સાબિત કરો કે $\left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a+2x & b+2y & c+2z \\ x & y & z\end{array}\right|=0$.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a+2x & b+2y & c+2z \\ x & y & z\end{array}\right|$ છે.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે બીજી હારને બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a & b & c \\ x & y & z\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ 2x & 2y & 2z \\ x & y & z\end{array}\right|$.
પ્રથમ નિશ્ચાયકમાં,પ્રથમ હાર અને બીજી હાર સમાન છે $(R_1 = R_2)$,તેથી તેનું મૂલ્ય $0$ છે.
બીજા નિશ્ચાયકમાં,આપણે બીજી હારમાંથી $2$ સામાન્ય કાઢી શકીએ છીએ:
$\Delta = 0 + 2 \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ x & y & z \\ x & y & z\end{array}\right|$.
અહીં,બીજી હાર અને ત્રીજી હાર સમાન છે $(R_2 = R_3)$,તેથી તેનું મૂલ્ય $0$ છે.
આમ,$\Delta = 0 + 2(0) = 0$.