મળે છે.

(D) ધારો કે આપેલ સમીકરણ $D_1 + D_2 = 0$ છે.
આપણી પાસે $D_1 = \left|\begin{array}{ccc}a & a+1 & a-1 \\ -b & b+1 & b-1 \\ c & c-1 & c+1\end{array}\right|$ છે.
$D_2$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક (transpose) લેતા,આપણને મળે છે $D_2 = \left|\begin{array}{ccc}a+1 & a-1 & (-1)^{n+2} a \\ b+1 & b-1 & (-1)^{n+1} b \\ c-1 & c+1 & (-1)^{n} c\end{array}\right|$.
હવે,$D_2$ ના પ્રથમ અને ત્રીજા સ્તંભને બે વાર અદલાબદલી કરતા (અથવા સ્તંભોને ગોઠવતા) જેથી તે $D_1$ ના માળખા સાથે મેળ ખાય:
$D_2 = \left|\begin{array}{ccc}(-1)^{n+2} a & a+1 & a-1 \\ (-1)^{n+1} b & b+1 & b-1 \\ (-1)^{n} c & c-1 & c+1\end{array}\right|$.
$D_1$ અને $D_2$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$\left|\begin{array}{ccc}a(1 + (-1)^{n+2}) & a+1 & a-1 \\ b(-1 + (-1)^{n+1}) & b+1 & b-1 \\ c(1 + (-1)^{n}) & c-1 & c+1\end{array}\right| = 0$.
નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય તે માટે,પ્રથમ સ્તંભ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$1 + (-1)^{n+2} = 0 \Rightarrow (-1)^{n+2} = -1$,જેનો અર્થ છે કે $n+2$ એકી છે,તેથી $n$ એકી છે.
$-1 + (-1)^{n+1} = 0 \Rightarrow (-1)^{n+1} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $n+1$ બેકી છે,તેથી $n$ એકી છે.
$1 + (-1)^{n} = 0 \Rightarrow (-1)^{n} = -1$,જેનો અર્થ છે કે $n$ એકી છે.
આમ,$n$ કોઈપણ એકી પૂર્ણાંક છે.

(C) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & \log _{x}y & \log _{x} z \\ \log _{y} x & 1 & \log _{y} z \\ \log _{z} x & \log _{z} y & 1\end{array}\right|$.
બેઝ બદલવાના સૂત્ર $\log_{a}b = \frac{\log b}{\log a}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે નિશ્ચાયકને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\frac{\log x}{\log x} & \frac{\log y}{\log x} & \frac{\log z}{\log x} \\ \frac{\log x}{\log y} & \frac{\log y}{\log y} & \frac{\log z}{\log y} \\ \frac{\log x}{\log z} & \frac{\log y}{\log z} & \frac{\log z}{\log z}\end{array}\right|$.
હવે,$R_{1}$ માંથી $\frac{1}{\log x}$,$R_{2}$ માંથી $\frac{1}{\log y}$ અને $R_{3}$ માંથી $\frac{1}{\log z}$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = \frac{1}{\log x \cdot \log y \cdot \log z} \left|\begin{array}{ccc}\log x & \log y & \log z \\ \log x & \log y & \log z \\ \log x & \log y & \log z\end{array}\right|$.
અહીં ત્રણેય હાર સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(D) આપેલ નિશ્ચાયક $D = \left|\begin{array}{ccc}1+\omega & 0 & -\omega \\ 1+\omega^{2} & \omega & -\omega^{2} \\ \omega+\omega^{2} & \omega & -\omega^{2}\end{array}\right|$ છે.
એકમના ઘનમૂળના ગુણધર્મ $1+\omega+\omega^{2} = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $1+\omega = -\omega^{2}$,$1+\omega^{2} = -\omega$,અને $\omega+\omega^{2} = -1$.
આ કિંમતો નિશ્ચાયકમાં મૂકતા:
$D = \left|\begin{array}{ccc}-\omega^{2} & 0 & -\omega \\ -\omega & \omega & -\omega^{2} \\ -1 & \omega & -\omega^{2}\end{array}\right|$.
પ્રક્રિયા $R_{2} \to R_{2} - R_{3}$ કરતા:
$D = \left|\begin{array}{ccc}-\omega^{2} & 0 & -\omega \\ -\omega+1 & 0 & 0 \\ -1 & \omega & -\omega^{2}\end{array}\right|$.
બીજા સ્તંભને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$D = -\omega \left( (-\omega^{2})(0) - (-\omega)(-\omega+1) \right) = -\omega (\omega^{2} - \omega) = -\omega^{3} + \omega^{2} = -1 + \omega^{2}$.

(D) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1+a^{2}-b^{2} & 2 a b & -2 b \\ 2 a b & 1-a^{2}+b^{2} & 2 a \\ 2 b & -2 a & 1-a^{2}-b^{2}\end{array}\right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ $C_{1} \rightarrow C_{1} - bC_{3}$ અને $C_{2} \rightarrow C_{2} + aC_{3}$ લાગુ કરો.
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1+a^{2}-b^{2} + 2b^{2} & 2 a b - 2ab & -2 b \\ 2 a b - 2ab & 1-a^{2}+b^{2} + 2a^{2} & 2 a \\ 2 b - b(1-a^{2}-b^{2}) & -2 a + a(1-a^{2}-b^{2}) & 1-a^{2}-b^{2}\end{array}\right|$
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1+a^{2}+b^{2} & 0 & -2 b \\ 0 & 1+a^{2}+b^{2} & 2 a \\ b(1+a^{2}+b^{2}) & -a(1+a^{2}+b^{2}) & 1-a^{2}-b^{2}\end{array}\right|$
$C_{1}$ અને $C_{2}$ માંથી સામાન્ય અવયવ $(1+a^{2}+b^{2})$ બહાર લેતા:
$\Delta = (1+a^{2}+b^{2})^{2} \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 b \\ 0 & 1 & 2 a \\ b & -a & 1-a^{2}-b^{2}\end{array}\right|$
$R_{1}$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (1+a^{2}+b^{2})^{2} [1(1-a^{2}-b^{2} + 2a^{2}) - 0 + (-2b)(0 - b)]$
$\Delta = (1+a^{2}+b^{2})^{2} [1+a^{2}-b^{2} + 2b^{2}]$
$\Delta = (1+a^{2}+b^{2})^{2} (1+a^{2}+b^{2}) = (1+a^{2}+b^{2})^{3}$.