અ Gujarati
Transverse Stationary Waves and Sonometer Questions in Gujarati
Class 11 Physics · Waves and Sound · Transverse Stationary Waves and Sonometer
225+
Questions
Gujarati
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 225 questions in Gujarati
101
MediumMCQ
એક સંગીતના સાધનની દોરીની લંબાઈ $90 \;cm$ છે અને તેની મૂળભૂત આવૃત્તિ $120 \;Hz$ છે. $180 \;Hz$ ની મૂળભૂત આવૃત્તિ ઉત્પન્ન કરવા માટે તેને ક્યાં (સેમીમાં) દબાવવી જોઈએ?
A
$80$
B
$75$
C
$60$
D
$45$
Solution
(C) ખેંચાયેલી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં તણાવ $T$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu$ અચળ હોવાથી,આવૃત્તિ એ દોરીની લંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $n \propto \frac{1}{L}$.
તેથી,$n_1 L_1 = n_2 L_2$.
આપેલ છે કે $n_1 = 120 \;Hz$,$L_1 = 90 \;cm$,અને $n_2 = 180 \;Hz$.
કિંમતો મૂકતા: $120 \times 90 = 180 \times L_2$.
$L_2 = \frac{120 \times 90}{180} = \frac{10800}{180} = 60 \;cm$.
આમ,જરૂરી આવૃત્તિ ઉત્પન્ન કરવા માટે દોરીને એક છેડેથી $60 \;cm$ અંતરે દબાવવી જોઈએ.
અહીં તણાવ $T$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu$ અચળ હોવાથી,આવૃત્તિ એ દોરીની લંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $n \propto \frac{1}{L}$.
તેથી,$n_1 L_1 = n_2 L_2$.
આપેલ છે કે $n_1 = 120 \;Hz$,$L_1 = 90 \;cm$,અને $n_2 = 180 \;Hz$.
કિંમતો મૂકતા: $120 \times 90 = 180 \times L_2$.
$L_2 = \frac{120 \times 90}{180} = \frac{10800}{180} = 60 \;cm$.
આમ,જરૂરી આવૃત્તિ ઉત્પન્ન કરવા માટે દોરીને એક છેડેથી $60 \;cm$ અંતરે દબાવવી જોઈએ.
0 likes
View Solution102
DifficultMCQ
$9.0 \times 10^{-4} \; \text{kg/m}$ ની રેખીય દળ ઘનતા ધરાવતો એક તાર $900 \; \text{N}$ ના તણાવ સાથે બે દ્રઢ આધાર વચ્ચે ખેંચાયેલો છે. આ તાર $500 \; \text{Hz}$ ની આવૃત્તિએ અનુનાદિત થાય છે. તે જ તાર માટે તેની પછીની ઉચ્ચ અનુનાદિત આવૃત્તિ $550 \; \text{Hz}$ છે. તારની લંબાઈ $...... \; \text{m}$ છે.
A
$50$
B
$100$
C
$10$
D
$2$
Solution
(C) તારમાં તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $T = 900 \; \text{N}$ અને $\mu = 9.0 \times 10^{-4} \; \text{kg/m}$ આપેલ છે.
$v = \sqrt{\frac{900}{9.0 \times 10^{-4}}} = \sqrt{10^6} = 1000 \; \text{m/s}$.
બંને છેડે જડિત તારની અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $f_n = \frac{nv}{2L}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
બે ક્રમિક અનુનાદિત આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત $\Delta f = f_{n+1} - f_n = \frac{(n+1)v}{2L} - \frac{nv}{2L} = \frac{v}{2L}$ થાય.
અહીં $\Delta f = 550 \; \text{Hz} - 500 \; \text{Hz} = 50 \; \text{Hz}$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{v}{2L} = 50 \; \text{Hz}$.
$v = 1000 \; \text{m/s}$ કિંમત મૂકતા,$\frac{1000}{2L} = 50$.
$2L = \frac{1000}{50} = 20$.
$L = 10 \; \text{m}$.
અહીં $T = 900 \; \text{N}$ અને $\mu = 9.0 \times 10^{-4} \; \text{kg/m}$ આપેલ છે.
$v = \sqrt{\frac{900}{9.0 \times 10^{-4}}} = \sqrt{10^6} = 1000 \; \text{m/s}$.
બંને છેડે જડિત તારની અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $f_n = \frac{nv}{2L}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
બે ક્રમિક અનુનાદિત આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત $\Delta f = f_{n+1} - f_n = \frac{(n+1)v}{2L} - \frac{nv}{2L} = \frac{v}{2L}$ થાય.
અહીં $\Delta f = 550 \; \text{Hz} - 500 \; \text{Hz} = 50 \; \text{Hz}$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{v}{2L} = 50 \; \text{Hz}$.
$v = 1000 \; \text{m/s}$ કિંમત મૂકતા,$\frac{1000}{2L} = 50$.
$2L = \frac{1000}{50} = 20$.
$L = 10 \; \text{m}$.
0 likes
View Solution103
MediumMCQ
$0.3\,m$ લંબાઈનો એક તાર,જે બે દ્રઢ આધાર વચ્ચે ખેંચાયેલો છે,તેના $n^{\text{th}}$ અને $(n+1)^{\text{th}}$ હાર્મોનિક્સ અનુક્રમે $400\,Hz$ અને $450\,Hz$ છે. જો તારમાં તણાવ $2700\,N$ હોય,તો તેની રેખીય દળ ઘનતા ......... $kg/m$ છે.
A
$1.5$
B
$6$
C
$9$
D
$3$
Solution
(D) $n^{\text{th}}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = \frac{nv}{2L} = 400\,Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(n+1)^{\text{th}}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_{n+1} = \frac{(n+1)v}{2L} = 450\,Hz$ છે.
ક્રમિક હાર્મોનિક્સ વચ્ચેનો તફાવત $\Delta f = f_{n+1} - f_n = \frac{v}{2L} = 450 - 400 = 50\,Hz$ છે.
આપેલ લંબાઈ $L = 0.3\,m$ માટે,$\frac{v}{2(0.3)} = 50$,જેનો અર્થ છે કે $v = 50 \times 0.6 = 30\,m/s$.
તરંગની ઝડપ $v$ એ તણાવ $T$ અને રેખીય દળ ઘનતા $\mu$ સાથે $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
કિંમતો મૂકતા: $30 = \sqrt{\frac{2700}{\mu}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $900 = \frac{2700}{\mu}$.
તેથી,$\mu = \frac{2700}{900} = 3\,kg/m$.
$(n+1)^{\text{th}}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_{n+1} = \frac{(n+1)v}{2L} = 450\,Hz$ છે.
ક્રમિક હાર્મોનિક્સ વચ્ચેનો તફાવત $\Delta f = f_{n+1} - f_n = \frac{v}{2L} = 450 - 400 = 50\,Hz$ છે.
આપેલ લંબાઈ $L = 0.3\,m$ માટે,$\frac{v}{2(0.3)} = 50$,જેનો અર્થ છે કે $v = 50 \times 0.6 = 30\,m/s$.
તરંગની ઝડપ $v$ એ તણાવ $T$ અને રેખીય દળ ઘનતા $\mu$ સાથે $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
કિંમતો મૂકતા: $30 = \sqrt{\frac{2700}{\mu}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $900 = \frac{2700}{\mu}$.
તેથી,$\mu = \frac{2700}{900} = 3\,kg/m$.
0 likes
View Solution104
EasyMCQ
જો દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $220 \, cps$ હોય,તો પાંચમા હાર્મોનિકની આવૃત્તિ ......... $cps$ હશે.
A
$44$
B
$55$
C
$1100$
D
$440$
Solution
(C) દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = 220 \, cps$ તરીકે આપવામાં આવી છે.
કંપન કરતી દોરીમાં,$n^{th}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = n \times f_1$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાંચમા હાર્મોનિક માટે,$n = 5$ છે.
તેથી,પાંચમા હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_5 = 5 \times 220 \, cps = 1100 \, cps$ થશે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
કંપન કરતી દોરીમાં,$n^{th}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = n \times f_1$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાંચમા હાર્મોનિક માટે,$n = 5$ છે.
તેથી,પાંચમા હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_5 = 5 \times 220 \, cps = 1100 \, cps$ થશે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
0 likes
View Solution105
MediumMCQ
એક તારમાં તણાવ $19 \%$ જેટલો ઘટાડવામાં આવે છે. આવૃત્તિમાં થતો પ્રતિશત ઘટાડો ......... $\%$ હશે.
A
$0.19$
B
$10$
C
$19$
D
$0.9$
Solution
(B) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે,$l$ એ લંબાઈ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
આ સંબંધ પરથી,$f \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે પ્રારંભિક તણાવ $T_1 = T$ છે અને અંતિમ તણાવ $T_2 = T - 0.19T = 0.81T$ છે.
નવી આવૃત્તિ $f^{\prime}$ એ $f^{\prime} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} f = \sqrt{0.81} f = 0.9f$ દ્વારા મળે છે.
આવૃત્તિમાં ઘટાડો $\Delta f = f - f^{\prime} = f - 0.9f = 0.1f$ છે.
આવૃત્તિમાં થતો પ્રતિશત ઘટાડો $\frac{\Delta f}{f} \times 100 = 0.1 \times 100 = 10 \%$ છે.
આ સંબંધ પરથી,$f \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે પ્રારંભિક તણાવ $T_1 = T$ છે અને અંતિમ તણાવ $T_2 = T - 0.19T = 0.81T$ છે.
નવી આવૃત્તિ $f^{\prime}$ એ $f^{\prime} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} f = \sqrt{0.81} f = 0.9f$ દ્વારા મળે છે.
આવૃત્તિમાં ઘટાડો $\Delta f = f - f^{\prime} = f - 0.9f = 0.1f$ છે.
આવૃત્તિમાં થતો પ્રતિશત ઘટાડો $\frac{\Delta f}{f} \times 100 = 0.1 \times 100 = 10 \%$ છે.
0 likes
View Solution106
MediumMCQ
$12 \,m$ લાંબી કંપન કરતી દોરીમાં તરંગની ઝડપ $48 \,m/s$ છે. તે કઈ આવૃત્તિઓ પર અનુનાદિત થશે ($cps$ માં)?
A
$2$
B
$4$
C
$6$
D
આપેલ તમામ
Solution
(D) બંને છેડે જડેલી કંપન કરતી દોરીની આવૃત્તિનું સૂત્ર $f_n = \frac{n v}{2 l}$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ એ હાર્મોનિક નંબર છે.
આપેલ છે: લંબાઈ $l = 12 \,m$ અને તરંગની ઝડપ $v = 48 \,m/s$.
કિંમતો મૂકતા: $f_n = \frac{n \times 48}{2 \times 12} = \frac{48 n}{24} = 2n \,Hz$.
$n=1$ માટે,$f_1 = 2 \,Hz$.
$n=2$ માટે,$f_2 = 4 \,Hz$.
$n=3$ માટે,$f_3 = 6 \,Hz$.
દોરી મૂળભૂત આવૃત્તિ $(2 \,Hz)$ ના કોઈપણ પૂર્ણાંક ગુણાંક પર અનુનાદિત થઈ શકે છે,તેથી આપેલા તમામ વિકલ્પો $(2, 4, 6)$ શક્ય અનુનાદિત આવૃત્તિઓ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.
આપેલ છે: લંબાઈ $l = 12 \,m$ અને તરંગની ઝડપ $v = 48 \,m/s$.
કિંમતો મૂકતા: $f_n = \frac{n \times 48}{2 \times 12} = \frac{48 n}{24} = 2n \,Hz$.
$n=1$ માટે,$f_1 = 2 \,Hz$.
$n=2$ માટે,$f_2 = 4 \,Hz$.
$n=3$ માટે,$f_3 = 6 \,Hz$.
દોરી મૂળભૂત આવૃત્તિ $(2 \,Hz)$ ના કોઈપણ પૂર્ણાંક ગુણાંક પર અનુનાદિત થઈ શકે છે,તેથી આપેલા તમામ વિકલ્પો $(2, 4, 6)$ શક્ય અનુનાદિત આવૃત્તિઓ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.
0 likes
View Solution107
EasyMCQ
એક ચોક્કસ દોરી ઘણી આવૃત્તિઓ પર અનુનાદિત થાય છે,જેમાંથી સૌથી ઓછી આવૃત્તિ $200 \,Hz$ છે. તે કઈ ત્રણ ઉચ્ચ આવૃત્તિઓ પર અનુનાદિત થશે?
A
$400, 600, 800 \,Hz$
B
$300, 400, 500 \,Hz$
C
$100, 150, 200 \,Hz$
D
$200, 250, 300 \,Hz$
Solution
(A) બંને છેડે જડેલી દોરીની અનુનાદિત આવૃત્તિઓનું સૂત્ર $f_n = n \times f_1$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ અને $f_1$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે.
અહીં સૌથી ઓછી અનુનાદિત આવૃત્તિ (મૂળભૂત આવૃત્તિ) $f_1 = 200 \,Hz$ આપેલી છે.
આગામી ત્રણ ઉચ્ચ અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $n = 2, 3,$ અને $4$ માટે છે.
$n = 2$ માટે,$f_2 = 2 \times 200 = 400 \,Hz$.
$n = 3$ માટે,$f_3 = 3 \times 200 = 600 \,Hz$.
$n = 4$ માટે,$f_4 = 4 \times 200 = 800 \,Hz$.
તેથી,આગામી ત્રણ ઉચ્ચ આવૃત્તિઓ $400 \,Hz, 600 \,Hz,$ અને $800 \,Hz$ છે.
અહીં સૌથી ઓછી અનુનાદિત આવૃત્તિ (મૂળભૂત આવૃત્તિ) $f_1 = 200 \,Hz$ આપેલી છે.
આગામી ત્રણ ઉચ્ચ અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $n = 2, 3,$ અને $4$ માટે છે.
$n = 2$ માટે,$f_2 = 2 \times 200 = 400 \,Hz$.
$n = 3$ માટે,$f_3 = 3 \times 200 = 600 \,Hz$.
$n = 4$ માટે,$f_4 = 4 \times 200 = 800 \,Hz$.
તેથી,આગામી ત્રણ ઉચ્ચ આવૃત્તિઓ $400 \,Hz, 600 \,Hz,$ અને $800 \,Hz$ છે.
0 likes
View Solution108
MediumMCQ
વાયલિનના તારની આવૃત્તિ $440 \,cps$ છે. જો વાયલિનના તારને એક-પંચમાંશ જેટલો ટૂંકો કરવામાં આવે,તો તેની આવૃત્તિ ........... $cps$ થશે.
A
$440$
B
$880$
C
$550$
D
$2200$
Solution
(D) કંપન કરતા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ તરંગની ઝડપ છે અને $l$ એ તારની લંબાઈ છે.
આપેલ પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f_1 = 440 \,cps$ લંબાઈ $l_1 = l$ માટે છે.
જો તારને એક-પંચમાંશ જેટલો ટૂંકો કરવામાં આવે,તો નવી લંબાઈ $l_2 = \frac{l}{5}$ થાય છે.
તેથી,નવી આવૃત્તિ $f_2 = \frac{v}{2l_2} = \frac{v}{2(l/5)} = 5 \times \frac{v}{2l} = 5 \times f_1$ થશે.
$f_2 = 5 \times 440 = 2200 \,cps$.
આપેલ પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f_1 = 440 \,cps$ લંબાઈ $l_1 = l$ માટે છે.
જો તારને એક-પંચમાંશ જેટલો ટૂંકો કરવામાં આવે,તો નવી લંબાઈ $l_2 = \frac{l}{5}$ થાય છે.
તેથી,નવી આવૃત્તિ $f_2 = \frac{v}{2l_2} = \frac{v}{2(l/5)} = 5 \times \frac{v}{2l} = 5 \times f_1$ થશે.
$f_2 = 5 \times 440 = 2200 \,cps$.
0 likes
View Solution109
MediumMCQ
$1 \,m$ લંબાઈનો એક તાર અમુક પ્રારંભિક તણાવ હેઠળ $256 \,Hz$ ની મૂળભૂત આવૃત્તિનો અવાજ ઉત્પન્ન કરે છે. જ્યારે તણાવમાં $1 \,kg \,wt$ નો વધારો કરવામાં આવે છે,ત્યારે મૂળભૂત આવૃત્તિ વધીને $320 \,Hz$ થાય છે. તો પ્રારંભિક તણાવ ........... $kg \,wt$ છે.
A
$3/4$
B
$4/3$
C
$16/9$
D
$20/9$
Solution
(C) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
ધારો કે પ્રારંભિક તણાવ $T$ છે. તેથી,$256 = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$.
જ્યારે તણાવમાં $1 \,kg \,wt$ નો વધારો કરવામાં આવે,ત્યારે નવો તણાવ $(T+1) \,kg \,wt$ થાય છે. નવી આવૃત્તિ $320 = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T+1}{\mu}}$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{320}{256} = \sqrt{\frac{T+1}{T}}$.
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{320}{256} = \frac{5}{4}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{25}{16} = \frac{T+1}{T}$.
$25T = 16(T+1) \implies 25T = 16T + 16$.
$9T = 16 \implies T = \frac{16}{9} \,kg \,wt$.
ધારો કે પ્રારંભિક તણાવ $T$ છે. તેથી,$256 = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$.
જ્યારે તણાવમાં $1 \,kg \,wt$ નો વધારો કરવામાં આવે,ત્યારે નવો તણાવ $(T+1) \,kg \,wt$ થાય છે. નવી આવૃત્તિ $320 = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T+1}{\mu}}$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{320}{256} = \sqrt{\frac{T+1}{T}}$.
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{320}{256} = \frac{5}{4}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{25}{16} = \frac{T+1}{T}$.
$25T = 16(T+1) \implies 25T = 16T + 16$.
$9T = 16 \implies T = \frac{16}{9} \,kg \,wt$.
0 likes
View Solution110
MediumMCQ
$20 \,cm$ લંબાઈના તાર ધરાવતા સોનોમીટર સાથે ધ્રુજારી પામતો ટ્યુનિંગ ફોર્ક પ્રતિ સેકન્ડ $5$ બીટ્સ ઉત્પન્ન કરે છે. જો તારની લંબાઈ બદલીને $21 \,cm$ કરવામાં આવે તો બીટ ફ્રીક્વન્સી બદલાતી નથી. ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ ............ $Hz$ હોવી જોઈએ.
A
$200$
B
$210$
C
$205$
D
$215$
Solution
(C) ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f$ છે અને સોનોમીટરના તારની આવૃત્તિ $n = \frac{v}{2L}$ છે.
આપેલ છે કે બીટ આવૃત્તિ $5 \,Hz$ છે,તેથી $|f - n| = 5$.
$L_1 = 0.20 \,m$ માટે,$n_1 = \frac{v}{2 \times 0.20} = \frac{v}{0.4}$.
$L_2 = 0.21 \,m$ માટે,$n_2 = \frac{v}{2 \times 0.21} = \frac{v}{0.42}$.
$L_2 > L_1$ હોવાથી,$n_2 < n_1$ થાય.
જો બીટ આવૃત્તિ $5 \,Hz$ રહેતી હોય,તો ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f$ એ $n_1$ અને $n_2$ ની વચ્ચે હોવી જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $n_1 - f = 5 \implies f = n_1 - 5$.
કિસ્સો $2$: $f - n_2 = 5 \implies f = n_2 + 5$.
બંનેને સરખાવતા: $n_1 - 5 = n_2 + 5 \implies n_1 - n_2 = 10$.
$n_1 = \frac{v}{0.4}$ અને $n_2 = \frac{v}{0.42}$ મૂકતા:
$\frac{v}{0.4} - \frac{v}{0.42} = 10 \implies v \left( \frac{0.42 - 0.4}{0.168} \right) = 10 \implies v \left( \frac{0.02}{0.168} \right) = 10 \implies v = \frac{1.68}{0.02} = 84 \,m/s$.
હવે,$n_1 = \frac{84}{0.4} = 210 \,Hz$.
તેથી $f = n_1 - 5 = 210 - 5 = 205 \,Hz$.
આપેલ છે કે બીટ આવૃત્તિ $5 \,Hz$ છે,તેથી $|f - n| = 5$.
$L_1 = 0.20 \,m$ માટે,$n_1 = \frac{v}{2 \times 0.20} = \frac{v}{0.4}$.
$L_2 = 0.21 \,m$ માટે,$n_2 = \frac{v}{2 \times 0.21} = \frac{v}{0.42}$.
$L_2 > L_1$ હોવાથી,$n_2 < n_1$ થાય.
જો બીટ આવૃત્તિ $5 \,Hz$ રહેતી હોય,તો ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f$ એ $n_1$ અને $n_2$ ની વચ્ચે હોવી જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $n_1 - f = 5 \implies f = n_1 - 5$.
કિસ્સો $2$: $f - n_2 = 5 \implies f = n_2 + 5$.
બંનેને સરખાવતા: $n_1 - 5 = n_2 + 5 \implies n_1 - n_2 = 10$.
$n_1 = \frac{v}{0.4}$ અને $n_2 = \frac{v}{0.42}$ મૂકતા:
$\frac{v}{0.4} - \frac{v}{0.42} = 10 \implies v \left( \frac{0.42 - 0.4}{0.168} \right) = 10 \implies v \left( \frac{0.02}{0.168} \right) = 10 \implies v = \frac{1.68}{0.02} = 84 \,m/s$.
હવે,$n_1 = \frac{84}{0.4} = 210 \,Hz$.
તેથી $f = n_1 - 5 = 210 - 5 = 205 \,Hz$.
0 likes
View Solution111
EasyMCQ
બે દ્રઢ આધાર વચ્ચે ખેંચાયેલી $l$ લંબાઈની દોરીમાં બીજો હાર્મોનિક ઉત્પન્ન કરવાનો છે. દોરીને કયા બિંદુએથી ખેંચવી (pluck) અને કયા બિંદુએથી સ્પર્શવી (touch) જોઈએ?
A
$\frac{l}{4}, \frac{l}{2}$
B
$\frac{l}{4}, \frac{3l}{4}$
C
$\frac{l}{2}, \frac{l}{2}$
D
$\frac{l}{2}, \frac{3l}{4}$
Solution
(A) $2^{\text{nd}}$ હાર્મોનિકમાં,દોરી બે લૂપમાં કંપન કરે છે,જેનો અર્થ છે કે દોરીની મધ્યમાં $x = \frac{l}{2}$ પર એક નિસ્પંદ બિંદુ (node) અને $x = \frac{l}{4}$ તથા $x = \frac{3l}{4}$ પર બે પ્રસ્પંદ બિંદુઓ (antinodes) હોય છે.
$2^{\text{nd}}$ હાર્મોનિક ઉત્પન્ન કરવા માટે,આપણે દોરીને $x = \frac{l}{2}$ પર સ્પર્શીને મધ્યમાં નિસ્પંદ બિંદુ બનાવવું પડે છે.
કંપન ઉત્તેજિત કરવા માટે,આપણે દોરીને પ્રસ્પંદ બિંદુના સ્થાનેથી ખેંચવી પડે છે. ઉપલબ્ધ પ્રસ્પંદ બિંદુઓ $\frac{l}{4}$ અથવા $\frac{3l}{4}$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,(ખેંચવાનું બિંદુ,સ્પર્શવાનું બિંદુ) માટેની સાચી જોડી $(\frac{l}{4}, \frac{l}{2})$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
$2^{\text{nd}}$ હાર્મોનિક ઉત્પન્ન કરવા માટે,આપણે દોરીને $x = \frac{l}{2}$ પર સ્પર્શીને મધ્યમાં નિસ્પંદ બિંદુ બનાવવું પડે છે.
કંપન ઉત્તેજિત કરવા માટે,આપણે દોરીને પ્રસ્પંદ બિંદુના સ્થાનેથી ખેંચવી પડે છે. ઉપલબ્ધ પ્રસ્પંદ બિંદુઓ $\frac{l}{4}$ અથવા $\frac{3l}{4}$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,(ખેંચવાનું બિંદુ,સ્પર્શવાનું બિંદુ) માટેની સાચી જોડી $(\frac{l}{4}, \frac{l}{2})$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
0 likes
View Solution112
MediumMCQ
એક સમાન દોરી $32 \,N$ ના મહત્તમ તણાવ પર ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે અનુનાદિત થાય છે. જો તેને એક છેડેથી લંબાઈના ચોથા ભાગના અંતરે વેજ (wedge) મૂકીને બે ભાગમાં વહેંચવામાં આવે,તો સમાન આવૃત્તિ સાથે અનુનાદિત થવા માટે દોરી માટે તણાવનું મહત્તમ મૂલ્ય ........... $N$ હશે.
A
$2$
B
$4$
C
$8$
D
$16$
Solution
(A) કંપન કરતી દોરીની આવૃત્તિ $f = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ લૂપ્સની સંખ્યા છે,$L$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
શરૂઆતમાં,આખી દોરી તેના મૂળભૂત મોડ $(n=1)$ માં અનુનાદિત થાય છે: $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T_0}{\mu}}$,જ્યાં $T_0 = 32 \,N$.
જ્યારે એક છેડેથી $L/4$ અંતરે વેજ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે દોરી $L_1 = L/4$ અને $L_2 = 3L/4$ લંબાઈના બે ભાગમાં વહેંચાય છે.
$L_1 = L/4$ લંબાઈના ભાગ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = \frac{1}{2(L/4)} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}} = \frac{2}{L} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}}$ છે.
$f = f_1$ ને સરખાવતા: $\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T_0}{\mu}} = \frac{2}{L} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}} \implies \frac{1}{2} \sqrt{T_0} = 2 \sqrt{T_1} \implies \sqrt{T_0} = 4 \sqrt{T_1} \implies T_1 = \frac{T_0}{16} = \frac{32}{16} = 2 \,N$.
$L_2 = 3L/4$ લંબાઈના ભાગ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_2 = \frac{1}{2(3L/4)} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}} = \frac{2}{3L} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}}$ છે.
$f = f_2$ ને સરખાવતા: $\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T_0}{\mu}} = \frac{2}{3L} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}} \implies \frac{1}{2} \sqrt{T_0} = \frac{2}{3} \sqrt{T_2} \implies \sqrt{T_2} = \frac{3}{4} \sqrt{T_0} \implies T_2 = \frac{9}{16} T_0 = \frac{9}{16} \times 32 = 18 \,N$.
પ્રશ્નમાં તણાવનું મહત્તમ મૂલ્ય પૂછવામાં આવ્યું છે,જે $18 \,N$ છે. જો કે,વિકલ્પોમાં $18 \,N$ ન હોવાથી,આપણે $L_1$ ભાગ તપાસીએ છીએ,જે $2 \,N$ આપે છે.
શરૂઆતમાં,આખી દોરી તેના મૂળભૂત મોડ $(n=1)$ માં અનુનાદિત થાય છે: $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T_0}{\mu}}$,જ્યાં $T_0 = 32 \,N$.
જ્યારે એક છેડેથી $L/4$ અંતરે વેજ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે દોરી $L_1 = L/4$ અને $L_2 = 3L/4$ લંબાઈના બે ભાગમાં વહેંચાય છે.
$L_1 = L/4$ લંબાઈના ભાગ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = \frac{1}{2(L/4)} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}} = \frac{2}{L} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}}$ છે.
$f = f_1$ ને સરખાવતા: $\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T_0}{\mu}} = \frac{2}{L} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}} \implies \frac{1}{2} \sqrt{T_0} = 2 \sqrt{T_1} \implies \sqrt{T_0} = 4 \sqrt{T_1} \implies T_1 = \frac{T_0}{16} = \frac{32}{16} = 2 \,N$.
$L_2 = 3L/4$ લંબાઈના ભાગ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_2 = \frac{1}{2(3L/4)} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}} = \frac{2}{3L} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}}$ છે.
$f = f_2$ ને સરખાવતા: $\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T_0}{\mu}} = \frac{2}{3L} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}} \implies \frac{1}{2} \sqrt{T_0} = \frac{2}{3} \sqrt{T_2} \implies \sqrt{T_2} = \frac{3}{4} \sqrt{T_0} \implies T_2 = \frac{9}{16} T_0 = \frac{9}{16} \times 32 = 18 \,N$.
પ્રશ્નમાં તણાવનું મહત્તમ મૂલ્ય પૂછવામાં આવ્યું છે,જે $18 \,N$ છે. જો કે,વિકલ્પોમાં $18 \,N$ ન હોવાથી,આપણે $L_1$ ભાગ તપાસીએ છીએ,જે $2 \,N$ આપે છે.
0 likes
View Solution113
DifficultMCQ
સોનોમીટરના તારની આવૃત્તિ $100 \ Hz$ છે. જ્યારે તણાવ ઉત્પન્ન કરતા વજનને પાણીમાં સંપૂર્ણપણે ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે આવૃત્તિ $80 \ Hz$ થાય છે અને જ્યારે વજનને કોઈ ચોક્કસ પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે આવૃત્તિ $60 \ Hz$ થાય છે. પ્રવાહીની વિશિષ્ટ ઘનતા (specific gravity) કેટલી હશે?
A
$1.42$
B
$1.77$
C
$1.82$
D
$1.21$
Solution
(B) સોનોમીટરના તારની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે. $T = mg$ હોવાથી,$f \propto \sqrt{T} \propto \sqrt{mg_{eff}}$.
જ્યારે વજનને $\rho_l$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ $g' = g(1 - \frac{\rho_l}{\rho_m})$ થાય છે,જ્યાં $\rho_m$ એ વજનની ઘનતા છે.
આમ,$f \propto \sqrt{1 - \frac{\rho_l}{\rho_m}}$.
હવામાં,$f_0 = 100 \ Hz$.
પાણીમાં $(\rho_w = 1 \ g/cm^3)$,$f_w = 80 \ Hz \implies \frac{f_w}{f_0} = \frac{80}{100} = 0.8$.
તેથી,$0.8 = \sqrt{1 - \frac{\rho_w}{\rho_m}} \implies 0.64 = 1 - \frac{\rho_w}{\rho_m} \implies \frac{\rho_w}{\rho_m} = 0.36$.
પ્રવાહીમાં,$f_l = 60 \ Hz \implies \frac{f_l}{f_0} = \frac{60}{100} = 0.6$.
તેથી,$0.6 = \sqrt{1 - \frac{\rho_l}{\rho_m}} \implies 0.36 = 1 - \frac{\rho_l}{\rho_m} \implies \frac{\rho_l}{\rho_m} = 0.64$.
બંને ગુણોત્તરનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{\rho_l}{\rho_w} = \frac{0.64}{0.36} = \frac{64}{36} = \frac{16}{9} \approx 1.77$.
વિશિષ્ટ ઘનતા $\frac{\rho_l}{\rho_w}$ હોવાથી,તેનું મૂલ્ય $1.77$ મળે છે.
જ્યારે વજનને $\rho_l$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ $g' = g(1 - \frac{\rho_l}{\rho_m})$ થાય છે,જ્યાં $\rho_m$ એ વજનની ઘનતા છે.
આમ,$f \propto \sqrt{1 - \frac{\rho_l}{\rho_m}}$.
હવામાં,$f_0 = 100 \ Hz$.
પાણીમાં $(\rho_w = 1 \ g/cm^3)$,$f_w = 80 \ Hz \implies \frac{f_w}{f_0} = \frac{80}{100} = 0.8$.
તેથી,$0.8 = \sqrt{1 - \frac{\rho_w}{\rho_m}} \implies 0.64 = 1 - \frac{\rho_w}{\rho_m} \implies \frac{\rho_w}{\rho_m} = 0.36$.
પ્રવાહીમાં,$f_l = 60 \ Hz \implies \frac{f_l}{f_0} = \frac{60}{100} = 0.6$.
તેથી,$0.6 = \sqrt{1 - \frac{\rho_l}{\rho_m}} \implies 0.36 = 1 - \frac{\rho_l}{\rho_m} \implies \frac{\rho_l}{\rho_m} = 0.64$.
બંને ગુણોત્તરનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{\rho_l}{\rho_w} = \frac{0.64}{0.36} = \frac{64}{36} = \frac{16}{9} \approx 1.77$.
વિશિષ્ટ ઘનતા $\frac{\rho_l}{\rho_w}$ હોવાથી,તેનું મૂલ્ય $1.77$ મળે છે.
0 likes
View Solution114
EasyMCQ
$90\,cm$ લંબાઈનો ગિટારનો તાર $120\,Hz$ ની મૂળભૂત આવૃત્તિ સાથે કંપન કરે છે. $180\,Hz$ ની મૂળભૂત આવૃત્તિ ઉત્પન્ન કરવા માટે તારની લંબાઈ $...........cm$ હશે.
A
$60$
B
$59$
C
$58$
D
$57$
Solution
(A) બંને છેડે જડેલા તાર માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{v}{2\ell}$ છે,જ્યાં $v$ એ તરંગની ઝડપ છે અને $\ell$ એ તારની લંબાઈ છે.
તારની ઝડપ $v$ એ તારના તણાવ અને રેખીય ઘનતા પર આધાર રાખે છે,જે અચળ રહે છે,તેથી $f \propto \frac{1}{\ell}$ મળે છે.
તેથી,$f_1 \ell_1 = f_2 \ell_2$.
અહીં $f_1 = 120\,Hz$,$\ell_1 = 90\,cm$,અને $f_2 = 180\,Hz$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $120 \times 90 = 180 \times \ell_2$.
$\ell_2 = \frac{120 \times 90}{180} = \frac{10800}{180} = 60\,cm$.
તારની ઝડપ $v$ એ તારના તણાવ અને રેખીય ઘનતા પર આધાર રાખે છે,જે અચળ રહે છે,તેથી $f \propto \frac{1}{\ell}$ મળે છે.
તેથી,$f_1 \ell_1 = f_2 \ell_2$.
અહીં $f_1 = 120\,Hz$,$\ell_1 = 90\,cm$,અને $f_2 = 180\,Hz$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $120 \times 90 = 180 \times \ell_2$.
$\ell_2 = \frac{120 \times 90}{180} = \frac{10800}{180} = 60\,cm$.
0 likes
View Solution115
MediumMCQ
$8 \times 10^3\,kg/m^3$ ઘનતા ધરાવતો એક તાર $0.5\,m$ દૂર રહેલા બે ક્લેમ્પ વચ્ચે ખેંચાયેલો છે. તારમાં ઉદ્ભવતું વિસ્તરણ $3.2 \times 10^{-4}\,m$ છે. જો $Y = 8 \times 10^{10}\,N/m^2$ હોય,તો તારમાં કંપનની મૂળભૂત આવૃત્તિ $......\,Hz$ હશે.
A
$80$
B
$60$
C
$40$
D
$20$
Solution
(A) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $T = Y A \frac{\Delta L}{L}$ અને $\mu = \rho A$,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આ કિંમતોને આવૃત્તિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{Y A \Delta L / L}{\rho A}} = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{Y \Delta L}{\rho L}}$.
આપેલ કિંમતો: $L = 0.5\,m$,$\Delta L = 3.2 \times 10^{-4}\,m$,$Y = 8 \times 10^{10}\,N/m^2$,$\rho = 8 \times 10^3\,kg/m^3$.
$f = \frac{1}{2 \times 0.5} \sqrt{\frac{8 \times 10^{10} \times 3.2 \times 10^{-4}}{8 \times 10^3 \times 0.5}}$.
$f = 1 \times \sqrt{\frac{25.6 \times 10^6}{4 \times 10^3}} = \sqrt{6.4 \times 10^3} = \sqrt{6400} = 80\,Hz$.
અહીં,$T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $T = Y A \frac{\Delta L}{L}$ અને $\mu = \rho A$,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આ કિંમતોને આવૃત્તિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{Y A \Delta L / L}{\rho A}} = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{Y \Delta L}{\rho L}}$.
આપેલ કિંમતો: $L = 0.5\,m$,$\Delta L = 3.2 \times 10^{-4}\,m$,$Y = 8 \times 10^{10}\,N/m^2$,$\rho = 8 \times 10^3\,kg/m^3$.
$f = \frac{1}{2 \times 0.5} \sqrt{\frac{8 \times 10^{10} \times 3.2 \times 10^{-4}}{8 \times 10^3 \times 0.5}}$.
$f = 1 \times \sqrt{\frac{25.6 \times 10^6}{4 \times 10^3}} = \sqrt{6.4 \times 10^3} = \sqrt{6400} = 80\,Hz$.
0 likes
View Solution116
MediumMCQ
સોનોમીટરના પ્રયોગમાં,જ્યારે દોરી સાથે $180\,g$ દળ લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે $30\,Hz$ ની મૂળભૂત આવૃત્તિ સાથે કંપન કરે છે. જ્યારે $m$ દળ લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે દોરી $50\,Hz$ ની મૂળભૂત આવૃત્તિ સાથે કંપન કરે છે. $m$ નું મૂલ્ય $.........\,g$ છે.
A
$400$
B
$500$
C
$300$
D
$200$
Solution
(B) સોનોમીટરના તારની મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2 \ell} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
અહીં $T = Mg$ (જ્યાં $M$ એ લટકાવેલું દળ છે),તેથી $f \propto \sqrt{M}$ થાય.
તેથી,$\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$.
આપેલ છે કે $f_1 = 30\,Hz$,$M_1 = 180\,g$,$f_2 = 50\,Hz$,અને $M_2 = m$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{50}{30} = \sqrt{\frac{m}{180}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\frac{5}{3})^2 = \frac{m}{180} \Rightarrow \frac{25}{9} = \frac{m}{180}$.
$m$ માટે ઉકેલતા: $m = \frac{25}{9} \times 180 = 25 \times 20 = 500\,g$.
અહીં $T = Mg$ (જ્યાં $M$ એ લટકાવેલું દળ છે),તેથી $f \propto \sqrt{M}$ થાય.
તેથી,$\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$.
આપેલ છે કે $f_1 = 30\,Hz$,$M_1 = 180\,g$,$f_2 = 50\,Hz$,અને $M_2 = m$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{50}{30} = \sqrt{\frac{m}{180}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\frac{5}{3})^2 = \frac{m}{180} \Rightarrow \frac{25}{9} = \frac{m}{180}$.
$m$ માટે ઉકેલતા: $m = \frac{25}{9} \times 180 = 25 \times 20 = 500\,g$.
0 likes
View Solution117
DifficultMCQ
એક ટ્યુનિંગ ફોર્ક $1 \ m$ લંબાઈના સોનોમીટર વાયર સાથે અનુનાદ કરે છે,જે $6 \ N$ ના તણાવ હેઠળ ખેંચાયેલો છે. જ્યારે વાયરમાં તણાવ બદલીને $54 \ N$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે જ ટ્યુનિંગ ફોર્ક તેની સાથે દર સેકન્ડે $12$ બીટ્સ ઉત્પન્ન કરે છે. ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $Hz$ માં શોધો.
A
$4$
B
$5$
C
$6$
D
$7$
Solution
(C) સોનોમીટર વાયરની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ લંબાઈ છે,$T$ તણાવ છે,અને $\mu$ રેખીય દળ ઘનતા છે.
$L$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી,$f \propto \sqrt{T}$ મળે.
ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f_0$ છે.
$T_1 = 6 \ N$ માટે,વાયર ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે અનુનાદ કરે છે,તેથી $f_1 = f_0 = k\sqrt{6}$,જ્યાં $k = \frac{1}{2L\sqrt{\mu}}$.
$T_2 = 54 \ N$ માટે,વાયરની આવૃત્તિ $f_2 = k\sqrt{54} = k\sqrt{9 \times 6} = 3k\sqrt{6} = 3f_0$ થાય.
દર સેકન્ડે બીટ્સની સંખ્યા $|f_2 - f_0| = 12$ છે.
$f_2 = 3f_0$ મૂકતા,આપણને $|3f_0 - f_0| = 12$ મળે.
$2f_0 = 12$,તેથી $f_0 = 6 \ Hz$ મળે.
$L$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી,$f \propto \sqrt{T}$ મળે.
ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f_0$ છે.
$T_1 = 6 \ N$ માટે,વાયર ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે અનુનાદ કરે છે,તેથી $f_1 = f_0 = k\sqrt{6}$,જ્યાં $k = \frac{1}{2L\sqrt{\mu}}$.
$T_2 = 54 \ N$ માટે,વાયરની આવૃત્તિ $f_2 = k\sqrt{54} = k\sqrt{9 \times 6} = 3k\sqrt{6} = 3f_0$ થાય.
દર સેકન્ડે બીટ્સની સંખ્યા $|f_2 - f_0| = 12$ છે.
$f_2 = 3f_0$ મૂકતા,આપણને $|3f_0 - f_0| = 12$ મળે.
$2f_0 = 12$,તેથી $f_0 = 6 \ Hz$ મળે.
0 likes
View Solution118
DifficultMCQ
સોનોમીટરના તારની અનુનાદિત લંબાઈ $90 \ cm$ છે અને જ્યારે તેને અમુક તણાવ હેઠળ રાખવામાં આવે છે ત્યારે તેની મૂળભૂત આવૃત્તિ $400 \ Hz$ છે. સમાન તણાવ હેઠળ $600 \ Hz$ ની મૂળભૂત આવૃત્તિ ધરાવતા તારની અનુનાદિત લંબાઈ . . . . . . $cm$ છે.
A
$30$
B
$40$
C
$50$
D
$60$
Solution
(D) સોનોમીટરના તાર માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0 = \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ તરંગની ઝડપ છે અને $L$ એ અનુનાદિત લંબાઈ છે.
તણાવ $T$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu$ અચળ હોવાથી,તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ અચળ રહે છે.
તેથી,$f_0 L = \text{અચળ}$,જેનો અર્થ છે કે $f_1 L_1 = f_2 L_2$.
આપેલ છે કે $f_1 = 400 \ Hz$,$L_1 = 90 \ cm$,અને $f_2 = 600 \ Hz$.
કિંમતો મૂકતા: $400 \times 90 = 600 \times L_2$.
$L_2 = \frac{400 \times 90}{600} = \frac{36000}{600} = 60 \ cm$.
તણાવ $T$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu$ અચળ હોવાથી,તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ અચળ રહે છે.
તેથી,$f_0 L = \text{અચળ}$,જેનો અર્થ છે કે $f_1 L_1 = f_2 L_2$.
આપેલ છે કે $f_1 = 400 \ Hz$,$L_1 = 90 \ cm$,અને $f_2 = 600 \ Hz$.
કિંમતો મૂકતા: $400 \times 90 = 600 \times L_2$.
$L_2 = \frac{400 \times 90}{600} = \frac{36000}{600} = 60 \ cm$.
0 likes
View Solution119
MediumMCQ
$1 \,m$ લંબાઈ અને $2 \times 10^{-5} \,kg$ દળ ધરાવતી એક દોરી $T$ તણાવ હેઠળ છે. જ્યારે દોરી કંપન કરે છે, ત્યારે $750 \,Hz$ અને $1000 \,Hz$ આવૃત્તિ પર બે ક્રમિક હાર્મોનિક્સ જોવા મળે છે. તણાવ $T$ નું મૂલ્ય . . . . . . ન્યૂટન છે.
A
$3$
B
$5$
C
$10$
D
$15$
Solution
(B) $p$-માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_p = \frac{p}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $L$ લંબાઈ છે, $T$ તણાવ છે અને $\mu$ રેખીય દળ ઘનતા છે。
આપેલ છે કે $L = 1 \,m$ અને દળ $m = 2 \times 10^{-5} \,kg$, તેથી રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{m}{L} = 2 \times 10^{-5} \,kg/m$.
ધારો કે બે ક્રમિક હાર્મોનિક્સ $p$ અને $p+1$ છે જેની આવૃત્તિ $f_p = 750 \,Hz$ અને $f_{p+1} = 1000 \,Hz$ છે。
તેથી, $750 = \frac{p}{2 \times 1} \sqrt{\frac{T}{2 \times 10^{-5}}} \dots (1)$ અને $1000 = \frac{p+1}{2 \times 1} \sqrt{\frac{T}{2 \times 10^{-5}}} \dots (2)$.
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા, $\frac{1000}{750} = \frac{p+1}{p} \Rightarrow \frac{4}{3} = \frac{p+1}{p} \Rightarrow 4p = 3p + 3 \Rightarrow p = 3$.
$p=3$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા: $750 = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{T}{2 \times 10^{-5}}} \Rightarrow 500 = \sqrt{\frac{T}{2 \times 10^{-5}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $250000 = \frac{T}{2 \times 10^{-5}} \Rightarrow T = 250000 \times 2 \times 10^{-5} = 5 \,N$.
આપેલ છે કે $L = 1 \,m$ અને દળ $m = 2 \times 10^{-5} \,kg$, તેથી રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{m}{L} = 2 \times 10^{-5} \,kg/m$.
ધારો કે બે ક્રમિક હાર્મોનિક્સ $p$ અને $p+1$ છે જેની આવૃત્તિ $f_p = 750 \,Hz$ અને $f_{p+1} = 1000 \,Hz$ છે。
તેથી, $750 = \frac{p}{2 \times 1} \sqrt{\frac{T}{2 \times 10^{-5}}} \dots (1)$ અને $1000 = \frac{p+1}{2 \times 1} \sqrt{\frac{T}{2 \times 10^{-5}}} \dots (2)$.
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા, $\frac{1000}{750} = \frac{p+1}{p} \Rightarrow \frac{4}{3} = \frac{p+1}{p} \Rightarrow 4p = 3p + 3 \Rightarrow p = 3$.
$p=3$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા: $750 = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{T}{2 \times 10^{-5}}} \Rightarrow 500 = \sqrt{\frac{T}{2 \times 10^{-5}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $250000 = \frac{T}{2 \times 10^{-5}} \Rightarrow T = 250000 \times 2 \times 10^{-5} = 5 \,N$.
0 likes
View Solution120
Advanced
ફકરામાં આપેલી માહિતીના આધારે યાદીઓને યોગ્ય રીતે જોડીને નીચેનાના જવાબ આપો.
એક સંગીતનું સાધન ચાર અલગ-અલગ ધાતુના તાર $1, 2, 3$ અને $4$ નો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવ્યું છે,જેની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ અનુક્રમે $\mu, 2\mu, 3\mu$ અને $4\mu$ છે. આ સાધન તારને $L_0$ અને $2L_0$ ની વચ્ચેની મુક્ત લંબાઈ બદલીને વગાડવામાં આવે છે. એવું જોવા મળે છે કે તાર-$1$ $(\mu)$ માં મુક્ત લંબાઈ $L_0$ અને તણાવ $T_0$ પર મૂળભૂત મોડની આવૃત્તિ $f_0$ છે.
$List-I$ ઉપરના ચાર તાર આપે છે જ્યારે $List-II$ કેટલીક રાશિઓનું મૂલ્ય આપે છે.
$(1)$ જો દરેક તારમાં તણાવ $T_0$ હોય,તો $f_0$ એકમમાં મૂળભૂત આવૃત્તિ માટે સાચી જોડ કઈ હશે?
$(1)$ $I \rightarrow P, II \rightarrow R, III \rightarrow S, IV \rightarrow Q$
$(2)$ $I \rightarrow P, II \rightarrow Q, III \rightarrow T, IV \rightarrow S$
$(3)$ $I \rightarrow Q, II \rightarrow S, III \rightarrow R, IV \rightarrow P$
$(4)$ $I \rightarrow Q, II \rightarrow P, III \rightarrow R, IV \rightarrow T$
$(2)$ તાર $1, 2, 3$ અને $4$ ની લંબાઈ અનુક્રમે $L_0, 3L_0/2, 5L_0/4$ અને $7L_0/4$ પર નિશ્ચિત રાખવામાં આવી છે. તાર $1, 2, 3$ અને $4$ ને અનુક્રમે તેમના $1^{st}, 3^{rd}, 5^{th}$ અને $14^{th}$ હાર્મોનિક્સ પર એવી રીતે કંપિત કરવામાં આવે છે કે જેથી બધા તારની આવૃત્તિ સમાન રહે. $T_0$ ના એકમમાં ચાર તારમાં તણાવ માટે સાચી જોડ કઈ હશે?
$(1)$ $I \rightarrow P, II \rightarrow Q, III \rightarrow T, IV \rightarrow U$
$(2)$ $I \rightarrow T, II \rightarrow Q, III \rightarrow R, IV \rightarrow U$
$(3)$ $I \rightarrow P, II \rightarrow Q, III \rightarrow R, IV \rightarrow T$
$(4)$ $I \rightarrow P, II \rightarrow R, III \rightarrow T, IV \rightarrow U$
એક સંગીતનું સાધન ચાર અલગ-અલગ ધાતુના તાર $1, 2, 3$ અને $4$ નો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવ્યું છે,જેની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ અનુક્રમે $\mu, 2\mu, 3\mu$ અને $4\mu$ છે. આ સાધન તારને $L_0$ અને $2L_0$ ની વચ્ચેની મુક્ત લંબાઈ બદલીને વગાડવામાં આવે છે. એવું જોવા મળે છે કે તાર-$1$ $(\mu)$ માં મુક્ત લંબાઈ $L_0$ અને તણાવ $T_0$ પર મૂળભૂત મોડની આવૃત્તિ $f_0$ છે.
$List-I$ ઉપરના ચાર તાર આપે છે જ્યારે $List-II$ કેટલીક રાશિઓનું મૂલ્ય આપે છે.
| $List-I$ | $List-II$ |
| $(I)$ તાર-$1$ $(\mu)$ | $(P) 1$ |
| $(II)$ તાર-$2$ $(2\mu)$ | $(Q) 1/2$ |
| $(III)$ તાર-$3$ $(3\mu)$ | $(R) 1/\sqrt{2}$ |
| $(IV)$ તાર-$4$ $(4\mu)$ | $(S) 1/\sqrt{3}$ |
| $(T) 3/16$ | |
| $(U) 1/16$ |
$(1)$ જો દરેક તારમાં તણાવ $T_0$ હોય,તો $f_0$ એકમમાં મૂળભૂત આવૃત્તિ માટે સાચી જોડ કઈ હશે?
$(1)$ $I \rightarrow P, II \rightarrow R, III \rightarrow S, IV \rightarrow Q$
$(2)$ $I \rightarrow P, II \rightarrow Q, III \rightarrow T, IV \rightarrow S$
$(3)$ $I \rightarrow Q, II \rightarrow S, III \rightarrow R, IV \rightarrow P$
$(4)$ $I \rightarrow Q, II \rightarrow P, III \rightarrow R, IV \rightarrow T$
$(2)$ તાર $1, 2, 3$ અને $4$ ની લંબાઈ અનુક્રમે $L_0, 3L_0/2, 5L_0/4$ અને $7L_0/4$ પર નિશ્ચિત રાખવામાં આવી છે. તાર $1, 2, 3$ અને $4$ ને અનુક્રમે તેમના $1^{st}, 3^{rd}, 5^{th}$ અને $14^{th}$ હાર્મોનિક્સ પર એવી રીતે કંપિત કરવામાં આવે છે કે જેથી બધા તારની આવૃત્તિ સમાન રહે. $T_0$ ના એકમમાં ચાર તારમાં તણાવ માટે સાચી જોડ કઈ હશે?
$(1)$ $I \rightarrow P, II \rightarrow Q, III \rightarrow T, IV \rightarrow U$
$(2)$ $I \rightarrow T, II \rightarrow Q, III \rightarrow R, IV \rightarrow U$
$(3)$ $I \rightarrow P, II \rightarrow Q, III \rightarrow R, IV \rightarrow T$
$(4)$ $I \rightarrow P, II \rightarrow R, III \rightarrow T, IV \rightarrow U$
Solution
(A) મૂળભૂત મોડ માટે,આવૃત્તિ $f = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(1)$ $T = T_0$ અને $L = L_0$ સાથે,$f_n = \frac{n}{2L_0} \sqrt{\frac{T_0}{\mu_n}}$.
તાર $1$ માટે: $f_1 = \frac{1}{2L_0} \sqrt{\frac{T_0}{\mu}} = f_0 \rightarrow (P)$.
તાર $2$ માટે: $f_2 = \frac{1}{2L_0} \sqrt{\frac{T_0}{2\mu}} = \frac{f_0}{\sqrt{2}} \rightarrow (R)$.
તાર $3$ માટે: $f_3 = \frac{1}{2L_0} \sqrt{\frac{T_0}{3\mu}} = \frac{f_0}{\sqrt{3}} \rightarrow (S)$.
તાર $4$ માટે: $f_4 = \frac{1}{2L_0} \sqrt{\frac{T_0}{4\mu}} = \frac{f_0}{2} \rightarrow (Q)$.
આમ,$I \rightarrow P, II \rightarrow R, III \rightarrow S, IV \rightarrow Q$.
$(2)$ બધા તાર માટે $f = f_0$ આપેલ છે.
તાર $1$ માટે: $f_0 = \frac{1}{2L_0} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}} = f_0 \Rightarrow T_1 = T_0 \rightarrow (P)$.
તાર $2$ માટે: $f_0 = \frac{3}{2(3L_0/2)} \sqrt{\frac{T_2}{2\mu}} = \frac{1}{L_0} \sqrt{\frac{T_2}{2\mu}} = f_0 \Rightarrow T_2 = T_0/2 \rightarrow (Q)$.
તાર $3$ માટે: $f_0 = \frac{5}{2(5L_0/4)} \sqrt{\frac{T_3}{3\mu}} = \frac{2}{L_0} \sqrt{\frac{T_3}{3\mu}} = f_0 \Rightarrow T_3 = 3T_0/16 \rightarrow (T)$.
તાર $4$ માટે: $f_0 = \frac{14}{2(7L_0/4)} \sqrt{\frac{T_4}{4\mu}} = \frac{4}{L_0} \sqrt{\frac{T_4}{4\mu}} = f_0 \Rightarrow T_4 = T_0/16 \rightarrow (U)$.
આમ,$I \rightarrow P, II \rightarrow Q, III \rightarrow T, IV \rightarrow U$.
$(1)$ $T = T_0$ અને $L = L_0$ સાથે,$f_n = \frac{n}{2L_0} \sqrt{\frac{T_0}{\mu_n}}$.
તાર $1$ માટે: $f_1 = \frac{1}{2L_0} \sqrt{\frac{T_0}{\mu}} = f_0 \rightarrow (P)$.
તાર $2$ માટે: $f_2 = \frac{1}{2L_0} \sqrt{\frac{T_0}{2\mu}} = \frac{f_0}{\sqrt{2}} \rightarrow (R)$.
તાર $3$ માટે: $f_3 = \frac{1}{2L_0} \sqrt{\frac{T_0}{3\mu}} = \frac{f_0}{\sqrt{3}} \rightarrow (S)$.
તાર $4$ માટે: $f_4 = \frac{1}{2L_0} \sqrt{\frac{T_0}{4\mu}} = \frac{f_0}{2} \rightarrow (Q)$.
આમ,$I \rightarrow P, II \rightarrow R, III \rightarrow S, IV \rightarrow Q$.
$(2)$ બધા તાર માટે $f = f_0$ આપેલ છે.
તાર $1$ માટે: $f_0 = \frac{1}{2L_0} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}} = f_0 \Rightarrow T_1 = T_0 \rightarrow (P)$.
તાર $2$ માટે: $f_0 = \frac{3}{2(3L_0/2)} \sqrt{\frac{T_2}{2\mu}} = \frac{1}{L_0} \sqrt{\frac{T_2}{2\mu}} = f_0 \Rightarrow T_2 = T_0/2 \rightarrow (Q)$.
તાર $3$ માટે: $f_0 = \frac{5}{2(5L_0/4)} \sqrt{\frac{T_3}{3\mu}} = \frac{2}{L_0} \sqrt{\frac{T_3}{3\mu}} = f_0 \Rightarrow T_3 = 3T_0/16 \rightarrow (T)$.
તાર $4$ માટે: $f_0 = \frac{14}{2(7L_0/4)} \sqrt{\frac{T_4}{4\mu}} = \frac{4}{L_0} \sqrt{\frac{T_4}{4\mu}} = f_0 \Rightarrow T_4 = T_0/16 \rightarrow (U)$.
આમ,$I \rightarrow P, II \rightarrow Q, III \rightarrow T, IV \rightarrow U$.
0 likes
View Solution121
DifficultMCQ
બે છેડે જડેલી એક આડી ખેંચાયેલી દોરી તેના પાંચમા હાર્મોનિકમાં સમીકરણ $y(x, t) = (0.01 \ m) \sin[(62.8 \ m^{-1}) x] \cos[(628 \ s^{-1}) t]$ મુજબ કંપન કરે છે. $\pi = 3.14$ ધારીને,સાચું વિધાન (વિધાનો) કયું (કયા) છે :
$(A)$ નોડ્સની સંખ્યા $5$ છે.
$(B)$ દોરીની લંબાઈ $0.25 \ m$ છે.
$(C)$ દોરીના મધ્યબિંદુનું તેના સંતુલન સ્થાનથી મહત્તમ સ્થાનાંતર $0.01 \ m$ છે.
$(D)$ મૂળભૂત આવૃત્તિ $100 \ Hz$ છે.
$(A)$ નોડ્સની સંખ્યા $5$ છે.
$(B)$ દોરીની લંબાઈ $0.25 \ m$ છે.
$(C)$ દોરીના મધ્યબિંદુનું તેના સંતુલન સ્થાનથી મહત્તમ સ્થાનાંતર $0.01 \ m$ છે.
$(D)$ મૂળભૂત આવૃત્તિ $100 \ Hz$ છે.
A
$(B, D)$
B
$(B, C)$
C
$(A, D)$
D
$(C, D)$
Solution
(B) આપેલ સમીકરણ $y(x, t) = (0.01 \ m) \sin(62.8x) \cos(628t)$ છે.
$(A)$ $n$-મા હાર્મોનિક માટે,લૂપ્સની સંખ્યા $n = 5$ છે. નોડ્સની સંખ્યા $n + 1 = 5 + 1 = 6$ થાય. તેથી,વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
$(B)$ તરંગ સંખ્યા $k = 62.8 \ m^{-1}$. $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ હોવાથી,$\lambda = \frac{2 \times 3.14}{62.8} = 0.1 \ m$. $5$-મા હાર્મોનિક માટે,દોરીની લંબાઈ $L = \frac{5\lambda}{2} = \frac{5 \times 0.1}{2} = 0.25 \ m$. તેથી,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$(C)$ સ્થિત તરંગનો કંપવિસ્તાર $A(x) = 0.01 \sin(62.8x)$ છે. મધ્યબિંદુ $x = \frac{L}{2} = 0.125 \ m$ પર,$A(0.125) = 0.01 \sin(62.8 \times 0.125) = 0.01 \sin(7.85) \approx 0.01 \sin(2.5\pi) = 0.01 \times 1 = 0.01 \ m$. તેથી,વિધાન $(C)$ સાચું છે.
$(D)$ કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 628 \ rad/s$. આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{628}{2 \times 3.14} = 100 \ Hz$. મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = \frac{f}{n} = \frac{100}{5} = 20 \ Hz$. તેથી,વિધાન $(D)$ ખોટું છે.
આમ,સાચા વિધાનો $(B)$ અને $(C)$ છે.
$(A)$ $n$-મા હાર્મોનિક માટે,લૂપ્સની સંખ્યા $n = 5$ છે. નોડ્સની સંખ્યા $n + 1 = 5 + 1 = 6$ થાય. તેથી,વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
$(B)$ તરંગ સંખ્યા $k = 62.8 \ m^{-1}$. $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ હોવાથી,$\lambda = \frac{2 \times 3.14}{62.8} = 0.1 \ m$. $5$-મા હાર્મોનિક માટે,દોરીની લંબાઈ $L = \frac{5\lambda}{2} = \frac{5 \times 0.1}{2} = 0.25 \ m$. તેથી,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$(C)$ સ્થિત તરંગનો કંપવિસ્તાર $A(x) = 0.01 \sin(62.8x)$ છે. મધ્યબિંદુ $x = \frac{L}{2} = 0.125 \ m$ પર,$A(0.125) = 0.01 \sin(62.8 \times 0.125) = 0.01 \sin(7.85) \approx 0.01 \sin(2.5\pi) = 0.01 \times 1 = 0.01 \ m$. તેથી,વિધાન $(C)$ સાચું છે.
$(D)$ કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 628 \ rad/s$. આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{628}{2 \times 3.14} = 100 \ Hz$. મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = \frac{f}{n} = \frac{100}{5} = 20 \ Hz$. તેથી,વિધાન $(D)$ ખોટું છે.
આમ,સાચા વિધાનો $(B)$ અને $(C)$ છે.
0 likes
View Solution122
MediumMCQ
બે દ્રઢ આધાર વચ્ચે ખેંચાયેલો તાર તેના મૂળભૂત મોડમાં $25 \ Hz$ ની આવૃત્તિ સાથે કંપન કરે છે. તારનું દળ $2 \ g$ છે અને તેની રેખીય દળ ઘનતા $4 \times 10^{-3} \ kg/m$ છે. તારમાં તણાવ કેટલો હશે ($N$ માં)?
A
$5$
B
$10$
C
$2.5$
D
$20$
Solution
(C) ખેંચાયેલા તારના મૂળભૂત મોડની આવૃત્તિનું સૂત્ર $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે.
આપેલ છે: $n = 25 \ Hz$,$m = 2 \ g = 2 \times 10^{-3} \ kg$,અને $\mu = 4 \times 10^{-3} \ kg/m$.
સૌ પ્રથમ,$\mu = \frac{m}{L}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને તારની લંબાઈ $L$ શોધો:
$L = \frac{m}{\mu} = \frac{2 \times 10^{-3} \ kg}{4 \times 10^{-3} \ kg/m} = 0.5 \ m$.
હવે,કિંમતોને આવૃત્તિના સૂત્રમાં મૂકો:
$25 = \frac{1}{2 \times 0.5} \sqrt{\frac{T}{4 \times 10^{-3}}}$
$25 = \frac{1}{1} \sqrt{\frac{T}{4 \times 10^{-3}}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$625 = \frac{T}{4 \times 10^{-3}}$
$T = 625 \times 4 \times 10^{-3} = 2500 \times 10^{-3} = 2.5 \ N$.
આપેલ છે: $n = 25 \ Hz$,$m = 2 \ g = 2 \times 10^{-3} \ kg$,અને $\mu = 4 \times 10^{-3} \ kg/m$.
સૌ પ્રથમ,$\mu = \frac{m}{L}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને તારની લંબાઈ $L$ શોધો:
$L = \frac{m}{\mu} = \frac{2 \times 10^{-3} \ kg}{4 \times 10^{-3} \ kg/m} = 0.5 \ m$.
હવે,કિંમતોને આવૃત્તિના સૂત્રમાં મૂકો:
$25 = \frac{1}{2 \times 0.5} \sqrt{\frac{T}{4 \times 10^{-3}}}$
$25 = \frac{1}{1} \sqrt{\frac{T}{4 \times 10^{-3}}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$625 = \frac{T}{4 \times 10^{-3}}$
$T = 625 \times 4 \times 10^{-3} = 2500 \times 10^{-3} = 2.5 \ N$.
0 likes
View Solution123
MediumMCQ
સમાન દ્રવ્યની બનેલી બે કંપન કરતી દોરીઓ $A$ અને $B$ ની લંબાઈ અનુક્રમે $3 L$ અને $2 L$ છે અને તેમની ત્રિજ્યા અનુક્રમે $2 r$ અને $3 r$ છે. તેઓ સમાન તણાવ હેઠળ ખેંચાયેલી છે. દોરી $A$ બીજા ઓવરટોનમાં અને દોરી $B$ મૂળભૂત મોડમાં કંપન કરે છે. તેમની આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $n_A / n_B$ કેટલો થશે?
A
$2: 1$
B
$3: 1$
C
$4: 1$
D
$3: 2$
Solution
(B) કંપન કરતી દોરીની આવૃત્તિનું સૂત્ર $n = \frac{p}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $\mu = \rho \pi r^2$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,ઘનતા $\rho$ અચળ છે. તણાવ $T$ પણ અચળ હોવાથી,આવૃત્તિ $n \propto \frac{p}{Lr}$ થાય.
દોરી $A$ માટે: લંબાઈ $L_A = 3L$,ત્રિજ્યા $r_A = 2r$,અને તે બીજા ઓવરટોનમાં કંપન કરે છે,તેથી $p_A = 3$.
આમ,$n_A \propto \frac{3}{(3L)(2r)} = \frac{1}{2Lr}$.
દોરી $B$ માટે: લંબાઈ $L_B = 2L$,ત્રિજ્યા $r_B = 3r$,અને તે મૂળભૂત મોડમાં કંપન કરે છે,તેથી $p_B = 1$.
આમ,$n_B \propto \frac{1}{(2L)(3r)} = \frac{1}{6Lr}$.
ગુણોત્તર $\frac{n_A}{n_B} = \frac{1/2Lr}{1/6Lr} = \frac{6}{2} = 3$.
તેથી,ગુણોત્તર $n_A / n_B = 3: 1$ છે.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,ઘનતા $\rho$ અચળ છે. તણાવ $T$ પણ અચળ હોવાથી,આવૃત્તિ $n \propto \frac{p}{Lr}$ થાય.
દોરી $A$ માટે: લંબાઈ $L_A = 3L$,ત્રિજ્યા $r_A = 2r$,અને તે બીજા ઓવરટોનમાં કંપન કરે છે,તેથી $p_A = 3$.
આમ,$n_A \propto \frac{3}{(3L)(2r)} = \frac{1}{2Lr}$.
દોરી $B$ માટે: લંબાઈ $L_B = 2L$,ત્રિજ્યા $r_B = 3r$,અને તે મૂળભૂત મોડમાં કંપન કરે છે,તેથી $p_B = 1$.
આમ,$n_B \propto \frac{1}{(2L)(3r)} = \frac{1}{6Lr}$.
ગુણોત્તર $\frac{n_A}{n_B} = \frac{1/2Lr}{1/6Lr} = \frac{6}{2} = 3$.
તેથી,ગુણોત્તર $n_A / n_B = 3: 1$ છે.
0 likes
View Solution124
DifficultMCQ
સોનોમીટરના તારની લંબાઈ કાં તો $95 \ cm$ છે અથવા $100 \ cm$ છે. બંને કિસ્સાઓમાં,એક ટ્યુનિંગ ફોર્ક તાર સાથે $5 \ beats/sec$ ઉત્પન્ન કરે છે. તો ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ કેટલી હશે ($Hz$ માં)?
A
$192$
B
$195$
C
$190$
D
$200$
Solution
(B) સોનોમીટરના તારની આવૃત્તિનું સૂત્ર $f_w = \frac{v}{2L}$ છે.
બંને કિસ્સામાં ટ્યુનિંગ ફોર્ક $5 \ beats/sec$ ઉત્પન્ન કરતું હોવાથી,તારની આવૃત્તિ $f_w$ એ કાં તો $(f + 5)$ અથવા $(f - 5)$ હશે.
ટૂંકી લંબાઈ $(95 \ cm)$ માટે આવૃત્તિ વધારે હશે: $f_1 = \frac{v}{2 \times 0.95} = f + 5 \dots (1)$
લાંબી લંબાઈ $(100 \ cm)$ માટે આવૃત્તિ ઓછી હશે: $f_2 = \frac{v}{2 \times 1.00} = f - 5 \dots (2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{f+5}{f-5} = \frac{1.00}{0.95} = \frac{100}{95} = \frac{20}{19}$
$19(f + 5) = 20(f - 5)$
$19f + 95 = 20f - 100$
$f = 195 \ Hz$.
બંને કિસ્સામાં ટ્યુનિંગ ફોર્ક $5 \ beats/sec$ ઉત્પન્ન કરતું હોવાથી,તારની આવૃત્તિ $f_w$ એ કાં તો $(f + 5)$ અથવા $(f - 5)$ હશે.
ટૂંકી લંબાઈ $(95 \ cm)$ માટે આવૃત્તિ વધારે હશે: $f_1 = \frac{v}{2 \times 0.95} = f + 5 \dots (1)$
લાંબી લંબાઈ $(100 \ cm)$ માટે આવૃત્તિ ઓછી હશે: $f_2 = \frac{v}{2 \times 1.00} = f - 5 \dots (2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{f+5}{f-5} = \frac{1.00}{0.95} = \frac{100}{95} = \frac{20}{19}$
$19(f + 5) = 20(f - 5)$
$19f + 95 = 20f - 100$
$f = 195 \ Hz$.
0 likes
View Solution125
MediumMCQ
એક ટ્યુનિંગ ફોર્ક $48 \ cm$ લંબાઈના સોનોમીટર વાયર સાથે વગાડવામાં આવે ત્યારે પ્રતિ સેકન્ડ $4$ બીટ્સ ઉત્પન્ન કરે છે. જ્યારે વાયરની લંબાઈ $50 \ cm$ કરવામાં આવે અને તણાવ સમાન રાખવામાં આવે,ત્યારે પણ તે પ્રતિ સેકન્ડ $4$ બીટ્સ ઉત્પન્ન કરે છે. ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $Hz$ માં કેટલી હશે?
A
$196$
B
$284$
C
$375$
D
$460$
Solution
(A) સોનોમીટર વાયરની આવૃત્તિ $f = \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ અચળ છે કારણ કે તણાવ અચળ છે. આમ,$f \propto \frac{1}{L}$,જેનો અર્થ છે કે $fL = \text{અચળ}$.
ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f$ છે.
$L_1 = 48 \ cm$ લંબાઈ માટે,વાયરની આવૃત્તિ $f_1 = \frac{k}{48}$ છે. તે $4$ બીટ્સ ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી $f_1 = f + 4$ અથવા $f_1 = f - 4$. $L_1 < L_2$ હોવાથી,$f_1 > f_2$ થાય,તેથી $f_1 = f + 4$.
$L_2 = 50 \ cm$ લંબાઈ માટે,વાયરની આવૃત્તિ $f_2 = \frac{k}{50}$ છે. તે $4$ બીટ્સ ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી $f_2 = f - 4$.
આમ,$f_1 L_1 = f_2 L_2 \implies (f + 4) \times 48 = (f - 4) \times 50$.
$48f + 192 = 50f - 200$.
$2f = 392$.
$f = 196 \ Hz$.
ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f$ છે.
$L_1 = 48 \ cm$ લંબાઈ માટે,વાયરની આવૃત્તિ $f_1 = \frac{k}{48}$ છે. તે $4$ બીટ્સ ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી $f_1 = f + 4$ અથવા $f_1 = f - 4$. $L_1 < L_2$ હોવાથી,$f_1 > f_2$ થાય,તેથી $f_1 = f + 4$.
$L_2 = 50 \ cm$ લંબાઈ માટે,વાયરની આવૃત્તિ $f_2 = \frac{k}{50}$ છે. તે $4$ બીટ્સ ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી $f_2 = f - 4$.
આમ,$f_1 L_1 = f_2 L_2 \implies (f + 4) \times 48 = (f - 4) \times 50$.
$48f + 192 = 50f - 200$.
$2f = 392$.
$f = 196 \ Hz$.
0 likes
View Solution126
DifficultMCQ
$1 \ m$ લંબાઈ અને $0.1 \ kg$ દળ ધરાવતો અને $10^{-6} \ m^2$ જેટલું સમાન આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતો સ્ટીલનો તાર બંને છેડેથી મજબૂતીથી જડેલો છે. તારનું તાપમાન $20^{\circ} C$ જેટલું ઘટાડવામાં આવે છે. જો તાર તેના મૂળભૂત મોડમાં કંપન કરતો હોય,તો તેની આવૃત્તિ ($Hz$ માં) શોધો.
$(Y_{\text{steel}} = 2 \times 10^{11} \ N/m^2, \alpha_{\text{steel}} = 1.21 \times 10^{-5} /^{\circ} C)$
$(Y_{\text{steel}} = 2 \times 10^{11} \ N/m^2, \alpha_{\text{steel}} = 1.21 \times 10^{-5} /^{\circ} C)$
A
$11$
B
$20$
C
$15$
D
$10$
Solution
(A) તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta t$ ને કારણે ઉત્પન્ન થતી થર્મલ વિકૃતિ (Strain) $\text{Strain} = \alpha \Delta t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હૂકના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,થર્મલ પ્રતિબળ (Stress) $\text{Stress} = Y \times \text{Strain} = Y \alpha \Delta t$ થાય.
તારમાં તણાવ $T = \text{Area} \times \text{Stress} = A Y \alpha \Delta t$ છે.
અહીં $A = 10^{-6} \ m^2$,$Y = 2 \times 10^{11} \ N/m^2$,$\alpha = 1.21 \times 10^{-5} /^{\circ} C$,અને $\Delta t = 20^{\circ} C$ આપેલ છે,તેથી:
$T = 10^{-6} \times 2 \times 10^{11} \times 1.21 \times 10^{-5} \times 20 = 48.4 \ N$.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{m}{\ell} = \frac{0.1 \ kg}{1 \ m} = 0.1 \ kg/m$.
મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \ell} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $f = \frac{1}{2 \times 1} \sqrt{\frac{48.4}{0.1}} = \frac{1}{2} \sqrt{484} = \frac{22}{2} = 11 \ Hz$.
હૂકના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,થર્મલ પ્રતિબળ (Stress) $\text{Stress} = Y \times \text{Strain} = Y \alpha \Delta t$ થાય.
તારમાં તણાવ $T = \text{Area} \times \text{Stress} = A Y \alpha \Delta t$ છે.
અહીં $A = 10^{-6} \ m^2$,$Y = 2 \times 10^{11} \ N/m^2$,$\alpha = 1.21 \times 10^{-5} /^{\circ} C$,અને $\Delta t = 20^{\circ} C$ આપેલ છે,તેથી:
$T = 10^{-6} \times 2 \times 10^{11} \times 1.21 \times 10^{-5} \times 20 = 48.4 \ N$.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{m}{\ell} = \frac{0.1 \ kg}{1 \ m} = 0.1 \ kg/m$.
મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \ell} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $f = \frac{1}{2 \times 1} \sqrt{\frac{48.4}{0.1}} = \frac{1}{2} \sqrt{484} = \frac{22}{2} = 11 \ Hz$.
0 likes
View Solution127
MediumMCQ
એક વાયોલિન $T$ તણાવ હેઠળ $n_1$ આવૃત્તિના ધ્વનિ તરંગો ઉત્સર્જિત કરે છે. જ્યારે લંબાઈ અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ અચળ રાખીને તણાવમાં $44\%$ નો વધારો કરવામાં આવે છે,ત્યારે ધ્વનિ તરંગોની આવૃત્તિ $n_2$ થાય છે. આવૃત્તિ $n_2$ અને આવૃત્તિ $n_1$ નો ગુણોત્તર કેટલો થાય?
A
$5: 6$
B
$6: 7$
C
$6: 5$
D
$7: 6$
Solution
(C) ખેંચાયેલી દોરીની આવૃત્તિનું સૂત્ર $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $L$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
શરૂઆતમાં,આવૃત્તિ $n_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}}$ છે.
જ્યારે તણાવમાં $44\%$ નો વધારો કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો તણાવ $T_2 = T_1 + 0.44T_1 = 1.44T_1$ થાય છે.
નવી આવૃત્તિ $n_2 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{1.44T_1}{\mu}}$ દ્વારા મળે છે.
$n_2$ અને $n_1$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{n_2}{n_1} = \frac{\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{1.44T_1}{\mu}}}{\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}}} = \sqrt{\frac{1.44T_1}{T_1}} = \sqrt{1.44} = 1.2$.
$1.2$ ને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા,આપણને $1.2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$ મળે છે.
આમ,$n_2:n_1$ નો ગુણોત્તર $6:5$ છે.
શરૂઆતમાં,આવૃત્તિ $n_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}}$ છે.
જ્યારે તણાવમાં $44\%$ નો વધારો કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો તણાવ $T_2 = T_1 + 0.44T_1 = 1.44T_1$ થાય છે.
નવી આવૃત્તિ $n_2 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{1.44T_1}{\mu}}$ દ્વારા મળે છે.
$n_2$ અને $n_1$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{n_2}{n_1} = \frac{\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{1.44T_1}{\mu}}}{\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}}} = \sqrt{\frac{1.44T_1}{T_1}} = \sqrt{1.44} = 1.2$.
$1.2$ ને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા,આપણને $1.2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$ મળે છે.
આમ,$n_2:n_1$ નો ગુણોત્તર $6:5$ છે.
0 likes
View Solution128
MediumMCQ
$l$ લંબાઈની એક દોરીને $l_1, l_2$ અને $l_3$ લંબાઈના ત્રણ ભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. આ ત્રણ ભાગોની મૂળભૂત આવૃત્તિઓ અનુક્રમે $n_1, n_2$ અને $n_3$ છે. દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ કેટલી હશે?
A
$n = n_1 + n_2 + n_3$
B
$\sqrt{n} = \sqrt{n_1} + \sqrt{n_2} + \sqrt{n_3}$
C
$\frac{1}{n} = \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} + \frac{1}{n_3}$
D
$\frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n_1}} + \frac{1}{\sqrt{n_2}} + \frac{1}{\sqrt{n_3}}$
Solution
(C) ખેંચાયેલી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
અહીં $T$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી,$n \propto \frac{1}{l}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $nl = k$ (અચળાંક).
આપેલ છે કે કુલ લંબાઈ $l = l_1 + l_2 + l_3$,તેથી દરેક ભાગની લંબાઈ $l_1 = \frac{k}{n_1}$,$l_2 = \frac{k}{n_2}$,અને $l_3 = \frac{k}{n_3}$ તરીકે લખી શકાય.
મૂળ લંબાઈ $l = \frac{k}{n}$ છે.
આ કિંમતોને લંબાઈના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{k}{n} = \frac{k}{n_1} + \frac{k}{n_2} + \frac{k}{n_3}$.
બંને બાજુ $k$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{n} = \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} + \frac{1}{n_3}$ મળે છે.
અહીં $T$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી,$n \propto \frac{1}{l}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $nl = k$ (અચળાંક).
આપેલ છે કે કુલ લંબાઈ $l = l_1 + l_2 + l_3$,તેથી દરેક ભાગની લંબાઈ $l_1 = \frac{k}{n_1}$,$l_2 = \frac{k}{n_2}$,અને $l_3 = \frac{k}{n_3}$ તરીકે લખી શકાય.
મૂળ લંબાઈ $l = \frac{k}{n}$ છે.
આ કિંમતોને લંબાઈના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{k}{n} = \frac{k}{n_1} + \frac{k}{n_2} + \frac{k}{n_3}$.
બંને બાજુ $k$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{n} = \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} + \frac{1}{n_3}$ મળે છે.
0 likes
View Solution129
MediumMCQ
$260 \ cm$ લંબાઈના ખેંચાયેલા તારને કંપનોમાં મૂકવામાં આવે છે. તેને ત્રણ ભાગોમાં વહેંચવામાં આવે છે જેની આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $2:3:4$ છે. તેમની લંબાઈ કેટલી હશે?
A
$80 \ cm, 60 \ cm, 120 \ cm$
B
$120 \ cm, 80 \ cm, 60 \ cm$
C
$60 \ cm, 80 \ cm, 120 \ cm$
D
$120 \ cm, 60 \ cm, 80 \ cm$
Solution
(B) ખેંચાયેલા તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતી આવૃત્તિ $f = \frac{p}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$p$ એ લૂપ્સની સંખ્યા છે,$l$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે,અને $m$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
સમાન તાર માટે $T$ અને $m$ અચળ હોવાથી,આપણને $f \propto \frac{1}{l}$ મળે છે.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $f_1 : f_2 : f_3 = 2 : 3 : 4$ આપેલ છે,તેથી લંબાઈનો ગુણોત્તર $l_1 : l_2 : l_3 = \frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4}$ થશે.
લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(12)$ વડે ગુણતા,આપણને $l_1 : l_2 : l_3 = 6 : 4 : 3$ મળે છે.
ગુણોત્તરના ભાગોનો સરવાળો $6 + 4 + 3 = 13$ છે.
કુલ લંબાઈ $L = 260 \ cm$ આપેલ હોવાથી,વ્યક્તિગત લંબાઈઓ નીચે મુજબ છે:
$l_1 = \frac{6}{13} \times 260 = 120 \ cm$
$l_2 = \frac{4}{13} \times 260 = 80 \ cm$
$l_3 = \frac{3}{13} \times 260 = 60 \ cm$.
અહીં,$p$ એ લૂપ્સની સંખ્યા છે,$l$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે,અને $m$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
સમાન તાર માટે $T$ અને $m$ અચળ હોવાથી,આપણને $f \propto \frac{1}{l}$ મળે છે.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $f_1 : f_2 : f_3 = 2 : 3 : 4$ આપેલ છે,તેથી લંબાઈનો ગુણોત્તર $l_1 : l_2 : l_3 = \frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4}$ થશે.
લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(12)$ વડે ગુણતા,આપણને $l_1 : l_2 : l_3 = 6 : 4 : 3$ મળે છે.
ગુણોત્તરના ભાગોનો સરવાળો $6 + 4 + 3 = 13$ છે.
કુલ લંબાઈ $L = 260 \ cm$ આપેલ હોવાથી,વ્યક્તિગત લંબાઈઓ નીચે મુજબ છે:
$l_1 = \frac{6}{13} \times 260 = 120 \ cm$
$l_2 = \frac{4}{13} \times 260 = 80 \ cm$
$l_3 = \frac{3}{13} \times 260 = 60 \ cm$.
0 likes
View Solution130
MediumMCQ
$49 \ cm$ લાંબો સોનોમીટરનો તાર '$n$' આવૃત્તિ ધરાવતા ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે અનુનાદમાં છે. જો તારની લંબાઈ $1 \ cm$ ઘટાડવામાં આવે અને તેને તે જ ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે કંપિત કરવામાં આવે,તો પ્રતિ સેકન્ડ $6$ બીટ્સ સંભળાય છે. '$n$' નું મૂલ્ય શોધો. ($Hz$ માં)
A
$256$
B
$288$
C
$320$
D
$384$
Solution
(B) સોનોમીટરના તાર માટે,આવૃત્તિ $n$ એ લંબાઈ $L$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(n \propto 1/L)$,તેથી $n_1 L_1 = n_2 L_2$.
અહીં $L_1 = 49 \ cm$ અને $L_2 = 48 \ cm$ છે,અને પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n_1 = n$ છે.
તેથી $n \times 49 = n_2 \times 48$,જે આપણને $n_2 = \frac{49}{48} n$ આપે છે.
તારની લંબાઈ ઘટાડવાથી આવૃત્તિ વધે છે,તેથી $n_2 > n_1$.
બીટ આવૃત્તિ $n_2 - n_1 = 6$ તરીકે આપવામાં આવી છે.
$n_2$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{49}{48} n - n = 6$.
$\frac{n}{48} = 6$.
$n = 6 \times 48 = 288 \ Hz$.
અહીં $L_1 = 49 \ cm$ અને $L_2 = 48 \ cm$ છે,અને પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n_1 = n$ છે.
તેથી $n \times 49 = n_2 \times 48$,જે આપણને $n_2 = \frac{49}{48} n$ આપે છે.
તારની લંબાઈ ઘટાડવાથી આવૃત્તિ વધે છે,તેથી $n_2 > n_1$.
બીટ આવૃત્તિ $n_2 - n_1 = 6$ તરીકે આપવામાં આવી છે.
$n_2$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{49}{48} n - n = 6$.
$\frac{n}{48} = 6$.
$n = 6 \times 48 = 288 \ Hz$.
0 likes
View Solution131
DifficultMCQ
પૃથ્વીના ધ્રુવો પર,એક નિશ્ચિત લંબાઈનો ખેંચાયેલો તાર ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે એકસમાન રીતે કંપન કરે છે. પૃથ્વીના વિષુવવૃત્ત પર,સમાન સેટિંગ માટે,તે જ ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે અનુનાદ ઉત્પન્ન કરવા માટે,તારની કંપન કરતી લંબાઈ
A
ઘટાડવી જોઈએ.
B
વધારવી જોઈએ.
C
સમાન રહેવી જોઈએ.
D
મૂળ લંબાઈ કરતા ત્રણ ગણી હોવી જોઈએ.
Solution
(A) ખેંચાયેલા તારની કંપન આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$T$ એ તારમાં રહેલું તણાવ છે,જે તેના પર લટકાવેલા દળ $M$ ના વજન દ્વારા મળે છે,તેથી $T = Mg$.
આમ,$n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{Mg}{m}}$.
સમાન ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે આવૃત્તિ $n$ અચળ રાખવા માટે,આપણી પાસે $\frac{1}{l} \sqrt{g} = \text{અચળ}$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $l \propto \sqrt{g}$.
પૃથ્વીના ધ્રુવો પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ $(g_p)$,વિષુવવૃત્ત $(g_e)$ કરતા વધારે હોવાથી,એટલે કે $g_p > g_e$,લંબાઈ $l$ ને તે મુજબ ગોઠવવી પડે.
વિષુવવૃત્ત પર જ્યાં $g$ ઓછું છે ત્યાં સમાન આવૃત્તિ જાળવી રાખવા માટે,$g$ માં ઘટાડાને સરભર કરવા માટે લંબાઈ $l$ ઘટાડવી જોઈએ જેથી ગુણોત્તર $\frac{\sqrt{g}}{l}$ અચળ રહે.
તેથી,તારની કંપન કરતી લંબાઈ ઘટાડવી જોઈએ.
અહીં,$T$ એ તારમાં રહેલું તણાવ છે,જે તેના પર લટકાવેલા દળ $M$ ના વજન દ્વારા મળે છે,તેથી $T = Mg$.
આમ,$n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{Mg}{m}}$.
સમાન ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે આવૃત્તિ $n$ અચળ રાખવા માટે,આપણી પાસે $\frac{1}{l} \sqrt{g} = \text{અચળ}$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $l \propto \sqrt{g}$.
પૃથ્વીના ધ્રુવો પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ $(g_p)$,વિષુવવૃત્ત $(g_e)$ કરતા વધારે હોવાથી,એટલે કે $g_p > g_e$,લંબાઈ $l$ ને તે મુજબ ગોઠવવી પડે.
વિષુવવૃત્ત પર જ્યાં $g$ ઓછું છે ત્યાં સમાન આવૃત્તિ જાળવી રાખવા માટે,$g$ માં ઘટાડાને સરભર કરવા માટે લંબાઈ $l$ ઘટાડવી જોઈએ જેથી ગુણોત્તર $\frac{\sqrt{g}}{l}$ અચળ રહે.
તેથી,તારની કંપન કરતી લંબાઈ ઘટાડવી જોઈએ.
0 likes
View Solution132
EasyMCQ
ધ્રુવો પર,એક નિશ્ચિત લંબાઈનો ખેંચાયેલો તાર ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે સુસંગત રીતે કંપન કરે છે. વિષુવવૃત્ત પર,સમાન ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે અનુનાદ ઉત્પન્ન કરવા માટે તારની કંપન કરતી લંબાઈ
A
વધારવી જોઈએ.
B
મૂળ લંબાઈ કરતા $3$ ગણી હોવી જોઈએ.
C
સમાન હોવી જોઈએ.
D
ઘટાડવી જોઈએ.
Solution
(D) ખેંચાયેલા તારની કંપન આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે તણાવ $T$ એ તાર સાથે લટકાવેલા દળ $M$ દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવે છે,તેથી $T = Mg$ અને $n = \frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{Mg}{m}}$.
ધારો કે $\ell_1$ અને $g_1$ એ ધ્રુવો પરની લંબાઈ અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે,અને $\ell_2$ અને $g_2$ એ વિષુવવૃત્ત પરની લંબાઈ અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
સમાન ટ્યુનિંગ ફોર્ક માટે આવૃત્તિ $n$ સમાન રહેતી હોવાથી,$\frac{1}{2\ell_1} \sqrt{\frac{Mg_1}{m}} = \frac{1}{2\ell_2} \sqrt{\frac{Mg_2}{m}}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{\sqrt{g_1}}{\ell_1} = \frac{\sqrt{g_2}}{\ell_2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\ell_2}{\ell_1} = \sqrt{\frac{g_2}{g_1}}$.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ ધ્રુવો પર વિષુવવૃત્ત કરતા વધારે હોવાથી $(g_1 > g_2)$,તેથી $\ell_1 > \ell_2$ સાબિત થાય છે.
આમ,વિષુવવૃત્ત પર અનુનાદ જાળવી રાખવા માટે તારની કંપન કરતી લંબાઈ ઘટાડવી જોઈએ.
ધારો કે તણાવ $T$ એ તાર સાથે લટકાવેલા દળ $M$ દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવે છે,તેથી $T = Mg$ અને $n = \frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{Mg}{m}}$.
ધારો કે $\ell_1$ અને $g_1$ એ ધ્રુવો પરની લંબાઈ અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે,અને $\ell_2$ અને $g_2$ એ વિષુવવૃત્ત પરની લંબાઈ અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
સમાન ટ્યુનિંગ ફોર્ક માટે આવૃત્તિ $n$ સમાન રહેતી હોવાથી,$\frac{1}{2\ell_1} \sqrt{\frac{Mg_1}{m}} = \frac{1}{2\ell_2} \sqrt{\frac{Mg_2}{m}}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{\sqrt{g_1}}{\ell_1} = \frac{\sqrt{g_2}}{\ell_2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\ell_2}{\ell_1} = \sqrt{\frac{g_2}{g_1}}$.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ ધ્રુવો પર વિષુવવૃત્ત કરતા વધારે હોવાથી $(g_1 > g_2)$,તેથી $\ell_1 > \ell_2$ સાબિત થાય છે.
આમ,વિષુવવૃત્ત પર અનુનાદ જાળવી રાખવા માટે તારની કંપન કરતી લંબાઈ ઘટાડવી જોઈએ.
0 likes
View Solution133
EasyMCQ
સોનોમીટરના પ્રયોગમાં,$L$ લંબાઈની તણાવ હેઠળની દોરી બે પુલ વચ્ચે તેના બીજા ઓવરટોનમાં કંપન કરે છે. કંપનનો કંપવિસ્તાર કયા સ્થાને મહત્તમ હોય છે?
A
$\frac{L}{6}, \frac{L}{2}, \frac{5L}{6}$
B
$\frac{L}{8}, \frac{L}{4}, \frac{L}{2}$
C
$\frac{L}{2}, \frac{L}{4}, \frac{L}{6}$
D
$\frac{L}{3}, \frac{2L}{3}, \frac{5L}{6}$
Solution
(A) બંને છેડે જડેલી દોરીના બીજા ઓવરટોનમાં,દોરી $3$ લૂપ્સ (વિભાગો) માં કંપન કરે છે.
$L$ લંબાઈની દોરી માટે જે $n$ લૂપ્સમાં કંપન કરે છે,એન્ટિનોડ્સ (જ્યાં કંપવિસ્તાર મહત્તમ હોય છે) ના સ્થાન $x = \frac{(2k-1)L}{2n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = 1, 2, ..., n$ છે.
અહીં,$n = 3$ (બીજો ઓવરટોન એ $3$ જો હાર્મોનિક છે).
$k = 1$ માટે: $x_1 = \frac{(2(1)-1)L}{2(3)} = \frac{L}{6}$.
$k = 2$ માટે: $x_2 = \frac{(2(2)-1)L}{2(3)} = \frac{3L}{6} = \frac{L}{2}$.
$k = 3$ માટે: $x_3 = \frac{(2(3)-1)L}{2(3)} = \frac{5L}{6}$.
આમ,કંપવિસ્તાર $\frac{L}{6}, \frac{L}{2}, \text{ અને } \frac{5L}{6}$ પર મહત્તમ છે.
$L$ લંબાઈની દોરી માટે જે $n$ લૂપ્સમાં કંપન કરે છે,એન્ટિનોડ્સ (જ્યાં કંપવિસ્તાર મહત્તમ હોય છે) ના સ્થાન $x = \frac{(2k-1)L}{2n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = 1, 2, ..., n$ છે.
અહીં,$n = 3$ (બીજો ઓવરટોન એ $3$ જો હાર્મોનિક છે).
$k = 1$ માટે: $x_1 = \frac{(2(1)-1)L}{2(3)} = \frac{L}{6}$.
$k = 2$ માટે: $x_2 = \frac{(2(2)-1)L}{2(3)} = \frac{3L}{6} = \frac{L}{2}$.
$k = 3$ માટે: $x_3 = \frac{(2(3)-1)L}{2(3)} = \frac{5L}{6}$.
આમ,કંપવિસ્તાર $\frac{L}{6}, \frac{L}{2}, \text{ અને } \frac{5L}{6}$ પર મહત્તમ છે.
0 likes
View Solution134
EasyMCQ
$80 \,cm$ લંબાઈની ખેંચાયેલી દોરી પર સ્થિત તરંગ ઉત્પન્ન થાય છે. દોરીની અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $90 \,Hz$, $150 \,Hz$ અને $210 \,Hz$ છે. દોરીમાં લંબગત તરંગની ઝડપ કેટલી હશે ($\,m/s$ માં)?
A
$45$
B
$75$
C
$48$
D
$80$
Solution
(C) અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $f_1 = 90 \,Hz$, $f_2 = 150 \,Hz$ અને $f_3 = 210 \,Hz$ આપેલ છે.
ક્રમિક આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત $\Delta f = 60 \,Hz$ છે.
બંને છેડે જડેલી દોરી માટે, મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0 = 30 \,Hz$ મળે છે કારણ કે $90 = 3 \times 30$, $150 = 5 \times 30$, $210 = 7 \times 30$.
સૂત્ર $f_n = \frac{n v}{2L}$ નો ઉપયોગ કરતા, $n=3$ માટે $f_3 = \frac{3v}{2L} = 90 \,Hz$.
અહીં $L = 0.8 \,m$ છે, તેથી $90 = \frac{3v}{2 \times 0.8}$.
$90 = \frac{3v}{1.6} \implies 3v = 144 \implies v = 48 \,m/s$.
ક્રમિક આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત $\Delta f = 60 \,Hz$ છે.
બંને છેડે જડેલી દોરી માટે, મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0 = 30 \,Hz$ મળે છે કારણ કે $90 = 3 \times 30$, $150 = 5 \times 30$, $210 = 7 \times 30$.
સૂત્ર $f_n = \frac{n v}{2L}$ નો ઉપયોગ કરતા, $n=3$ માટે $f_3 = \frac{3v}{2L} = 90 \,Hz$.
અહીં $L = 0.8 \,m$ છે, તેથી $90 = \frac{3v}{2 \times 0.8}$.
$90 = \frac{3v}{1.6} \implies 3v = 144 \implies v = 48 \,m/s$.
0 likes
View Solution135
MediumMCQ
મેલ્ડેના પ્રયોગમાં,જ્યારે તણાવ $0.009 \ kg-wt$ જેટલો ઘટે છે,ત્યારે લૂપ્સની સંખ્યા $4$ થી બદલાઈને $5$ થાય છે. તો પ્રારંભિક તણાવ કેટલો હશે?
A
$0.036 \ kg-wt$.
B
$0.009 \ kg-wt$.
C
$0.018 \ kg-wt$.
D
$0.025 \ kg-wt$.
Solution
(D) મેલ્ડેના પ્રયોગમાં,દોરીની આવૃત્તિ $f = \frac{P}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ લૂપ્સની સંખ્યા છે,$T$ એ તણાવ છે,$L$ એ લંબાઈ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
આવૃત્તિ $f$ અને લંબાઈ $L$ અચળ હોવાથી,$P \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$,જેનો અર્થ છે કે $T P^{2} = \text{અચળ}$.
ધારો કે પ્રારંભિક તણાવ $T_1$ છે અને અંતિમ તણાવ $T_2 = T_1 - 0.009 \ kg-wt$ છે.
અહીં $P_1 = 4$ અને $P_2 = 5$ આપેલ છે.
સંબંધ $T_1 P_1^{2} = T_2 P_2^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_1 (4)^{2} = (T_1 - 0.009) (5)^{2}$
$16 T_1 = 25 T_1 - 0.009 \times 25$
$25 T_1 - 16 T_1 = 0.225$
$9 T_1 = 0.225$
$T_1 = \frac{0.225}{9} = 0.025 \ kg-wt$.
આવૃત્તિ $f$ અને લંબાઈ $L$ અચળ હોવાથી,$P \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$,જેનો અર્થ છે કે $T P^{2} = \text{અચળ}$.
ધારો કે પ્રારંભિક તણાવ $T_1$ છે અને અંતિમ તણાવ $T_2 = T_1 - 0.009 \ kg-wt$ છે.
અહીં $P_1 = 4$ અને $P_2 = 5$ આપેલ છે.
સંબંધ $T_1 P_1^{2} = T_2 P_2^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_1 (4)^{2} = (T_1 - 0.009) (5)^{2}$
$16 T_1 = 25 T_1 - 0.009 \times 25$
$25 T_1 - 16 T_1 = 0.225$
$9 T_1 = 0.225$
$T_1 = \frac{0.225}{9} = 0.025 \ kg-wt$.
0 likes
View Solution136
EasyMCQ
જો તમે બંને છેડે જડેલી દોરી પર $7^{th}$ ઓવરટોન સેટ કરો,તો તેમાં કેટલા નોડ્સ અને એન્ટિનોડ્સ રચાય છે?
A
$9, 8$
B
$8, 9$
C
$7, 8$
D
$8, 7$
Solution
(A) બંને છેડે જડેલી દોરી માટે,$n^{th}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = n f_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ એ મોડ નંબર છે.
$n^{th}$ હાર્મોનિક એ $(n-1)^{th}$ ઓવરટોનને અનુરૂપ છે.
અહીં આપણને $7^{th}$ ઓવરટોન આપેલ છે,તેથી $n-1 = 7$,જેનો અર્થ છે કે $n = 8$.
આમ,$7^{th}$ ઓવરટોન એ $8^{th}$ હાર્મોનિક છે.
$n^{th}$ હાર્મોનિકમાં,લૂપ્સની સંખ્યા $n$ હોય છે.
તેથી,$8^{th}$ હાર્મોનિક માટે,$8$ લૂપ્સ હોય છે.
$n$ લૂપ્સ ધરાવતી દોરી માટે,નોડ્સની સંખ્યા $n+1$ અને એન્ટિનોડ્સની સંખ્યા $n$ હોય છે.
$n = 8$ માટે,નોડ્સની સંખ્યા $8 + 1 = 9$ અને એન્ટિનોડ્સની સંખ્યા $8$ છે.
$n^{th}$ હાર્મોનિક એ $(n-1)^{th}$ ઓવરટોનને અનુરૂપ છે.
અહીં આપણને $7^{th}$ ઓવરટોન આપેલ છે,તેથી $n-1 = 7$,જેનો અર્થ છે કે $n = 8$.
આમ,$7^{th}$ ઓવરટોન એ $8^{th}$ હાર્મોનિક છે.
$n^{th}$ હાર્મોનિકમાં,લૂપ્સની સંખ્યા $n$ હોય છે.
તેથી,$8^{th}$ હાર્મોનિક માટે,$8$ લૂપ્સ હોય છે.
$n$ લૂપ્સ ધરાવતી દોરી માટે,નોડ્સની સંખ્યા $n+1$ અને એન્ટિનોડ્સની સંખ્યા $n$ હોય છે.
$n = 8$ માટે,નોડ્સની સંખ્યા $8 + 1 = 9$ અને એન્ટિનોડ્સની સંખ્યા $8$ છે.
0 likes
View Solution137
DifficultMCQ
$L$ લંબાઈ,$D$ વ્યાસ અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા એક સમાન તારને $T$ તણાવ વડે ખેંચવામાં આવે છે. તારની આવૃત્તિ $f$ કોના પ્રમાણમાં છે?
A
$f \propto \frac{L}{D}$
B
$f \propto \frac{1}{L D}$
C
$f \propto \frac{1}{L \sqrt{D}}$
D
$f \propto \frac{1}{L D^2}$
Solution
(B) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu$ ને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેને ઘનતા $\rho$ અને આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ ના સંદર્ભમાં $\mu = A \rho$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
તારનો આડછેદ વર્તુળાકાર હોવાથી,વ્યાસ $D$ માટે ક્ષેત્રફળ $A = \pi \frac{D^2}{4}$ થાય.
આ કિંમત $\mu$ ના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\mu = \frac{\pi D^2 \rho}{4}$ મળે છે.
હવે,$\mu$ ની કિંમત આવૃત્તિના સૂત્રમાં મૂકતા: $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\frac{\pi D^2 \rho}{4}}} = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{4T}{\pi D^2 \rho}} = \frac{1}{2L} \cdot \frac{2}{D} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{1}{LD} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $f \propto \frac{1}{LD}$.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu$ ને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેને ઘનતા $\rho$ અને આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ ના સંદર્ભમાં $\mu = A \rho$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
તારનો આડછેદ વર્તુળાકાર હોવાથી,વ્યાસ $D$ માટે ક્ષેત્રફળ $A = \pi \frac{D^2}{4}$ થાય.
આ કિંમત $\mu$ ના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\mu = \frac{\pi D^2 \rho}{4}$ મળે છે.
હવે,$\mu$ ની કિંમત આવૃત્તિના સૂત્રમાં મૂકતા: $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\frac{\pi D^2 \rho}{4}}} = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{4T}{\pi D^2 \rho}} = \frac{1}{2L} \cdot \frac{2}{D} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{1}{LD} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $f \propto \frac{1}{LD}$.
0 likes
View Solution138
MediumMCQ
$L$ લંબાઈ,$d$ વ્યાસ અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતો એક તાર $T$ તણાવ હેઠળ છે,જેની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_A$ છે. અન્ય એક તાર જેની લંબાઈ $2L$,તણાવ $2T$,ઘનતા $2\rho$ અને વ્યાસ $3d$ છે,તેની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_B$ છે. તો $n_B : n_A$ નો ગુણોત્તર કેટલો થાય?
A
$1 : 2$
B
$1 : 4$
C
$1 : 6$
D
$1 : 8$
Solution
(C) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
અહીં $\mu = \text{આડછેદનું ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઘનતા} = (\pi r^2) \rho = \pi (d/2)^2 \rho = \frac{\pi d^2 \rho}{4}$,તેથી $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\frac{\pi d^2 \rho}{4}}} = \frac{1}{Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
તાર $A$ માટે: $n_A = \frac{1}{Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
તાર $B$ માટે: $n_B = \frac{1}{(2L)(3d)} \sqrt{\frac{2T}{\pi (2\rho)}} = \frac{1}{6Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
ગુણોત્તર લેતા $n_B : n_A = \frac{\frac{1}{6Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}}{\frac{1}{Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}} = \frac{1}{6}$.
આમ,$n_B : n_A$ નો ગુણોત્તર $1 : 6$ છે.
અહીં $\mu = \text{આડછેદનું ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઘનતા} = (\pi r^2) \rho = \pi (d/2)^2 \rho = \frac{\pi d^2 \rho}{4}$,તેથી $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\frac{\pi d^2 \rho}{4}}} = \frac{1}{Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
તાર $A$ માટે: $n_A = \frac{1}{Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
તાર $B$ માટે: $n_B = \frac{1}{(2L)(3d)} \sqrt{\frac{2T}{\pi (2\rho)}} = \frac{1}{6Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
ગુણોત્તર લેતા $n_B : n_A = \frac{\frac{1}{6Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}}{\frac{1}{Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}} = \frac{1}{6}$.
આમ,$n_B : n_A$ નો ગુણોત્તર $1 : 6$ છે.
0 likes
View Solution139
MediumMCQ
સમાન દ્રવ્યના બે સમાન તાર સમાન તણાવ હેઠળ ધ્રુજારી અનુભવે છે. જો પ્રથમ તારનો પ્રથમ ઓવરટોન એ બીજા તારના બીજા ઓવરટોન જેટલો હોય અને પ્રથમ તારની ત્રિજ્યા બીજા તારની ત્રિજ્યા કરતા બમણી હોય,તો પ્રથમ તારની લંબાઈ અને બીજા તારની લંબાઈનો ગુણોત્તર શોધો.
A
$1: 3$
B
$3: 1$
C
$2: 3$
D
$3: 2$
Solution
(A) ખેંચાયેલા તાર માટે $n$-મી હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu = \pi r^2 \rho$ છે.
આમ,$f = \frac{n}{2L r} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
પ્રથમ તાર માટે,પ્રથમ ઓવરટોન એ $2$-જો હાર્મોનિક $(n_1 = 2)$ છે.
તેથી,$f_1 = \frac{2}{2L_1 r_1} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{1}{L_1 r_1} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
બીજા તાર માટે,બીજો ઓવરટોન એ $3$-જો હાર્મોનિક $(n_2 = 3)$ છે.
તેથી,$f_2 = \frac{3}{2L_2 r_2} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
આપેલ છે કે $f_1 = f_2$ અને $r_1 = 2r_2$:
$\frac{1}{L_1 (2r_2)} = \frac{3}{2L_2 r_2}$.
$\frac{1}{2L_1} = \frac{3}{2L_2} \implies \frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{3}$.
તેથી,ગુણોત્તર $1: 3$ છે.
આમ,$f = \frac{n}{2L r} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
પ્રથમ તાર માટે,પ્રથમ ઓવરટોન એ $2$-જો હાર્મોનિક $(n_1 = 2)$ છે.
તેથી,$f_1 = \frac{2}{2L_1 r_1} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{1}{L_1 r_1} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
બીજા તાર માટે,બીજો ઓવરટોન એ $3$-જો હાર્મોનિક $(n_2 = 3)$ છે.
તેથી,$f_2 = \frac{3}{2L_2 r_2} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
આપેલ છે કે $f_1 = f_2$ અને $r_1 = 2r_2$:
$\frac{1}{L_1 (2r_2)} = \frac{3}{2L_2 r_2}$.
$\frac{1}{2L_1} = \frac{3}{2L_2} \implies \frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{3}$.
તેથી,ગુણોત્તર $1: 3$ છે.
0 likes
View Solution140
EasyMCQ
સોનોમીટર વાયરની મૂળભૂત આવૃત્તિ ચોક્કસ લંબાઈ અને તણાવ માટે $50 \text{ Hz}$ છે. જો તણાવ સમાન રાખીને લંબાઈમાં $25 \%$ નો વધારો કરવામાં આવે,તો બીજા હાર્મોનિકની આવૃત્તિમાં કેટલો ફેરફાર થશે?
A
$20 \%$ નો વધારો
B
$20 \%$ નો ઘટાડો
C
$10 \%$ નો વધારો
D
$10 \%$ નો ઘટાડો
Solution
(B) સોનોમીટર વાયરની મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે.
અહીં $T$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી,$f \propto \frac{1}{L}$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $L_1 = L$ અને પ્રારંભિક મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = 50 \text{ Hz}$ છે.
નવી લંબાઈ $L_2 = L + 0.25L = 1.25L = \frac{5}{4}L$ છે.
નવી મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_2$ માટે,$\frac{f_2}{f_1} = \frac{L_1}{L_2} = \frac{L}{1.25L} = \frac{1}{1.25} = 0.8$.
તેથી,$f_2 = 0.8 \times 50 \text{ Hz} = 40 \text{ Hz}$.
બીજા હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f'_n = n \times f_n$ છે. બીજા હાર્મોનિક $(n=2)$ માટે,$f'_2 = 2 \times f_2 = 2 \times 40 \text{ Hz} = 80 \text{ Hz}$.
પ્રારંભિક બીજા હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f'_1 = 2 \times f_1 = 2 \times 50 \text{ Hz} = 100 \text{ Hz}$ હતી.
આવૃત્તિમાં ફેરફાર $\Delta f = f'_2 - f'_1 = 80 - 100 = -20 \text{ Hz}$ છે.
ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta f}{f'_1} \times 100 = \frac{-20}{100} \times 100 = -20 \%$.
આમ,બીજા હાર્મોનિકની આવૃત્તિમાં $20 \%$ નો ઘટાડો થાય છે.
અહીં $T$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી,$f \propto \frac{1}{L}$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $L_1 = L$ અને પ્રારંભિક મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = 50 \text{ Hz}$ છે.
નવી લંબાઈ $L_2 = L + 0.25L = 1.25L = \frac{5}{4}L$ છે.
નવી મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_2$ માટે,$\frac{f_2}{f_1} = \frac{L_1}{L_2} = \frac{L}{1.25L} = \frac{1}{1.25} = 0.8$.
તેથી,$f_2 = 0.8 \times 50 \text{ Hz} = 40 \text{ Hz}$.
બીજા હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f'_n = n \times f_n$ છે. બીજા હાર્મોનિક $(n=2)$ માટે,$f'_2 = 2 \times f_2 = 2 \times 40 \text{ Hz} = 80 \text{ Hz}$.
પ્રારંભિક બીજા હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f'_1 = 2 \times f_1 = 2 \times 50 \text{ Hz} = 100 \text{ Hz}$ હતી.
આવૃત્તિમાં ફેરફાર $\Delta f = f'_2 - f'_1 = 80 - 100 = -20 \text{ Hz}$ છે.
ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta f}{f'_1} \times 100 = \frac{-20}{100} \times 100 = -20 \%$.
આમ,બીજા હાર્મોનિકની આવૃત્તિમાં $20 \%$ નો ઘટાડો થાય છે.
0 likes
View Solution141
MediumMCQ
બે ટ્યુનિંગ ફોર્ક જ્યારે સાથે વગાડવામાં આવે ત્યારે પ્રતિ સેકન્ડ $4$ બીટ્સ ઉત્પન્ન કરે છે. એક ફોર્ક સોનોમીટર વાયરની $23 \ cm$ લંબાઈ સાથે અને બીજો તે જ વાયરની $24 \ cm$ લંબાઈ સાથે સુસંગત (unison) છે. તો બંને ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિઓ કેટલી હશે?
A
$96 \ Hz, 92 \ Hz$
B
$92 \ Hz, 88 \ Hz$
C
$72 \ Hz, 68 \ Hz$
D
$48 \ Hz, 44 \ Hz$
Solution
(A) સોનોમીટર વાયર માટે,આવૃત્તિ $f$ એ વાયરની લંબાઈ $l$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $f \propto 1/l$ અથવા $f \cdot l = k$ (અચળાંક).
ધારો કે બે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિઓ $f_1$ અને $f_2$ છે.
આપેલ છે કે $f_1 \cdot 23 = f_2 \cdot 24 = k$.
આનો અર્થ એ થાય કે $f_1 = k/23$ અને $f_2 = k/24$.
અહીં $f_1 > f_2$ હોવાથી,બીટ આવૃત્તિ $f_1 - f_2 = 4$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $k/23 - k/24 = 4$.
$k$ સામાન્ય લેતા: $k(24 - 23) / (23 \cdot 24) = 4$.
$k / 552 = 4 \implies k = 2208$.
હવે,$f_1 = 2208 / 23 = 96 \ Hz$.
અને $f_2 = 2208 / 24 = 92 \ Hz$.
આમ,આવૃત્તિઓ $96 \ Hz$ અને $92 \ Hz$ છે.
ધારો કે બે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિઓ $f_1$ અને $f_2$ છે.
આપેલ છે કે $f_1 \cdot 23 = f_2 \cdot 24 = k$.
આનો અર્થ એ થાય કે $f_1 = k/23$ અને $f_2 = k/24$.
અહીં $f_1 > f_2$ હોવાથી,બીટ આવૃત્તિ $f_1 - f_2 = 4$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $k/23 - k/24 = 4$.
$k$ સામાન્ય લેતા: $k(24 - 23) / (23 \cdot 24) = 4$.
$k / 552 = 4 \implies k = 2208$.
હવે,$f_1 = 2208 / 23 = 96 \ Hz$.
અને $f_2 = 2208 / 24 = 92 \ Hz$.
આમ,આવૃત્તિઓ $96 \ Hz$ અને $92 \ Hz$ છે.
0 likes
View Solution142
MediumMCQ
સોનોમીટર વાયરની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ છે. જો તણાવ $3$ ગણો અને લંબાઈ $3$ ગણી વધારવામાં આવે અને વ્યાસ $2$ ગણો વધારવામાં આવે,તો નવી આવૃત્તિ કેટલી થશે?
A
$\sqrt{\frac{3}{2}} n$
B
$\frac{\sqrt{3}}{2} n$
C
$\frac{n}{2 \sqrt{3}}$
D
$2 \sqrt{3} n$
Solution
(C) સોનોમીટર વાયરની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ નું સૂત્ર: $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $L$ લંબાઈ છે,$T$ તણાવ છે અને $\mu$ રેખીય દળ ઘનતા છે.
$\mu = \pi r^2 \rho$ હોવાથી (જ્યાં $r$ ત્રિજ્યા અને $\rho$ ઘનતા છે),આવૃત્તિને આ રીતે લખી શકાય: $n = \frac{1}{2Lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
વ્યાસ $D = 2r$ હોવાથી,$n \propto \frac{1}{LD} \sqrt{T}$ મળે.
ધારો કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n_1 = n$ છે. નવી આવૃત્તિ $n_2$ ફેરફારોના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$n_2 = n_1 \times \left( \frac{L_1}{L_2} \right) \times \left( \frac{D_1}{D_2} \right) \times \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
અહીં $L_2 = 3L_1$,$D_2 = 2D_1$,અને $T_2 = 3T_1$ આપેલ છે:
$n_2 = n \times \left( \frac{1}{3} \right) \times \left( \frac{1}{2} \right) \times \sqrt{3} = n \times \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{n}{2 \sqrt{3}}$.
આમ,નવી આવૃત્તિ $\frac{n}{2 \sqrt{3}}$ થશે.
$\mu = \pi r^2 \rho$ હોવાથી (જ્યાં $r$ ત્રિજ્યા અને $\rho$ ઘનતા છે),આવૃત્તિને આ રીતે લખી શકાય: $n = \frac{1}{2Lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
વ્યાસ $D = 2r$ હોવાથી,$n \propto \frac{1}{LD} \sqrt{T}$ મળે.
ધારો કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n_1 = n$ છે. નવી આવૃત્તિ $n_2$ ફેરફારોના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$n_2 = n_1 \times \left( \frac{L_1}{L_2} \right) \times \left( \frac{D_1}{D_2} \right) \times \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
અહીં $L_2 = 3L_1$,$D_2 = 2D_1$,અને $T_2 = 3T_1$ આપેલ છે:
$n_2 = n \times \left( \frac{1}{3} \right) \times \left( \frac{1}{2} \right) \times \sqrt{3} = n \times \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{n}{2 \sqrt{3}}$.
આમ,નવી આવૃત્તિ $\frac{n}{2 \sqrt{3}}$ થશે.
0 likes
View Solution143
MediumMCQ
ધ્રુવો પર,એક નિશ્ચિત લંબાઈનો ખેંચાયેલો તાર ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે એકસૂત્રતામાં કંપન કરે છે. વિષુવવૃત્ત પર,સમાન સેટિંગ માટે,સમાન ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે અનુનાદ ઉત્પન્ન કરવા માટે,તારની કંપન કરતી લંબાઈ
A
ઘટાડવી જોઈએ.
B
વધારવી જોઈએ.
C
સમાન રહેવી જોઈએ.
D
ત્રણ ગણી કરવી જોઈએ.
Solution
(A) ખેંચાયેલા તારની કંપન આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ કંપન કરતી લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે,અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f$ અચળ હોવાથી,આપણને $L \propto \sqrt{T}$ મળે છે.
તારમાં તણાવ $T$ એ લટકાવેલા દળ $M$ દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવે છે,તેથી $T = Mg$,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
આમ,$L \propto \sqrt{g}$.
વિષુવવૃત્ત પર,$g$ નું મૂલ્ય ધ્રુવો કરતા ઓછું હોય છે $(g_{equator} < g_{poles})$.
$L$ એ $\sqrt{g}$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,સમાન આવૃત્તિ $f$ જાળવી રાખવા માટે વિષુવવૃત્ત પર કંપન કરતી લંબાઈ $L$ ઘટાડવી આવશ્યક છે.
ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f$ અચળ હોવાથી,આપણને $L \propto \sqrt{T}$ મળે છે.
તારમાં તણાવ $T$ એ લટકાવેલા દળ $M$ દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવે છે,તેથી $T = Mg$,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
આમ,$L \propto \sqrt{g}$.
વિષુવવૃત્ત પર,$g$ નું મૂલ્ય ધ્રુવો કરતા ઓછું હોય છે $(g_{equator} < g_{poles})$.
$L$ એ $\sqrt{g}$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,સમાન આવૃત્તિ $f$ જાળવી રાખવા માટે વિષુવવૃત્ત પર કંપન કરતી લંબાઈ $L$ ઘટાડવી આવશ્યક છે.
0 likes
View Solution144
MediumMCQ
એક ટ્યુનિંગ ફોર્ક સોનોમીટરના તારની $40 \ cm$ લંબાઈ સાથે પ્રતિ સેકન્ડ $5$ બીટ્સ આપે છે. જો તારની લંબાઈ $1 \ cm$ ઘટાડવામાં આવે,તો પણ બીટ્સની સંખ્યા સમાન રહે છે. ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ કેટલી હશે ($Hz$ માં)?
A
$390$
B
$395$
C
$400$
D
$405$
Solution
(B) સોનોમીટરના તારની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $f \propto \frac{1}{L}$.
ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n$ છે.
લંબાઈ $L_1 = 40 \ cm$ માટે,તારની આવૃત્તિ $f_1 = \frac{k}{40}$ છે. તે $5$ બીટ્સ ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી $f_1 = n \pm 5$.
લંબાઈ $L_2 = 39 \ cm$ માટે,તારની આવૃત્તિ $f_2 = \frac{k}{39}$ છે. તે $5$ બીટ્સ ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી $f_2 = n \pm 5$.
$L_2 < L_1$ હોવાથી,$f_2 > f_1$. તેથી,$f_1 = n - 5$ અને $f_2 = n + 5$.
આમ,$\frac{k}{40} = n - 5$ અને $\frac{k}{39} = n + 5$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$k = 40(n - 5)$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$k = 39(n + 5)$.
બંનેને સરખાવતા: $40n - 200 = 39n + 195$.
$40n - 39n = 195 + 200$.
$n = 395 \ Hz$.
ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n$ છે.
લંબાઈ $L_1 = 40 \ cm$ માટે,તારની આવૃત્તિ $f_1 = \frac{k}{40}$ છે. તે $5$ બીટ્સ ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી $f_1 = n \pm 5$.
લંબાઈ $L_2 = 39 \ cm$ માટે,તારની આવૃત્તિ $f_2 = \frac{k}{39}$ છે. તે $5$ બીટ્સ ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી $f_2 = n \pm 5$.
$L_2 < L_1$ હોવાથી,$f_2 > f_1$. તેથી,$f_1 = n - 5$ અને $f_2 = n + 5$.
આમ,$\frac{k}{40} = n - 5$ અને $\frac{k}{39} = n + 5$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$k = 40(n - 5)$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$k = 39(n + 5)$.
બંનેને સરખાવતા: $40n - 200 = 39n + 195$.
$40n - 39n = 195 + 200$.
$n = 395 \ Hz$.
0 likes
View Solution145
EasyMCQ
સોનોમીટર પ્રયોગમાં,વપરાયેલ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $288 \ Hz$ છે. કઈ આવૃત્તિ પર હાર્મોનિક્સ ઉત્પન્ન થશે 'નહીં' ($Hz$ માં)?
A
$288$
B
$576$
C
$844$
D
$864$
Solution
(C) સોનોમીટર પ્રયોગમાં,તાર એ મૂળભૂત આવૃત્તિ $(f_0)$ ના પૂર્ણાંક ગુણાંકમાં હાર્મોનિક્સમાં કંપન કરે છે.
આપેલ મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0 = 288 \ Hz$ છે.
હાર્મોનિક્સની આવૃત્તિઓ $f_n = n \times f_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$ છે.
પ્રથમ થોડા હાર્મોનિક્સની ગણતરી કરતા:
$n=1: f_1 = 1 \times 288 = 288 \ Hz$
$n=2: f_2 = 2 \times 288 = 576 \ Hz$
$n=3: f_3 = 3 \times 288 = 864 \ Hz$
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,$844 \ Hz$ એ $288 \ Hz$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક નથી. તેથી,$844 \ Hz$ પર હાર્મોનિક્સ ઉત્પન્ન થશે નહીં.
આપેલ મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0 = 288 \ Hz$ છે.
હાર્મોનિક્સની આવૃત્તિઓ $f_n = n \times f_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$ છે.
પ્રથમ થોડા હાર્મોનિક્સની ગણતરી કરતા:
$n=1: f_1 = 1 \times 288 = 288 \ Hz$
$n=2: f_2 = 2 \times 288 = 576 \ Hz$
$n=3: f_3 = 3 \times 288 = 864 \ Hz$
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,$844 \ Hz$ એ $288 \ Hz$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક નથી. તેથી,$844 \ Hz$ પર હાર્મોનિક્સ ઉત્પન્ન થશે નહીં.
0 likes
View Solution146
MediumMCQ
સોનોમીટર તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ છે. જો તણાવ $3$ ગણો અને લંબાઈ $3$ ગણી વધારવામાં આવે અને વ્યાસ $2$ ગણો વધારવામાં આવે,તો નવી આવૃત્તિ કેટલી થશે?
A
$2 n$
B
$\frac{\sqrt{3}}{2} n$
C
$\frac{n}{2 \sqrt{3}}$
D
$\sqrt{3} n$
Solution
(C) સોનોમીટર તારની મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર: $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $L$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે,અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
કારણ કે $\mu = \text{Area} \times \text{Density} = (\pi r^2) \rho = \pi (\frac{d}{2})^2 \rho = \frac{\pi d^2 \rho}{4}$,આપણે લખી શકીએ કે $n \propto \frac{1}{L d} \sqrt{\frac{T}{\rho}}$.
પ્રારંભિક શરતો: $n_1 = n$,$L_1 = L$,$T_1 = T$,$d_1 = d$.
નવી શરતો: $L_2 = 3L$,$T_2 = 3T$,$d_2 = 2d$.
નવી આવૃત્તિ $n_2$ આ મુજબ મળે: $n_2 = n_1 \times (\frac{L_1}{L_2}) \times (\frac{d_1}{d_2}) \times \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $n_2 = n \times (\frac{L}{3L}) \times (\frac{d}{2d}) \times \sqrt{\frac{3T}{T}}$.
$n_2 = n \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} n = \frac{\sqrt{3}}{2 \times 3} n = \frac{n}{2 \sqrt{3}}$.
કારણ કે $\mu = \text{Area} \times \text{Density} = (\pi r^2) \rho = \pi (\frac{d}{2})^2 \rho = \frac{\pi d^2 \rho}{4}$,આપણે લખી શકીએ કે $n \propto \frac{1}{L d} \sqrt{\frac{T}{\rho}}$.
પ્રારંભિક શરતો: $n_1 = n$,$L_1 = L$,$T_1 = T$,$d_1 = d$.
નવી શરતો: $L_2 = 3L$,$T_2 = 3T$,$d_2 = 2d$.
નવી આવૃત્તિ $n_2$ આ મુજબ મળે: $n_2 = n_1 \times (\frac{L_1}{L_2}) \times (\frac{d_1}{d_2}) \times \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $n_2 = n \times (\frac{L}{3L}) \times (\frac{d}{2d}) \times \sqrt{\frac{3T}{T}}$.
$n_2 = n \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} n = \frac{\sqrt{3}}{2 \times 3} n = \frac{n}{2 \sqrt{3}}$.
0 likes
View Solution147
MediumMCQ
એક તાર $A$ ની લંબાઈ,વ્યાસ,તણાવ અને ઘનતા બીજા તાર $B$ કરતા બમણી છે. તાર $A$ નો કયો ઓવરટોન તાર $B$ ની મૂળભૂત આવૃત્તિ જેટલી જ આવૃત્તિ ધરાવશે?
A
પ્રથમ
B
દ્વિતીય
C
તૃતીય
D
ચતુર્થ
Solution
(C) તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu = \rho \pi r^2$ છે.
તાર $B$ માટે: $n_B = \frac{1}{2l_B} \sqrt{\frac{T_B}{\mu_B}}$.
તાર $A$ માટે આપેલ છે: $l_A = 2l_B$,$d_A = 2d_B \Rightarrow r_A = 2r_B$,$T_A = 2T_B$,અને $\rho_A = 2\rho_B$.
$\mu_A$ ની ગણતરી કરતા: $\mu_A = \rho_A \pi r_A^2 = (2\rho_B) \pi (2r_B)^2 = 8 \rho_B \pi r_B^2 = 8\mu_B$.
હવે,તાર $A$ ની મૂળભૂત આવૃત્તિ: $n_A = \frac{1}{2l_A} \sqrt{\frac{T_A}{\mu_A}} = \frac{1}{2(2l_B)} \sqrt{\frac{2T_B}{8\mu_B}} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2l_B} \sqrt{\frac{T_B}{\mu_B}} \right) = \frac{1}{4} n_B$.
તાર $A$ ના $p^{\text{મા}}$ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_p = (p+1)n_A$ છે.
આપણે $f_p = n_B$ જોઈએ છે,તેથી $(p+1) \frac{n_B}{4} = n_B$.
આનાથી $p+1 = 4$,અથવા $p = 3$ મળે છે.
આમ,તાર $A$ નો $3^{\text{જો}}$ ઓવરટોન તાર $B$ ની મૂળભૂત આવૃત્તિ જેટલી જ આવૃત્તિ ધરાવશે.
તાર $B$ માટે: $n_B = \frac{1}{2l_B} \sqrt{\frac{T_B}{\mu_B}}$.
તાર $A$ માટે આપેલ છે: $l_A = 2l_B$,$d_A = 2d_B \Rightarrow r_A = 2r_B$,$T_A = 2T_B$,અને $\rho_A = 2\rho_B$.
$\mu_A$ ની ગણતરી કરતા: $\mu_A = \rho_A \pi r_A^2 = (2\rho_B) \pi (2r_B)^2 = 8 \rho_B \pi r_B^2 = 8\mu_B$.
હવે,તાર $A$ ની મૂળભૂત આવૃત્તિ: $n_A = \frac{1}{2l_A} \sqrt{\frac{T_A}{\mu_A}} = \frac{1}{2(2l_B)} \sqrt{\frac{2T_B}{8\mu_B}} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2l_B} \sqrt{\frac{T_B}{\mu_B}} \right) = \frac{1}{4} n_B$.
તાર $A$ ના $p^{\text{મા}}$ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_p = (p+1)n_A$ છે.
આપણે $f_p = n_B$ જોઈએ છે,તેથી $(p+1) \frac{n_B}{4} = n_B$.
આનાથી $p+1 = 4$,અથવા $p = 3$ મળે છે.
આમ,તાર $A$ નો $3^{\text{જો}}$ ઓવરટોન તાર $B$ ની મૂળભૂત આવૃત્તિ જેટલી જ આવૃત્તિ ધરાવશે.
0 likes
View Solution148
DifficultMCQ
એક સોનોમીટરના તારને ધાતુના ગોળાને લટકાવીને ખેંચવામાં આવે છે,તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_1$ છે. જ્યારે ગોળાને સંપૂર્ણપણે પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તારની કંપન આવૃત્તિ $n_2$ થાય છે. ધાતુના ગોળાની સાપેક્ષ ઘનતા કેટલી છે?
A
$\frac{n_1^2}{n_1^2-n_2^2}$
B
$\frac{n_2^2}{n_1^2-n_2^2}$
C
$\frac{n_1^2}{n_1^2+n_2^2}$
D
$\frac{n_2^2}{n_1^2+n_2^2}$
Solution
(A) સોનોમીટરના તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તારમાં રહેલું તણાવ છે.
જ્યારે $W$ વજનનો ગોળો હવામાં હોય,ત્યારે તણાવ $T_1 = W$. તેથી,$n_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{W}{\mu}}$.
જ્યારે ગોળાને પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ લાગે છે,જેનાથી તણાવ ઘટીને $T_2 = W - F_B$ થાય છે. તેથી,$n_2 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{W - F_B}{\mu}}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{W}{W - F_B}} \implies \frac{n_1^2}{n_2^2} = \frac{W}{W - F_B}$.
સાપેક્ષ ઘનતા $\sigma = \frac{W}{F_B}$.
ગુણોત્તરને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{n_1^2}{n_2^2} = \frac{W}{W - (W/\sigma)} = \frac{\sigma}{\sigma - 1}$.
$\sigma$ માટે ઉકેલતા: $n_1^2(\sigma - 1) = n_2^2 \sigma \implies \sigma(n_1^2 - n_2^2) = n_1^2$.
તેથી,$\sigma = \frac{n_1^2}{n_1^2 - n_2^2}$.
જ્યારે $W$ વજનનો ગોળો હવામાં હોય,ત્યારે તણાવ $T_1 = W$. તેથી,$n_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{W}{\mu}}$.
જ્યારે ગોળાને પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ લાગે છે,જેનાથી તણાવ ઘટીને $T_2 = W - F_B$ થાય છે. તેથી,$n_2 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{W - F_B}{\mu}}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{W}{W - F_B}} \implies \frac{n_1^2}{n_2^2} = \frac{W}{W - F_B}$.
સાપેક્ષ ઘનતા $\sigma = \frac{W}{F_B}$.
ગુણોત્તરને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{n_1^2}{n_2^2} = \frac{W}{W - (W/\sigma)} = \frac{\sigma}{\sigma - 1}$.
$\sigma$ માટે ઉકેલતા: $n_1^2(\sigma - 1) = n_2^2 \sigma \implies \sigma(n_1^2 - n_2^2) = n_1^2$.
તેથી,$\sigma = \frac{n_1^2}{n_1^2 - n_2^2}$.
0 likes
View Solution149
MediumMCQ
જ્યારે દોરીમાં તણાવ $3 \ kg \ wt$ જેટલો વધારવામાં આવે છે,ત્યારે મૂળભૂત મોડની આવૃત્તિ $2:3$ ના ગુણોત્તરમાં વધે છે. દોરીમાં પ્રારંભિક તણાવ કેટલો હશે ($kg \ wt$ માં)?
A
$1.6$
B
$2.0$
C
$2.4$
D
$2.8$
Solution
(C) ખેંચાયેલી દોરીના મૂળભૂત મોડની આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $m$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
ધારો કે પ્રારંભિક તણાવ $T$ છે. પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ છે.
જ્યારે તણાવ $3 \ kg \ wt$ જેટલો વધારવામાં આવે છે,ત્યારે નવો તણાવ $T' = T + 3$ થાય છે. નવી આવૃત્તિ $f' = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T+3}{m}}$ થાય છે.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $f : f' = 2 : 3$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{f}{f'} = \sqrt{\frac{T}{T+3}} = \frac{2}{3}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{T}{T+3} = \frac{4}{9}$
$9T = 4(T + 3)$
$9T = 4T + 12$
$5T = 12$
$T = 2.4 \ kg \ wt$
આમ,દોરીમાં પ્રારંભિક તણાવ $2.4 \ kg \ wt$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક તણાવ $T$ છે. પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ છે.
જ્યારે તણાવ $3 \ kg \ wt$ જેટલો વધારવામાં આવે છે,ત્યારે નવો તણાવ $T' = T + 3$ થાય છે. નવી આવૃત્તિ $f' = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T+3}{m}}$ થાય છે.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $f : f' = 2 : 3$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{f}{f'} = \sqrt{\frac{T}{T+3}} = \frac{2}{3}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{T}{T+3} = \frac{4}{9}$
$9T = 4(T + 3)$
$9T = 4T + 12$
$5T = 12$
$T = 2.4 \ kg \ wt$
આમ,દોરીમાં પ્રારંભિક તણાવ $2.4 \ kg \ wt$ છે.
0 likes
View Solution150
DifficultMCQ
એક સોનોમીટરનો તાર '$n$' આવૃત્તિ ધરાવતા ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે અનુનાદમાં છે જ્યારે તેને '$d$' વિશિષ્ટ ઘનતા (specific gravity) ધરાવતા વજન દ્વારા ખેંચવામાં આવે છે. જ્યારે આ વજનને સંપૂર્ણપણે પાણીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રતિ સેકન્ડ '$x$' બીટ્સ ઉત્પન્ન થાય છે,તો
A
$\frac{n}{n-x}=\frac{d}{d-1}$
B
$\frac{n}{n-x}=\sqrt{\frac{d}{d-1}}$
C
$\frac{n-x}{n}=\frac{d-1}{d}$
D
$\frac{n-x}{n}=\sqrt{\frac{d}{d-1}}$
Solution
(B) સોનોમીટર માટે,કંપન આવૃત્તિ $n$ એ તણાવ $T$ ના વર્ગમૂળના પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $n \propto \sqrt{T}$.
જ્યારે વજન હવામાં હોય,ત્યારે તણાવ $T_1 = V \cdot d \cdot \rho_w \cdot g$ છે,જ્યાં $V$ એ વજનનું કદ છે,$d$ એ તેની વિશિષ્ટ ઘનતા છે અને $\rho_w$ એ પાણીની ઘનતા છે.
આમ,$n \propto \sqrt{V \cdot d \cdot \rho_w \cdot g}$.
જ્યારે વજનને પાણીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે ઉત્પ્લાવક બળને કારણે અસરકારક વજન (તણાવ) $T_2 = V \cdot (d - 1) \cdot \rho_w \cdot g$ બને છે.
નવી આવૃત્તિ $n'$ એ $n' = n - x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (કારણ કે બીટ્સ ઉત્પન્ન થાય છે).
આમ,$n' \propto \sqrt{V \cdot (d - 1) \cdot \rho_w \cdot g}$.
બંને આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{n}{n-x} = \sqrt{\frac{V \cdot d \cdot \rho_w \cdot g}{V \cdot (d - 1) \cdot \rho_w \cdot g}}$
$\frac{n}{n-x} = \sqrt{\frac{d}{d-1}}$.
જ્યારે વજન હવામાં હોય,ત્યારે તણાવ $T_1 = V \cdot d \cdot \rho_w \cdot g$ છે,જ્યાં $V$ એ વજનનું કદ છે,$d$ એ તેની વિશિષ્ટ ઘનતા છે અને $\rho_w$ એ પાણીની ઘનતા છે.
આમ,$n \propto \sqrt{V \cdot d \cdot \rho_w \cdot g}$.
જ્યારે વજનને પાણીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે ઉત્પ્લાવક બળને કારણે અસરકારક વજન (તણાવ) $T_2 = V \cdot (d - 1) \cdot \rho_w \cdot g$ બને છે.
નવી આવૃત્તિ $n'$ એ $n' = n - x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (કારણ કે બીટ્સ ઉત્પન્ન થાય છે).
આમ,$n' \propto \sqrt{V \cdot (d - 1) \cdot \rho_w \cdot g}$.
બંને આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{n}{n-x} = \sqrt{\frac{V \cdot d \cdot \rho_w \cdot g}{V \cdot (d - 1) \cdot \rho_w \cdot g}}$
$\frac{n}{n-x} = \sqrt{\frac{d}{d-1}}$.
0 likes
View SolutionWaves and Sound — Transverse Stationary Waves and Sonometer · Frequently Asked Questions
1Are these Waves and Sound questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D papers from this chapter in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFor Teachers & Institutes
Generate a Waves and Sound Exam Paper in 2 Minutes
Select subtopic & difficulty — Sets A, B, C, D auto-generated with No Repeat logic.
First 3 chapters of every subject are free — no payment required.