Principle of superposition of waves Questions in Gujarati

(C) આપેલ તરંગ સમીકરણો $y_1 = A_1 \sin(\omega t - kx)$ અને $y_2 = A_2 \sin(\omega t - kx - \theta)$ છે,જ્યાં $A_1 = 2a$ અને $A_2 = 2a$ છે.
સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,$A_1$ અને $A_2$ કંપવિસ્તાર અને $\phi$ કળા તફાવત ધરાવતા બે તરંગો માટે પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos \phi}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A_1 = A_2 = 2a$ અને $\phi = \theta$ છે.
$A_R = \sqrt{(2a)^2 + (2a)^2 + 2(2a)(2a) \cos \theta}$
$A_R = \sqrt{4a^2 + 4a^2 + 8a^2 \cos \theta} = \sqrt{8a^2(1 + \cos \theta)}$
નિત્યસમ $1 + \cos \theta = 2 \cos^2(\theta / 2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A_R = \sqrt{8a^2 \cdot 2 \cos^2(\theta / 2)} = \sqrt{16a^2 \cos^2(\theta / 2)}$
$A_R = 4a \cos(\theta / 2)$.

(B) વિનાશક વ્યતિકરણ માટે,બે તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 0, 1, 2, ...$ છે. વિનાશક વ્યતિકરણના પ્રથમ કિસ્સા માટે $(n=0)$,પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{2}$ છે.
સહાયક વ્યતિકરણ મેળવવા માટે,પથ તફાવત તરંગલંબાઈનો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta x' = n\lambda$. સહાયક વ્યતિકરણ માટેની શરત $\Delta x' = m\lambda$ છે (જ્યાં $m$ એ પૂર્ણાંક છે).
જો આપણે એક તરંગના પથમાં $\frac{\lambda}{2}$ નો વધારો કરીએ,તો નવો પથ તફાવત $\Delta x_{new} = \Delta x + \frac{\lambda}{2} = \frac{\lambda}{2} + \frac{\lambda}{2} = \lambda$ થાય છે. કારણ કે $\lambda$ એ તરંગલંબાઈનો પૂર્ણાંક ગુણાંક છે $(m=1)$,તેથી સહાયક વ્યતિકરણ જોવા મળે છે.

(D) $A_1$ અને $A_2$ કંપવિસ્તાર અને $\phi$ કળા તફાવત ધરાવતા બે તરંગોનો પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos \phi}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $A_1 = A_2 = A$ અને $\phi = \pi / 2$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $A_R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2 A^2 \cos(\pi / 2)}$.
કારણ કે $\cos(\pi / 2) = 0$ થાય છે,તેથી $A_R = \sqrt{2 A^2} = \sqrt{2} A$ મળે છે.
પરિણામી તરંગની આવૃત્તિ મૂળ તરંગોની આવૃત્તિ જેટલી જ રહે છે,જે $\omega$ છે.

(A) બે તરંગો કે જેમના કંપવિસ્તાર $A_1$ અને $A_2$ છે અને તેમની વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ હોય,તો પરિણામી કંપવિસ્તાર $R$ નું સૂત્ર $R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\phi)}$ છે.
અહીં કળા તફાવત $\phi = 2\pi$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(2\pi) = 1$,તેથી સમીકરણ $R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2} = \sqrt{(A_1 + A_2)^2} = A_1 + A_2$ બને છે.
આ સહાયક વ્યતિકરણ (constructive interference) દર્શાવે છે,જેમાં પરિણામી કંપવિસ્તાર મહત્તમ હોય છે.

(D) જ્યારે સમાન આવૃત્તિ $f$ અને કંપવિસ્તાર $a$ ધરાવતા બે તરંગો સંપાત થાય છે,ત્યારે પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2 \cos \phi} = \sqrt{2a^2(1 + \cos \phi)} = \sqrt{4a^2 \cos^2(\phi/2)} = 2a \cos(\phi/2)$
તરંગની તીવ્રતા $I$ એ તેના કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(I \propto A^2)$,
$I \propto (2a \cos(\phi/2))^2 = 4a^2 \cos^2(\phi/2)$.
સંબંધિત વ્યતિકરણ (constructive interference) માટે,મહત્તમ તીવ્રતા $4a^2$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(B) ધારો કે દરેક તરંગનો કંપવિસ્તાર $a$ છે. પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$A^2 = a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2 \cos \phi$
અહીં $a_1 = a_2 = a$ અને પરિણામી કંપવિસ્તાર $A = a$ આપેલ છે,તેથી:
$a^2 = a^2 + a^2 + 2a^2 \cos \phi$
$a^2 = 2a^2 + 2a^2 \cos \phi$
$-a^2 = 2a^2 \cos \phi$
$\cos \phi = -1/2$
તેથી,કળા તફાવત $\phi = 2\pi / 3$ રેડિયન થાય.

(D) તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{350}{350} = 1 m = 100 cm$ છે.
બિંદુ $P$ પર તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $(\Delta x) = AP - BP = 25 cm$ છે.
કળા તફાવત $(\Delta \phi) = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{100} \times 25 = \frac{\pi}{2} rad$ મળે છે.
કળા તફાવત $\frac{\pi}{2}$ હોવાથી,પરિણામી કંપનવિસ્તાર $A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2a_1 a_2 \cos(\Delta \phi)}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $A = \sqrt{(0.3)^2 + (0.4)^2 + 2(0.3)(0.4) \cos(\frac{\pi}{2})}$.
$\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ હોવાથી,$A = \sqrt{0.09 + 0.16} = \sqrt{0.25} = 0.5 mm$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: દરેક તરંગનો કંપવિસ્તાર = $a$. તરંગલંબાઈ $\lambda = 1 \ m$. પથ તફાવત $\Delta x = AP - BP = 50 \ cm = 0.5 \ m$.
પથ તફાવતને કારણે ઉદ્ભવતો કળા તફાવત $\phi_{path} = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x = \frac{2\pi}{1} \times 0.5 = \pi$.
ઉદગમ $A$ એ $B$ કરતા $\frac{\pi}{3}$ કળામાં આગળ હોવાથી,બિંદુ $P$ આગળ બંને તરંગો વચ્ચેનો કુલ કળા તફાવત $\Delta \phi = \phi_{path} - \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ થાય.
પરિણામી કંપવિસ્તાર $R$ નું સૂત્ર $R = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2 \cos(\Delta \phi)}$ છે.
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{3}$ મૂકતા:
$R = \sqrt{2a^2 + 2a^2 \cos(120^\circ)} = \sqrt{2a^2 + 2a^2(-0.5)} = \sqrt{2a^2 - a^2} = \sqrt{a^2} = a$.

(C) $a_1$ અને $a_2$ કંપવિસ્તાર અને $\phi$ કળા તફાવત ધરાવતા બે તરંગોના વ્યતિકરણ માટે પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2 \cos \phi}$
અહીં આપેલ કિંમતો $a_1 = 0.3 \ cm$,$a_2 = 0.4 \ cm$ અને $\phi = \pi/2$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$A = \sqrt{(0.3)^2 + (0.4)^2 + 2(0.3)(0.4) \cos(\pi/2)}$
કારણ કે $\cos(\pi/2) = 0$ થાય છે,તેથી સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$A = \sqrt{0.09 + 0.16 + 0} = \sqrt{0.25} = 0.5 \ cm$.

(A) જ્યારે બે તરંગો સમાન આવૃત્તિ અને વેગ સાથે એક જ દિશામાં પ્રસરતા હોય,ત્યારે પરિણામી કંપવિસ્તાર $R$ નું સૂત્ર $R = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2 \cos \phi}$ છે.
અહીં તરંગો સમાન કળામાં હોવાથી,કળા તફાવત $\phi = 0$ છે.
$\cos(0) = 1$ હોવાથી,સૂત્ર $R = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2} = \sqrt{(a_1 + a_2)^2} = a_1 + a_2$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
આપેલા કંપવિસ્તાર $a_1 = 2A$ અને $a_2 = A$ મૂકતા,આપણને $R = 2A + A = 3A$ મળે છે.

(C) વ્યતિકરણ થવા માટે,બે તરંગો વચ્ચે કળાનો તફાવત અચળ હોવો જોઈએ.
તરંગ $(2)$ એ $y = a \sin(\omega t - kx)$ છે અને તરંગ $(4)$ એ $y = a \cos(\omega t - kx) = a \sin(\omega t - kx + \pi/2)$ છે.
બંને તરંગો $(2)$ અને $(4)$ સમાન આવૃત્તિ ધરાવે છે અને સમાન દિશામાં $\pi/2$ ના અચળ કળા તફાવત સાથે ગતિ કરે છે,તેથી તેઓ સ્થાયી વ્યતિકરણ ભાત ઉત્પન્ન કરી શકે છે.
તે જ રીતે,તરંગો $(1)$ અને $(3)$ પણ અચળ કળા સંબંધ ધરાવે છે,પરંતુ આપેલા વિકલ્પોમાંથી,માત્ર જોડી $(2)$ અને $(4)$ જ વ્યતિકરણ માટે માન્ય સંયોજન તરીકે યોગ્ય રીતે સૂચિબદ્ધ છે.

(D) જ્યારે સમાન આવૃત્તિ અને તીવ્રતા ધરાવતા બે તરંગો વિરુદ્ધ કળામાં ($\pi$ રેડિયનનો કળા તફાવત) સંપાત થાય છે,ત્યારે વિનાશક વ્યતિકરણ રચાય છે.
વિનાશક વ્યતિકરણમાં,પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_{res} = A_1 - A_2$ થાય છે.
અહીં તીવ્રતા સમાન હોવાથી,કંપવિસ્તાર પણ સમાન હોય છે $(A_1 = A_2 = A)$.
તેથી,પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_{res} = A - A = 0$ થાય છે.
તીવ્રતા $I \propto A^2$ હોવાથી,પરિણામી તીવ્રતા $I_{res} = 0$ થાય છે.
આમ,તીવ્રતા શૂન્ય થઈ જાય છે,જે વિકલ્પો $A$,$B$ કે $C$ માં દર્શાવેલ નથી.

(A) બે તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi = (\omega t - \beta_2) - (\omega t - \beta_1) = \beta_1 - \beta_2$ છે.
સંપાતપણાના સિદ્ધાંત મુજબ,$A_1$ અને $A_2$ કંપવિસ્તાર ધરાવતા અને $\phi$ કળા તફાવત ધરાવતા બે તરંગોનો પરિણામી કંપવિસ્તાર $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos \phi}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\phi$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\beta_1 - \beta_2)}$ મળે છે.

(A) સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત મુજબ પરિણામી તરંગ: $y = y_1 + y_2 = A\sin(\omega t - kx) + A\sin(\omega t - kx - \theta )$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin C + \sin D = 2\sin(\frac{C+D}{2})\cos(\frac{C-D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = 2A \sin(\omega t - kx - \frac{\theta}{2}) \cos(\frac{\theta}{2})$.
પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_R$ એ સાઈન પદનો સહગુણક છે:
$A_R = 2A \cos(\frac{\theta}{2})$.
વૈકલ્પિક રીતે,કંપવિસ્તાર માટે સદિશ સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$A_R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\theta} = \sqrt{A^2 + A^2 + 2A^2\cos\theta} = \sqrt{2A^2(1 + \cos\theta)}$.
કારણ કે $1 + \cos\theta = 2\cos^2(\frac{\theta}{2})$,તેથી $A_R = \sqrt{2A^2 \cdot 2\cos^2(\frac{\theta}{2})} = 2A\cos(\frac{\theta}{2})$.

(C) પ્રથમ તરંગ $y_1 = a \sin(\omega t + \frac{\pi}{6})$ છે.
બીજું તરંગ $y_2 = a \cos(\omega t) = a \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$ છે.
બંને તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi = (\omega t + \frac{\pi}{2}) - (\omega t + \frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ છે.
સમાન કંપવિસ્તાર $a$ ધરાવતા બે તરંગોનો પરિણામી કંપવિસ્તાર $A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2a_1 a_2 \cos \phi}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$a_1 = a$,$a_2 = a$ અને $\phi = \frac{\pi}{3}$ મૂકતા:
$A = \sqrt{a^2 + a^2 + 2(a)(a) \cos(\frac{\pi}{3})}$
$A = \sqrt{2a^2 + 2a^2(\frac{1}{2})}$
$A = \sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = \sqrt{3} a$.

(B) સમાન કંપવિસ્તાર $a$ ધરાવતા બે તરંગોના સંપાતીકરણથી મળતા પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ નું સૂત્ર: $A^2 = a^2 + a^2 + 2a^2 \cos \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
અહીં આપેલ છે કે પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ એ વ્યક્તિગત તરંગોના કંપવિસ્તાર $a$ જેટલો જ છે,એટલે કે $A = a$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $a^2 = a^2 + a^2 + 2a^2 \cos \phi$.
$a^2 = 2a^2 + 2a^2 \cos \phi$.
$-a^2 = 2a^2 \cos \phi$.
$\cos \phi = -\frac{1}{2}$.
આથી,$\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$ હોવાથી,કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{3}$ રેડિયન થાય.

(B) $L_1$ અને $L_2$ થી ડિટેક્ટર $D$ સુધી પહોંચતા તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત નીચે મુજબ છે:
$\Delta x = L_2D - L_1D$
ભૂમિતિ પરથી,$L_1D = 40 \, m$ અને $L_1$ તથા $L_2$ વચ્ચેનું અંતર $9 \, m$ છે. તેથી,$L_2D = \sqrt{40^2 + 9^2} = \sqrt{1600 + 81} = \sqrt{1681} = 41 \, m$.
$\Delta x = 41 \, m - 40 \, m = 1 \, m$.
સંરચનાત્મક વ્યતિકરણ (મહત્તમ) માટે,શરત $\Delta x = n\lambda$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$.
પ્રથમ મહત્તમ માટે,આપણે $n = 1$ લઈએ છીએ:
$1 \, m = 1 \cdot \lambda \implies \lambda = 1 \, m$.
આવૃત્તિ $f$ એ $f = \frac{v}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v = 330 \, m/s$.
$f = \frac{330 \, m/s}{1 \, m} = 330 \, Hz$.

(C) ધારો કે કંપનવિસ્તાર $A_1 = 10 \,\mu m$,$A_2 = 4 \,\mu m$,અને $A_3 = 7 \,\mu m$ છે.
તરંગો $\frac{\pi}{2}$ ના ક્રમિક કળા તફાવત સાથે પહોંચે છે.
ધારો કે પ્રથમ તરંગની કળા $0$,બીજાની $\frac{\pi}{2}$,અને ત્રીજાની $\pi$ છે.
ફેઝર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,પરિણામી કંપનવિસ્તાર $A_R$ એ કંપનવિસ્તારોના સદિશ સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$A_R = \sqrt{(\sum A_i \cos \phi_i)^2 + (\sum A_i \sin \phi_i)^2}$
$A_x = A_1 \cos(0) + A_2 \cos(\frac{\pi}{2}) + A_3 \cos(\pi) = 10(1) + 4(0) + 7(-1) = 10 - 7 = 3 \,\mu m$
$A_y = A_1 \sin(0) + A_2 \sin(\frac{\pi}{2}) + A_3 \sin(\pi) = 10(0) + 4(1) + 7(0) = 4 \,\mu m$
પરિણામી કંપનવિસ્તાર $A_R = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \,\mu m$.

(B) બે પલ્સના કેન્દ્રો વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $d = 8 \ cm$ છે.
દરેક પલ્સ $v = 2 \ cm/s$ ની ઝડપથી એકબીજા તરફ ગતિ કરે છે.
બે પલ્સની સાપેક્ષ ઝડપ $v_{rel} = v + v = 2 + 2 = 4 \ cm/s$ છે.
પલ્સને મળવા માટે લાગતો સમય $t = d / v_{rel} = 8 \ cm / 4 \ cm/s = 2 \ s$ છે.
$2 \ s$ પછી,બંને પલ્સ સંપૂર્ણપણે એકબીજા પર ઓવરલેપ થાય છે.
પલ્સ વિરુદ્ધ કળામાં હોવાથી (એક શૃંગ છે અને બીજું સમાન મૂલ્યનું ગર્ત છે),તેમનું સ્થાનાંતર દરેક બિંદુએ એકબીજાને નાબૂદ કરે છે,જેનાથી દોરી ક્ષણિક રીતે સીધી થઈ જાય છે.
દોરી સીધી હોવાથી,તેમાં કોઈ વિકૃતિ નથી,અને તેથી સ્થિતિજ ઉર્જા શૂન્ય છે.
જોકે,આ ક્ષણે દોરીના કણો પાસે હજુ પણ વેગ હોય છે,તેથી સિસ્ટમની કુલ ઉર્જા સંપૂર્ણપણે ગતિજ હોય છે.

(C) દરેક પલ્સની ઝડપ $v = 2.5 \ cm/s$ છે.
વિતેલો સમય $t = 2 \ s$ છે.
દરેક પલ્સ દ્વારા કાપેલું અંતર $d = v \times t = 2.5 \ cm/s \times 2 \ s = 5 \ cm$ છે.
શરૂઆતમાં,પલ્સ એકબીજાથી $10 \ cm$ દૂર છે. તેઓ એકબીજા તરફ ગતિ કરી રહ્યા હોવાથી,$2 \ s$ પછી,દરેક પલ્સ $5 \ cm$ અંતર કાપશે,જે $10 \ cm$ ના અંતરને સંપૂર્ણપણે ભરી દેશે.
જ્યારે બે પલ્સ મળે છે,ત્યારે તેઓ પરસ્પર વિરુદ્ધ કળામાં હોય છે (એક શૃંગ છે અને બીજું ગર્ત છે). સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત મુજબ,દોરીનું પરિણામી સ્થાનાંતર એ વ્યક્તિગત સ્થાનાંતરોના બૈજિક સરવાળા જેટલું હશે.
પલ્સ સમાન અને વિરુદ્ધ કંપવિસ્તાર ધરાવતા હોવાથી,તેમના છેદબિંદુ પર તેમનો સરવાળો શૂન્ય થશે.
તેથી,દોરી એક સીધી રેખા જેવી દેખાશે.

(D) ધ્વનિ તરંગો અને પ્રકાશના તરંગો બંને તરંગ ઘટનાઓ છે જે વ્યતિકરણનો ગુણધર્મ દર્શાવે છે. જ્યારે સમાન આવૃત્તિ અને અચળ કળા તફાવત ધરાવતા બે તરંગો એકબીજા પર સંપાત થાય છે,ત્યારે વ્યતિકરણ થાય છે,જેના પરિણામે અલગ કંપવિસ્તાર ધરાવતી નવી તરંગ ભાત રચાય છે. ધ્વનિ અને પ્રકાશ બંને તરંગ સંપાતપણાની શરતોનું પાલન કરતા હોવાથી,બંને વ્યતિકરણની ભાત ઉત્પન્ન કરે છે. અન્ય વિકલ્પો ખોટા છે કારણ કે ધ્વનિ તરંગો યાંત્રિક અને સંગત (longitudinal) છે,જ્યારે પ્રકાશના તરંગો વિદ્યુતચુંબકીય અને લંબગત (transverse) છે,અને તેઓ ખૂબ જ અલગ ઝડપે ગતિ કરે છે.

(B) આપેલા તરંગના સમીકરણો $y_1 = 4\sin \omega t$ અને $y_2 = 3\sin (\omega t + \pi/3)$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y = a\sin(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કંપવિસ્તાર $a_1 = 4$ અને $a_2 = 3$ મળે છે,અને કળા તફાવત $\phi = \pi/3$ છે.
પરિણામી તરંગનો કંપવિસ્તાર $A$ શોધવાનું સૂત્ર $A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2 \cos \phi}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $A = \sqrt{4^2 + 3^2 + 2(4)(3) \cos(\pi/3)}$.
અહીં $\cos(\pi/3) = 0.5$ હોવાથી,$A = \sqrt{16 + 9 + 24(0.5)} = \sqrt{25 + 12} = \sqrt{37}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$A \approx 6.08$,જે આશરે $6$ જેટલું થાય છે.

(D) બે તરંગો જેમના કંપનવિસ્તાર $a_1$ અને $a_2$ હોય અને કળા તફાવત $\delta$ હોય,તેમનો પરિણામી કંપનવિસ્તાર $R$ નીચે મુજબ મળે: $R^2 = a_1^2 + a_2^2 + 2a_1 a_2 \cos \delta$.
અહીં,$a_1 = a$ અને $a_2 = a$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$R^2 = a^2 + a^2 + 2(a)(a) \cos \delta$.
$R^2 = 2a^2 + 2a^2 \cos \delta = 2a^2(1 + \cos \delta)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \cos \delta = 2 \cos^2 \left( \frac{\delta}{2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$R^2 = 2a^2 \times 2 \cos^2 \left( \frac{\delta}{2} \right) = 4a^2 \cos^2 \left( \frac{\delta}{2} \right)$.
તીવ્રતા $I \propto R^2$ હોવાથી,પરિણામી તીવ્રતા $4a^2 \cos^2 \left( \frac{\delta}{2} \right)$ ના પ્રમાણમાં છે.

(D) વ્યતિકરણ એ એવી ઘટના છે જે ત્યારે થાય છે જ્યારે બે અથવા વધુ સુસંબદ્ધ (coherent) તરંગોનું સંપાતીકરણ થાય છે.
સુસંબદ્ધ તરંગો એટલે એવા તરંગો કે જેમની આવૃત્તિ સમાન હોય અને સમય સાથે કળા તફાવત અચળ રહેતો હોય.
આ પ્રશ્નમાં,તરંગોને 'સ્વતંત્ર' તરીકે દર્શાવવામાં આવ્યા છે.
સ્વતંત્ર પ્રકાશના ઉદગમો યાદચ્છિક કળા ફેરફારો સાથે તરંગોનું ઉત્સર્જન કરે છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ અસુસંબદ્ધ છે.
તેથી,સ્વતંત્ર ઉદગમો વચ્ચે વ્યતિકરણ જોઈ શકાતું નથી.
આમ,આપેલ જોડીઓમાંથી કોઈ પણ વ્યતિકરણની ઘટના દર્શાવતું નથી.

(D) બે તરંગો કે જેમના કંપવિસ્તાર $a_1$ અને $a_2$ હોય અને તેમની વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ હોય,તો તેમનો પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2 a_1 a_2 \cos \phi}$.
અહીં,$a_1 = a$,$a_2 = a$ અને કળા તફાવત $\phi = \frac{\pi}{3} - 0 = \frac{\pi}{3}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$A = \sqrt{a^2 + a^2 + 2(a)(a) \cos(\frac{\pi}{3})}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,તેથી:
$A = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2(\frac{1}{2})}$
$A = \sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = \sqrt{3} a$.

(A) પરિણામી તરંગ $y = y_1 + y_2$ છે.
$y = A_1 \sin(wt - \beta_1) + A_2 \sin(wt - \beta_2)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = A_1(\sin wt \cos \beta_1 - \cos wt \sin \beta_1) + A_2(\sin wt \cos \beta_2 - \cos wt \sin \beta_2)$.
પદોને ગોઠવતા:
$y = (A_1 \cos \beta_1 + A_2 \cos \beta_2) \sin wt - (A_1 \sin \beta_1 + A_2 \sin \beta_2) \cos wt$.
ધારો કે $X = A_1 \cos \beta_1 + A_2 \cos \beta_2$ અને $Y = A_1 \sin \beta_1 + A_2 \sin \beta_2$.
પરિણામી કંપવિસ્તાર $A = \sqrt{X^2 + Y^2}$ થાય.
$A = \sqrt{(A_1 \cos \beta_1 + A_2 \cos \beta_2)^2 + (A_1 \sin \beta_1 + A_2 \sin \beta_2)^2}$.
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા:
$A = \sqrt{A_1^2(\cos^2 \beta_1 + \sin^2 \beta_1) + A_2^2(\cos^2 \beta_2 + \sin^2 \beta_2) + 2A_1A_2(\cos \beta_1 \cos \beta_2 + \sin \beta_1 \sin \beta_2)}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ અને $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\beta_1 - \beta_2)}$.

(A) બે સંપાત થતા તરંગો જેની તીવ્રતા $I_1$ અને $I_2$ હોય અને કળા તફાવત $\phi$ હોય,તેની પરિણામી તીવ્રતા $I_R$ શોધવાનું સૂત્ર: $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ છે.
અહીં આપેલ છે કે $I_1 = I$,$I_2 = I$ અને $\phi = 120^o$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$I_R = I + I + 2\sqrt{I \cdot I} \cos(120^o)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(120^o) = -1/2$,તેથી:
$I_R = 2I + 2I(-1/2) = 2I - I = I$.
આમ,પરિણામી તીવ્રતા $I$ મળે છે.

(C) બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગોનો પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2a_1 a_2 \cos \phi}$
અહીં,$a_1 = 4$,$a_2 = 3$,અને કળા તફાવત $\phi = \pi / 3$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$A = \sqrt{4^2 + 3^2 + 2(4)(3) \cos(\pi / 3)}$
કારણ કે $\cos(\pi / 3) = 0.5$:
$A = \sqrt{16 + 9 + 24(0.5)}$
$A = \sqrt{25 + 12}$
$A = \sqrt{37}$
$A \approx 6.08$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,કંપવિસ્તાર $6$ મળે છે.

(B) $A_1$ અને $A_2$ કંપવિસ્તાર અને $\phi$ કળા તફાવત ધરાવતા બે તરંગોના પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ નું સૂત્ર: $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos \phi}$ છે.
અહીં $A_1 = A_2 = a$ અને પરિણામી કંપવિસ્તાર $A = a$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $a = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2 \cos \phi}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $a^2 = 2a^2 + 2a^2 \cos \phi$.
$a^2$ વડે ભાગતા: $1 = 2 + 2 \cos \phi$.
તેથી,$2 \cos \phi = -1$,એટલે કે $\cos \phi = -1/2$.
આમ,કળા તફાવત $\phi = 120^\circ$ અથવા $\phi = 2\pi / 3$ રેડિયન થાય.

(D) તરંગની તીવ્રતા $I$ તેના કંપવિસ્તારના વર્ગના સપ્રમાણમાં હોય છે,$I \propto A^2$.
જ્યારે $a_1$ અને $a_2$ કંપવિસ્તાર ધરાવતા બે તરંગો સંપાત થાય,ત્યારે પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_R$ એ $|a_1 - a_2|$ થી $(a_1 + a_2)$ ની વચ્ચે હોઈ શકે છે.
મહત્તમ તીવ્રતા (સહાયક વ્યતિકરણ) માટે,પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_R = a_1 + a_2$ થાય છે.
અહીં $a_1 = a_2 = a$ આપેલ હોવાથી,પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_R = a + a = 2a$ થાય.
પરિણામી તીવ્રતા $I$ એ પરિણામી કંપવિસ્તારના વર્ગના સપ્રમાણમાં હોય છે:
$I \propto (A_R)^2$
$I \propto (2a)^2$
$I \propto 4a^2$.

(D) બે સંપાત થતા તરંગો કે જેમના કંપવિસ્તાર $a_1$ અને $a_2$ છે અને તેમની વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ હોય,તો પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_R$ નું સૂત્ર:
$A_R = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2 \cos \phi}$
અહીં $a_1 = a_2 = A$ અને $\phi = \pi / 2$ આપેલ છે:
$A_R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2A^2 \cos(\pi / 2)}$
કારણ કે $\cos(\pi / 2) = 0$ થાય,તેથી:
$A_R = \sqrt{2A^2} = \sqrt{2} A$
જ્યારે સમાન આવૃત્તિ ધરાવતા બે તરંગો સંપાત થાય,ત્યારે પરિણામી તરંગની આવૃત્તિ મૂળ તરંગો જેટલી જ રહે છે.
તેથી,પરિણામી આવૃત્તિ $\omega$ થશે.

(A) સમયનો તફાવત $(\Delta t)$ અને કળા તફાવત $(\phi)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{T} \times \Delta t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\Delta t = \frac{3T}{2}$,આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\phi = \frac{2\pi}{T} \times \frac{3T}{2} = 3\pi$.
$I_1 = x$ અને $I_2 = y$ તીવ્રતા ધરાવતા બે તરંગોની પરિણામી તીવ્રતા $I_R$ નું સૂત્ર $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\phi)$ છે.
$\phi = 3\pi$ અને $\cos(3\pi) = -1$ મૂકતા:
$I_R = x + y + 2\sqrt{xy}(-1) = x + y - 2\sqrt{xy} = (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2$.
તેથી,સાચી પરિણામી તીવ્રતા $(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2$ છે.

(B) ધ્વનિ તરંગ જંકશન પર બે માર્ગોમાં વિભાજિત થાય છે. એક માર્ગ સીધો છે (લંબાઈ $L_1 = 2r$) અને બીજો માર્ગ અર્ધવર્તુળાકાર છે (લંબાઈ $L_2 = \pi r$).
ડિટેક્ટર $D$ પાસે લઘુત્તમ ધ્વનિ સંભળાય તે માટે,બે તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત તરંગલંબાઈના અડધા ભાગનો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta x = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$.
સૌથી નાની ત્રિજ્યા $r$ માટે,આપણે $n = 0$ લઈએ છીએ,તેથી $\Delta x = \frac{\lambda}{2}$.
પથ તફાવત $\Delta x = L_2 - L_1 = \pi r - 2r = r(\pi - 2)$ છે.
આપેલ છે કે $\lambda = 32 \ cm$,તેથી $r(\pi - 2) = \frac{32}{2} = 16$.
તેથી,$r = \frac{16}{\pi - 2} \approx \frac{16}{3.14 - 2} = \frac{16}{1.14} \approx 14 \ cm$.

(C) સમાન તીવ્રતા $I_0$ ધરાવતા બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગોની પરિણામી તીવ્રતા $I = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત છે.
જ્યારે તરંગો સમાન કળામાં હોય,ત્યારે કળા તફાવત $\phi_1 = 0^{\circ}$ છે.
તેથી,$I_1 = 4I_0 \cos^2(0/2) = 4I_0 \cos^2(0) = 4I_0$.
જ્યારે તરંગો $90^{\circ}$ કળા તફાવતે હોય,ત્યારે કળા તફાવત $\phi_2 = 90^{\circ}$ છે.
તેથી,$I_2 = 4I_0 \cos^2(90^{\circ}/2) = 4I_0 \cos^2(45^{\circ}) = 4I_0 \times (1/\sqrt{2})^2 = 4I_0 \times (1/2) = 2I_0$.
તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{4I_0}{2I_0} = \frac{2}{1}$ થાય.

(A) આપેલ તરંગો $y_1 = 5 \sin (\omega t - kx)$ અને $y_2 = -5 \cos (\omega t - kx - 150^{\circ})$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $-\cos(\theta) = \sin(\theta - 90^{\circ})$.
તેથી,$y_2 = 5 \sin (\omega t - kx - 150^{\circ} - 90^{\circ}) = 5 \sin (\omega t - kx - 240^{\circ})$.
વૈકલ્પિક રીતે,$y_2 = 5 \sin (\omega t - kx - 240^{\circ} + 360^{\circ}) = 5 \sin (\omega t - kx + 120^{\circ})$.
બે તરંગો $A_1 \sin(\phi_1)$ અને $A_2 \sin(\phi_2)$ નો પરિણામી કંપવિસ્તાર $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\Delta\phi)}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $A_1 = 5$,$A_2 = 5$,અને કળા તફાવત $\Delta\phi = 120^{\circ} - 0^{\circ} = 120^{\circ}$ છે.
$A = \sqrt{5^2 + 5^2 + 2(5)(5) \cos(120^{\circ})}$.
કારણ કે $\cos(120^{\circ}) = -0.5$,તેથી $A = \sqrt{25 + 25 + 50(-0.5)} = \sqrt{50 - 25} = \sqrt{25} = 5$.

(A) તરંગોના કંપવિસ્તાર $a_{1} = 10 \, \mu m$,$a_{2} = 4 \, \mu m$ અને $a_{3} = 7 \, \mu m$ છે.
પ્રથમ અને બીજા તરંગ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi_{12} = \pi / 2$ છે અને બીજા તથા ત્રીજા તરંગ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi_{23} = \pi / 2$ છે. તેથી,પ્રથમ અને ત્રીજા તરંગ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi_{13} = \pi$ થશે.
પ્રથમ,આપણે પ્રથમ અને ત્રીજા તરંગને સંયોજિત કરીએ. તેઓ પરસ્પર વિરુદ્ધ કળામાં $(\pi)$ હોવાથી,તેમનો પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_{13}$ નીચે મુજબ મળે:
$A_{13} = |a_{1} - a_{3}| = |10 - 7| = 3 \, \mu m$.
હવે,આ પરિણામી $A_{13}$ ને બીજા તરંગ સાથે સંયોજિત કરીએ. બીજા તરંગ અને પ્રથમ તથા ત્રીજા તરંગના પરિણામી વચ્ચેનો કળા તફાવત $\pi / 2$ છે (કારણ કે પરિણામી $A_{13}$ એ પ્રથમ તરંગની દિશામાં છે).
અંતિમ પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ નીચે મુજબ મળે:
$A = \sqrt{A_{13}^{2} + a_{2}^{2} + 2 A_{13} a_{2} \cos(\pi / 2)}$
$A = \sqrt{3^{2} + 4^{2} + 0} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, \mu m$.

(A) વ્યક્તિ બે માર્ગો દ્વારા ધ્વનિ મેળવે છે: $d_1 = 6\, m$ લંબાઈનો સીધો માર્ગ અને $d_2 = 5\, m + 5\, m = 10\, m$ લંબાઈનો પરાવર્તિત માર્ગ.
બે તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = d_2 - d_1 = 10\, m - 6\, m = 4\, m$ છે.
સહાયક વ્યતિકરણ (મહત્તમ ધ્વનિ તીવ્રતા) માટે,પથ તફાવત એ તરંગલંબાઇ $\lambda$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ:
$\Delta x = n\lambda$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$
કિંમતો મૂકતા,આપણને $4 = n\lambda$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = \frac{4}{n}$.
મહત્તમ તરંગલંબાઇ શોધવા માટે,આપણે $n$ માટે સૌથી નાની ધન પૂર્ણાંક કિંમત પસંદ કરવી જોઈએ,જે $n = 1$ છે.
તેથી,$\lambda_{\max} = \frac{4}{1} = 4\, m$.

(B) બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગોની પરિણામી તીવ્રતા $I_R$ નું સૂત્ર: $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
અહીં $I_1 = I$ અને $I_2 = 4I$ આપેલ છે.
બિંદુ $A$ પર,કળા તફાવત $\phi_A = \pi / 2$ છે. સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$I_A = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\pi / 2) = 5I + 2(2I)(0) = 5I$.
બિંદુ $B$ પર,કળા તફાવત $\phi_B = \pi$ છે. સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$I_B = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\pi) = 5I + 2(2I)(-1) = 5I - 4I = I$.
$A$ અને $B$ આગળ પરિણામી તીવ્રતા વચ્ચેનો તફાવત $I_A - I_B = 5I - I = 4I$ થાય.

(C) $x = 0$ આગળ પરિણામી તરંગ વિધેય $y = y_1 + y_2$ છે.
તરંગ વિધેયોમાં $x = 0$ મૂકતા:
$y_1 = A \cos(-kvt) = A \cos(kvt)$
$y_2 = A \cos(kvt + \phi)$
સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,$y = A [\cos(kvt) + \cos(kvt + \phi)]$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos C + \cos D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = 2A \cos(kvt + \frac{\phi}{2}) \cos(\frac{\phi}{2})$.
સહાયક વ્યતિકરણ માટે,કંપવિસ્તાર મહત્તમ હોવો જોઈએ,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે $|\cos(\frac{\phi}{2})| = 1$,એટલે કે $\frac{\phi}{2} = n\pi$,અથવા $\phi = 2n\pi$ (જ્યાં $n = 0, 1, 2, ...$).
વિનાશક વ્યતિકરણ માટે,કંપવિસ્તાર શૂન્ય હોવો જોઈએ,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે $\cos(\frac{\phi}{2}) = 0$,એટલે કે $\frac{\phi}{2} = (2n+1)\frac{\pi}{2}$,અથવા $\phi = (2n+1)\pi$ (જ્યાં $n = 0, 1, 2, ...$).
વિકલ્પો તપાસતા,વિનાશક વ્યતિકરણની શરત માટે $n=0$ લેતા,$\phi = \pi$ મળે છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) ધારો કે બે તરંગોના સમીકરણો $y_1 = A \sin(kx - \omega t)$ અને $y_2 = A \sin(kx - \omega t + \frac{\pi}{2})$ છે.
કારણ કે $\sin(kx - \omega t + \frac{\pi}{2}) = \cos(kx - \omega t)$,પરિણામી તરંગ $y = y_1 + y_2 = A \sin(kx - \omega t) + A \cos(kx - \omega t)$ છે.
$a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\theta + \phi)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\phi = \tan^{-1}(b/a)$,આપણને મળે છે:
$y = \sqrt{A^2 + A^2} \sin(kx - \omega t + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}A \sin(kx - \omega t + \frac{\pi}{4})$.
પરિણામી તરંગનો કંપવિસ્તાર $\sqrt{2}A$ છે,જે વ્યક્તિગત કંપવિસ્તાર $A$ કરતા અલગ છે.
જો કે,તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{2\pi}{k}$ અને આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi}$ (અને તેથી વેગ $v = f\lambda = \frac{\omega}{k}$) વ્યક્તિગત તરંગો જેટલા જ રહે છે.
તેથી,પરિણામી તરંગ વ્યક્તિગત તરંગો જેવી જ તરંગલંબાઈ અને વેગ ધરાવે છે,પરંતુ અલગ કંપવિસ્તાર ધરાવે છે.

(B) વર્તુળાકાર નળીનો પરિઘ $2\pi R$ છે.
$S$ થી $D$ સુધીના બે માર્ગો વર્તુળના ચાપ પર છે. $S$ અને $D$ કાટખૂણે હોવાથી,ટૂંકા માર્ગની લંબાઈ $L_1 = \frac{1}{4}(2\pi R) = \frac{\pi R}{2}$ છે.
લાંબા માર્ગની લંબાઈ $L_2 = \frac{3}{4}(2\pi R) = \frac{3\pi R}{2}$ છે.
બંને તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = L_2 - L_1 = \frac{3\pi R}{2} - \frac{\pi R}{2} = \pi R$ છે.
$D$ પર વિનાશક વ્યતિકરણ (minima) થવા માટે,પથ તફાવત અડધી તરંગલંબાઇનો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ:
$\Delta x = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$
પથ તફાવતને સરખાવતા:
$\pi R = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$
$\lambda = \frac{2\pi R}{2n + 1}$
$\lambda$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે સૌથી નાનો અ-ઋણ પૂર્ણાંક $n = 0$ લઈએ છીએ:
$\lambda_{\text{max}} = \frac{2\pi R}{2(0) + 1} = 2\pi R$.

(A) પથ તફાવત $\Delta x = S_1P - S_2P = \frac{\lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કળા તફાવત $\Delta \phi$ ની ગણતરી $\Delta \phi = k \Delta x = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \Delta x$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
$\Delta x$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{2} = \pi$ મળે છે.
કળા તફાવત $\pi$ હોવાથી,બે તરંગો બિંદુ $P$ પર વિનાશક વ્યતિકરણ અનુભવે છે.
પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_R$ એ $A_R = |A_1 - A_2|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A_1 = 2a$ અને $A_2 = a$ છે.
આમ,$A_R = |2a - a| = a$.
$P$ પર પરિણામી દોલન એ $a$ કંપવિસ્તાર ધરાવતું સાઇનસૉઇડલ તરંગ હશે.

(C) બિંદુ $A$ પર સમય $t$ એ $S_1$ થી આવતા તરંગનું સ્થાનાંતર $y_{A1} = 5 \sin(\pi(t - 1))$ છે.
બિંદુ $A$ પર સમય $t$ એ $S_2$ થી આવતા તરંગનું સ્થાનાંતર $y_{A2} = 5 \sin(\pi(t - 0.5) + \pi/6)$ છે.
બિંદુ $A$ પર કળાની સરખામણી કરતા:
તરંગ $1$ ની કળા: $\phi_1 = \pi t - \pi$.
તરંગ $2$ ની કળા: $\phi_2 = \pi t - 0.5\pi + \pi/6 = \pi t - \pi/2 + \pi/6 = \pi t - \pi/3$.
કળા તફાવત $\Delta\phi = \phi_2 - \phi_1 = (\pi t - \pi/3) - (\pi t - \pi) = \pi - \pi/3 = 2\pi/3$.
પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_{res} = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos(\Delta\phi)}$.
અહીં $A_1 = A_2 = 5 \text{ mm}$ અને $\Delta\phi = 2\pi/3$ આપેલ છે:
$A_{res} = \sqrt{5^2 + 5^2 + 2(5)(5) \cos(2\pi/3)} = \sqrt{25 + 25 + 50(-0.5)} = \sqrt{50 - 25} = \sqrt{25} = 5 \text{ mm}$.

(C) $t = 0 \ s$ સમયે,ત્રિકોણાકાર પલ્સ $x = 0 \ m$ અને $x = 2 \ m$ ની વચ્ચે છે અને $1 \ m/s$ ની ઝડપે જમણી તરફ ગતિ કરે છે. લંબચોરસ પલ્સ $x = 4 \ m$ અને $x = 7 \ m$ ની વચ્ચે છે અને $1 \ m/s$ ની ઝડપે ડાબી તરફ ગતિ કરે છે.
$t = 3 \ s$ સમયે,ત્રિકોણાકાર પલ્સ $3 \ m$ જમણી તરફ ખસી ગયો છે,જે $x = 3 \ m$ અને $x = 5 \ m$ ની વચ્ચેનો વિસ્તાર રોકે છે.
લંબચોરસ પલ્સ $3 \ m$ ડાબી તરફ ખસી ગયો છે,જે $x = 1 \ m$ અને $x = 4 \ m$ ની વચ્ચેનો વિસ્તાર રોકે છે.
તેથી,$t = 3 \ s$ સમયે દોરીનો સંયુક્ત આકાર આ બે પલ્સનું સુપરપોઝિશન છે,જે $x = 1 \ m$ થી $x = 5 \ m$ સુધી વિસ્તરેલું છે.

(B) ધારો કે સ્ત્રોત $S$ પર છે અને અવલોકનકાર $O$ પર છે. સીધું અંતર $SO = 120\,m$ છે.
છતની ઊંચાઈ $h = 25\,m$ છે. પરાવર્તિત તરંગ $S$ થી છતના મધ્યબિંદુ સુધી અને ત્યાંથી $O$ સુધી મુસાફરી કરે છે.
છત મધ્યબિંદુ પર હોવાથી,$S$ થી પરાવર્તન બિંદુ સુધીનું આડું અંતર $60\,m$ છે અને પરાવર્તન બિંદુથી $O$ સુધીનું અંતર પણ $60\,m$ છે.
પરાવર્તિત તરંગનો પથ લંબાઈ $d = 2 \times \sqrt{60^2 + 25^2} = 2 \times \sqrt{3600 + 625} = 2 \times \sqrt{4225} = 2 \times 65 = 130\,m$ છે.
પરાવર્તિત તરંગ અને સીધા તરંગ વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = 130\,m - 120\,m = 10\,m$ છે.
સહાયક વ્યતિકરણ માટે,પથ તફાવત તરંગલંબાઈનો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ: $\Delta x = n\lambda$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
તેથી,$10 = n\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{10}{n}$.
$n = 1, 2, 3, \dots$ માટે,શક્ય તરંગલંબાઈઓ $\lambda = 10\,m, 5\,m, \frac{10}{3}\,m, \dots$ છે.

(D) પ્રથમ તરંગ $y_1 = a \sin \frac{2\pi}{\lambda} (vt - x)$ છે.
બીજું તરંગ $y_2 = a \cos \frac{2\pi}{\lambda} (vt - x) = a \sin \left( \frac{2\pi}{\lambda} (vt - x) + \frac{\pi}{2} \right)$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ સાથે સરખાવતા,બે તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત $\Delta \phi = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
સમાન કંપવિસ્તાર $a$ અને કળા તફાવત $\Delta \phi$ ધરાવતા બે તરંગોનો પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_{res} = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2 \cos(\Delta \phi)}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\Delta \phi = 90^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $A_{res} = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2 \cos(90^{\circ})} = \sqrt{2a^2 + 0} = a\sqrt{2}$ મળે છે.

(B) $a_1$ અને $a_2$ કંપવિસ્તાર અને $\phi$ કળા તફાવત ધરાવતા બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગોનો પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2 a_1 a_2 \cos \phi}$
અહીં,$a_1 = 4$,$a_2 = 3$,અને $\phi = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$A = \sqrt{4^2 + 3^2 + 2(4)(3) \cos 60^{\circ}}$
$A = \sqrt{16 + 9 + 24 \times 0.5}$
$A = \sqrt{25 + 12}$
$A = \sqrt{37} \approx 6.08$
આમ,પરિણામી તરંગનો કંપવિસ્તાર આશરે $6$ છે.

(D) વ્યતિકરણ એ તમામ તરંગ ઘટનાઓનો એક મૂળભૂત ગુણધર્મ છે. પ્રકાશના તરંગો (વિદ્યુતચુંબકીય) અને ધ્વનિના તરંગો (યાંત્રિક/લંબગત) બંને જ્યારે અવકાશમાં બે કે તેથી વધુ તરંગો એકબીજા પર સંપાત થાય છે ત્યારે વ્યતિકરણની ઘટના દર્શાવે છે.

(A) બે તરંગો $Y_1 = A_1 \sin(\omega t - \beta_1)$ અને $Y_2 = A_2 \sin(\omega t - \beta_2)$ આપેલા છે.
આ બે તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi = (\omega t - \beta_1) - (\omega t - \beta_2) = \beta_2 - \beta_1$ છે.
$A_1$ અને $A_2$ કંપવિસ્તાર ધરાવતા અને $\phi$ કળા તફાવત ધરાવતા બે તરંગોના સંપાતીકરણથી મળતા પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos \phi}$.
સૂત્રમાં $\phi = \beta_2 - \beta_1$ મૂકતા અને $\cos(\beta_2 - \beta_1) = \cos(\beta_1 - \beta_2)$ હોવાથી:
$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\beta_1 - \beta_2)}$.

(B) આપેલ સ્થાનાંતરનું સમીકરણ: $y = 4 \cos^2(t/2) \sin(1000t)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $2 \cos^2 \theta = 1 + \cos(2\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
$y = 2 [2 \cos^2(t/2)] \sin(1000t)$
$y = 2(1 + \cos t) \sin(1000t)$
$y = 2 \sin(1000t) + 2 \sin(1000t) \cos t$
ગુણાકારમાંથી સરવાળાના નિત્યસમ $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = 2 \sin(1000t) + \sin(1000t + t) + \sin(1000t - t)$
$y = 2 \sin(1000t) + \sin(1001t) + \sin(999t)$
આમ,આપેલ સમીકરણ ત્રણ તરંગોના સંપાતીકરણનું પરિણામ છે.