Principle of superposition of waves Questions in Gujarati

(C) જ્યારે વિરુદ્ધ કળા ધરાવતા બે સમાન પલ્સ (એક શૃંગ અને એક ગર્ત) એકબીજા પર ઓવરલેપ થાય છે,ત્યારે તેઓ વિનાશક વ્યતિકરણ અનુભવે છે.
સંપૂર્ણ ઓવરલેપની ક્ષણે,દોરી પરના દરેક બિંદુનું ચોખ્ખું સ્થાનાંતર શૂન્ય થઈ જાય છે.
દોરીની સ્થિતિ ઉર્જા સ્થાનાંતરના વર્ગ (અથવા ઢાળના વર્ગ) ના પ્રમાણમાં હોવાથી,આ ક્ષણે સ્થિતિ ઉર્જા શૂન્ય હોય છે.
જોકે,આ ક્ષણે પણ દોરીના કણો બે પલ્સના વેગના સુપરપોઝિશનને કારણે મહત્તમ લંબગત વેગ સાથે ગતિ કરી રહ્યા હોય છે.
તેથી,આ ક્ષણે દોરીની કુલ ઉર્જા સંપૂર્ણપણે ગતિજ ઉર્જાના સ્વરૂપમાં હોય છે.

(C) $A_1$ અને $A_2$ કંપવિસ્તાર અને $\phi$ કળા તફાવત ધરાવતા બે તરંગોનો પરિણામી કંપવિસ્તાર $R$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos \phi}$.
અહીં $A_1 = 10$,$A_2 = 20$ અને કળા તફાવત $\phi = \pi/2$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$R = \sqrt{10^2 + 20^2 + 2(10)(20) \cos(\pi/2)}$.
કારણ કે $\cos(\pi/2) = 0$,તેથી સમીકરણ આ મુજબ સરળ બને છે:
$R = \sqrt{100 + 400 + 0} = \sqrt{500}$.
$R = \sqrt{100 \times 5} = 10\sqrt{5}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $y = 3\, \sin\, \omega t + 4\, \cos\, \omega t$ છે.
આ સમીકરણ $y = A_1\, \sin\, \omega t + A_2\, \cos\, \omega t$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $A_1 = 3\, cm$ અને $A_2 = 4\, cm$ છે.
પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $A = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\, cm$.

(C) $a_1$ અને $a_2$ કંપવિસ્તાર ધરાવતા અને $\phi$ કળા તફાવત ધરાવતા બે તરંગોનો પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2 a_1 a_2 \cos \phi}$
આપેલ તરંગોના સમીકરણો પરથી:
$y_1 = 10 \sin(2000 \pi t + 2x)$
$y_2 = 10 \sin(2000 \pi t + 2x + \frac{\pi}{2})$
અહીં,$a_1 = 10$,$a_2 = 10$ અને કળા તફાવત $\phi = \frac{\pi}{2} = 90^\circ$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$A = \sqrt{10^2 + 10^2 + 2(10)(10) \cos(90^\circ)}$
કારણ કે $\cos(90^\circ) = 0$ હોવાથી:
$A = \sqrt{100 + 100 + 0} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14.14 \ unit$.
આમ,પરિણામી કંપવિસ્તાર આશરે $14.1 \ unit$ છે.

(D) કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$
આલેખ પરથી,બે તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ છે.
આ કિંમત મૂકતા:
$\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$
સમાન તીવ્રતા $I_0$ અને કળા તફાવત $\phi$ ધરાવતા બે તરંગોની પરિણામી તીવ્રતા $I$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 I_0} \cos \phi = 2I_0(1 + \cos \phi)$
$\phi = \frac{\pi}{2}$ મૂકતા:
$I = 2I_0(1 + \cos \frac{\pi}{2})$
કારણ કે $\cos \frac{\pi}{2} = 0$,તેથી:
$I = 2I_0(1 + 0) = 2I_0$

(A) ધારો કે દરેક તરંગનો કંપવિસ્તાર $A$ છે. તીવ્રતા $I \propto A^2$ હોવાથી,$I_0 = kA^2$ મળે,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
પરિણામી તરંગનું સમીકરણ ત્રણ તરંગોના સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$y = A \sin(\omega t) + A \sin(\omega t - \frac{\pi}{4}) + A \sin(\omega t + \frac{\pi}{4})$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(x - y) + \sin(x + y) = 2 \sin x \cos y$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = A \sin(\omega t) + A [2 \sin(\omega t) \cos(\frac{\pi}{4})]$
$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી:
$y = A \sin(\omega t) + A [2 \sin(\omega t) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}]$
$y = A \sin(\omega t) + \sqrt{2} A \sin(\omega t)$
$y = (1 + \sqrt{2}) A \sin(\omega t)$
પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_R = (1 + \sqrt{2}) A$ છે.
પરિણામી તીવ્રતા $I = k A_R^2 = k [(1 + \sqrt{2}) A]^2 = k A^2 (1 + \sqrt{2})^2$.
$I_0 = k A^2$ હોવાથી:
$I = I_0 (1 + 2 + 2\sqrt{2}) = I_0 (3 + 2 \times 1.414) = I_0 (3 + 2.828) = 5.828 I_0$.
આમ,પરિણામી તીવ્રતા આશરે $5.8 I_0$ છે.

(N/A) સુપરપોઝિશનનો સિદ્ધાંત: જ્યારે માધ્યમનો કોઈ કણ એકસાથે બે કે તેથી વધુ તરંગોની અસર હેઠળ આવે છે,ત્યારે તેનું પરિણામી સ્થાનાંતર એ દરેક વ્યક્તિગત તરંગની અસર હેઠળ થતા સ્થાનાંતરોના સદિશ સરવાળા જેટલું હોય છે.
સમજૂતી:
$1$. જ્યારે બે તરંગો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોય,ત્યારે તેઓ એકબીજાને પસાર કર્યા પછી પણ તેમની લાક્ષણિકતાઓ જાળવી રાખે છે.
$2$. સુપરપોઝિશન દરમિયાન,માધ્યમના કણો એવું સ્થાનાંતર દર્શાવે છે જે વ્યક્તિગત તરંગોના સ્થાનાંતરોનો બૈજિક સરવાળો હોય છે.
$3$. આપેલી આકૃતિ બે સમાન અને વિરુદ્ધ તરંગ પલ્સના સુપરપોઝિશનને દર્શાવે છે. $t = 2 \ s$ (ભાગ $c$) પર,બંને પલ્સ એવી રીતે ઓવરલેપ થાય છે કે તેમના સ્થાનાંતરો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે,જેના પરિણામે તે ક્ષણે પરિણામી સ્થાનાંતર શૂન્ય થાય છે. એકબીજામાંથી પસાર થયા પછી,પલ્સ તેમની મૂળ દિશામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે,અને તેમના આકાર કે વેગમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.

(N/A) ધારો કે $y_{1}(x, t)$ અને $y_{2}(x, t)$ એ સ્થાનાંતરો છે જે માધ્યમનો કોઈપણ ઘટક અનુભવશે જો દરેક તરંગ એકલું ગતિ કરતું હોય.
જ્યારે તરંગો એકબીજા પર સંપાત થાય ત્યારે માધ્યમના ઘટકનું સ્થાનાંતર $y(x, t)$ સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત મુજબ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$y(x, t) = y_{1}(x, t) + y_{2}(x, t) \quad \dots (1)$
જો આપણી પાસે માધ્યમમાં ગતિ કરતા $n$ તરંગો હોય,તો પરિણામી તરંગ સ્વરૂપ એ વ્યક્તિગત તરંગોના તરંગ વિધેયોનો બૈજિક સરવાળો છે.
ધારો કે વ્યક્તિગત તરંગ વિધેયો નીચે મુજબ છે:
$y_{1} = f_{1}(x - vt)$
$y_{2} = f_{2}(x - vt)$
$y_{n} = f_{n}(x - vt)$
તો પરિણામી તરંગ વિધેય $y$ એ આ વ્યક્તિગત વિધેયોનો સરવાળો છે:
$y = f_{1}(x - vt) + f_{2}(x - vt) + \dots + f_{n}(x - vt)$
તેથી,પરિણામી તરંગ વિધેયને નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય છે:
$y = \sum_{i=1}^{n} f_{i}(x - vt)$
જ્યાં $i = 1, 2, 3, \dots, n$.

(N/A) ધારો કે બે પ્રગામી હાર્મોનિક તરંગો સમાન કોણીય આવૃત્તિ $(\omega)$,કોણીય તરંગ સંખ્યા $(k)$ અને કંપવિસ્તાર $(a)$ સાથે ખેંચાયેલી દોરી પર ગતિ કરે છે.
બે તરંગોને નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$y_{1}(x, t) = a \sin(kx - \omega t)$
$y_{2}(x, t) = a \sin(kx - \omega t + \phi)$
જ્યાં $\phi$ એ બે તરંગો વચ્ચેનો અચળ કળા તફાવત છે.
સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત મુજબ,પરિણામી સ્થાનાંતર $y(x, t)$ એ વ્યક્તિગત સ્થાનાંતરોનો બૈજિક સરવાળો છે:
$y(x, t) = y_{1}(x, t) + y_{2}(x, t)$
$y(x, t) = a \sin(kx - \omega t) + a \sin(kx - \omega t + \phi)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin C + \sin D = 2 \sin \left( \frac{C+D}{2} \right) \cos \left( \frac{C-D}{2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $C = kx - \omega t$ અને $D = kx - \omega t + \phi$:
$y(x, t) = 2a \sin \left( \frac{kx - \omega t + kx - \omega t + \phi}{2} \right) \cos \left( \frac{kx - \omega t - (kx - \omega t + \phi)}{2} \right)$
$y(x, t) = 2a \sin \left( kx - \omega t + \frac{\phi}{2} \right) \cos \left( -\frac{\phi}{2} \right)$
કારણ કે $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$:
$y(x, t) = [2a \cos(\frac{\phi}{2})] \sin(kx - \omega t + \frac{\phi}{2})$
આ પરિણામી પ્રગામી તરંગનું સમીકરણ છે જેનો કંપવિસ્તાર $2a \cos(\frac{\phi}{2})$ અને પ્રારંભિક કળા $\frac{\phi}{2}$ છે.

(N/A) પરિણામી તરંગનો કંપવિસ્તાર એ બે ઘટક તરંગો વચ્ચેના કળા તફાવત $\phi$ નું વિધેય છે.
પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ નું સૂત્ર: $A(\phi) = 2a \cos(\frac{\phi}{2})$ છે,જ્યાં $a$ એ દરેક વ્યક્તિગત તરંગનો કંપવિસ્તાર છે.
$1$. જ્યારે બે તરંગો સમાન કળામાં હોય,ત્યારે કળા તફાવત $\phi = 0$ હોય છે. આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $A = 2a \cos(0) = 2a$ મળે છે. આ મહત્તમ શક્ય કંપવિસ્તાર છે,જેને સહાયક વ્યતિકરણ કહેવામાં આવે છે.
$2$. જ્યારે બે તરંગો સંપૂર્ણપણે વિરુદ્ધ કળામાં હોય,ત્યારે કળા તફાવત $\phi = \pi$ હોય છે. આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $A = 2a \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ મળે છે. આના પરિણામે શૂન્ય કંપવિસ્તાર મળે છે,જેને વિનાશક વ્યતિકરણ કહેવામાં આવે છે.
$3$. અન્ય કોઈપણ કળા તફાવત માટે,પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ એ $0 \leq A \leq 2a$ ની શ્રેણીમાં રહેશે.

(N/A) બે તરંગોના સંપાતપણાની ઘટનાને વ્યતિકરણ કહે છે.
તેના બે પ્રકારો છે:
$(1)$ સહાયક વ્યતિકરણ (Constructive interference)
$(2)$ વિનાશક વ્યતિકરણ (Destructive interference)
$(1)$ સહાયક વ્યતિકરણ: જ્યારે એક તરંગનું શૃંગ બીજા તરંગના શૃંગ પર અથવા એક તરંગનો ગર્ત બીજા તરંગના ગર્ત પર સંપાત થાય,ત્યારે પરિણામી તરંગ માટે કંપવિસ્તારનો સરવાળો થાય છે,જેને સહાયક વ્યતિકરણ કહે છે.
$(2)$ વિનાશક વ્યતિકરણ: જ્યારે એક તરંગનું શૃંગ બીજા તરંગના ગર્ત પર અથવા એક તરંગનો ગર્ત બીજા તરંગના શૃંગ પર સંપાત થાય,ત્યારે પરિણામી તરંગ માટે કંપવિસ્તારની બાદબાકી થાય છે,જેને વિનાશક વ્યતિકરણ કહે છે.

(N/A) સંપાતપણાનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે જ્યારે બે કે તેથી વધુ તરંગો એક માધ્યમમાં એકસાથે ગતિ કરે છે,ત્યારે દરેક તરંગ બીજા તરંગોથી સ્વતંત્ર રીતે વર્તે છે. કોઈપણ બિંદુએ અને કોઈપણ સમયે પરિણામી સ્થાનાંતર $y$ એ દરેક તરંગ દ્વારા તે બિંદુએ ઉત્પન્ન થયેલા વ્યક્તિગત સ્થાનાંતરો $y_1, y_2, y_3, \dots$ નો બેઝિક સરવાળો છે.
ગાણિતિક રીતે,તેને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $y = y_1 + y_2 + y_3 + \dots = \sum_{i=1}^{n} y_i$.

ધારો કે બે તરંગો નીચેના સમીકરણો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે:
$y_1 = A_1 \sin(\omega t)$
$y_2 = A_2 \sin(\omega t + \phi)$
જ્યાં $A_1$ અને $A_2$ એ કંપવિસ્તાર છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે,$t$ એ સમય છે અને $\phi$ એ શરૂઆતનો કળા તફાવત છે.
સંપાતીકરણના સિદ્ધાંત મુજબ,પરિણામી સ્થાનાંતર $y$ એ વ્યક્તિગત સ્થાનાંતરોનો સદિશ સરવાળો છે:
$y = y_1 + y_2 = A_1 \sin(\omega t) + A_2 \sin(\omega t + \phi)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = A_1 \sin(\omega t) + A_2 (\sin(\omega t) \cos \phi + \cos(\omega t) \sin \phi)$
$y = (A_1 + A_2 \cos \phi) \sin(\omega t) + (A_2 \sin \phi) \cos(\omega t)$
ધારો કે $A_1 + A_2 \cos \phi = R \cos \theta$ અને $A_2 \sin \phi = R \sin \theta$,જ્યાં $R$ એ પરિણામી કંપવિસ્તાર છે અને $\theta$ એ કળા અચળાંક છે.
તેથી,$y = R \cos \theta \sin(\omega t) + R \sin \theta \cos(\omega t) = R \sin(\omega t + \theta)$
જ્યાં $R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos \phi}$ અને $\tan \theta = \frac{A_2 \sin \phi}{A_1 + A_2 \cos \phi}$.

(N/A) આકૃતિ $(a)$ માં સમાન કળામાં દોલન કરતી બે સોય દર્શાવવામાં આવી છે,જે બે સુસંબદ્ધ ઉદગમોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ પાણીના ટબમાં બે સોયને સમાન રીતે ઉપર-નીચે ગતિ કરાવતા,તેઓ બે પાણીના તરંગો ઉત્પન્ન કરે છે.
કોઈપણ ચોક્કસ બિંદુએ,દરેક તરંગ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા સ્થાનાંતર વચ્ચેનો કળા તફાવત સમય સાથે બદલાતો નથી,તેથી બંને ઉદગમોને સુસંબદ્ધ ઉદગમો કહેવામાં આવે છે.
આકૃતિ $(b)$ આપેલ સમયના ક્ષણે શૃંગ (ઘાટા વર્તુળો) અને ગર્ત (તૂટક વર્તુળો) નું સ્થાન દર્શાવે છે.
હવે આકૃતિ $(a)$ મુજબ એક બિંદુ $P$ ધ્યાનમાં લો જેના માટે $S_{1}P = S_{2}P$ છે.
$S_{1}$ અને $S_{2}$ માંથી આવતા તરંગો બિંદુ $P$ સુધી પહોંચવા માટે સમાન સમય લેશે,તેથી તેઓ સમાન કળામાં પહોંચશે.
બિંદુ $P$ પર ઉદગમ $S_{1}$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું સ્થાનાંતર $y_{1} = a \cos \omega t$ છે અને બિંદુ $P$ પર ઉદગમ $S_{2}$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું સ્થાનાંતર $y_{2} = a \cos \omega t$ છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે.
સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત મુજબ,$P$ પર પરિણામી સ્થાનાંતર:
$y = y_{1} + y_{2} = a \cos \omega t + a \cos \omega t$
$\therefore y = 2a \cos \omega t$

(B) ધારો કે શ્રોતાનું સ્થાન $L$ છે. શરૂઆતમાં,શ્રોતા $S_{2}$ થી $x = 2\, m$ ના અંતરે છે.
$S_{1}$ થી અંતર $S_{1}L = \sqrt{x^2 + (1.5)^2} = \sqrt{2^2 + 1.5^2} = \sqrt{4 + 2.25} = \sqrt{6.25} = 2.5\, m$ છે.
પથ તફાવત $\Delta x = S_{1}L - S_{2}L = 2.5 - 2 = 0.5\, m$ છે.
અહીં $\lambda = 1\, m$ હોવાથી,$\Delta x = \frac{\lambda}{2}$ મળે છે,જે લઘુત્તમ તીવ્રતા (વિનાશક વ્યતિકરણ) દર્શાવે છે.
જ્યારે શ્રોતા $S_{2}$ થી $2\, m$ અંતર અચળ રાખીને $S_{1}$ થી દૂર જાય છે,ત્યારે પથ તફાવત $\Delta x = S_{1}L - S_{2}L$ વધે છે.
આગામી મહત્તમ તીવ્રતા ત્યારે જોવા મળે છે જ્યારે પથ તફાવત $\Delta x = n\lambda$ થાય. ક્રમિક મહત્તમ માટે,$n = 1$ લેતા,
$\Delta x = 1\, m$ મળે.
ધારો કે આ નવી સ્થિતિમાં શ્રોતાનું $S_{1}$ થી અંતર $d$ છે.
તેથી,$d - 2 = 1$,જે આપણને $d = 3\, m$ આપે છે.

(A) આપેલ તરંગ સમીકરણો ${y}_{1} = {A}_{1} \sin {k}({x} - {vt})$ અને ${y}_{2} = {A}_{2} \sin {k}({x} - {vt} + {x}_{0})$ છે.
બે તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત $\Delta \phi = {k} \cdot {x}_{0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં ${k} = 6.28 \, {cm}^{-1}$ અને ${x}_{0} = 3.5 \, {cm}$ આપેલ છે.
$6.28 \approx 2\pi$ હોવાથી,$\Delta \phi = 6.28 \times 3.5 = 2\pi \times 3.5 = 7\pi$ મળે.
પરિણામી કંપવિસ્તાર ${A}_{R} = \sqrt{{A}_{1}^{2} + {A}_{2}^{2} + 2{A}_{1}{A}_{2} \cos(\Delta \phi)}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
કિંમતો મૂકતા: ${A}_{R} = \sqrt{12^{2} + 5^{2} + 2(12)(5) \cos(7\pi)}$.
$\cos(7\pi) = -1$ હોવાથી,${A}_{R} = \sqrt{144 + 25 - 120} = \sqrt{49} = 7 \, {mm}$ મળે.

(A) આપેલ કંપવિસ્તાર $A_{1} = 5 \, cm$ અને $A_{2} = 3 \, cm$ છે.
બે તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત $\Delta \phi$ તેમના આર્ગ્યુમેન્ટ્સના તફાવત દ્વારા નક્કી થાય છે:
$\Delta \phi = 2 \pi (x - vt + 1.5) - 2 \pi (x - vt) = 2 \pi (1.5) = 3 \pi$.
પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_{net}$ માટેનું સૂત્ર:
$A_{net} = \sqrt{A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2 A_{1} A_{2} \cos(\Delta \phi)}$.
કિંમતો મૂકતા:
$A_{net} = \sqrt{5^{2} + 3^{2} + 2(5)(3) \cos(3 \pi)}$.
કારણ કે $\cos(3 \pi) = -1$:
$A_{net} = \sqrt{25 + 9 + 30(-1)} = \sqrt{34 - 30} = \sqrt{4} = 2 \, cm$.

(C) સમાન કંપનવિસ્તાર $A_1 = A_2 = A$ અને કળા તફાવત $\phi$ ધરાવતા બે તરંગોના સંપાતીકરણથી મળતા પરિણામી કંપનવિસ્તાર $A_R$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$A_R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos \phi}$
આપેલ છે કે $A_R = \sqrt{3}A$,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$\sqrt{3}A = \sqrt{A^2 + A^2 + 2A^2 \cos \phi}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$3A^2 = 2A^2 + 2A^2 \cos \phi$
$3A^2 - 2A^2 = 2A^2 \cos \phi$
$A^2 = 2A^2 \cos \phi$
$\cos \phi = \frac{1}{2}$
તેથી,$\phi = 60^{\circ}$.

(A) બિંદુ $P$ (ઉદગમ $R$ ની બરાબર સામે) પર ન્યૂનતમ તીવ્રતા માટે,$S$ અને $R$ થી $P$ સુધી પહોંચતા ધ્વનિ તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત તરંગલંબાઈના અડધા ભાગનો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ.
પથ તફાવત $\Delta x = SP - RP$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ભૂમિતિ મુજબ,$RP = 12 \,m$ અને $RS = 5 \,m$. તેથી,$SP = \sqrt{RP^2 + RS^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \,m$.
પથ તફાવત $\Delta x = 13 \,m - 12 \,m = 1 \,m$ છે.
વિનાશક વ્યતિકરણ (ન્યૂનતમ) માટે,$\Delta x = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$.
$\lambda = \frac{v}{f}$ મૂકતા,આપણને $1 = (2n + 1) \frac{v}{2f}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f = \frac{(2n + 1)v}{2}$.
$v = 330 \,m/s$ આપેલ હોવાથી,$f = \frac{(2n + 1) \times 330}{2} = (2n + 1) \times 165$.
$n = 0$ માટે,$f = 165 \,Hz$.
$n = 1$ માટે,$f = 3 \times 165 = 495 \,Hz$.
$n = 2$ માટે,$f = 5 \times 165 = 825 \,Hz$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$495 \,Hz$ એક શક્ય મૂલ્ય છે.

(C) પ્રથમ સ્પીકરથી બિંદુ $P$ સુધીનું અંતર $d_1 = 4 \,m$ છે. બીજા સ્પીકરથી બિંદુ $P$ સુધીનું અંતર $d_2 = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \,m$ છે.
બિંદુ $P$ પર બે ધ્વનિ તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta L = d_2 - d_1 = 5 \,m - 4 \,m = 1 \,m$ છે.
અવાજ સૌથી ઓછી તીવ્રતાનો (વિનાશક વ્યતિકરણ) હોય તે માટે,પથ તફાવત એ તરંગલંબાઇના અડધા ભાગનો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ:
$\Delta L = (2n + 1) \frac{\lambda_1}{2}$,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$
$n = 0$ માટે,$1 \,m = \frac{\lambda_1}{2} \Rightarrow \lambda_1 = 2 \,m$.
અવાજ સૌથી વધુ તીવ્રતાનો (સહાયક વ્યતિકરણ) હોય તે માટે,પથ તફાવત એ તરંગલંબાઇનો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ:
$\Delta L = n \lambda_2$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$
$n = 1$ માટે,$1 \,m = \lambda_2 \Rightarrow \lambda_2 = 1 \,m$.
આમ,$\lambda_1 = 2 \,m$ અને $\lambda_2 = 1 \,m$ એ શક્ય મૂલ્યો છે. સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(D) બે તરંગોના કંપવિસ્તાર $A_1 = A_0$ અને $A_2 = x A_0$ છે.
જ્યારે તરંગો સમાન કળામાં હોય ત્યારે મહત્તમ પરિણામી કંપવિસ્તાર $(A_{max})$ મળે છે:
$A_{max} = A_1 + A_2 = A_0 + x A_0 = (x+1) A_0$.
જ્યારે તરંગો વિરુદ્ધ કળામાં હોય ત્યારે ન્યૂનતમ પરિણામી કંપવિસ્તાર $(A_{min})$ મળે છે. આપેલ છે કે $x > 1$,તેથી $A_2 > A_1$,એટલે કે:
$A_{min} = A_2 - A_1 = x A_0 - A_0 = (x-1) A_0$.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ પરિણામી કંપવિસ્તાર વચ્ચેનો તફાવત:
તફાવત $= A_{max} - A_{min} = (x+1) A_0 - (x-1) A_0$.
તફાવત $= (x + 1 - x + 1) A_0 = 2 A_0$.

(B) પરિણામી તરંગ $x' = x_1 + x_2 = a[\sin(\omega t + \phi_1) + \sin(\omega t + \phi_2)]$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x' = 2a \sin(\omega t + \frac{\phi_1 + \phi_2}{2}) \cos(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2})$.
પરિણામી તરંગનો કંપવિસ્તાર $A_{res} = |2a \cos(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2})|$ છે.
આપેલ છે કે પરિણામી કંપવિસ્તાર એ વ્યક્તિગત તરંગોના કંપવિસ્તાર $(a)$ જેટલો છે:
$|2a \cos(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2})| = a$.
$\cos(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}) = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $\Delta\phi = \phi_1 - \phi_2$. તો $\cos(\frac{\Delta\phi}{2}) = \frac{1}{2}$.
$\frac{\Delta\phi}{2} = \frac{\pi}{3}$.
$\Delta\phi = \frac{2\pi}{3}$.

(B) સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત મુજબ પરિણામી તરંગ $y = y_1 + y_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલા સમીકરણો મૂકતા:
$y = A \sin \left(kx - \omega t + \frac{\pi}{6}\right) + A \sin \left(kx - \omega t - \frac{\pi}{6}\right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin C + \sin D = 2 \sin \left(\frac{C+D}{2}\right) \cos \left(\frac{C-D}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
ધારો કે $C = kx - \omega t + \frac{\pi}{6}$ અને $D = kx - \omega t - \frac{\pi}{6}$.
તેથી,$\frac{C+D}{2} = kx - \omega t$ અને $\frac{C-D}{2} = \frac{\pi}{6}$.
તેથી,$y = 2A \sin(kx - \omega t) \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$.
કારણ કે $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,આપણને મળે છે:
$y = 2A \sin(kx - \omega t) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = A \sqrt{3} \sin(kx - \omega t)$.

(C) બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગોની પરિણામી તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$
અહીં $I_1 = 2 \, W/m^2$,$I_2 = 3 \, W/m^2$,અને $I = 5 \, W/m^2$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$5 = 2 + 3 + 2\sqrt{2 \times 3} \cos \phi$
$5 = 5 + 2\sqrt{6} \cos \phi$
$0 = 2\sqrt{6} \cos \phi$
અહીં $2\sqrt{6} \neq 0$ હોવાથી,$\cos \phi = 0$ થવું જોઈએ.
તેથી,કળા તફાવત $\phi = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.

(A) સમાન કંપનવિસ્તાર $A$ અને કળા તફાવત $\Delta \phi$ ધરાવતા બે તરંગોનો પરિણામી કંપનવિસ્તાર $R$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $R = 2A \cos \left(\frac{\Delta \phi}{2}\right)$.
અહીં $A = 8\,cm$ અને $R = 8\,cm$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $8 = 2(8) \cos \left(\frac{\Delta \phi}{2}\right)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $1 = 2 \cos \left(\frac{\Delta \phi}{2}\right)$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \left(\frac{\Delta \phi}{2}\right) = \frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$,તેથી $\frac{\Delta \phi}{2} = 60^{\circ}$.
આમ,કળા તફાવત $\Delta \phi = 120^{\circ}$ થાય.

(C) આપેલ પ્રથમ તરંગનું સમીકરણ: $y_1 = 10 \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right)$.
બીજા તરંગનું સમીકરણ: $y_2 = 5[\sin (\omega t) + \sqrt{3} \cos \omega t]$.
કૌંસની અંદર $2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા: $y_2 = 5 \times 2 \left[\frac{1}{2} \sin (\omega t) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\omega t)\right]$.
નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\sin(\omega t + \frac{\pi}{3}) = \sin(\omega t) \cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(\omega t) \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \sin(\omega t) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos(\omega t)$.
તેથી,$y_2 = 10 \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right)$.
બંને તરંગોનો કંપવિસ્તાર $A_1 = A_2 = 10 \text{ cm}$ સમાન છે અને કળા $\phi_1 = \phi_2 = \frac{\pi}{3}$ સમાન હોવાથી,તેઓ સમાન કળામાં છે.
સમાન કળામાં રહેલા બે તરંગો માટે પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_R = A_1 + A_2$ થાય.
$A_R = 10 + 10 = 20 \text{ cm}$.

(A) બે પ્રગામી તરંગોના આપેલા સમીકરણો $y_1 = 4 \sin(2x - 6t)$ અને $y_2 = 3 \sin(2x - 6t - \pi/2)$ છે.
તેમને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કંપવિસ્તાર $A_1 = 4$ અને $A_2 = 3$ મળે છે.
બંને તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત $\Delta\phi = \pi/2$ છે.
બે સંપાત થતા તરંગોનો પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\Delta\phi)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$A = \sqrt{4^2 + 3^2 + 2(4)(3) \cos(\pi/2)}$.
કારણ કે $\cos(\pi/2) = 0$ છે,તેથી $A = \sqrt{16 + 9 + 0} = \sqrt{25} = 5$.

(C) કળાકોણ $\phi_1, \phi_2, \phi_3, \phi_4$ ધરાવતા તરંગોના સંપાતીકરણથી મળતો પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_R$ એ વ્યક્તિગત કંપવિસ્તાર $A_0$ ના સદિશ સરવાળા દ્વારા મળે છે (જ્યાં $I_0 = k A_0^2$).
ધારો કે તરંગો સંકર સંખ્યાઓ તરીકે દર્શાવેલ છે: $z_1 = A_0 e^{i0} = A_0$,$z_2 = A_0 e^{i\pi/3}$,$z_3 = A_0 e^{i2\pi/3}$,અને $z_4 = A_0 e^{i\pi} = -A_0$.
સરવાળો $S = A_0(1 + e^{i\pi/3} + e^{i2\pi/3} - 1) = A_0(e^{i\pi/3} + e^{i2\pi/3})$ થાય.
નિત્યસમ $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$S = A_0 [(\cos \pi/3 + i \sin \pi/3) + (\cos 2\pi/3 + i \sin 2\pi/3)]$.
$S = A_0 [(1/2 + i\sqrt{3}/2) + (-1/2 + i\sqrt{3}/2)] = A_0 (i\sqrt{3})$.
પરિણામી તીવ્રતા $I = |S|^2 = A_0^2 |i\sqrt{3}|^2 = I_0 (3) = 3I_0$.
આમ,$n = 3$.

(D) પરિણામી તરંગ $y = y_1 + y_2 = A \sin(kx - \omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A_1 = 4$ અને $A_2 = 2$ કંપવિસ્તાર ધરાવતા અને $\Delta\phi = \frac{2\pi}{3} = 120^{\circ}$ જેટલો કળા તફાવત ધરાવતા બે તરંગો માટે ફેઝર સરવાળાની રીતનો ઉપયોગ કરતા,પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$:
$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\Delta\phi)}$
$A = \sqrt{4^2 + 2^2 + 2(4)(2) \cos(120^{\circ})}$
$A = \sqrt{16 + 4 + 16(-0.5)} = \sqrt{20 - 8} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
પરિણામી તરંગની કળા $\phi$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\tan \phi = \frac{A_2 \sin(\Delta\phi)}{A_1 + A_2 \cos(\Delta\phi)}$
$\tan \phi = \frac{2 \sin(120^{\circ})}{4 + 2 \cos(120^{\circ})} = \frac{2(\frac{\sqrt{3}}{2})}{4 + 2(-0.5)} = \frac{\sqrt{3}}{4 - 1} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,$\phi = \frac{\pi}{6}$.

(D) સંપૂર્ણ વિનાશક વ્યતિકરણ (ન્યૂનતમ) માટે,બે તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x$ એ તરંગલંબાઇના અડધા ભાગનો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ.
ગાણિતિક રીતે,$\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$
આને $\Delta x = 0.5 \lambda, 1.5 \lambda, 2.5 \lambda, 3.5 \lambda, 4.5 \lambda, 5.5 \lambda, \dots$ તરીકે પણ લખી શકાય છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$5.5 \lambda$ એ $n = 6$ માટેની સ્થિતિ દર્શાવે છે (એટલે કે,$\Delta x = (2 \times 6 - 1) \frac{\lambda}{2} = 11 \frac{\lambda}{2} = 5.5 \lambda$).
તેથી,સાચો વિકલ્પ $5.5 \lambda$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $y = \frac{1}{\sqrt{a}} \sin \omega t \pm \frac{1}{\sqrt{b}} \cos \omega t$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \omega t = \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$.
આ કિંમત મૂકતા,$y = \frac{1}{\sqrt{a}} \sin \omega t \pm \frac{1}{\sqrt{b}} \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$.
આ બે સરળ આવર્ત ગતિઓનું સંપાતીકરણ દર્શાવે છે,જેમાં કંપવિસ્તાર $A_1 = \frac{1}{\sqrt{a}}$ અને $A_2 = \frac{1}{\sqrt{b}}$ છે,અને કળા તફાવત $\phi = \frac{\pi}{2}$ છે.
પરિણામી કંપવિસ્તાર $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos \phi}$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $\cos \frac{\pi}{2} = 0$,સૂત્ર $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$ બને છે.
કિંમતો મૂકતા,$A = \sqrt{(\frac{1}{\sqrt{a}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{b}})^2} = \sqrt{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \sqrt{\frac{a+b}{ab}}$.

(C) બે સંપાત થતા તરંગોના પરિણામી કંપવિસ્તાર $R$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos \phi}$
અહીં આપેલ છે કે દરેક તરંગનો કંપવિસ્તાર $A_1 = A_2 = A$ છે અને કળા તફાવત $\phi = \frac{\pi}{2}$ (એટલે કે $90^{\circ}$) છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2 A^2 \cos 90^{\circ}}$
કારણ કે $\cos 90^{\circ} = 0$ હોવાથી,સમીકરણનું સાદું રૂપ નીચે મુજબ મળે:
$R = \sqrt{A^2 + A^2 + 0} = \sqrt{2 A^2} = \sqrt{2} A$

(D) ધ્વનિ તરંગની તીવ્રતા $I$ તેના કંપવિસ્તાર $A$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto A^2$.
આપેલ કંપવિસ્તાર $A_1 = 3$ અને $A_2 = 5$ છે.
મહત્તમ કંપવિસ્તાર $A_{max} = A_1 + A_2 = 3 + 5 = 8$ થશે.
ન્યૂનતમ કંપવિસ્તાર $A_{min} = |A_1 - A_2| = |3 - 5| = 2$ થશે.
મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{I_{max}}{I_{min}} = \left( \frac{A_{max}}{A_{min}} \right)^2$
$\frac{I_{max}}{I_{min}} = \left( \frac{8}{2} \right)^2 = (4)^2 = 16$.
આમ,ગુણોત્તર $16:1$ છે.

(C) બે તરંગો કે જેમના કંપવિસ્તાર '$A_1$' અને '$A_2$' છે અને તેમની વચ્ચેનો કળા તફાવત '$\phi$' હોય,તો પરિણામી કંપવિસ્તાર '$R$' શોધવાનું સૂત્ર: $R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos(\phi)}$ છે.
અહીં આપેલ છે: $A_1 = A$,$A_2 = A$,અને $\phi = \frac{\pi}{2}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2(A)(A) \cos(\frac{\pi}{2})}$
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ થાય છે,તેથી સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$R = \sqrt{A^2 + A^2 + 0} = \sqrt{2A^2} = \sqrt{2} A$.
આમ,પરિણામી તરંગનો મહત્તમ કંપવિસ્તાર $\sqrt{2} A$ છે.

(A) બે તરંગો કે જેમના કંપવિસ્તાર $a_1$ અને $a_2$ છે અને કળા તફાવત $\phi = \phi_1 - \phi_2$ છે,તેમનો પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$A^2 = a_1^2 + a_2^2 + 2a_1 a_2 \cos \phi$
અહીં આપેલ છે કે $a_1 = a_2 = a$ અને પરિણામી કંપવિસ્તાર $A = a$ છે,તેથી આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$a^2 = a^2 + a^2 + 2(a)(a) \cos \phi$
$a^2 = 2a^2 + 2a^2 \cos \phi$
બંને બાજુથી $2a^2$ બાદ કરતા:
$-a^2 = 2a^2 \cos \phi$
$2a^2$ વડે ભાગતા:
$\cos \phi = -\frac{1}{2}$
તેથી,કળા તફાવત:
$\phi = \phi_1 - \phi_2 = \cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$

(A) પથ તફાવત $\Delta x = \lambda/3$ આપેલ છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$ છે.
કિંમત મૂકતા,$\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3} = 120^{\circ}$.
સમાન કંપવિસ્તાર $A$ ધરાવતા બે તરંગોનો પરિણામી કંપવિસ્તાર $R$ શોધવાનું સૂત્ર $R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2A^2 \cos \phi}$ છે.
$\phi = 120^{\circ}$ અને $\cos(120^{\circ}) = -0.5$ મૂકતા:
$R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2A^2(-0.5)}$
$R = \sqrt{2A^2 - A^2}$
$R = \sqrt{A^2} = A$.

(B) આપેલ છે કે,બે તરંગોની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{9}{1}$ છે.
તીવ્રતા $I \propto a^2$ હોવાથી,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે,આપણને મળે:
$\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2 = \frac{9}{1}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{1} \Rightarrow a_1 = 3a_2$.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(a_1 + a_2)^2}{(a_1 - a_2)^2}$
$a_1 = 3a_2$ મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(3a_2 + a_2)^2}{(3a_2 - a_2)^2} = \frac{(4a_2)^2}{(2a_2)^2} = \frac{16a_2^2}{4a_2^2} = \frac{4}{1}$.

(B) ધારો કે દરેક તરંગનો કંપવિસ્તાર $A$ છે. તીવ્રતા $I$ એ કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી $I \propto A^2$. ધારો કે દરેક તરંગની તીવ્રતા $I_0 = kA^2$ છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે તરંગો સમાન કળામાં આવે છે,ત્યારે કળા તફાવત $\phi = 0$ હોય છે. પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_R = A + A = 2A$ થાય છે. પરિણામી તીવ્રતા $I_1 = k(2A)^2 = 4kA^2 = 4I_0$ થાય છે.
કિસ્સો $2$: જ્યારે તરંગો $90^{\circ}$ ($\pi/2$ રેડિયન) કળા તફાવતે આવે છે,ત્યારે પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2AA \cos(90^{\circ})} = \sqrt{2A^2} = A\sqrt{2}$ થાય છે. પરિણામી તીવ્રતા $I_2 = k(A\sqrt{2})^2 = 2kA^2 = 2I_0$ થાય છે.
પરિણામી તીવ્રતાઓનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{4I_0}{2I_0} = \frac{2}{1}$ છે.

(D) ધારો કે બે તરંગોના સમીકરણો $y_1 = a \sin(\omega t - kx)$ અને $y_2 = a \sin(\omega t - kx + \phi)$ છે.
જ્યારે તેઓ સંપાત થાય છે,ત્યારે પરિણામી તરંગ $y = y_1 + y_2$ મળે છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = 2a \cos(\frac{\phi}{2}) \sin(\omega t - kx + \frac{\phi}{2})$.
પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_R = |2a \cos(\frac{\phi}{2})|$ છે.
આપેલ છે કે પરિણામી કંપવિસ્તાર વ્યક્તિગત કંપવિસ્તાર $a$ જેટલો છે,તેથી:
$a = |2a \cos(\frac{\phi}{2})| \implies \cos(\frac{\phi}{2}) = \pm \frac{1}{2}$.
માત્ર મૂલ્યને ધ્યાનમાં લેતા,$\cos(\frac{\phi}{2}) = \frac{1}{2}$.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,તેથી $\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{3}$.
આમ,કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{3}$ થાય છે.

(D) બિંદુ $P$ પર તરંગોનો પરિણામી કંપવિસ્તાર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos \phi}$,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે,અને $A_1$ અને $A_2$ એ ધ્વનિ તરંગોના કંપવિસ્તાર છે.
પ્રથમ,આપણે ધ્વનિ તરંગની તરંગલંબાઈ $\lambda$ ની ગણતરી કરીએ: $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{350 m s^{-1}}{350 Hz} = 1 m = 100 cm$.
પથ તફાવત $\Delta x = AP - BP = 25 cm$ આપેલ છે.
કળા તફાવત $\phi$ ની ગણતરી આ રીતે થાય છે: $\phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2 \pi}{100 cm} \times 25 cm = \frac{\pi}{2}$.
હવે,કિંમતોને પરિણામી કંપવિસ્તારના સૂત્રમાં મૂકતા:
$A = \sqrt{0.3^2 + 0.4^2 + 2 \times 0.3 \times 0.4 \cos(\frac{\pi}{2})}$
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$,તેથી સમીકરણ આ મુજબ સરળ બને છે:
$A = \sqrt{0.3^2 + 0.4^2} = \sqrt{0.09 + 0.16} = \sqrt{0.25} = 0.5 mm$.

(B) આપેલ છે કે, બે તરંગોના કંપનવિસ્તાર $a_1 = a_2 = 10 \,mm$ છે.
તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi = 90^{\circ}$ છે.
બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગોનો પરિણામી કંપનવિસ્તાર $A$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2 a_1 a_2 \cos \phi}$
આ સૂત્રમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$A = \sqrt{(10)^2 + (10)^2 + 2(10)(10) \cos 90^{\circ}}$
અહીં $\cos 90^{\circ} = 0$ હોવાથી, સમીકરણ આ રીતે સરળ બને છે:
$A = \sqrt{100 + 100 + 0}$
$A = \sqrt{200}$
$A = 10 \sqrt{2} \,mm$

(D) આપેલ સ્થાનાંતર સમીકરણ $y = \frac{1}{\sqrt{a}} \sin \omega t \pm \frac{1}{\sqrt{b}} \cos \omega t$ છે.
આપણે $\cos \omega t$ ને $\sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$y = \frac{1}{\sqrt{a}} \sin \omega t \pm \frac{1}{\sqrt{b}} \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$.
આ બે સરળ આવર્ત ગતિઓનું સંપાતીકરણ છે,જેમાં કંપવિસ્તાર $A_1 = \frac{1}{\sqrt{a}}$ અને $A_2 = \frac{1}{\sqrt{b}}$ છે,અને કળા તફાવત $\phi = \frac{\pi}{2}$ છે.
પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ નું સૂત્ર $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos \phi}$ છે.
અહીં $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ હોવાથી,સૂત્ર $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$ બને છે.
કિંમતો મૂકતા,$A = \sqrt{(\frac{1}{\sqrt{a}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{b}})^2} = \sqrt{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$.
છેદ સમાન કરતા,$A = \sqrt{\frac{a+b}{ab}}$ મળે છે.

(D) જ્યારે સમાન આવૃત્તિ $f$ અને સમાન કંપવિસ્તાર $a$ ધરાવતા બે તરંગો એકબીજા પર સંપાત થાય છે,ત્યારે પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ એ કળા તફાવત પર આધાર રાખે છે. સહાયક વ્યતિકરણ (મહત્તમ તીવ્રતા) ધારતા,પરિણામી કંપવિસ્તાર $A = a + a = 2 a$ થાય છે.
તરંગની તીવ્રતા $I$ એ તેના કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,$I \propto A^2$ મળે.
$A$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $I \propto (2 a)^2 = 4 a^2$ મળે છે.
આમ,કુલ તીવ્રતા $4 a^2$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(B) પરિણામી સ્થાનાંતર $x = x_1 + x_2 + x_3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણો મૂકતા:
$x = A \cos \omega t + 2 A \sin \omega t + \sqrt{2} A \cos (\omega t + \frac{\pi}{4})$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = A \cos \omega t + 2 A \sin \omega t + \sqrt{2} A (\cos \omega t \cos \frac{\pi}{4} - \sin \omega t \sin \frac{\pi}{4})$.
કારણ કે $\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી:
$x = A \cos \omega t + 2 A \sin \omega t + \sqrt{2} A (\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \omega t - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \omega t)$.
$x = A \cos \omega t + 2 A \sin \omega t + A \cos \omega t - A \sin \omega t$.
$x = 2 A \cos \omega t + A \sin \omega t$.
$x = a \cos \omega t + b \sin \omega t$ સ્વરૂપના સ્થાનાંતર માટે પરિણામી કંપવિસ્તાર $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ છે.
તેથી,$R = \sqrt{(2 A)^2 + A^2} = \sqrt{4 A^2 + A^2} = \sqrt{5} A$.

(A) બે તરંગો કે જેમની વ્યક્તિગત તીવ્રતા $I_1$ અને $I_2$ છે અને તેમની વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ હોય,તો પરિણામી તીવ્રતા $I_R$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\phi)$
અહીં આપેલ છે કે $I_1 = I_2 = I$ અને $\phi = \frac{\pi}{2}$,આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$I_R = I + I + 2\sqrt{I \cdot I} \cos(\frac{\pi}{2})$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$,તેથી સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$I_R = 2I + 2I(0) = 2I$
આમ,પરિણામી તીવ્રતા $2I$ થાય છે.

(B) તરંગની તીવ્રતા $I$ એ તેના કંપવિસ્તાર $A$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto A^2$.
$A_1$ અને $A_2$ કંપવિસ્તાર ધરાવતા બે તરંગો માટે,મહત્તમ તીવ્રતા $I_{max}$ સહાયક વ્યતિકરણ વખતે મળે છે,જ્યાં $I_{max} \propto (A_1 + A_2)^2$.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{min}$ વિનાશક વ્યતિકરણ વખતે મળે છે,જ્યાં $I_{min} \propto (A_1 - A_2)^2$.
તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{9}{4}$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{(A_1 + A_2)^2}{(A_1 - A_2)^2} = \frac{9}{4}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} = \frac{3}{2}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$2(A_1 + A_2) = 3(A_1 - A_2)$
$2A_1 + 2A_2 = 3A_1 - 3A_2$
$5A_2 = A_1$
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{A_2}{A_1} = \frac{1}{5} = 0.2$ થાય.

(B) આપેલ છે કે દરેક સાઇનસોઇડલ તરંગનો કંપવિસ્તાર સમાન છે。
ધારો કે $a_1 = a_2 = a$。
કળા તફાવત $\phi = 120^{\circ}$ છે。
પરિણામી કંપવિસ્તાર $A = 2 \,mm$ છે。
બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગોના પરિણામી કંપવિસ્તારનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2 a_1 a_2 \cos \phi}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$2 = \sqrt{a^2 + a^2 + 2 a^2 \cos 120^{\circ}}$
કારણ કે $\cos 120^{\circ} = -\frac{1}{2}$, તેથી:
$2 = \sqrt{a^2 + a^2 + 2 a^2 (-0.5)}$
$2 = \sqrt{2a^2 - a^2}$
$2 = \sqrt{a^2}$
$2 = a$
તેથી, દરેક તરંગનો કંપવિસ્તાર $2 \,mm$ છે。

(A) આપેલા સમીકરણો:
$y_1 = a \sin (kx - \omega t)$
$y_2 = a \sin (-(kx - \omega t) + \phi)$
નિત્યસમ $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$ નો ઉપયોગ કરીને,$y_2$ ને આ રીતે લખી શકાય:
$y_2 = -a \sin (kx - \omega t - \phi)$
$\sin(\theta - \phi) = \sin \theta \cos \phi - \cos \theta \sin \phi$ નો ઉપયોગ કરીને,સંપાતપણું $y = y_1 + y_2$:
$y = a \sin(kx - \omega t) + a \sin(kx - \omega t + \phi)$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = 2a \sin(\frac{kx - \omega t + kx - \omega t + \phi}{2}) \cos(\frac{kx - \omega t - (kx - \omega t + \phi)}{2})$
$y = 2a \sin(kx - \omega t + \frac{\phi}{2}) \cos(-\frac{\phi}{2})$
$\cos(-\theta) = \cos(\theta)$ હોવાથી:
$y = [2a \cos(\frac{\phi}{2})] \sin(kx - \omega t + \frac{\phi}{2})$
પરિણામી તરંગનો કંપવિસ્તાર એ સાઈન પદનો સહગુણક છે,જે $2a \cos(\frac{\phi}{2})$ છે.

(A) સીધા માર્ગની પથ લંબાઈ $2r$ (અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ) છે.
અર્ધવર્તુળાકાર માર્ગની પથ લંબાઈ $\pi r$ છે.
બંને માર્ગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = \pi r - 2r = r(\pi - 2)$ છે.
મહત્તમ કંપવિસ્તાર (સંવિનાશી વ્યતિકરણ) માટે,પથ તફાવત તરંગલંબાઈ $\lambda$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $\Delta x = n\lambda$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
પથ તફાવતને મૂકતા,આપણને $r(\pi - 2) = n\lambda$ મળે છે.
ધ્વનિનો વેગ $v = f\lambda$ હોવાથી,$\lambda = \frac{v}{f}$ થાય.
આને સમીકરણમાં મૂકતા: $r(\pi - 2) = n \frac{v}{f}$.
આવૃત્તિ $f$ માટે ગોઠવતા: $f = n \left[ \frac{v}{r(\pi - 2)} \right]$.
આમ,મહત્તમ કંપવિસ્તાર ધરાવતા પરિણામી તરંગોની આવૃત્તિઓ $\frac{v}{r(\pi - 2)}$ ના પૂર્ણાંક ગુણાંકમાં હશે.

(B) ધારો કે બિંદુ $A$ નું સ્પીકર્સને જોડતી રેખાથી અંતર $D = 40 \ m$ છે. સ્પીકર્સ $L_1$ અને $L_2$ વચ્ચેનું અંતર $10 \ m$ છે,તેથી તેમને જોડતી રેખાના મધ્યબિંદુની સાપેક્ષમાં તેમના યામ $(0, 5)$ અને $(0, -5)$ છે. બિંદુ $A$ ના યામ $(40, 0)$ છે.
જ્યારે રેકોર્ડર $A$ થી $25 \ m$ ના અંતરે બિંદુ $B$ પર જાય છે,ત્યારે તેના યામ $(40, 25)$ થાય છે.
સ્પીકર્સથી બિંદુ $B$ સુધીના અંતર:
$L_1B = \sqrt{40^2 + (25-5)^2} = \sqrt{40^2 + 20^2} = \sqrt{1600 + 400} = \sqrt{2000} = 20\sqrt{5} \ m$.
આપેલ છે કે $\sqrt{5} = 2.23$,તેથી $L_1B = 20 \times 2.23 = 44.6 \ m$.
$L_2B = \sqrt{40^2 + (25+5)^2} = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50 \ m$.
બિંદુ $B$ પર પથ તફાવત $\Delta x = L_2B - L_1B = 50 - 44.6 = 5.4 \ m$ છે.
રેકોર્ડર $10$ વખત ન્યૂનતમ અને મહત્તમમાંથી પસાર થાય છે,તેથી બિંદુ $B$ એ $10$ મુ મહત્તમ છે,એટલે કે $\Delta x = n\lambda$,જ્યાં $n = 10$.
$5.4 = 10 \times \lambda \implies \lambda = 0.54 \ m$.
આવૃત્તિ $f = \frac{v}{\lambda} = \frac{324}{0.54} = 600 \ Hz$.