Transverse Stationary Waves and Sonometer Questions in Gujarati

(D) સોનોમીટરના તારની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ લૂપની લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
આવૃત્તિ $f$ અચળ રહેતી હોવાથી,$\frac{1}{L_1} \sqrt{T_1} = \frac{1}{L_2} \sqrt{T_2}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{L_1}{L_2} = 2.2$,તેથી $\sqrt{\frac{T_1}{T_2}} = 2.2$,જેનો અર્થ છે કે $T_1 = (2.2)^2 T_2 = 4.84 T_2$.
જ્યારે નળાકાર હવામાં હોય,ત્યારે $T_1 = Mg$. જ્યારે પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે,ત્યારે $T_2 = Mg - F_B$,જ્યાં $F_B$ એ ઉત્પ્લાવક બળ છે.
$F_B = V_{cyl} \rho_w g = \frac{M}{\rho_{cyl}} \rho_w g = \frac{Mg}{S.G.}$,જ્યાં $S.G.$ એ વિશિષ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ છે.
આમ,$Mg = 4.84 (Mg - \frac{Mg}{S.G.})$.
$Mg$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $1 = 4.84 (1 - \frac{1}{S.G.})$.
$1 = 4.84 - \frac{4.84}{S.G.}$,જે આપે છે $\frac{4.84}{S.G.} = 3.84$.
$S.G. = \frac{4.84}{3.84} \approx 1.26$.

(C) સ્થિત તરંગોમાં,જે બિંદુઓ પર કંપનનો કંપવિસ્તાર શૂન્ય હોય છે તેને નિસ્પંદ બિંદુઓ (nodes) કહેવામાં આવે છે,અને જે બિંદુઓ પર કંપવિસ્તાર મહત્તમ હોય છે તેને પ્રસ્પંદ બિંદુઓ (antinodes) કહેવામાં આવે છે.
પ્રસ્પંદ બિંદુઓ પર મૂકેલા કાગળના ટુકડા મહત્તમ કંપનને કારણે નીચે પડી જશે,જ્યારે નિસ્પંદ બિંદુ પર મૂકેલો કાગળનો ટુકડો તાર પર જ રહેશે કારણ કે નિસ્પંદ બિંદુ પર કંપનનો કંપવિસ્તાર શૂન્ય હોય છે.
વચ્ચેનો કાગળનો ટુકડો પડતો નથી,તેથી તે નિસ્પંદ બિંદુ પર હોવો જોઈએ.
બે આધાર $Q$ અને $R$ વચ્ચેનું અંતર $L = 4x$ છે.
આપેલ છે કે વચ્ચેનો ટુકડો નિસ્પંદ બિંદુ પર છે,તેથી તાર બે લૂપમાં કંપન કરે છે (દરેકની લંબાઈ $2x$ છે).
એક લૂપની લંબાઈ $\frac{\lambda}{2}$ છે.
તેથી,$2x = \frac{\lambda}{2}$,જે આપે છે $\lambda = 4x$.
આમ,કંપનની તરંગલંબાઈ $4x$ છે.

(B) $l$ લંબાઈના મૂળ તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_0 = \frac{v}{2l}$ છે,જ્યાં $v$ એ તરંગની ઝડપ છે.
જ્યારે કેન્દ્રથી $\Delta l$ અંતરે બ્રિજ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તાર બે ભાગમાં વહેંચાય છે જેની લંબાઈ $l_1 = \frac{l}{2} + \Delta l$ અને $l_2 = \frac{l}{2} - \Delta l$ છે.
આ બે ભાગોની મૂળભૂત આવૃત્તિઓ છે:
$n_1 = \frac{v}{2l_1} = \frac{v}{l + 2\Delta l}$
$n_2 = \frac{v}{2l_2} = \frac{v}{l - 2\Delta l}$
બીટ આવૃત્તિ $|n_2 - n_1| = \frac{v}{l - 2\Delta l} - \frac{v}{l + 2\Delta l}$ છે.
દ્વિપદી અંદાજ $(1 \pm x)^{-1} \approx 1 \mp x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|n_2 - n_1| = \frac{v}{l} \left( (1 - \frac{2\Delta l}{l})^{-1} - (1 + \frac{2\Delta l}{l})^{-1} \right)$
$\approx \frac{v}{l} \left( (1 + \frac{2\Delta l}{l}) - (1 - \frac{2\Delta l}{l}) \right) = \frac{4v}{l} \cdot \frac{\Delta l}{l}$.
$n_0 = \frac{v}{2l}$ હોવાથી,$\frac{v}{l} = 2n_0$ થાય.
તેથી,બીટ આવૃત્તિ $4(2n_0) \frac{\Delta l}{l} = 8 n_0 \frac{\Delta l}{l}$ મળે.

(C) સોનોમીટરના તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિસ્સો $1$: તણાવ $44\%$ વધારવામાં આવે છે. નવું તણાવ $T' = T + 0.44T = 1.44T$.
નવી આવૃત્તિ $n' = n + 6$.
$n + 6 = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{1.44T}{m}} = 1.2 \left( \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}} \right) = 1.2n$.
$0.2n = 6 \Rightarrow n = 30 \ Hz$.
કિસ્સો $2$: લંબાઈ $20\%$ વધારવામાં આવે છે. નવી લંબાઈ $l' = l + 0.2l = 1.2l$.
નવી આવૃત્તિ $n'' = \frac{1}{2l'} \sqrt{\frac{T}{m}} = \frac{1}{2(1.2l)} \sqrt{\frac{T}{m}} = \frac{n}{1.2} = \frac{30}{1.2} = 25 \ Hz$.
આવૃત્તિમાં થતો ફેરફાર $|n - n''| = |30 - 25| = 5 \ Hz$ છે.

(C) તણાવ $T$ હેઠળના તારમાં સ્થિત તરંગની આવૃત્તિ $f = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એન્ટિનોડ્સની સંખ્યા છે,$L$ એ તારની લંબાઈ છે,અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
તારમાં તણાવ $T$ સ્પ્રિંગ દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવે છે,તેથી $T = kx$,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $x$ એ ખેંચાણ છે.
આમ,$f = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{kx}{\mu}}$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$n_1 = 3$ અને $x_1 = 4.0\, cm$. તેથી,$f = \frac{3}{2L} \sqrt{\frac{k(4.0)}{\mu}}$.
બીજા કિસ્સા માટે,$n_2 = 2$ અને આપણે $x_2$ શોધવાની જરૂર છે. આવૃત્તિ $f$ સમાન હોવાથી,$f = \frac{2}{2L} \sqrt{\frac{k(x_2)}{\mu}}$.
$f$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{3}{2L} \sqrt{\frac{k(4.0)}{\mu}} = \frac{2}{2L} \sqrt{\frac{k(x_2)}{\mu}}$.
સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે $3 \sqrt{4.0} = 2 \sqrt{x_2}$.
$3 \times 2 = 2 \sqrt{x_2} \implies 6 = 2 \sqrt{x_2} \implies \sqrt{x_2} = 3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x_2 = 9\, cm$.

(D) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $\mu = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{F}{\lambda}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
આપેલ છે કે કુલ દળ $M$ અને લંબાઈ $L$ છે,તેથી એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda = \frac{M}{L}$ થાય.
આ કિંમતને આવૃત્તિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\mu = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{F}{M/L}}$
$\mu = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{FL}{M}}$
$\mu = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{FL}{M \cdot L^2}}$
$\mu = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{F}{ML}}$
જ્યારે આપાત આવૃત્તિ તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ સાથે મેળ ખાય છે ત્યારે અનુનાદ થાય છે,જેના પરિણામે મહત્તમ કંપન ઉર્જા ઉત્પન્ન થાય છે.

(D) કંપન કરતા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \text{એકમ લંબાઈ દીઠ દળ} = \rho \times \text{આડછેદનું ક્ષેત્રફળ} = \rho \pi r^2$,જ્યાં $\rho$ એ દ્રવ્યની ઘનતા છે.
આપેલ છે: $L_1 = L$,$r_1 = 2r$,$L_2 = 2L$,$r_2 = r$,અને $T_1 = T_2 = T$.
પ્રથમ તાર માટે: $f_1 = \frac{1}{2L_1} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi r_1^2}} = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi (2r)^2}} = \frac{1}{4L} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi r^2}}$.
બીજા તાર માટે: $f_2 = \frac{1}{2L_2} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi r_2^2}} = \frac{1}{2(2L)} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi r^2}} = \frac{1}{4L} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi r^2}}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{f_1}{f_2} = \frac{\frac{1}{4L} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi r^2}}}{\frac{1}{4L} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi r^2}}} = 1$.

(A) કોર્ડ તેના સૌથી સરળ સ્ટેન્ડિંગ-વેવ મોડ (ફંડામેન્ટલ મોડ) માં કંપન કરે છે,જ્યાં કોર્ડની લંબાઈ $d$ એ અડધી તરંગલંબાઇને અનુરૂપ છે,એટલે કે $d = \frac{\lambda}{2}$,અથવા $\lambda = 2d$ છે.
સ્ટેન્ડિંગ વેવની આવૃત્તિ $f$ એ $AC$ પ્રવાહની આવૃત્તિ જેટલી જ છે.
ખેંચાયેલી દોરી પર તરંગની ઝડપ $v$ એ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગ સમીકરણ $v = f\lambda$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\lambda = 2d$ મૂકતા $v = f(2d) = 2fd$ મળે છે.
$v$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\sqrt{\frac{T}{\mu}} = 2fd$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{T}{\mu} = 4f^2 d^2$.
તેથી,જરૂરી સંબંધ $T = 4\mu f^2 d^2$ છે.

(B) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{V}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $f \propto \frac{1}{L}$.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $f_1 : f_2 : f_3 = 1 : 2 : 3$ આપેલ છે,તેથી તારના ભાગોની લંબાઈ આવૃત્તિઓના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવી જોઈએ:
$L_1 : L_2 : L_3 = \frac{1}{1} : \frac{1}{2} : \frac{1}{3} = 6 : 3 : 2$.
ધારો કે લંબાઈ $L_1 = 6x$,$L_2 = 3x$,અને $L_3 = 2x$ છે.
કુલ લંબાઈ $L_1 + L_2 + L_3 = 110\; cm$ છે.
$6x + 3x + 2x = 110 \Rightarrow 11x = 110 \Rightarrow x = 10\; cm$.
આમ,લંબાઈઓ $L_1 = 60\; cm$,$L_2 = 30\; cm$,અને $L_3 = 20\; cm$ છે.
પ્રથમ બ્રિજ $A$ થી $L_1 = 60\; cm$ ના અંતરે મૂકવામાં આવે છે.
બીજો બ્રિજ $A$ થી $L_1 + L_2 = 60 + 30 = 90\; cm$ ના અંતરે મૂકવામાં આવે છે.

(A) સોનોમીટરના તારની આવૃત્તિ $n' \propto \frac{1}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n$ છે.
લંબાઈ $l_1 = 50 \, cm$ માટે,તારની આવૃત્તિ $n_1 = \frac{k}{50}$ છે. તે $4$ બીટ્સ ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી $n_1 = n \pm 4$.
લંબાઈ $l_2 = 49 \, cm$ માટે,તારની આવૃત્તિ $n_2 = \frac{k}{49}$ છે. તે $4$ બીટ્સ ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી $n_2 = n \pm 4$.
જેમ કે $l_2 < l_1$,તેથી $n_2 > n_1$. આમ,$n_1 = n - 4$ અને $n_2 = n + 4$.
તેથી,$\frac{n_1}{n_2} = \frac{49}{50} = \frac{n-4}{n+4}$.
$50(n-4) = 49(n+4)$.
$50n - 200 = 49n + 196$.
$n = 396 \, Hz$.

(D) બંને છેડે જડેલી દોરી માટે,$n^{th}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = \frac{n v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ અને $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$.
$3^{rd}$ ઓવરટોન એ $4^{th}$ હાર્મોનિકને અનુરૂપ છે,તેથી $n = 4$.
આપેલ છે: લંબાઈ $L = 1 \, m$,તણાવ $T = 200 \, N$,રેખીય દળ ઘનતા $\mu = 5 \, g/m = 5 \times 10^{-3} \, kg/m$.
પ્રથમ,તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{200}{5 \times 10^{-3}}} = \sqrt{40000} = 200 \, m/s$ ગણો.
હવે,આવૃત્તિ $f_4 = \frac{4 \times 200}{2 \times 1} = 2 \times 200 = 400 \, Hz$ ગણો.

(B) આપેલ છે: લંબાઈ $L = 1.5 \, m$,ઘનતા $\rho = 7.7 \times 10^3 \, kg/m^3$,યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2 \times 10^{11} \, N/m^2$,વિકૃતિ $\epsilon = \frac{\Delta L}{L} = 1 \% = 0.01$.
યંગ મોડ્યુલસની વ્યાખ્યા મુજબ $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$,તેથી તણાવ $F = Y \cdot A \cdot \epsilon$.
ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{F}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu = A \cdot \rho$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
$F$ ની કિંમત મૂકતા: $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{Y \cdot A \cdot \epsilon}{A \cdot \rho}} = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{Y \cdot \epsilon}{\rho}}$.
કિંમતો મૂકતા: $n = \frac{1}{2 \times 1.5} \sqrt{\frac{2 \times 10^{11} \times 0.01}{7.7 \times 10^3}}$.
$n = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2 \times 10^9}{7.7 \times 10^3}} = \frac{1}{3} \sqrt{0.2597 \times 10^6} = \frac{1}{3} \times 509.6 \approx 170 \, Hz$.

(A) બંને છેડે જડિત $l$ લંબાઈની દોરીમાં દ્વિતીય હાર્મોનિક માટે,સ્થિત તરંગની ભાત બે લૂપ ધરાવે છે જેમાં કેન્દ્ર $(l/2)$ પર નિસ્પંદ બિંદુ (node) હોય છે.
ચોક્કસ હાર્મોનિક ઉત્પન્ન કરવા માટે,આપણે દોરીને પ્રસ્પંદ બિંદુ (antinode) પર ખેંચીએ છીએ અને નિસ્પંદ બિંદુ (node) પર સ્પર્શ કરીએ છીએ.
દ્વિતીય હાર્મોનિક $(n=2)$ માટે,તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = 2l/n = l$ છે.
નિસ્પંદ બિંદુઓ $x = 0, l/2, l$ પર આવેલા છે.
પ્રસ્પંદ બિંદુઓ $x = l/4$ અને $x = 3l/4$ પર આવેલા છે.
દ્વિતીય હાર્મોનિક ઉત્પન્ન કરવા માટે,આપણે દોરીને પ્રસ્પંદ બિંદુ (દા.ત.,$l/4$) પર ખેંચવી જોઈએ અને નિસ્પંદ બિંદુ (દા.ત.,$l/2$) પર સ્પર્શવી જોઈએ જેથી મૂળભૂત આવૃત્તિ દબાઈ જાય અને દ્વિતીય હાર્મોનિક સ્થિર રહી શકે.

(D) સોનોમીટરના તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ નું સૂત્ર: $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $\mu = \pi r^2 \rho$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
આથી,$n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}} = \frac{1}{2lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
આના પરથી,$n \propto \frac{\sqrt{T}}{lr}$ મળે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક મૂલ્યો $l_1 = l$,$T_1 = T$,અને $r_1 = r$ છે. નવા મૂલ્યો $l_2 = 3l$,$T_2 = 3T$,અને $r_2 = 3r$ છે.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર:
$\frac{n_2}{n_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} \times \frac{l_1}{l_2} \times \frac{r_1}{r_2}$
$\frac{n_2}{n} = \sqrt{\frac{3T}{T}} \times \frac{l}{3l} \times \frac{r}{3r}$
$\frac{n_2}{n} = \sqrt{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{3}}{9} = \frac{1}{3\sqrt{3}}$
તેથી,$n_2 = \frac{n}{3\sqrt{3}}$.

(B) બંને છેડે જડેલી દોરીની અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $f_n = n \cdot f_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f_0$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે અને $n$ એ પૂર્ણાંક છે $(n = 1, 2, 3, \dots)$.
અહીં બે ક્રમિક અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $f_n = 315\,Hz$ અને $f_{n+1} = 420\,Hz$ આપેલી છે.
બે ક્રમિક અનુનાદિત આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત એ મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0$ છે.
$f_0 = f_{n+1} - f_n = 420\,Hz - 315\,Hz = 105\,Hz$.
આમ,સૌથી ઓછી અનુનાદિત આવૃત્તિ (મૂળભૂત આવૃત્તિ) $105\,Hz$ છે.

(A) બંને છેડે જડેલી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે,અને $m$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: $n' = \frac{1}{2(2l)} \sqrt{\frac{4T}{m}} = \frac{1}{4l} \cdot 2 \sqrt{\frac{T}{m}} = n$ (કોઈ ફેરફાર નહીં).
વિકલ્પ $B$ માટે: $n' = \frac{1}{2(l/2)} \sqrt{\frac{2T}{m}} = \sqrt{2} n$ (ફેરફાર થાય છે).
વિકલ્પ $C$ માટે: $n' = \frac{1}{2(l/2)} \sqrt{\frac{T/2}{m}} = \frac{1}{\sqrt{2}} n$ (ફેરફાર થાય છે).
વિકલ્પ $D$ માટે: $n' = \frac{1}{2(2l)} \sqrt{\frac{2T}{m}} = \frac{1}{\sqrt{2}} n$ (ફેરફાર થાય છે).
આમ,વિકલ્પ $A$ માં કરેલો ફેરફાર મૂળભૂત આવૃત્તિને અસર કરતું નથી.

(B) સોનોમીટરના તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ નું સૂત્ર $n = \frac{1}{2 \ell} \sqrt{\frac{T}{m}}$ છે,જ્યાં $\ell$ એ લંબાઈ,$T$ એ તણાવબળ અને $m$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
અહીં $\ell$ અને $m$ અચળ હોવાથી,$n \propto \sqrt{T}$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n$ છે. જ્યારે તણાવબળ $T$ માં $44\%$ નો વધારો કરવામાં આવે,ત્યારે નવું તણાવબળ $T' = T + 0.44T = 1.44T$ થાય.
નવી આવૃત્તિ $n'$ એ $n + 6$ તરીકે આપવામાં આવી છે.
પ્રમાણસરતા $n \propto \sqrt{T}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{n'}{n} = \sqrt{\frac{T'}{T}}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{n+6}{n} = \sqrt{\frac{1.44T}{T}} = \sqrt{1.44} = 1.2$.
આમ,$n + 6 = 1.2n$.
$0.2n = 6$.
$n = \frac{6}{0.2} = 30\, Hz$.

(C) સોનોમીટર વાયરની આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2 \ell} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T = Mg$ એ વાયરમાં તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
આમ,$n = \frac{1}{2 \ell} \sqrt{\frac{Mg}{\mu}}$.
વાયર સમાન ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે અનુનાદમાં રહે તે માટે,આવૃત્તિ $n$ અચળ રહેવી જોઈએ.
કારણ કે $\ell$ અને $\mu$ અચળ છે,તેથી $n \propto \sqrt{Mg}$.
તેથી,$\sqrt{M_1 g_1} = \sqrt{M_2 g_2}$.
અહીં $M_1 = 1 \, kg$,$g_1 = g$,અને $g_2 = g/6$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{1 \times g} = \sqrt{M_2 \times \frac{g}{6}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $g = M_2 \times \frac{g}{6}$.
$M_2$ માટે ઉકેલતા,આપણને $M_2 = 6 \, kg$ મળે છે.

(B) અચળ તણાવ અને રેખીય ઘનતા ધરાવતા ખેંચાયેલા તાર માટે, આવૃત્તિ $n$ એ લંબાઈ $l$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $n \propto 1/l$ અથવા $nl = \text{અચળ}$.
કુલ લંબાઈ $L = l_1 + l_2 + l_3 = 110 \, cm$ આપેલ છે.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $n_1 : n_2 : n_3 = 1 : 2 : 3$ છે.
તેથી $n_1 l_1 = n_2 l_2 = n_3 l_3 = k$ હોવાથી, $l_1 = k/n_1, l_2 = k/n_2, l_3 = k/n_3$ મળે.
આમ, $l_1 : l_2 : l_3 = 1/1 : 1/2 : 1/3 = 6 : 3 : 2$ થાય.
ધારો કે લંબાઈઓ $6x, 3x$ અને $2x$ છે.
તેથી $6x + 3x + 2x = 110 \, cm \Rightarrow 11x = 110 \, cm \Rightarrow x = 10 \, cm$.
તેથી, લંબાઈઓ $l_1 = 6(10) = 60 \, cm$, $l_2 = 3(10) = 30 \, cm$ અને $l_3 = 2(10) = 20 \, cm$ થશે.

(D) તારમાં તણાવબળ $T$ એ લટકાવેલા દળના વજન જેટલું હોય છે,$T = Mg = 9 \times 9.8 = 88.2 \, N$.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{m}{l} = \frac{12 \times 10^{-3} \, kg}{1.5 \, m} = 8 \times 10^{-3} \, kg/m$.
લંબગત તરંગનો વેગ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{88.2}{8 \times 10^{-3}}} = \sqrt{11025} = 105 \, m/s$.
$p=3$ લૂપમાં કંપન માટે,આવૃત્તિ $f = \frac{p v}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$f = \frac{3 \times 105}{2 \times 1.5} = \frac{315}{3} = 105 \, Hz$.
આમ,$105 \, Hz$ વિકલ્પોમાં આપેલ નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{T/A}{\Delta \ell / \ell}$ છે,જ્યાં $T$ તણાવ છે,$A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$\Delta \ell$ વિસ્તરણ છે અને $\ell$ લંબાઈ છે.
$T = \frac{Y A \Delta \ell}{\ell}$.
તારમાં લંબગત તરંગોનો વેગ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $\mu = A \rho$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે અને $\rho$ એ ઘનતા છે.
$v = \sqrt{\frac{Y A \Delta \ell}{\ell A \rho}} = \sqrt{\frac{Y \Delta \ell}{\ell \rho}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{9 \times 10^{10} \times 4.9 \times 10^{-4}}{1 \times 9 \times 10^3}} = \sqrt{\frac{44.1 \times 10^6}{9 \times 10^3}} = \sqrt{4.9 \times 10^3} = \sqrt{4900} = 70 \,m/s$.
લઘુત્તમ આવૃત્તિ (મૂળભૂત આવૃત્તિ) $f = \frac{v}{2\ell} = \frac{70}{2 \times 1} = 35 \,Hz$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણ $y = 0.06 \sin \left( \frac{2\pi}{3}x \right) \cos (120\pi t)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 120\pi \, rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2\pi}{3} \, m^{-1}$ મળે છે.
તરંગની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{120\pi}{2\pi/3} = 180 \, m/s$ છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{m}{L} = \frac{3.0 \times 10^{-2} \, kg}{1.5 \, m} = 2.0 \times 10^{-2} \, kg/m$ છે.
દોરીમાં તણાવ $T = v^2 \mu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$T = (180)^2 \times (2.0 \times 10^{-2}) = 32400 \times 0.02 = 648 \, N$.

(C) સોનોમીટરના તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ (વજન) છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
અહીં $f \propto \sqrt{T}$ હોવાથી,$\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ મળે.
ઓક્ટેવ એટલે આવૃત્તિ બમણી થવી,તેથી $f_2 = 2f_1$.
તેથી,$\frac{2f_1}{f_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$,જેનો અર્થ છે કે $2 = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4 = \frac{T_2}{T_1}$ મળે.
આપેલ છે કે $T_1 = 4\,kg-wt$,તેથી $T_2 = 4 \times 4 = 16\,kg-wt$.

(D) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર: $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે.
અહીં,$T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ તારની રેખીય ઘનતા છે.
તણાવ $T$ અને ઘનતા $\mu$ અચળ હોવાથી,આવૃત્તિ અને લંબાઈનો ગુણાકાર અચળ રહે છે: $f_1 l_1 = f_2 l_2$.
આપેલ છે કે $f_1 = 512 \; Hz$,$l_1 = 0.5 \; m$,અને $f_2 = 256 \; Hz$.
કિંમતો મૂકતા: $512 \times 0.5 = 256 \times l_2$.
$256 = 256 \times l_2$.
તેથી,$l_2 = 1 \; m$.

(B) સોનોમીટરના તાર માટે,કંપન આવૃત્તિ $n = \frac{p}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ લૂપ્સ (પ્રસ્પંદ બિંદુઓ) ની સંખ્યા છે,$l$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે,અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
$\mu = \pi r^2 \rho$ હોવાથી,આવૃત્તિનું સૂત્ર $n = \frac{p}{2l} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}}$ બને છે.
સંયુક્ત તાર માટે,આવૃત્તિ $n$ બંને ભાગ $W_1$ અને $W_2$ માટે સમાન છે. ઉપરાંત,$T$,$r$,અને $l$ બંને તાર માટે સમાન છે.
તેથી,$n_1 = n_2 \implies \frac{p_1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho_1}} = \frac{p_2}{2l} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho_2}}$.
સાદુરૂપ આપતા,આપણને $\frac{p_1}{\sqrt{\rho_1}} = \frac{p_2}{\sqrt{\rho_2}}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\rho_2 = 4\rho_1$,તેથી $\frac{p_1}{\sqrt{\rho_1}} = \frac{p_2}{\sqrt{4\rho_1}} = \frac{p_2}{2\sqrt{\rho_1}}$.
આમ,$\frac{p_1}{p_2} = \frac{1}{2}$.

(B) તારની કુલ લંબાઈ $L = 110 \ cm = 1.1 \ m$ છે. લંબાઈનો ગુણોત્તર $6:3:2$ છે. ધારો કે લંબાઈ $l_1, l_2, l_3$ છે.
ભાગોનો સરવાળો $= 6+3+2 = 11$.
$l_1 = (6/11) \times 110 = 60 \ cm = 0.6 \ m$.
$l_2 = (3/11) \times 110 = 30 \ cm = 0.3 \ m$.
$l_3 = (2/11) \times 110 = 20 \ cm = 0.2 \ m$.
તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T = 400 \ N$ અને $\mu = 0.01 \ kg/m$.
$\sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{400}{0.01}} = \sqrt{40000} = 200 \ m/s$.
$f_1 = \frac{200}{2 \times 0.6} = \frac{100}{0.6} = \frac{1000}{6} \ Hz$.
$f_2 = \frac{200}{2 \times 0.3} = \frac{100}{0.3} = \frac{1000}{3} \ Hz$.
$f_3 = \frac{200}{2 \times 0.2} = \frac{100}{0.2} = 500 \ Hz = \frac{1000}{2} \ Hz$.
સામાન્ય આવૃત્તિ એ આવૃત્તિઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે.
$LCM(\frac{1000}{6}, \frac{1000}{3}, \frac{1000}{2}) = \frac{LCM(1000, 1000, 1000)}{GCD(6, 3, 2)} = \frac{1000}{1} = 1000 \ Hz$.

(D) તારની કુલ લંબાઈ,$L = 114\, cm$.
ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $n \propto \frac{1}{L}$.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $n_1 : n_2 : n_3 = 1 : 3 : 4$ આપેલ છે.
તેથી,ત્રણ ભાગોની લંબાઈનો ગુણોત્તર $L_1 : L_2 : L_3 = \frac{1}{1} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4} = 12 : 4 : 3$ થશે.
ગુણોત્તરના ભાગોનો સરવાળો $12 + 4 + 3 = 19$ છે.
લંબાઈની ગણતરી:
$L_1 = \frac{12}{19} \times 114 = 12 \times 6 = 72\, cm$.
$L_2 = \frac{4}{19} \times 114 = 4 \times 6 = 24\, cm$.
$L_3 = \frac{3}{19} \times 114 = 3 \times 6 = 18\, cm$.
તારને આ ભાગોમાં વિભાજિત કરવા માટે,પ્રથમ બ્રિજ એક છેડેથી $72\, cm$ પર અને બીજો બ્રિજ તે જ છેડેથી $72 + 24 = 96\, cm$ પર મૂકવો જોઈએ.

(D) રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{m}{L} = \frac{5 \times 10^{-3} \, kg}{1 \, m} = 5 \times 10^{-3} \, kg/m$.
તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{8.0}{5 \times 10^{-3}}} = \sqrt{1600} = 40 \, m/s$.
તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{40 \, m/s}{100 \, Hz} = 0.4 \, m$.
ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ જેટલું હોય છે.
અંતર $= \frac{0.4 \, m}{2} = 0.2 \, m = 20 \, cm$.

(A) ધારો કે તાર $A$ અને $B$ ની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ અનુક્રમે $\mu_1$ અને $\mu_2$ છે.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,ઘનતા $\rho$ સમાન રહેશે.
$\mu_1 = \rho \pi r^2$ અને $\mu_2 = \rho \pi (2r)^2 = 4 \rho \pi r^2 = 4 \mu_1$.
બંને તારમાં તણાવ $T$ સમાન છે.
તારમાં તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{T/\mu}$ છે.
તેથી,$v_1 = \sqrt{T/\mu_1} = v$ અને $v_2 = \sqrt{T/\mu_2} = \sqrt{T/(4\mu_1)} = v/2$.
બંને છેડે જડિત $L$ લંબાઈના તાર માટે,$n$-મી હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f = n \frac{v}{2L}$ છે.
જોડાણ નિસ્પંદ બિંદુ હોવાથી,બંને તાર સમાન આવૃત્તિ $f$ સાથે સ્વતંત્ર રીતે કંપન કરે છે.
$f = p \frac{v_1}{2L} = q \frac{v_2}{2L}$,જ્યાં $p$ અને $q$ એ લૂપ્સની સંખ્યા છે (જે પ્રસ્પંદ બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી જ છે).
$p \frac{v}{2L} = q \frac{v/2}{2L} \implies p = q/2 \implies p/q = 1/2$.
તેથી,ગુણોત્તર $p : q$ એ $1 : 2$ છે.

(B) બંને છેડે જકડાયેલી દોરી માટે,$n^{th}$ હાર્મોનિકમાં લંબાઈ $\ell = n \frac{\lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n = 4$ આપેલ છે,તેથી $\ell = 4 \frac{\lambda}{2} = 2\lambda$.
સ્થિત તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $Y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ છે,જ્યાં $k = \frac{2\pi}{\lambda}$.
આપેલ સમીકરણ $Y = 0.3 \sin(0.157 x) \cos(200\pi t)$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 0.157$ મળે છે.
કારણ કે $0.157 \approx \frac{\pi}{20}$,તેથી $\frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\pi}{20}$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\lambda = 40 \, m$ મળે છે.
આ કિંમતને લંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા: $\ell = 2 \lambda = 2 \times 40 = 80 \, m$.

(D) બંને છેડે જડેલી દોરી માટે $n$ માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિનું સૂત્ર $f_n = \frac{n v}{2L}$ છે.
આપેલ છે: લંબાઈ $L = 2.0\, m$,આવૃત્તિ $f_3 = 240\, Hz$,અને હાર્મોનિક $n = 3$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $240 = \frac{3 \times v}{2 \times 2.0}$.
$240 = \frac{3v}{4} \Rightarrow 3v = 960 \Rightarrow v = 320\, m/s$.
મૂળભૂત આવૃત્તિ $(n=1)$ $f_1 = \frac{v}{2L} = \frac{320}{2 \times 2.0} = \frac{320}{4} = 80\, Hz$ થાય.

(B) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ નું સૂત્ર $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે.
અહીં પ્રતિબળ $\sigma = \frac{T}{A}$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu = \frac{m}{L} = \frac{\rho \cdot A \cdot L}{L} = \rho A$ હોવાથી,$\frac{T}{\mu} = \frac{\sigma A}{\rho A} = \frac{\sigma}{\rho}$ થાય.
આ કિંમત આવૃત્તિના સૂત્રમાં મૂકતા: $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{\sigma}{\rho}}$.
આપેલ છે: $L = 0.75\, m$,$\sigma = 8.1 \times 10^8\, N/m^2$,અને $\rho = 9 \times 10^3\, kg/m^3$.
$n = \frac{1}{2 \times 0.75} \sqrt{\frac{8.1 \times 10^8}{9 \times 10^3}} = \frac{1}{1.5} \sqrt{0.9 \times 10^5} = \frac{1}{1.5} \sqrt{9 \times 10^4} = \frac{300}{1.5} = 200\, Hz$.

(D) ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n$ છે.
સોનોમીટરના તારની આવૃત્તિ $f$ તેની લંબાઈ $\ell$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $f \propto \frac{1}{\ell}$.
આપેલ છે કે ટ્યુનિંગ ફોર્ક બંને કિસ્સામાં $5 \, Hz$ ના સ્પંદનો ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી તારની આવૃત્તિ કાં તો $(n + 5)$ અથવા $(n - 5)$ હશે.
આવૃત્તિ લંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,ટૂંકી લંબાઈ માટે આવૃત્તિ વધારે હશે:
$n + 5 = \frac{k}{1}$
$n - 5 = \frac{k}{1.05}$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{n + 5}{n - 5} = \frac{1.05}{1}$
$n + 5 = 1.05(n - 5)$
$n + 5 = 1.05n - 5.25$
$0.05n = 10.25$
$n = \frac{10.25}{0.05} = 205 \, Hz$.

(A) ખેંચાયેલી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $v = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
દોરી માટે $T$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી,$v \propto \frac{1}{l}$,જેનો અર્થ છે કે $vl = k$ (અચળાંક).
તેથી,ત્રણ ભાગો માટે,આપણી પાસે $v_1 l_1 = v_2 l_2 = v_3 l_3 = k$ છે.
આના પરથી $l_1 = \frac{k}{v_1}$,$l_2 = \frac{k}{v_2}$,અને $l_3 = \frac{k}{v_3}$ મળે છે.
દોરીની મૂળ લંબાઈ $l$ એ ભાગોની લંબાઈનો સરવાળો છે: $l = l_1 + l_2 + l_3$.
આવૃત્તિઓના સંદર્ભમાં લંબાઈના સમીકરણો મૂકતા: $\frac{k}{v} = \frac{k}{v_1} + \frac{k}{v_2} + \frac{k}{v_3}$.
બંને બાજુને $k$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{v} = \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} + \frac{1}{v_3}$ મળે છે.

(D) ખેંચાયેલી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ લંબાઈ છે,$T$ તણાવ છે અને $\mu$ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
કારણ કે $\mu$ અચળ રહે છે,તેથી $n \propto \frac{1}{L} \sqrt{T}$.
ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $L_1$ અને પ્રારંભિક તણાવ $T_1$ છે. અંતિમ લંબાઈ $L_2 = L_1 - 0.40L_1 = 0.60L_1$ અને અંતિમ તણાવ $T_2 = T_1 + 0.44T_1 = 1.44T_1$ છે.
અંતિમ આવૃત્તિ $n_2$ અને પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n_1$ નો ગુણોત્તર $\frac{n_2}{n_1} = \frac{L_1}{L_2} \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{n_2}{n_1} = \frac{L_1}{0.60L_1} \sqrt{\frac{1.44T_1}{T_1}} = \frac{1}{0.6} \times \sqrt{1.44} = \frac{1}{0.6} \times 1.2 = 2$.
આમ,ગુણોત્તર $2 : 1$ છે.

(C) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $L$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવબળ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
અહીં $\mu = \rho \times A = \rho \times \pi r^2$ હોવાથી,જ્યાં $\rho$ એ દ્રવ્યની ઘનતા છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે,સૂત્ર $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi r^2}} = \frac{1}{2Lr} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi}}$ બને છે.
આપેલ છે કે બંને તાર માટે $L$,$T$ અને $\rho$ સમાન છે,તેથી $f \propto \frac{1}{r}$ મળે.
તેથી,મૂળભૂત આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $\frac{f_1}{f_2} = \frac{r_2}{r_1}$ થશે.
ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $r_1 : r_2 = 1 : 2$ આપેલ હોવાથી,$\frac{r_2}{r_1} = \frac{2}{1}$ મળે.
આમ,મૂળભૂત આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $2 : 1$ છે.

(C) અચળ તણાવ $T$ અને રેખીય દળ ઘનતા $\mu$ ધરાવતી ખેંચાયેલી દોરી માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે.
તમામ ભાગો માટે $T$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી,આવૃત્તિ એ લંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $f \propto \frac{1}{L}$.
આપેલ લંબાઈઓ $L_1 = 50\,cm$,$L_2 = 40\,cm$ અને $L_3 = 10\,cm$ છે.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $f_1 : f_2 : f_3 = \frac{1}{L_1} : \frac{1}{L_2} : \frac{1}{L_3}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $f_1 : f_2 : f_3 = \frac{1}{50} : \frac{1}{40} : \frac{1}{10}$.
સરળ બનાવવા માટે,$50, 40, 10$ ના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ એટલે કે $200$ વડે ગુણતા.
$f_1 : f_2 : f_3 = \frac{200}{50} : \frac{200}{40} : \frac{200}{10} = 4 : 5 : 20$.

(A) સ્થિત તરંગ માટેનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y(x,t) = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y(x,t) = 0.6 \sin \left( \frac{2\pi}{3}x \right) \cos (120\pi t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 120\pi \, rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2\pi}{3} \, m^{-1}$ મળે છે.
તરંગની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{120\pi}{2\pi/3} = 180 \, m/s$ છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{M}{L} = \frac{3.0 \times 10^{-2} \, kg}{1.5 \, m} = 2 \times 10^{-2} \, kg/m$ છે.
દોરીમાં તરંગની ઝડપ અને તણાવ $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,તેથી $T = \mu v^2$.
કિંમતો મૂકતા: $T = (2 \times 10^{-2} \, kg/m) \times (180 \, m/s)^2 = 2 \times 10^{-2} \times 32400 = 648 \, N$.

(D) બંને છેડે જડેલી દોરીની અનુનાદ આવૃત્તિઓ $f_n = n f_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f_1$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે.
બે ક્રમિક અનુનાદ આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત મૂળભૂત આવૃત્તિ જેટલો હોય છે:
$f_{n+1} - f_n = f_1 = 450 \, Hz - 375 \, Hz = 75 \, Hz$.
મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર $f_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $L$ એ દોરીની લંબાઈ,$T$ એ તણાવ અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
કિંમતો મૂકતા:
$75 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{360}{4 \times 10^{-3}}}$
$75 = \frac{1}{2L} \sqrt{90000} = \frac{300}{2L}$
$L = \frac{300}{150} = 2 \, m$.
દોરીનું કુલ દળ $m = \mu \times L$ દ્વારા મળે છે.
$m = (4 \times 10^{-3} \, kg/m) \times (2 \, m) = 8 \times 10^{-3} \, kg$.

(D) સોનોમીટરના તારની મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $\mu = \pi r^2 \rho$ એ રેખીય ઘનતા છે.
$\mu$ ની કિંમત મૂકતા,$n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}} = \frac{1}{2lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ મળે છે.
અહીં તણાવ $T$ અને ઘનતા $\rho$ અચળ હોવાથી,આવૃત્તિ $n \propto \frac{1}{lr}$ થાય છે.
આપેલ છે કે લંબાઈ બમણી $(l' = 2l)$ થાય છે અને વ્યાસ બમણો થાય છે,જેનો અર્થ છે કે ત્રિજ્યા પણ બમણી $(r' = 2r)$ થાય છે.
નવી આવૃત્તિ $n'$ માટે,$n' = n \times (\frac{l}{l'}) \times (\frac{r}{r'}) = n \times (\frac{l}{2l}) \times (\frac{r}{2r}) = n \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{n}{4}$.

(B) બંને છેડે જડેલી દોરી માટે,જ્યારે તે $n$ લૂપ્સમાં કંપન કરતી હોય,ત્યારે દોરીની લંબાઈ $L$ નું સૂત્ર $L = \frac{n\lambda}{2}$ છે.
અહીં,લૂપ્સની સંખ્યા $n = 3$ છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda = 10 \, cm$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$L = \frac{3 \times 10}{2} = \frac{30}{2} = 15 \, cm$.
તેથી,દોરીની લંબાઈ $15 \, cm$ છે.

(A) બંને છેડે જડેલી દોરીની અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $f_n = n \times f_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f_1 = \frac{v}{2L}$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે અને $n = 1, 2, 3, \dots$ એ પૂર્ણાંક છે.
બે ક્રમિક અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $f_n = 315\, Hz$ અને $f_{n+1} = 420\, Hz$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બે ક્રમિક અનુનાદિત આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત એ મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1$ જેટલો હોય છે.
$f_1 = f_{n+1} - f_n = 420\, Hz - 315\, Hz = 105\, Hz$.
વૈકલ્પિક રીતે,$\frac{f_{n+1}}{f_n} = \frac{n+1}{n} = \frac{420}{315} = \frac{4}{3}$.
આ સૂચવે છે કે $n = 3$,તેથી $f_3 = 315\, Hz$ અને $f_4 = 420\, Hz$.
કારણ કે $f_3 = 3 \times f_1 = 315\, Hz$,આપણને $f_1 = \frac{315}{3} = 105\, Hz$ મળે છે.
સૌથી ઓછી અનુનાદિત આવૃત્તિ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = 105\, Hz$ છે.

(D) બંને છેડે જડેલા તાર માટે $n$-મી હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ક્રમિક આવૃત્તિઓ $f_n = 420 \; Hz$ અને $f_{n+1} = 490 \; Hz$ છે.
ક્રમિક આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત એ મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = f_{n+1} - f_n = 490 - 420 = 70 \; Hz$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $f_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} = 70 \; Hz$.
અહીં $T = 540 \; N$ અને $\mu = 6.0 \times 10^{-3} \; kg/m$ આપેલ છે.
તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{540}{6.0 \times 10^{-3}}} = \sqrt{90,000} = 300 \; m/s$ ગણો.
$v$ ની કિંમત મૂળભૂત આવૃત્તિના સમીકરણમાં મૂકતા: $70 = \frac{300}{2L}$.
$L$ માટે ઉકેલતા: $L = \frac{300}{140} \approx 2.14 \; m$.
આમ,લંબાઈ $L$ આશરે $2.1 \; m$ છે.

(N/A) આપેલ છે:
તારનું દળ,$m = 3.5 \times 10^{-2} \;kg$
રેખીય દળ ઘનતા,$\mu = 4.0 \times 10^{-2} \;kg \;m^{-1}$
કંપનની આવૃત્તિ,$f = 45 \;Hz$
તારની લંબાઈ,$l = \frac{m}{\mu} = \frac{3.5 \times 10^{-2}}{4.0 \times 10^{-2}} = 0.875 \;m$
મૂળભૂત કંપન મોડ માટે,તારની લંબાઈ $l$ એ તરંગલંબાઈના અડધા ભાગ જેટલી હોય છે,એટલે કે $l = \frac{\lambda}{2}$.
તેથી,$\lambda = 2l = 2 \times 0.875 = 1.75 \;m$.
$(a)$ લંબગત તરંગની ઝડપ $(v)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v = f \lambda = 45 \times 1.75 = 78.75 \;m/s$.
$(b)$ તારમાં તણાવ $(T)$ સંબંધ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $T = v^2 \mu$.
$T = (78.75)^2 \times 4.0 \times 10^{-2} = 6201.5625 \times 0.04 = 248.06 \;N$.

(N/A) ધારો કે $L$ લંબાઈની એક દોરી બંને છેડે તણાવ $T$ હેઠળ બાંધેલી છે. ધારો કે $\mu$ એ દોરીની રેખીય દળ ઘનતા છે.
સ્થિત તરંગ માટે તરંગનું સમીકરણ $y(x, t) = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દોરી $x = 0$ અને $x = L$ પર જડિત હોવાથી,સીમા શરતો $y(0, t) = 0$ અને $y(L, t) = 0$ છે.
$x = L$ પર સીમા શરત લાગુ પાડતા,આપણને $\sin(kL) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $kL = n\pi$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
$k = \frac{2\pi}{\lambda}$ હોવાથી,$\frac{2\pi L}{\lambda} = n\pi$ થાય,જે પરથી $\lambda = \frac{2L}{n}$ મળે છે.
દોરીમાં તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે.
સંબંધ $v = f\lambda$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે,આપણને $f = \frac{v}{\lambda}$ મળે છે.
$\lambda = \frac{2L}{n}$ મૂકતા,આપણને $f = \frac{nv}{2L} = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ મળે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ એ દોલનનો પ્રકાર દર્શાવે છે.

(B) સોનોમીટરના તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ લંબાઈ છે,$T$ તણાવ છે,અને $\mu$ રેખીય દળ ઘનતા છે.
શરૂઆતમાં,તાર તેની મૂળભૂત સ્થિતિમાં (પ્રથમ હાર્મોનિક) $f_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} = f$ આવૃત્તિ સાથે કંપન કરે છે,જ્યાં $f$ એ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ છે.
જ્યારે લંબાઈ બમણી કરવામાં આવે $(L' = 2L)$ અને તણાવ $T$ અચળ રહે,ત્યારે નવી મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1' = \frac{1}{2(2L)} \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \frac{1}{2} f$ થાય છે.
ટ્યુનિંગ ફોર્ક હજુ પણ અનુનાદમાં રહે તે માટે,તારે એવી ઉચ્ચ હાર્મોનિકમાં કંપન કરવું જોઈએ કે જેથી તેની આવૃત્તિ $f$ સાથે મેળ ખાય. $n$-મી હાર્મોનિક આવૃત્તિ $f_n = n \times f_1'$ છે.
$f_n = f$ લેતા,આપણને $n \times (\frac{1}{2} f) = f$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $n = 2$.
તેથી,જ્યારે તાર તેના બીજા હાર્મોનિક (પ્રથમ ઓવરટોન) માં કંપન કરે ત્યારે ટ્યુનિંગ ફોર્ક તાર સાથે અનુનાદમાં રહેશે.

(N/A) બંને છેડે જડેલી $L$ લંબાઈની દોરી માટે,$n$-માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિનું સૂત્ર: $f_n = \frac{nv}{2L}$ છે,જ્યાં $n$ એ લૂપની સંખ્યા છે,$v$ એ દોરીમાં લંબગત તરંગની ઝડપ છે અને $L$ એ દોરીની લંબાઈ છે.
આપેલ તણાવ હેઠળની દોરી માટે $v$ અને $L$ અચળ હોવાથી,આવૃત્તિ $f_n$ એ લૂપની સંખ્યા $n$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(f_n \propto n)$.
$n=1, 2, 3, 4$ માટે,આવૃત્તિઓ $f_1 = \frac{v}{2L}$,$f_2 = \frac{2v}{2L}$,$f_3 = \frac{3v}{2L}$,અને $f_4 = \frac{4v}{2L}$ મળે છે.
તેથી,આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $f_1 : f_2 : f_3 : f_4 = 1 : 2 : 3 : 4$ થાય છે.

(A) આપેલ છે: ઘનતા $\rho = 9 \times 10^{-3} \,kg/cm^3 = 9000 \,kg/m^3$.
લંબાઈ $L = 1 \,m$.
વિકૃતિ (Strain) $= 4.9 \times 10^{-4}$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 9 \times 10^{10} \,N/m^2$.
લઘુત્તમ આવૃત્તિ (મૂળભૂત મોડ) માટે,$L = \lambda / 2$,તેથી $\lambda = 2L = 2 \,m$.
આવૃત્તિ $f = v / \lambda = (1 / \lambda) \sqrt{T / \mu}$,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
$Y = (T/A) / \text{strain}$ હોવાથી,$T = Y \cdot A \cdot \text{strain}$.
વળી,$\mu = m/L = (\rho \cdot V) / L = (\rho \cdot A \cdot L) / L = \rho \cdot A$.
આ કિંમતોને આવૃત્તિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$f = (1 / 2L) \sqrt{(Y \cdot A \cdot \text{strain}) / (\rho \cdot A)} = (1 / 2L) \sqrt{(Y \cdot \text{strain}) / \rho}$.
કિંમતો મૂકતા:
$f = (1 / 2) \sqrt{(9 \times 10^{10} \times 4.9 \times 10^{-4}) / 9000} = (1 / 2) \sqrt{4900} = 35 \,Hz$.

(C) ખેંચાયેલી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર: $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $L$ એ લંબાઈ,$T$ એ તણાવ અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
દોરીઓ $X$ અને $Z$ એકસમાન હોવાથી અને સમાન દ્રવ્યની બનેલી હોવાથી,તેમની લંબાઈ $L$ અને રેખીય દળ ઘનતા $\mu$ સમાન રહેશે.
તેથી,આવૃત્તિ એ તણાવના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે: $f \propto \sqrt{T}$.
અહીં $f_{x} = 450\, Hz$ અને $f_{z} = 300\, Hz$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{f_{x}}{f_{z}} = \sqrt{\frac{T_{x}}{T_{z}}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{450}{300} = \sqrt{\frac{T_{x}}{T_{z}}}$
$1.5 = \sqrt{\frac{T_{x}}{T_{z}}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{T_{x}}{T_{z}} = (1.5)^2 = 2.25$.