Transverse Stationary Waves and Sonometer Questions in Gujarati

(A) ધારો કે ત્રણ ભાગોની લંબાઈ અનુક્રમે $L_1$,$L_2$ અને $L_3$ છે. કુલ લંબાઈ $L_1 + L_2 + L_3 = 110 \ cm$ છે.
અચળ તણાવ હેઠળ સોનોમીટરના તાર માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ એ લંબાઈ $L$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(n \propto 1/L)$,તેથી $n_1 L_1 = n_2 L_2 = n_3 L_3 = k$.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $n_1 : n_2 : n_3 = 1 : 2 : 3$ આપેલ છે,તેથી $n_1 = x, n_2 = 2x, n_3 = 3x$.
આ કિંમતો સંબંધમાં મૂકતા: $x L_1 = 2x L_2 = 3x L_3$.
આના પરથી $L_2 = L_1/2$ અને $L_3 = L_1/3$ મળે છે.
કુલ લંબાઈના સમીકરણમાં મૂકતા: $L_1 + L_1/2 + L_1/3 = 110 \ cm$.
છેદ દૂર કરવા માટે $6$ વડે ગુણતા: $6 L_1 + 3 L_1 + 2 L_1 = 660 \ cm$.
$11 L_1 = 660 \ cm \Rightarrow L_1 = 60 \ cm$.
તેથી $L_2 = 30 \ cm$ અને $L_3 = 20 \ cm$.
પ્રથમ બ્રિજ છેડા $A$ થી $60 \ cm$ પર મૂકવો જોઈએ. બીજો બ્રિજ છેડા $A$ થી $60 + 30 = 90 \ cm$ પર મૂકવો જોઈએ.

(B) બંને છેડે જડેલા તાર માટે $p$ માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_p = \frac{p}{2L} \sqrt{\frac{T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $f_p = 320 \ Hz$ અને તેની પછીની ઉચ્ચ આવૃત્તિ $f_{p+1} = 400 \ Hz$ છે.
આપણે ગુણોત્તર લઈએ: $\frac{f_{p+1}}{f_p} = \frac{p+1}{p}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{400}{320} = \frac{p+1}{p}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{5}{4} = \frac{p+1}{p}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $5p = 4(p+1) \Rightarrow 5p = 4p + 4$.
તેથી,$p = 4$.

(C) બંને છેડે જડેલા તાર માટે,$n$-માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = n \cdot f_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f_1$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે.
$n$-મું હાર્મોનિક એ $(n-1)$-મું ઓવરટોન દર્શાવે છે.
તેથી,ત્રીજું ઓવરટોન એ $4$-થું હાર્મોનિક $(n = 4)$ છે.
$n$-માં હાર્મોનિકમાં,લૂપ્સની સંખ્યા $n$ હોય છે.
$4$-થા હાર્મોનિક માટે,$4$ લૂપ્સ હોય છે.
નોડની સંખ્યા $(n + 1) = 4 + 1 = 5$ છે.
એન્ટિનોડની સંખ્યા $n = 4$ છે.
આમ,તેમાં $5$ નોડ અને $4$ એન્ટિનોડ હોય છે.

(D) ખેંચાયેલી દોરીની બે ક્રમિક અનુનાદિત આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત એ મૂળભૂત આવૃત્તિ $(f_0)$ જેટલો હોય છે.
$f_0 = f_2 - f_1 = 450 \ Hz - 375 \ Hz = 75 \ Hz$.
મૂળભૂત આવૃત્તિ માટેનું સૂત્ર $f_0 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T = 180 \ N$ અને $\mu = 2 \times 10^{-3} \ kg/m$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $75 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{180}{2 \times 10^{-3}}} = \frac{1}{2L} \sqrt{90000} = \frac{300}{2L} = \frac{150}{L}$.
આમ,$L = \frac{150}{75} = 2 \ m$.
દોરીનું કુલ દળ $m = \mu \times L = (2 \times 10^{-3} \ kg/m) \times (2 \ m) = 4 \times 10^{-3} \ kg = 4 \ g$ થાય.

(D) આપેલ છે: $T_A = T_B = T$,$r_A = 2r_B$.
દોરી માટે $n$-માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_n = (n+1) \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu = \pi r^2 \rho$.
$A$ નો પ્રથમ ઓવરટોન $(n=1)$: $f_{A,1} = 2 \times \frac{1}{2L_A} \sqrt{\frac{T}{\pi r_A^2 \rho}} = \frac{1}{L_A r_A} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
$B$ નો બીજો ઓવરટોન $(n=2)$: $f_{B,2} = 3 \times \frac{1}{2L_B} \sqrt{\frac{T}{\pi r_B^2 \rho}} = \frac{3}{2L_B r_B} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
બંને આવૃત્તિઓને સરખાવતા: $\frac{1}{L_A r_A} = \frac{3}{2L_B r_B}$.
$r_A = 2r_B$ મૂકતા: $\frac{1}{L_A (2r_B)} = \frac{3}{2L_B r_B}$.
સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1}{2L_A} = \frac{3}{2L_B} \implies \frac{L_B}{L_A} = \frac{3}{1}$.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ અને તણાવ અનુક્રમે $l$ અને $T$ છે. એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $m$ અચળ રહે છે.
મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફેરફારો પછી:
નવી લંબાઈ $l' = l - 0.40l = 0.6l = \frac{3}{5}l$.
નવું તણાવ $T' = T + 0.44T = 1.44T = \frac{144}{100}T$.
નવી આવૃત્તિ $n'$ એ $n' = \frac{1}{2l'} \sqrt{\frac{T'}{m}}$ દ્વારા મળે છે.
અંતિમ અને પ્રારંભિક આવૃત્તિનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{n'}{n} = \frac{l}{l'} \sqrt{\frac{T'}{T}} = \frac{l}{0.6l} \sqrt{\frac{1.44T}{T}} = \frac{1}{0.6} \times \sqrt{1.44} = \frac{1}{0.6} \times 1.2 = \frac{1.2}{0.6} = 2$.
તેથી,અંતિમ અને પ્રારંભિક આવૃત્તિનો ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(A) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu = \pi r^2 \rho$ છે.
આમ,$n = \frac{1}{2lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
પ્રથમ તારનો પ્રથમ ઓવરટોન $n_1 = 2 \times n_{1, \text{fund}} = 2 \times \frac{1}{2l_1 r_1} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{1}{l_1 r_1} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ છે.
બીજા તારનો બીજો ઓવરટોન $n_2 = 3 \times n_{2, \text{fund}} = 3 \times \frac{1}{2l_2 r_2} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{3}{2l_2 r_2} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ છે.
આપેલ છે કે $n_1 = n_2$,તેથી $\frac{1}{l_1 r_1} = \frac{3}{2l_2 r_2}$.
લંબાઈના ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા: $\frac{l_1}{l_2} = \frac{2r_2}{3r_1}$.
કારણ કે $r_1 = 2r_2$,આ કિંમત મૂકતા $\frac{l_1}{l_2} = \frac{2r_2}{3(2r_2)} = \frac{1}{3}$ મળે છે.

(C) સોનોમીટરના તારની મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $\mu = \text{એકમ લંબાઈ દીઠ દળ} = \rho \cdot A = \rho \cdot \pi \cdot (\frac{d}{2})^2 = \frac{\rho \pi d^2}{4}$ છે.
$\mu$ ની કિંમત મૂકતા,$f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\frac{\rho \pi d^2}{4}}} = \frac{1}{ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ મળે છે.
તાર $A$ માટે: $n = \frac{1}{ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho_1}}$.
તાર $B$ માટે: $n = \frac{1}{l(2d)} \sqrt{\frac{2T}{\pi \rho_2}}$.
બંને આવૃત્તિઓને સરખાવતા: $\frac{1}{ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho_1}} = \frac{1}{2ld} \sqrt{\frac{2T}{\pi \rho_2}}$.
સામાન્ય પદોને દૂર કરતા: $\sqrt{\frac{1}{\rho_1}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2}{\rho_2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{\rho_1} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{\rho_2} = \frac{1}{2\rho_2}$.
તેથી,$2\rho_2 = \rho_1$,જે દર્શાવે છે કે $\rho_2 = \frac{\rho_1}{2}$.

(C) કંપન કરતી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે,અને $m$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $m = \frac{\text{કદ} \times \text{ઘનતા}}{l} = \frac{(\pi R^2 l) \rho}{l} = \pi R^2 \rho$.
જેમ કે $\pi$ અને $\rho$ અચળ છે,તેથી $m \propto R^2$.
આને આવૃત્તિના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $n \propto \frac{1}{l \sqrt{R^2}} \propto \frac{1}{lR}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $l_2 = 2l_1$ અને $R_2 = 2R_1$,તેથી નવી આવૃત્તિ $n_2$ અને મૂળ આવૃત્તિ $n_1$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{n_2}{n_1} = \frac{l_1 R_1}{l_2 R_2} = \frac{l_1 R_1}{(2l_1)(2R_1)} = \frac{1}{4}$.
તેથી,નવી આવૃત્તિ $n_2 = \frac{n}{4}$ થાય.

(A) સોનોમીટરના તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તારમાં રહેલું તણાવબળ છે.
તાર સાથે $M$ દળનો બ્લોક જોડાયેલ હોવાથી,તણાવબળ $T = Mg = V\rho g$ થાય,જ્યાં $V$ એ બ્લોકનું કદ છે.
આમ,$n \propto \sqrt{T} \propto \sqrt{\rho Vg}$.
જ્યારે બ્લોકને $\sigma$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક વજન (તણાવબળ) $T' = V(\rho - \sigma)g$ થાય છે.
નવી આવૃત્તિ $n'$ માટે $n' \propto \sqrt{T'}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{n'}{n} = \sqrt{\frac{T'}{T}} = \sqrt{\frac{V(\rho - \sigma)g}{V\rho g}} = \sqrt{\frac{\rho - \sigma}{\rho}}$.
તેથી,$n' = n \left[\frac{\rho - \sigma}{\rho}\right]^{\frac{1}{2}}$.

(C) બંને છેડે જડિત દોરીની અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $f_n = n f_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f_0$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ (સૌથી ઓછી અનુનાદિત આવૃત્તિ) છે અને $n = 1, 2, 3, \dots$ છે.
આપેલ છે કે $315 \,Hz$ અને $420 \,Hz$ ની વચ્ચે કોઈ અનુનાદિત આવૃત્તિ નથી,તેથી આ બે આવૃત્તિઓ ક્રમિક હાર્મોનિક્સ હોવી જોઈએ,એટલે કે $f_n = 315 \,Hz$ અને $f_{n+1} = 420 \,Hz$.
આમ,$n f_0 = 315$ અને $(n+1) f_0 = 420$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(n+1) f_0 - n f_0 = 420 - 315$,જે $f_0 = 105 \,Hz$ આપે છે.
તેથી,સૌથી ઓછી અનુનાદિત આવૃત્તિ $105 \,Hz$ છે.

(A) સોનોમીટર વાયરની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ ---$(1)$
જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
જ્યારે તણાવમાં $8 \,N$ નો વધારો કરવામાં આવે છે, ત્યારે નવો તણાવ $(T + 8) \,N$ થાય છે અને નવી આવૃત્તિ $3n$ થાય છે। તેથી:
$3n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T + 8}{\mu}}$ ---$(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા, આપણને મળે છે:
$\frac{3n}{n} = \frac{\frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T + 8}{\mu}}}{\frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}}$
$3 = \sqrt{\frac{T + 8}{T}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$9 = \frac{T + 8}{T}$
$9T = T + 8$
$8T = 8$
$T = 1 \,N$
તેથી, વાયર પર લાગુ કરવામાં આવેલ પ્રારંભિક તણાવ $1 \,N$ હતો।

(A) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તણાવ $T$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu$ અચળ હોવાથી, $f \propto \frac{1}{l}$ થાય, જેનો અર્થ છે કે $f_1 l_1 = f_2 l_2$.
અહીં $f_1 = 800 \,Hz$, $l_1 = 50 \,cm$, અને $f_2 = 1000 \,Hz$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $800 \times 50 = 1000 \times l_2$.
$l_2 = \frac{800 \times 50}{1000} = 40 \,cm$.
લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta l = l_1 - l_2 = 50 \,cm - 40 \,cm = 10 \,cm$ થશે.

(C) સોનોમીટરના તારની આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
તાર એક જ ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે અનુનાદમાં હોવાથી,આવૃત્તિ $f$ અચળ રહે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,તણાવ $T_1 = w$ છે,તેથી $f = \frac{1}{2L_1} \sqrt{\frac{w}{\mu}}$.
બીજા કિસ્સામાં,વજનમાં $3w$ નો વધારો કરવામાં આવે છે,તેથી નવો તણાવ $T_2 = w + 3w = 4w$ થાય છે. તેથી,$f = \frac{1}{2L_2} \sqrt{\frac{4w}{\mu}}$.
$f$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{1}{2L_1} \sqrt{\frac{w}{\mu}} = \frac{1}{2L_2} \sqrt{\frac{4w}{\mu}}$
$\frac{1}{L_1} = \frac{1}{L_2} \sqrt{4}$
$\frac{1}{L_1} = \frac{2}{L_2}$
તેથી,$\frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{2}$.

(B) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ નું સૂત્ર $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
અહીં $l$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી,$n \propto \sqrt{T}$ થાય.
ઓક્ટેવનો અર્થ એ છે કે આવૃત્તિ બમણી થાય છે,તેથી $n_2 = 2n_1$.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{n_2}{n_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $2 = \sqrt{\frac{T_2}{2 \ kgwt}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4 = \frac{T_2}{2 \ kgwt}$.
તેથી,$T_2 = 8 \ kgwt$.

(C) કંપન કરતા તારની આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{p}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે, જ્યાં $p$ એ લૂપ્સ (એન્ટિનોડ્સ) ની સંખ્યા છે, $L$ એ લંબાઈ છે, $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે।
આવૃત્તિ $f$, લંબાઈ $L$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu$ અચળ હોવાથી, આપણને $p \propto \sqrt{T}$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $T \propto p^2$.
તેથી, $T_1 p_1^2 = T_2 p_2^2$.
અહીં $T_1 = 1 \,kg$ (વજન સમાન), $p_1 = 4$, અને $p_2 = 2$ આપેલ છે।
કિંમતો મૂકતા: $1 \times (4)^2 = M \times (2)^2$.
$16 = 4M$.
$M = 4 \,kg$.

(B) તારના બંને ભાગો માટે કંપન આવૃત્તિ $n$ સમાન હોવી જોઈએ.
ખેંચાયેલા તારની આવૃત્તિનું સૂત્ર $n = \frac{p}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $\mu = \pi r^2 \rho$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
પ્રથમ તાર માટે (ત્રિજ્યા $r$,લંબાઈ $L$): $n = \frac{p_1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}}$.
બીજા તાર માટે (ત્રિજ્યા $2r$,લંબાઈ $L$): $n = \frac{p_2}{2L} \sqrt{\frac{T}{\pi (2r)^2 \rho}} = \frac{p_2}{2L} \sqrt{\frac{T}{4 \pi r^2 \rho}} = \frac{p_2}{4L} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}}$.
આવૃત્તિઓને સરખાવતા: $\frac{p_1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}} = \frac{p_2}{4L} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}}$.
સાદું રૂપ આપતા,$\frac{p_1}{2} = \frac{p_2}{4}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{p_1}{p_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

(D) કંપન કરતા તારની આવૃત્તિ $f = \frac{p}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $p$ એ લૂપ્સની સંખ્યા (એન્ટિનોડ્સ) છે, $L$ એ લંબાઈ છે, $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે।
ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f$ અને લંબાઈ $L$ અચળ હોવાથી, આપણને $p \propto \sqrt{T}$ અથવા $T \propto p^2$ મળે છે।
તેથી, $T_1 p_1^2 = T_2 p_2^2$.
અહીં $T_1 = 9 \,kg-wt$, $p_1 = 5$ અને $p_2 = 3$ આપેલ છે।
કિંમતો મૂકતા: $9 \times 5^2 = M \times 3^2$.
$9 \times 25 = M \times 9$.
$M = 25 \,kg$.

(B) દોરીના કંપન માટેની આવૃત્તિનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{m}}$
જ્યાં $T$ એ તણાવ છે,$L$ એ લંબાઈ છે,અને $m$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
કારણ કે $m = \pi r^2 \rho$ (જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $\rho$ એ ઘનતા છે),આવૃત્તિ $n$ થશે:
$n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}} = \frac{1}{2Lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે જ્યારે $T$,$L$,અને $\rho$ અચળ હોય ત્યારે $n \propto \frac{1}{r}$ થાય.
જો ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે $(r' = 2r)$,તો નવી આવૃત્તિ $n'$:
$\frac{n'}{n} = \frac{r}{r'} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$
તેથી,$n' = \frac{n}{2}$.

(D) સોનોમીટરના તારની આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં તણાવ $T$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu$ અચળ હોવાથી, $n \propto \frac{1}{L}$ થાય, જેનો અર્થ છે કે $nL = \text{અચળ}$.
ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n$ છે.
શરૂઆતમાં, $n \times 25 = k$ (જ્યાં $k$ અચળ છે).
જ્યારે લંબાઈ $1 \,cm$ ઘટાડવામાં આવે છે, ત્યારે નવી લંબાઈ $24 \,cm$ થાય છે. આવૃત્તિ વધીને $(n + 6) \,Hz$ થાય છે.
તેથી, $(n + 6) \times 24 = k$.
$k$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$25n = 24(n + 6)$
$25n = 24n + 144$
$n = 144 \,Hz$.

(A) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$
જ્યાં $L$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે,અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
કારણ કે $\mu = \text{Area} \times \text{density} = (\pi r^2) \rho$,આપણે લખી શકીએ:
$n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}} = \frac{1}{2Lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$
આ સમીકરણ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $n \propto \frac{1}{Lr}$.
આપેલ છે કે લંબાઈ $L$ બમણી કરવામાં આવે છે $(L_2 = 2L_1)$ અને વ્યાસ $D$ બમણો કરવામાં આવે છે (જેનો અર્થ છે કે ત્રિજ્યા $r$ પણ બમણી થાય છે,$r_2 = 2r_1$):
$\frac{n_2}{n_1} = \frac{L_1 r_1}{L_2 r_2} = \frac{L_1 r_1}{(2L_1)(2r_1)} = \frac{1}{4}$
તેથી,$n_2 = \frac{n_1}{4} = \frac{n}{4}$.

(C) કંપન કરતા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઘનતા} = (\pi R^2) \rho$.
આવૃત્તિના સૂત્રમાં $\mu$ ની કિંમત મૂકતા: $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\pi R^2 \rho}} = \frac{1}{2LR} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
આપેલ છે કે દ્રવ્ય સમાન છે,તેથી $\rho$ અચળ છે. તણાવ $T$ પણ સમાન હોવાથી,$f \propto \frac{1}{LR}$ મળે છે.
પ્રથમ તાર માટે: $L_1 = L$,$R_1 = 2r$. તેથી,$f_1 \propto \frac{1}{L \cdot 2r} = \frac{1}{2Lr}$.
બીજા તાર માટે: $L_2 = 2L$,$R_2 = r$. તેથી,$f_2 \propto \frac{1}{2L \cdot r} = \frac{1}{2Lr}$.
તેમની આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $\frac{f_1}{f_2} = \frac{1/2Lr}{1/2Lr} = 1:1$ થાય છે.

(A) સોનોમીટરના તારની આવૃત્તિનું સૂત્ર $n = \frac{p}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $p$ એ લૂપ્સની સંખ્યા (એન્ટિનોડ્સ),$L$ એ લંબાઈ,$T$ એ તણાવ $(T = Mg)$ અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
આવૃત્તિ $n$,લંબાઈ $L$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી,$p \propto \sqrt{T} \propto \sqrt{M}$ મળે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $p_1 = 5$ અને $M_1 = 9 \ kg$.
બીજા કિસ્સા માટે: $p_2 = 3$ અને $M_2 = m$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{M_1}{M_2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{5}{3} = \sqrt{\frac{9}{m}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{25}{9} = \frac{9}{m}$.
આથી,$m = 25 \ kg$.

(A) બંને છેડે જડેલા તાર માટે $p$-મો ઓવરટોન $f = (p+1) \frac{1}{2 \ell} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu = \pi r^2 \rho$.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી ઘનતા $\rho$ અચળ છે. તણાવ $T$ પણ અચળ છે.
પ્રથમ તાર માટે,પ્રથમ ઓવરટોન $(p=1)$ $f_1 = 2 \cdot \frac{1}{2 \ell_1} \sqrt{\frac{T}{\pi r_1^2 \rho}} = \frac{1}{\ell_1 r_1} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ છે.
બીજા તાર માટે,બીજો ઓવરટોન $(p=2)$ $f_2 = 3 \cdot \frac{1}{2 \ell_2} \sqrt{\frac{T}{\pi r_2^2 \rho}} = \frac{3}{2 \ell_2 r_2} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ છે.
આપેલ છે કે $f_1 = f_2$,તેથી $\frac{1}{\ell_1 r_1} = \frac{3}{2 \ell_2 r_2}$.
આપેલ છે કે $r_1 = 2 r_2$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{\ell_1 (2 r_2)} = \frac{3}{2 \ell_2 r_2}$.
સાદુરૂપ આપતા,$\frac{1}{2 \ell_1} = \frac{3}{2 \ell_2}$,જે દર્શાવે છે કે $\frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{1}{3}$.

(C) $5^{\text{th}}$ હાર્મોનિક માટે, બંને છેડે જડેલી $L$ લંબાઈની દોરી $5$ લૂપ્સમાં કંપન કરે છે.
લંબાઈ $L$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $L = \frac{5\lambda}{2}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $Y = 3 \sin(0.4x) \cos(200\pi t)$ ને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $Y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ સાથે સરખાવતા, આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 0.4 \text{ rad/cm}$ મળે છે.
કારણ કે $k = \frac{2\pi}{\lambda}$, તેથી $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{0.4} = 5\pi \text{ cm}$.
$\lambda$ ની કિંમત લંબાઈના સમીકરણમાં મૂકતા: $L = \frac{5 \times 5\pi}{2} = \frac{25\pi}{2} = 12.5\pi \text{ cm}$.

(C) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ લંબાઈ છે,$T$ તણાવ છે અને $\mu$ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
તાર સમાન હોવાથી,બંને માટે $\mu$ સમાન છે.
પ્રથમ તાર માટે: $N = \frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}}$
બીજા તાર માટે: $1.5N = \frac{1}{2(2\ell)} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}} = \frac{1}{4\ell} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}}$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{N}{1.5N} = \frac{\frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}}}{\frac{1}{4\ell} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}}}$
$\frac{1}{1.5} = \frac{4\ell}{2\ell} \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$
$\frac{1}{1.5} = 2 \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$
$\sqrt{\frac{T_1}{T_2}} = \frac{1}{1.5 \times 2} = \frac{1}{3}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{1}{9}$.

(C) સોનોમીટરના તારની મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર: $n = \frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{T}{m}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે,$\ell$ એ લંબાઈ છે અને $m$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
શરૂઆતમાં,$n = \frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{T}{m}}$.
જ્યારે તણાવમાં $8 \ N$ નો વધારો કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો તણાવ $T' = T + 8$ થાય છે. નવી આવૃત્તિ $3n$ છે.
તેથી,$3n = \frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{T+8}{m}}$.
બીજા સમીકરણને પ્રથમ સમીકરણ વડે ભાગતા:
$\frac{3n}{n} = \frac{\frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{T+8}{m}}}{\frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{T}{m}}}$
$3 = \sqrt{\frac{T+8}{T}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$9 = \frac{T+8}{T}$
$9T = T + 8$
$8T = 8$
$T = 1 \ N$.

(A) સોનોમીટરના તારની આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે. $L$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી,$n \propto \sqrt{T}$ થાય.
હવામાં,તણાવ $T_1 = mg = V \varrho g$ છે,જ્યાં $V$ એ લોડનું કદ છે અને $\varrho$ એ તેની વિશિષ્ટ ઘનતા છે.
જ્યારે લોડને પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર ઉત્પ્લાવક બળ લાગે છે. અસરકારક તણાવ $T_2 = V(\varrho - 1)g$ થાય છે (કારણ કે પાણીની ઘનતા $1 \text{ g/cm}^3$ છે).
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{n_2}{n_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{V(\varrho - 1)g}{V \varrho g}} = \sqrt{\frac{\varrho - 1}{\varrho}}$.
તેથી,નવી આવૃત્તિ $n_2 = n \sqrt{\frac{\varrho - 1}{\varrho}}$ થશે.

(B) સોનોમીટરના તારની મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે.
અહીં તણાવ $T$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu$ અચળ હોવાથી,$n \propto \frac{1}{L}$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $L_1 = L$ છે અને નવી લંબાઈ $L_2 = L + 0.25L = 1.25L$ છે.
પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n_1 = 50 \ Hz$ છે.
નવી મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_2$ માટે,$\frac{n_2}{n_1} = \frac{L_1}{L_2} = \frac{L}{1.25L} = \frac{1}{1.25} = 0.8$ મળે.
તેથી,$n_2 = 0.8 \times 50 \ Hz = 40 \ Hz$.
બીજા હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $2n$ છે. શરૂઆતમાં,$2n_1 = 2 \times 50 = 100 \ Hz$. અંતે,$2n_2 = 2 \times 40 = 80 \ Hz$.
આવૃત્તિમાં થતો ઘટાડો $100 \ Hz - 80 \ Hz = 20 \ Hz$ છે.
ટકાવારી ઘટાડો $\frac{20}{100} \times 100 \% = 20 \%$ થાય.

(D) સોનોમીટરના તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ એ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
અહીં $l$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી,$n \propto \sqrt{T}$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક તણાવ $T$ છે અને અંતિમ તણાવ $T + 3$ છે.
આપેલ છે કે આવૃત્તિ બમણી થાય છે,તેથી $n_2 = 2n_1$.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{T}{T+3}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{4} = \frac{T}{T+3}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $T + 3 = 4T$.
$3 = 3T$,જેનું પરિણામ $T = 1 \ kg$ મળે છે.

(D) સોનોમીટરના તારની કંપન આવૃત્તિ $v$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{m}}$
જ્યાં $T$ એ તણાવ (વજન $w$) છે અને $m$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,આવૃત્તિ:
$v = \frac{1}{2L_1} \sqrt{\frac{w}{m}} \quad (i)$
બીજા કિસ્સા માટે,વજન ઘટાડીને $\frac{w}{4}$ કરવામાં આવે છે અને લંબાઈ $L_2$ થાય છે:
$v = \frac{1}{2L_2} \sqrt{\frac{w/4}{m}} = \frac{1}{2L_2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\frac{w}{m}} = \frac{1}{4L_2} \sqrt{\frac{w}{m}} \quad (ii)$
ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $v$ સમાન રહેતી હોવાથી,સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{1}{2L_1} \sqrt{\frac{w}{m}} = \frac{1}{4L_2} \sqrt{\frac{w}{m}}$
$\frac{1}{2L_1} = \frac{1}{4L_2}$
$4L_2 = 2L_1$
$\frac{L_1}{L_2} = \frac{4}{2} = 2$
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{L_1}{L_2}$ એ $2:1$ છે.

(C) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર $v = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ છે.
અહીં $l$ અને $m$ અચળ હોવાથી,$v \propto \sqrt{T}$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $v$ છે અને પ્રારંભિક તણાવ $T$ છે.
જ્યારે તણાવ $69 \%$ વધારવામાં આવે,ત્યારે નવું તણાવ $T' = T + 0.69T = 1.69T$ થાય.
નવી આવૃત્તિ $v' = v + 9$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{v'}{v} = \sqrt{\frac{T'}{T}} = \sqrt{\frac{1.69T}{T}} = \sqrt{1.69} = 1.3$.
તેથી,$v + 9 = 1.3v$.
$0.3v = 9$.
$v = \frac{9}{0.3} = 30 \ Hz$.

(A) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu = \pi r^2 \rho$ છે.
તેથી,$f = \frac{1}{2Lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
પ્રથમ તારનો પ્રથમ ઓવરટોન $f_1 = 2f_1 = \frac{2}{2L_1 r_1} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{1}{L_1 r_1} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ છે.
બીજા તારનો બીજો ઓવરટોન $f_2 = 3f_2 = \frac{3}{2L_2 r_2} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ છે.
આપેલ છે કે $f_1 = f_2$,તેથી $\frac{1}{L_1 r_1} = \frac{3}{2L_2 r_2}$.
લંબાઈના ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા: $\frac{L_1}{L_2} = \frac{2r_2}{3r_1}$.
કારણ કે $r_1 = 2r_2$,કિંમત મૂકતા: $\frac{L_1}{L_2} = \frac{2r_2}{3(2r_2)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

(A) બંને છેડે જડેલી ખેંચાયેલી દોરી માટે,$ n $-મા ઓવરટોનની આવૃત્તિ $ f_n = (n+1) f_1 $ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $ f_1 $ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે.
બીજા ઓવરટોન માટે,$ n = 2 $,તેથી દોરી $ 3^{rd} $ હાર્મોનિક મોડમાં કંપન કરે છે.
$ 3^{rd} $ હાર્મોનિક મોડમાં,દોરીમાં $ 3 $ લૂપ્સ હોય છે.
$ p $ લૂપ્સ ધરાવતા સ્થિત તરંગમાં નોડ્સ $( N )$ ની સંખ્યા $ p+1 $ હોય છે. અહીં,$ p = 3 $,તેથી નોડ્સની સંખ્યા $ 3+1 = 4 $ છે.
એન્ટિનોડ્સ $( A )$ ની સંખ્યા લૂપ્સની સંખ્યા જેટલી હોય છે,જે $ 3 $ છે.
તેથી,$ 4 $ નોડ્સ અને $ 3 $ એન્ટિનોડ્સ છે.

(A) કંપન કરતી દોરીની આવૃત્તિનું સૂત્ર: $v = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ,$T$ એ તણાવ અને $m$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
આના પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v \propto \frac{\sqrt{T}}{l}$.
ધારો કે પ્રારંભિક સ્થિતિ $v_1 = 200 \ Hz$,$l_1 = l$,અને $T_1 = T$ છે. ધારો કે અંતિમ સ્થિતિ $v_2 = 300 \ Hz$,$l_2 = 2l$,અને $T_2 = T'$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{v_2}{v_1} = \frac{\sqrt{T'}/l_2}{\sqrt{T}/l_1} = \sqrt{\frac{T'}{T}} \cdot \frac{l_1}{l_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{300}{200} = \sqrt{\frac{T'}{T}} \cdot \frac{l}{2l}$.
$1.5 = \sqrt{\frac{T'}{T}} \cdot 0.5$.
$\sqrt{\frac{T'}{T}} = \frac{1.5}{0.5} = 3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{T'}{T} = 3^2 = 9$ મળે છે.
તેથી,નવા તણાવ અને મૂળ તણાવનો ગુણોત્તર $9: 1$ છે.

$(A)$ ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર: $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$, જ્યાં $\mu = \pi r^2 \rho$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે。
$\mu$ ની કિંમત મૂકતા: $f = \frac{1}{2lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
પ્રારંભિક શરતો: $f_1 = 600 \,Hz$, લંબાઈ $l_1 = l$, ત્રિજ્યા $r_1 = r$, અને તણાવ $T_1 = T$.
નવી શરતો: $l_2 = 2l$, $r_2 = r/2$, અને $T_2 = T/9$.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર: $\frac{f_2}{f_1} = \frac{l_1}{l_2} \times \frac{r_1}{r_2} \times \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{f_2}{600} = \frac{l}{2l} \times \frac{r}{r/2} \times \sqrt{\frac{T/9}{T}}$.
$\frac{f_2}{600} = \frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{\frac{1}{9}} = 1 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$.
તેથી, $f_2 = \frac{600}{3} = 200 \,Hz$.

(A) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \text{એકમ લંબાઈ દીઠ દળ} = \text{ઘનતા} \times \text{આડછેદનું ક્ષેત્રફળ} = \rho \times (\pi \frac{D^2}{4})$.
આવૃત્તિના સૂત્રમાં $\mu$ ની કિંમત મૂકતા:
$f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi \frac{D^2}{4}}} = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{4T}{\pi \rho D^2}} = \frac{1}{2L} \cdot \frac{2}{D} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{1}{LD} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
અહીં $T$,$\rho$ અને $\pi$ અચળ હોવાથી,આપણને $f \propto \frac{1}{LD}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: તારની લંબાઈ $L = 1.25 \ m$,વિકૃતિ $\epsilon = 0.14 \% = 0.0014$,ઘનતા $\rho = 7.7 \times 10^3 \ kg \ m^{-3}$,યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2.2 \times 10^{11} \ N \ m^{-2}$.
મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$,જ્યાં $\mu = \rho A$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{T/A}{\epsilon}$ હોવાથી,$\frac{T}{A} = Y \epsilon = 2.2 \times 10^{11} \times 0.0014 = 3.08 \times 10^8 \ N \ m^{-2}$.
સૂત્ર $\frac{T}{\mu} = \frac{T}{\rho A} = \frac{Y \epsilon}{\rho}$ ને આવૃત્તિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{Y \epsilon}{\rho}} = \frac{1}{2 \times 1.25} \sqrt{\frac{3.08 \times 10^8}{7.7 \times 10^3}} = \frac{1}{2.5} \sqrt{0.4 \times 10^5} = \frac{1}{2.5} \sqrt{40000} = \frac{200}{2.5} = 80 \ Hz$.

(C) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
તણાવ $T$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી,$f \propto \frac{1}{L}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $fL = \text{અચળ} = k$.
તેથી,$L = \frac{k}{f}$.
જ્યારે $L$ લંબાઈના તારને $L_1, L_2, L_3$ લંબાઈના ત્રણ ભાગમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે $L = L_1 + L_2 + L_3$ થાય.
સમીકરણમાં $L = \frac{k}{f}$,$L_1 = \frac{k}{f_1}$,$L_2 = \frac{k}{f_2}$,અને $L_3 = \frac{k}{f_3}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{k}{f} = \frac{k}{f_1} + \frac{k}{f_2} + \frac{k}{f_3}$.
બંને બાજુ $k$ વડે ભાગતા,આપણને સંબંધ મળે છે: $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} + \frac{1}{f_3}$.

(D) આપેલી દોરીના એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu = \frac{m_{string}}{l} = \frac{2 \times 10^{-3} \ kg}{1 \ m} = 2 \times 10^{-3} \ kg \ m^{-1}$ છે.
દોરી પરના લંબગત તરંગોની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ દોરીમાં તણાવ છે. પદાર્થ લટકાવેલ હોવાથી,$T = M_{body} \times g$ થાય.
બંને છેડે જડેલી દોરી માટે મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0 = \frac{v}{2l} = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{M_{body} \times g}{\mu}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$f_0^2 = \frac{M_{body} \times g}{4l^2 \mu}$ મળે.
પદાર્થના દળ માટે સૂત્ર: $M_{body} = \frac{4l^2 f_0^2 \mu}{g}$.
કિંમતો મૂકતા: $M_{body} = \frac{4 \times (1)^2 \times (100)^2 \times (2 \times 10^{-3})}{10} = \frac{4 \times 10000 \times 0.002}{10} = \frac{80}{10} = 8 \ kg$.

(C) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$
જ્યાં $T$ એ તણાવ છે,$L$ એ લંબાઈ છે,અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
આપેલ છે કે બંને તાર માટે તણાવ $T$ સમાન છે,તેથી તાર $A$ અને $B$ ની મૂળભૂત આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર:
$\frac{f_A}{f_B} = \frac{\frac{1}{2L_A} \sqrt{\frac{T}{\mu_A}}}{\frac{1}{2L_B} \sqrt{\frac{T}{\mu_B}}} = \frac{L_B}{L_A} \sqrt{\frac{\mu_B}{\mu_A}}$
આપણને લંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{L_A}{L_B} = \frac{1}{2}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{L_B}{L_A} = \frac{2}{1}$.
એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu$ ને $\mu = \frac{m}{L}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\mu_A}{\mu_B}$ છે:
$\frac{\mu_A}{\mu_B} = \frac{m_A / L_A}{m_B / L_B} = \left( \frac{m_A}{m_B} \right) \left( \frac{L_B}{L_A} \right)$
આપેલ છે કે $\frac{m_A}{m_B} = \frac{2}{1}$ અને $\frac{L_B}{L_A} = \frac{2}{1}$,તેથી:
$\frac{\mu_A}{\mu_B} = \left( \frac{2}{1} \right) \left( \frac{2}{1} \right) = \frac{4}{1}$
આમ,$\frac{\mu_B}{\mu_A} = \frac{1}{4}$.
આ કિંમતોને આવૃત્તિ ગુણોત્તરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{f_A}{f_B} = \left( \frac{2}{1} \right) \sqrt{\frac{1}{4}} = 2 \times \frac{1}{2} = 1$
તેથી,મૂળભૂત આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $1: 1$ છે.

(A) કંપન કરતી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
દોરી સમાન હોવાથી,બધા ભાગો માટે તણાવ $T$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu$ અચળ રહે છે.
તેથી,મૂળભૂત આવૃત્તિ એ ભાગની લંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $f \propto \frac{1}{l}$ અથવા $l \propto \frac{1}{f}$.
આપેલ છે કે મૂળભૂત આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $f_1 : f_2 : f_3 = 1 : 2 : 3$ છે.
ભાગોની લંબાઈનો ગુણોત્તર $l_1 : l_2 : l_3 = \frac{1}{f_1} : \frac{1}{f_2} : \frac{1}{f_3}$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $l_1 : l_2 : l_3 = \frac{1}{1} : \frac{1}{2} : \frac{1}{3}$.
આ ગુણોત્તરને સરળ બનાવવા માટે,દરેક પદને છેદના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(6)$ વડે ગુણતા: $l_1 : l_2 : l_3 = (1 \times 6) : (\frac{1}{2} \times 6) : (\frac{1}{3} \times 6) = 6 : 3 : 2$.

(D) ખેંચાયેલા તારના મૂળભૂત સ્વરની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે,$l$ એ લંબાઈ છે,અને $m$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
કારણ કે $m = \text{Area} \times \text{density} = \frac{\pi d^2}{4} \rho$,તેથી $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\pi d^2 \rho / 4}} = \frac{1}{ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
આપેલ છે કે $T$,$l$,અને $\rho$ અચળ છે,તેથી $f \propto \frac{1}{d}$.
તેથી,$\frac{f_2}{f_1} = \frac{d_1}{d_2} = \frac{0.90}{0.93} \approx 0.9677$.
આવૃત્તિમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{f_2 - f_1}{f_1} \times 100 = \left( \frac{f_2}{f_1} - 1 \right) \times 100$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\left( \frac{0.90}{0.93} - 1 \right) \times 100 = \left( \frac{0.90 - 0.93}{0.93} \right) \times 100 = \left( \frac{-0.03}{0.93} \right) \times 100 \approx -3.22 \%$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,ટકાવારી ફેરફાર $-3.2 \%$ છે.

(A) ખેંચાયેલી દોરીની આવૃત્તિ $f = \frac{n}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ હાર્મોનિક નંબર છે,$l$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે અને $m$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
$m = \pi r^2 \rho$ (જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે) હોવાથી,આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{n}{2l r} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ બને છે.
$A$ ના પ્રથમ ઓવરટોન માટે,$n = 2$. તેથી,$f_A = \frac{2}{2 l_A r_A} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{1}{l_A r_A} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
$B$ ના બીજા ઓવરટોન માટે,$n = 3$. તેથી,$f_B = \frac{3}{2 l_B r_B} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
આપેલ છે કે $f_A = f_B$,તેથી $\frac{1}{l_A r_A} = \frac{3}{2 l_B r_B}$.
લંબાઈના ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા: $\frac{l_A}{l_B} = \frac{2 r_B}{3 r_A}$.
આપેલ છે કે $r_A = 2 r_B$,કિંમત મૂકતા $\frac{l_A}{l_B} = \frac{2 r_B}{3 (2 r_B)} = \frac{1}{3}$.

(C) $1$. તાપમાનમાં ફેરફારને કારણે ઉદ્ભવતું થર્મલ સ્ટ્રેન $\Delta L / L = \alpha \Delta T$ છે।
$2$. થર્મલ સ્ટ્રેસ $F / A = Y (\Delta L / L) = Y \alpha \Delta T$ છે।
$3$. તણાવ $T = Y A \alpha \Delta T = (200 \times 10^9) \times (10^{-6}) \times (1.21 \times 10^{-5}) \times 20 = 48.4 \,N$.
$4$. રેખીય દળ ઘનતા $\mu = m / L = 0.1 / 1 = 0.1 \,kg/m$.
$5$. તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{T / \mu} = \sqrt{48.4 / 0.1} = \sqrt{484} = 22 \,m/s$.
$6$. મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = v / (2L) = 22 / (2 \times 1) = 11 \,Hz$.

(C) ખેંચાયેલી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $l$ લંબાઈ છે,$T$ તણાવ છે અને $\mu$ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f_1$ અને અંતિમ આવૃત્તિ $f_2$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{f_1}{f_2} = \frac{l_2}{l_1} \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$
આપેલ છે કે $l_2 = l_1(1 - \frac{x}{100})$,$T_2 = T_1(1 + \frac{44}{100}) = 1.44 T_1$,અને $\frac{f_1}{f_2} = \frac{1}{2}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} = \frac{l_1(1 - \frac{x}{100})}{l_1} \sqrt{\frac{T_1}{1.44 T_1}}$
$\frac{1}{2} = (1 - \frac{x}{100}) \times \frac{1}{\sqrt{1.44}}$
$\frac{1}{2} = (1 - \frac{x}{100}) \times \frac{1}{1.2}$
$0.6 = 1 - \frac{x}{100}$
$\frac{x}{100} = 0.4$
$x = 40$.

(A) ખેંચાયેલી દોરી માટે $n$-માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = \frac{n}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu = \pi r^2 \rho$ છે.
$A$ ના પ્રથમ ઓવરટોન $(n=2)$ માટે: $f_{A} = \frac{2}{2l_A} \sqrt{\frac{T}{\pi r_A^2 \rho}} = \frac{1}{l_A r_A} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
$B$ ના બીજા ઓવરટોન $(n=3)$ માટે: $f_{B} = \frac{3}{2l_B} \sqrt{\frac{T}{\pi r_B^2 \rho}} = \frac{3}{2l_B r_B} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
આપેલ છે કે $f_A = f_B$ અને $r_A = 2r_B$,તેથી:
$\frac{1}{l_A r_A} = \frac{3}{2l_B r_B} \Rightarrow \frac{1}{l_A (2r_B)} = \frac{3}{2l_B r_B}$.
સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{2l_A} = \frac{3}{2l_B} \Rightarrow \frac{l_A}{l_B} = \frac{1}{3}$.
આમ,લંબાઈનો ગુણોત્તર $l_A : l_B = 1:3$ છે.

(D) કંપન કરતા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
તણાવ $T$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu$ (તાર સમાન હોવાથી) અચળ રહેતા હોવાથી,$n \propto \frac{1}{l}$ થાય.
તેથી,$\frac{n_1}{n_2} = \frac{l_2}{l_1}$.
અહીં $n_1 = 1 \ kHz$ અને $n_2 = 1.001 \ kHz$ આપેલ છે,તેથી $\frac{l_2}{l_1} = \frac{1}{1.001}$.
ઉષ્મીય પ્રસરણના સૂત્ર $l_2 = l_1(1 - \alpha \Delta t)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\Delta t = 30^{\circ} C - 10^{\circ} C = 20^{\circ} C$:
$\frac{l_1}{1.001} = l_1(1 - \alpha \times 20)$.
$1 - 20\alpha = \frac{1}{1.001} \approx 1 - 0.001$.
$20\alpha = 0.001$.
$\alpha = \frac{0.001}{20} = 0.5 \times 10^{-4} /^{\circ} C$.