જો $a, b, c$ બધા શૂન્યથી અલગ હોય અને $\left| \begin{array}{ccc} 1+a & 1 & 1 \\ 1 & 1+b & 1 \\ 1 & 1 & 1+c \end{array} \right| = 0$ હોય,તો $a^{-1} + b^{-1} + c^{-1}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $D_1 = \begin{vmatrix} a & b & a+b \\ c & d & c+d \\ a & b & a-b \end{vmatrix}$ અને $D_2 = \begin{vmatrix} a & c & a+c \\ b & d & b+d \\ a & c & a+b+c \end{vmatrix}$ છે. તો $\frac{D_1}{D_2}$ ની કિંમત શોધો,જ્યાં $b \neq 0$ અને $ad \neq bc$ છે.

નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે:
$\left|\begin{array}{ccc}1 & 1+p & 1+p+q \\ 2 & 3+2 p & 4+3 p+2 q \\ 3 & 6+3 p & 10+6 p+3 q\end{array}\right|=1$

જો ${D_r} = \left| \begin{array}{ccc} {2^{r - 1}} & {2 \cdot 3^{r - 1}} & {4 \cdot 5^{r - 1}} \\ x & y & z \\ {2^n} - 1 & {3^n} - 1 & {5^n} - 1 \end{array} \right|$ હોય,તો $\sum\limits_{r = 1}^n {D_r} = $ ની કિંમત શોધો.

નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$(a)$ જો નિશ્ચાયકની કોઈપણ બે હાર અથવા સ્તંભ સમાન હોય,તો નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય થાય છે.
$(b)$ જો નિશ્ચાયકની અનુરૂપ હાર અને સ્તંભોની અદલાબદલી કરવામાં આવે,તો નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય બદલાતું નથી.
$(c)$ જો નિશ્ચાયકની કોઈપણ બે હાર (અથવા સ્તંભો) ની અદલાબદલી કરવામાં આવે,તો નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય ચિહ્નમાં બદલાય છે.
આમાંથી કયા વિધાનો સાચા છે?

નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે:
$\left|\begin{array}{lll}1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2}\end{array}\right|=(a-b)(b-c)(c-a)$