જો ${2^{{a_1}}},{2^{{a_2}}},{2^{{a_3}}},{......2^{{a_n}}}$ એ સમગુણોતર શ્રેણીમાં હોય તો $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{a_1}}&{{a_2}}&{{a_3}} \\ 
  {{a_{n + 1}}}&{{a_{n + 2}}}&{{a_{n + 3}}} \\ 
  {{a_{2n + 1}}}&{{a_{2n + 2}}}&{{a_{2n + 3}}} 
\end{array}} \right|$ ની કિમંત મેળવો.

જો $B$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે કે જેથી  $B^2 = 0$, તો $|( I+ B)^{50} -50B|$ = . . .

જો  $\left| \begin{gathered}
   - 6\ \ \,\,1\ \ \,\,\lambda \ \  \hfill \\
  \,0\ \ \,\,\,\,3\ \ \,\,7\ \  \hfill \\
   - 1\ \ \,\,0\ \ \,\,5\ \  \hfill \\ 
\end{gathered}  \right| = 5948 $, તો $\lambda $  મેળવો.

સાબિત કરો કે નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{ccc}x & \sin \theta & \cos \theta \\ -\sin \theta & -x & 1 \\ \cos \theta & 1 & x\end{array}\right|$ નું મૂલ્ય $\theta$ થી મુક્ત છે. 

જો $k > 0$ માટે બિંદુઓ  $(2k, k), (k, 2k)$ અને  $(k, k)$ દ્વારા રચાતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $18$ એકમ હોય તો ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર મેળવો.