Rolling motion on horizontal Surface Questions in Hindi

(B) शुद्ध लोटनिक गति में,वलय पर किसी भी बिंदु का वेग द्रव्यमान केंद्र के स्थानांतरण वेग $(v_{cm})$ और घूर्णन के कारण स्पर्शरेखीय वेग $(v_{rot} = \omega R = v_{cm})$ का सदिश योग होता है।
बिंदु $A$ के लिए,स्थानांतरण वेग क्षैतिज रूप से दाईं ओर $(v_{cm})$ निर्देशित है,और घूर्णन वेग लंबवत रूप से ऊपर की ओर $(v_{rot} = v_{cm})$ निर्देशित है।
चूंकि ये दोनों वेग सदिश एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए परिणामी वेग $v_{net}$ इस प्रकार होगा:
$v_{net} = \sqrt{v_{cm}^2 + v_{rot}^2} = \sqrt{v_{cm}^2 + v_{cm}^2} = \sqrt{2 v_{cm}^2} = \sqrt{2} v_{cm}$

(A) किसी बल द्वारा किया गया कार्य $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{F}$ बल है और $\vec{d}$ उस बिंदु का विस्थापन है जहाँ बल कार्य कर रहा है।
स्थिर क्षैतिज सतह पर शुद्ध लोटनिक गति (बिना फिसले लुढ़कना) के मामले में,सतह के साथ पिंड का संपर्क बिंदु तात्क्षणिक रूप से विराम अवस्था में होता है।
चूंकि संपर्क बिंदु का वेग $0$ है,इसलिए संपर्क के दौरान उस बिंदु का विस्थापन भी $0$ होता है।
चूंकि उस बिंदु का विस्थापन जहाँ घर्षण बल कार्य करता है $0$ है,इसलिए स्थैतिक घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य $0$ होता है।

(B) शुद्ध लोटनिक गति के लिए,रेखीय त्वरण $a$ और कोणीय त्वरण $\alpha$ के बीच संबंध $a = r\alpha$ होता है।
स्थानांतरित गति के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$F - f = M a \quad \dots (1)$
द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष टॉर्क का समीकरण लागू करने पर:
$\tau = I \alpha$
$f r = (\frac{1}{2} M r^2) (\frac{a}{r})$
$f = \frac{1}{2} M a \quad \dots (2)$
समीकरण $(2)$ को $(1)$ में रखने पर:
$F - \frac{1}{2} M a = M a$
$F = \frac{3}{2} M a \Rightarrow a = \frac{2 F}{3 M}$
अब,घर्षण बल $f$ ज्ञात करने के लिए $a$ का मान $(2)$ में रखने पर:
$f = \frac{1}{2} M (\frac{2 F}{3 M}) = \frac{F}{3}$
शुद्ध लोटनिक गति के लिए,घर्षण बल $f \le \mu N$ होना चाहिए,जहाँ $N = Mg$ है।
$\frac{F}{3} \le \mu M g$
$\mu \ge \frac{F}{3 M g}$
अतः,घर्षण गुणांक का न्यूनतम मान $\mu = \frac{F}{3 M g}$ है।

(A) सही उत्तर $A$ है।
जब कोई वस्तु किसी सतह पर लुढ़क रही होती है,तो उसमें स्थानांतरीय वेग $v$ और कोणीय वेग $\omega$ दोनों होते हैं।
एक चिकनी क्षैतिज सतह पर,कोई घर्षण नहीं होता है जो ऐसा टॉर्क या बल लगा सके जिससे वस्तु का रैखिक या कोणीय संवेग बदल सके।
चूंकि वस्तु पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
अतः,वस्तु अपनी गति की स्थिति में बिना किसी परिवर्तन के अपने निरंतर स्थानांतरीय वेग $v$ और निरंतर कोणीय वेग $\omega$ के साथ लुढ़कना जारी रखेगी।

(C) जब गोले को फेंका जाता है,तो यह घर्षण बल का अनुभव करता है जो इसकी गति का विरोध करता है,जिससे इसका रैखिक वेग कम हो जाता है और कोणीय वेग बढ़ जाता है।
चूंकि घर्षण बल संपर्क बिंदु पर कार्य करता है,इसलिए जमीन पर संपर्क बिंदु के परितः कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
संपर्क बिंदु के परितः प्रारंभिक कोणीय संवेग: $L_i = m u r$.
जब शुद्ध लोटनिक गति शुरू होती है (वेग $v$ और कोणीय वेग $\omega = v/r$ पर),तो अंतिम कोणीय संवेग: $L_f = m v r + I \omega = m v r + (\frac{2}{5} m r^2)(\frac{v}{r}) = m v r + \frac{2}{5} m v r = \frac{7}{5} m v r$.
$L_i = L_f$ को बराबर करने पर:
$m u r = \frac{7}{5} m v r$.
$v$ के लिए हल करने पर:
$u = \frac{7}{5} v \implies v = \frac{5u}{7}$.

(B) जब एक पहिया अपने द्रव्यमान केंद्र के एकसमान वेग $v$ से लुढ़कता है,तो द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $a_{CM} = 0$ होता है।
पहिये की परिधि पर प्रत्येक बिंदु का केंद्र की ओर एक अभिकेंद्र त्वरण होता है,जो $a_c = \frac{v^2}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
माना सबसे ऊपरी बिंदु $A$ है और सबसे निचला बिंदु $B$ है।
बिंदु $A$ का त्वरण $\vec{a}_A = \frac{v^2}{R}$ (केंद्र की ओर नीचे की दिशा में) है।
बिंदु $B$ का त्वरण $\vec{a}_B = \frac{v^2}{R}$ (केंद्र की ओर ऊपर की दिशा में) है।
बिंदु $B$ के सापेक्ष बिंदु $A$ का सापेक्ष त्वरण $\vec{a}_{AB} = \vec{a}_A - \vec{a}_B$ है।
नीचे की दिशा को धनात्मक लेने पर,$\vec{a}_A = \frac{v^2}{R}$ और $\vec{a}_B = -\frac{v^2}{R}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\vec{a}_{AB} = \frac{v^2}{R} - (-\frac{v^2}{R}) = \frac{2v^2}{R}$।
इसलिए,सापेक्ष त्वरण का परिमाण $\frac{2v^2}{R}$ है।

(D) सही विकल्प $(d)$ है।
चूंकि डिस्क संयुक्त घूर्णन और स्थानांतरण गति में है,डिस्क के प्रत्येक बिंदु का एक स्थानांतरण वेग $v$ (आगे की दिशा में) और एक स्पर्शरेखीय वेग $v = R\omega$ (घूर्णन के कारण) होता है।
डिस्क के सबसे निचले बिंदु के लिए:
$1$. कुल वेग $v_{\text{net}} = v - R\omega$ है। शुद्ध लोटनिक गति होने के कारण,$v = R\omega$,इसलिए $v_{\text{net}} = v - v = 0$ है।
$2$. घूर्णन करती हुई वस्तु पर किसी भी बिंदु के त्वरण के दो घटक होते हैं: स्पर्शरेखीय त्वरण $(a_t)$ और अभिकेंद्र त्वरण $(a_c)$।
- चूंकि कोणीय वेग $\omega$ स्थिर है,इसलिए स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = R\alpha = 0$ होता है।
- अभिकेंद्र त्वरण $a_c = v^2/R$ है जो डिस्क के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
- इस प्रकार,सबसे निचले बिंदु का कुल त्वरण $a = a_c + a_t = v^2/R + 0 = v^2/R$ है,जो डिस्क के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।

(A) लुढ़कते हुए गोले की कुल गतिज ऊर्जा $(K)$ उसकी स्थानांतरण गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग होती है।
$K = K_{\text{trans}} + K_{\text{rot}} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
एक ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mR^2$ होता है।
चूंकि गोला बिना फिसले लुढ़कता है,$v = R\omega$,जिसका अर्थ है $\omega = \frac{v}{R}$।
इन मानों को ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2$
$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$
दिया गया है: $m = 500\,g = 0.5\,kg$ और $v = 0.02\,m/s$।
$K = \frac{7}{10} \times 0.5 \times (0.02)^2$
$K = 0.7 \times 0.5 \times 0.0004 = 0.35 \times 0.0004 = 0.00014\,J = 1.4 \times 10^{-4}\,J$.

(A) शुद्ध लोटनिक गति में किसी पिंड की कुल गतिज ऊर्जा $(KE)$ उसकी स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग होती है।
$KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
एक ठोस गोले के लिए,उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mR^2$ होता है।
शुद्ध लोटनिक गति के लिए,रैखिक वेग $(v)$ और कोणीय वेग $(\omega)$ के बीच संबंध $v = R\omega$ है,अर्थात $\omega = \frac{v}{R}$।
इन मानों को गतिज ऊर्जा के समीकरण में रखने पर:
$KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2$
$KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$
यहाँ $m = 2\,kg$ और $KE = 2240\,J$ दिया गया है:
$2240 = \frac{7}{10} \times 2 \times v^2$
$2240 = \frac{7}{5}v^2$
$v^2 = \frac{2240 \times 5}{7} = 320 \times 5 = 1600$
$v = \sqrt{1600} = 40\,m/s$.

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 0.5\,kg$,प्रारंभिक वेग $u = 18\,m/s$,घर्षण गुणांक $\mu = 0.3$,$g = 10\,m/s^2$,समय $t = 2\,s$ है।
घर्षण के कारण डिस्क का त्वरण $a = -\mu g = -0.3 \times 10 = -3\,m/s^2$ है।
$t = 2\,s$ पर द्रव्यमान केंद्र का वेग $v = u + at = 18 - 3 \times 2 = 12\,m/s$ है।
शुद्ध लुढ़कने (pure rolling) के लिए,शर्त $v = \omega r$ है,इसलिए $\omega = v/r$ है।
कुल गतिज ऊर्जा $KE$ स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है:
$KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
डिस्क के लिए $I = \frac{1}{2}mr^2$ होने के कारण,हमें प्राप्त होता है:
$KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$।
मान रखने पर:
$KE = \frac{3}{4} \times 0.5 \times (12)^2 = \frac{3}{4} \times 0.5 \times 144 = 3 \times 0.5 \times 36 = 54\,J$।

(A) लुढ़कती हुई वस्तु की कुल गतिज ऊर्जा उसकी स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग होती है: $K = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2$.
ठोस गोले के लिए,उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} MR^2$ होता है।
चूंकि गोला बिना फिसले लुढ़क रहा है,इसलिए $\omega = \frac{v}{R}$ होगा।
इन मानों को ऊर्जा समीकरण में रखने पर: $K = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} MR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{5} Mv^2 = \frac{7}{10} Mv^2$.
यहाँ $K = 7 \times 10^{-3}\,J$ और $M = 1\,kg$ दिया गया है,अतः $\frac{7}{10} (1) v^2 = 7 \times 10^{-3}$।
$v^2 = 10^{-2} \implies v = 0.1\,m/s$।
$cm/s$ में बदलने पर: $v = 0.1 \times 100 = 10\,cm/s$।

(D) किसी पिंड की घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{\text{rot}} = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है।
गोलीय कोश के लिए,उसके केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{3} mR^2$ होता है।
शुद्ध लोटनिक गति के लिए,$\omega = \frac{v}{R}$,इसलिए $K_{\text{rot}} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} mR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{3} mv^2$।
कुल गतिज ऊर्जा $K_{\text{total}} = K_{\text{trans}} + K_{\text{rot}} = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{3} mv^2 = \frac{5}{6} mv^2$ है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा और कुल गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_{\text{rot}}}{K_{\text{total}}} = \frac{\frac{1}{3} mv^2}{\frac{5}{6} mv^2} = \frac{1}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{2}{5}$ है।
यह दिया गया है कि अनुपात $\frac{x}{5}$ है,इसलिए $\frac{x}{5} = \frac{2}{5}$,जिसका अर्थ है कि $x = 2$।

(A) जब डिस्क बिना फिसले लुढ़कती है,तो डिस्क का केंद्र तय की गई चाप की लंबाई के बराबर दूरी आगे बढ़ता है। आधे चक्कर के लिए,केंद्र $\pi R$ की क्षैतिज दूरी तय करता है।
बिंदु $A$,जो शुरू में सबसे ऊपर था,आधे चक्कर के बाद डिस्क के निचले हिस्से पर आ जाता है। बिंदु $A$ का ऊर्ध्वाधर विस्थापन डिस्क के व्यास के बराबर यानी $2R$ होता है।
बिंदु $A$ का क्षैतिज विस्थापन केंद्र द्वारा तय की गई दूरी के बराबर यानी $\pi R$ होता है।
कुल विस्थापन $d$ क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर विस्थापन का सदिश योग है:
$d = \sqrt{(\text{क्षैतिज विस्थापन})^2 + (\text{ऊर्ध्वाधर विस्थापन})^2}$
$d = \sqrt{(\pi R)^2 + (2R)^2}$
$d = \sqrt{\pi^2 R^2 + 4R^2}$
$d = R \sqrt{\pi^2 + 4}$

(C) बिना फिसले लुढ़कते हुए एक ठोस गोले के लिए,घूर्णन अक्ष के परितः कोणीय संवेग $L = I_{com}\omega = (\frac{2}{5}MR^2)\omega$ होता है।
चूंकि $V_{com} = R\omega$,इसलिए $L = \frac{2}{5}MR^2(\frac{V_{com}}{R}) = \frac{2}{5}MRV_{com}$ प्राप्त होता है।
कुल गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}I_{com}\omega^2 + \frac{1}{2}MV_{com}^2 = \frac{1}{2}(\frac{2}{5}MR^2)(\frac{V_{com}}{R})^2 + \frac{1}{2}MV_{com}^2 = \frac{1}{5}MV_{com}^2 + \frac{1}{2}MV_{com}^2 = \frac{7}{10}MV_{com}^2$ होती है।
अनुपात $\frac{L}{K} = \frac{\frac{2}{5}MRV_{com}}{\frac{7}{10}MV_{com}^2} = \frac{2}{5} \times \frac{10}{7} \times \frac{R}{V_{com}} = \frac{4}{7} \times \frac{R}{R\omega} = \frac{4}{7\omega}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{L}{K} = \frac{\pi}{22}$,इसलिए $\frac{4}{7\omega} = \frac{\pi}{22}$। यदि हम $\pi \approx \frac{22}{7}$ लें,तो $\frac{4}{7\omega} = \frac{22/7}{22} = \frac{1}{7}$ प्राप्त होता है।
अतः,$7\omega = 28$,जिससे $\omega = 4\,rad/s$ प्राप्त होता है।

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, किया गया कार्य $W$ गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta KE$ के बराबर होता है।
चूंकि डिस्क लुढ़क रही है, इसकी कुल गतिज ऊर्जा $KE$ स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है: $KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
एक ठोस डिस्क के लिए, जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}mR^2$ है और बिना फिसले लुढ़कने के लिए, $\omega = \frac{v}{R}$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, $KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$.
यहाँ $m = 50 \,kg$ और $v = 0.4 \,m/s$ दिया गया है, इसलिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE_i = \frac{3}{4} \times 50 \times (0.4)^2 = \frac{3}{4} \times 50 \times 0.16 = 0.75 \times 8 = 6 \,J$.
डिस्क को रोकने के लिए, अंतिम गतिज ऊर्जा $KE_f = 0$ होगी।
अतः, $W = KE_f - KE_i = 0 - 6 = -6 \,J$.
किए गए कार्य का निरपेक्ष मान $|W| = 6 \,J$ है।

(A) बिना फिसले लुढ़कते हुए एक खोखले गोले के लिए,इसकी सममिति की धुरी के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{3} mR^2$ होता है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} mR^2) \omega^2 = \frac{1}{3} mR^2 \omega^2$ है।
कुल गतिज ऊर्जा $K_{total} = K_{rot} + K_{trans} = \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} mv^2$ है।
चूंकि $v = R\omega$,इसलिए $K_{total} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} mR^2) \omega^2 + \frac{1}{2} m(R\omega)^2 = \frac{1}{3} mR^2 \omega^2 + \frac{1}{2} mR^2 \omega^2 = (\frac{2+3}{6}) mR^2 \omega^2 = \frac{5}{6} mR^2 \omega^2$ होता है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा और कुल गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_{rot}}{K_{total}} = \frac{\frac{1}{3} mR^2 \omega^2}{\frac{5}{6} mR^2 \omega^2} = \frac{1}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{2}{5}$ है।
इसे $\frac{x}{5}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 2$ प्राप्त होता है।

(A) शुद्ध लोटनिक गति (pure rolling motion) के मामले में,पहिये की रिम पर किसी भी बिंदु का वेग,द्रव्यमान केंद्र के स्थानांतरण वेग $(v)$ और घूर्णन के कारण स्पर्शरेखीय वेग $(v = r\omega)$ का सदिश योग होता है।
सबसे ऊपरी बिंदु $P$ के लिए,स्थानांतरण वेग और घूर्णन वेग एक ही दिशा में होते हैं। अतः,परिणामी वेग $v + v = 2v$ होता है।
सबसे निचले बिंदु $Q$ के लिए,स्थानांतरण वेग आगे की दिशा में $(v)$ और घूर्णन वेग पीछे की दिशा में $(v)$ होता है। अतः,परिणामी वेग $v - v = 0$ होता है।
चूंकि बिंदु $P$ का वेग $2v$ है और बिंदु $Q$ का वेग $0$ है,इसलिए बिंदु $P$,बिंदु $Q$ की तुलना में तेजी से चलता है।

(C) मान लीजिए $\vec{V}_0$ गोले के केंद्र का वेग है। एक स्थिर क्षैतिज सतह पर बिना फिसले लुढ़कने वाले गोले के लिए:
$\vec{V}_A = 0$ (संपर्क बिंदु का वेग)
$\vec{V}_B = \vec{V}_0$ (केंद्र का वेग)
$\vec{V}_C = 2\vec{V}_0$ (सबसे ऊपरी बिंदु का वेग)
अब,दिए गए विकल्पों का मूल्यांकन करते हैं:
विकल्प $(B)$ के लिए: $\vec{V}_C - \vec{V}_B = 2\vec{V}_0 - \vec{V}_0 = \vec{V}_0$ और $\vec{V}_B - \vec{V}_A = \vec{V}_0 - 0 = \vec{V}_0$. अतः,$\vec{V}_C - \vec{V}_B = \vec{V}_B - \vec{V}_A$ सही है।
विकल्प $(C)$ के लिए: $|\vec{V}_C - \vec{V}_A| = |2\vec{V}_0 - 0| = 2|\vec{V}_0|$ और $2|\vec{V}_B - \vec{V}_C| = 2|\vec{V}_0 - 2\vec{V}_0| = 2|-\vec{V}_0| = 2|\vec{V}_0|$. अतः,$|\vec{V}_C - \vec{V}_A| = 2|\vec{V}_B - \vec{V}_C|$ सही है।
इसलिए,$(B)$ और $(C)$ दोनों सही कथन हैं।

(C) माना $M = 2 \ kg$,$R = 0.5 \ m$,$a = 0.3 \ m/s^2$,और $N = 2 \ N$ (छड़ी द्वारा लगाया गया बल)।
रिंग के लिए,केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ होता है।
चूंकि यह बिना फिसले लुढ़कती है,कोणीय त्वरण $\alpha = a/R$ है।
माना $f_s$ जमीन से घर्षण है और $f_a$ छड़ी से घर्षण है।
स्थानांतरित गति के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर: $N - f_s = Ma$।
$2 - f_s = 2 \times 0.3 = 0.6 \implies f_s = 1.4 \ N$।
रिंग के केंद्र के परितः टॉर्क समीकरण लिखने पर: $(f_s - f_a)R = I\alpha$।
$(1.4 - f_a)R = (MR^2)(a/R) = MaR$।
$1.4 - f_a = Ma = 2 \times 0.3 = 0.6$।
$f_a = 1.4 - 0.6 = 0.8 \ N$।
छड़ी से घर्षण $f_a = \mu N$ है,जहाँ $\mu = P/10$ है।
$0.8 = (P/10) \times 2$।
$0.8 = P/5 \implies P = 4$।

(C) मान लीजिए $R$ रोलर की त्रिज्या है और $r$ धुरी की त्रिज्या है।
दिया गया है: $2R = 20 \ cm \implies R = 10 \ cm$ और $2r = 10 \ cm \implies r = 5 \ cm$.
रोलर के फर्श पर बिना फिसले लुढ़कने के लिए,रोलर के केंद्र का वेग $V_{\text{center}} = \omega R$ है,जहाँ $\omega$ कोणीय वेग है।
धुरी के ऊपर स्थित स्केल का वेग $V_{\text{scale}} = V_{\text{center}} + \omega r$ है।
$\omega = \frac{V_{\text{center}}}{R}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है:
$V_{\text{scale}} = V_{\text{center}} + \left(\frac{V_{\text{center}}}{R}\right)r = V_{\text{center}} \left(1 + \frac{r}{R}\right)$.
$r = 5 \ cm$ और $R = 10 \ cm$ दिए गए हैं,इसलिए $V_{\text{scale}} = V_{\text{center}} \left(1 + \frac{5}{10}\right) = 1.5 V_{\text{center}}$.
यदि रोलर $t$ समय में $d_{\text{roller}} = 50 \ cm$ की दूरी तय करता है,तो $V_{\text{center}} \cdot t = 50 \ cm$.
उसी समय $t$ में स्केल द्वारा तय की गई दूरी $d_{\text{scale}} = V_{\text{scale}} \cdot t = 1.5 V_{\text{center}} \cdot t = 1.5 \times 50 \ cm = 75 \ cm$.
इस प्रकार,स्केल जमीन के सापेक्ष $75 \ cm$ चलता है,जबकि रोलर का केंद्र जमीन के सापेक्ष $50 \ cm$ चलता है। रोलर के केंद्र के सापेक्ष स्केल की स्थिति केंद्र से $75 \ cm - 50 \ cm = 25 \ cm$ आगे होगी।

(C) $t=0$ पर,$\omega=0$ है। $t=\sqrt{\pi} \text{ s}$ पर,$\omega = \alpha t = \frac{2}{3} \sqrt{\pi} \text{ rad/s}$ है।
द्रव्यमान केंद्र का रैखिक वेग $v_{cm} = \omega R = \frac{2}{3} \sqrt{\pi} \times 1 = \frac{2}{3} \sqrt{\pi} \text{ m/s}$ है।
डिस्क द्वारा घुमाया गया कोण $\theta = \frac{1}{2} \alpha t^2 = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times (\sqrt{\pi})^2 = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$ है।
इस क्षण पर,पत्थर जमीन से $y = R - R \cos \theta = 1 - \cos 60^{\circ} = 1 - 0.5 = 0.5 \text{ m}$ की ऊँचाई पर है।
जमीन के सापेक्ष पत्थर का वेग द्रव्यमान केंद्र के वेग और द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष स्पर्शरेखीय वेग का सदिश योग है। इस वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = v_{cm} \sin \theta = (\frac{2}{3} \sqrt{\pi}) \sin 60^{\circ} = \frac{2}{3} \sqrt{\pi} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3\pi}}{3} \text{ m/s}$ है।
अलग होने के बाद पत्थर द्वारा प्राप्त अतिरिक्त ऊँचाई $h = \frac{v_y^2}{2g} = \frac{(\frac{\sqrt{3\pi}}{3})^2}{2 \times 10} = \frac{3\pi / 9}{20} = \frac{\pi}{60} \text{ m}$ है।
तल से कुल अधिकतम ऊँचाई $H = y + h = 0.5 + \frac{\pi}{60} = \frac{1}{2} + \frac{\pi/6}{10}$ है।
$\frac{1}{2} + \frac{x}{10}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = \frac{\pi}{6} \approx \frac{3.14}{6} \approx 0.523$ प्राप्त होता है। अतः,$x \approx 0.52$।

(B) द्रव्यमान केंद्र की रैखिक गतिज ऊर्जा $K_{linear} = \frac{1}{2} mv_{cm}^2$ द्वारा दी जाती है।
गोले की घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{rotational} = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है।
एक ठोस गोले के लिए,उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} mR^2$ होता है।
चूंकि गोला बिना फिसले लुढ़क रहा है,इसलिए हमारे पास $v_{cm} = \omega R$ की स्थिति है।
इन मानों को अनुपात में रखने पर:
$\frac{K_{linear}}{K_{rotational}} = \frac{\frac{1}{2} mv_{cm}^2}{\frac{1}{2} (\frac{2}{5} mR^2) \omega^2} = \frac{mv_{cm}^2}{\frac{2}{5} m(v_{cm}^2)} = \frac{1}{2/5} = \frac{5}{2}$.
अतः,अनुपात $5/2$ है।

(A) माना $F = 49 \ N$ लगाया गया बल है,$m = 20 \ kg$ ठोस गोले का द्रव्यमान है और $r$ इसकी त्रिज्या है।
एक ठोस गोले के लिए,उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5} mr^2$ होता है।
संपर्क बिंदु (निचले बिंदु) के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + mr^2 = \frac{2}{5} mr^2 + mr^2 = \frac{7}{5} mr^2$ होगा।
संपर्क बिंदु के परितः बल आघूर्ण $\tau = F \times (2r)$ है।
$\tau = I \alpha$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $F \times 2r = (\frac{7}{5} mr^2) \alpha$.
$49 \times 2r = \frac{7}{5} \times 20 \times r^2 \times \alpha$.
$98r = 28r^2 \alpha$.
चूंकि गोला बिना फिसले लुढ़कता है,केंद्र का रेखीय त्वरण $a = r \alpha$ होगा,इसलिए $\alpha = \frac{a}{r}$।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $98r = 28r^2 (\frac{a}{r}) = 28ra$.
$98 = 28a$.
$a = \frac{98}{28} = 3.5 \ m/s^2$.

(A) समतल सतह पर लुढ़कते हुए पहिये के लिए,उच्चतम बिंदु $B$ का वेग $V_B = 2v$ होता है,जहाँ $v$ द्रव्यमान केंद्र का वेग है।
दिया गया है $V_B = 8 \ m/s$,इसलिए $2v = 8 \ m/s$,जिसका अर्थ है $v = 4 \ m/s$.
निचला बिंदु $A$ तात्क्षणिक घूर्णन केंद्र है।
रिम पर किसी भी बिंदु $P$ का वेग $V_P = \omega r_P$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_P$ तात्क्षणिक केंद्र $A$ से दूरी है।
केंद्र $C$ के समान स्तर पर स्थित बिंदु $P$ के लिए,दूरी $AP = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$ है,जहाँ $R$ पहिये की त्रिज्या है।
चूँकि $v = \omega R$,इसलिए $\omega = v/R$.
अतः,$V_P = (v/R) \times (R\sqrt{2}) = v\sqrt{2}$.
$v = 4 \ m/s$ रखने पर,हमें $V_P = 4\sqrt{2} \ m/s$ प्राप्त होता है।

(B) एक लुढ़कती हुई वस्तु को जमीन के साथ संपर्क बिंदु से गुजरने वाली अक्ष के चारों ओर घूमते हुए माना जा सकता है।
अतः,संपर्क बिंदु की तात्क्षणिक गति शून्य होती है।
इस प्रकार,कथन $A$ सही है।
चूंकि वस्तु घूम रही है,संपर्क बिंदु के पास वस्तु के केंद्र की ओर निर्देशित अभिकेंद्र त्वरण होता है,इसलिए इसका तात्क्षणिक त्वरण शून्य नहीं होता है।
अतः,कथन $B$ गलत है।
जमीन पर पूर्ण लोटनिक गति में,संपर्क बिंदु का वेग शून्य होता है।
चूंकि संपर्क बिंदु जमीन के सापेक्ष नहीं खिसकता है,इसलिए घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य शून्य होता है।
इस प्रकार,कथन $C$ सही है।
नत समतल पर घर्षण की अनुपस्थिति में लोटनिक गति नहीं हो सकती क्योंकि घर्षण बल ही वह आवश्यक टॉर्क प्रदान करता है जो वस्तु को लुढ़काता है।
जब नत समतल पूर्णतः चिकना होता है,तो पहिया अपने भार के प्रभाव में केवल फिसलेगा।
अतः,कथन $D$ सही है।

(C) आधे चक्कर में पहिये द्वारा तय की गई दूरी $d = \frac{C}{2} = \frac{2 \pi r}{2} = \pi r$ होती है,जहाँ $C$ पहिये की परिधि है।
आधे चक्कर के बाद,शुरू में सतह के संपर्क में रहने वाला बिंदु (बिंदु $A$) पहिये के शीर्ष (बिंदु $B$) पर पहुँच जाता है।
पहिये के केंद्र द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $\pi r$ है और बिंदु का ऊर्ध्वाधर विस्थापन पहिये के व्यास के बराबर यानी $2r$ है।
विस्थापन सदिश $AB$ के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$AB = \sqrt{(\text{क्षैतिज दूरी})^2 + (\text{ऊर्ध्वाधर दूरी})^2}$
$AB = \sqrt{(\pi r)^2 + (2r)^2} = r \sqrt{\pi^2 + 4}$
चूँकि $r = 1 \ m$ दिया गया है,विस्थापन का परिमाण $AB = \sqrt{\pi^2 + 4} \ m$ होगा।

(D) बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु की कुल गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2 = \frac{1}{2} Mv^2 (1 + \frac{k^2}{R^2})$ द्वारा दी जाती है।
वलय के लिए,घूर्णन त्रिज्या $k = R$ है,इसलिए $K.E._{\text{ring}} = \frac{1}{2} Mv^2 (1 + 1) = Mv^2$।
दिया गया है $K.E._{\text{ring}} = 6 \ J$,इसलिए $Mv^2 = 6 \ J$।
चकती के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} MR^2$ है,इसलिए $k^2 = \frac{1}{2} R^2$।
$K.E._{\text{disc}} = \frac{1}{2} Mv^2 (1 + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} Mv^2 (\frac{3}{2}) = \frac{3}{4} Mv^2$।
चकती के समीकरण में $Mv^2 = 6 \ J$ रखने पर:
$K.E._{\text{disc}} = \frac{3}{4} \times 6 = \frac{18}{4} = 4.5 \ J = \frac{9}{2} \ J$।

(A) माना पहिये की त्रिज्या $R = 2 \ cm$ है।
प्रारंभ में,बिंदु $P$ मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है।
आधे चक्कर के बाद,पहिये का केंद्र परिधि के आधे के बराबर दूरी यानी $\pi R$ आगे बढ़ता है।
केंद्र की नई स्थिति $(\pi R, R)$ है।
आधे चक्कर के बाद,बिंदु $P$ पहिये के निचले हिस्से से ऊपरी हिस्से पर चला जाता है।
बिंदु $P$ के नए निर्देशांक $(\pi R, 2R)$ होंगे।
विस्थापन $d$ प्रारंभिक स्थिति $(0, 0)$ और अंतिम स्थिति $(\pi R, 2R)$ के बीच की दूरी है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $d = \sqrt{(\pi R - 0)^2 + (2R - 0)^2} = \sqrt{\pi^2 R^2 + 4R^2} = R\sqrt{\pi^2 + 4}$।
$R = 2 \ cm$ रखने पर: $d = 2\sqrt{\pi^2 + 4} \ cm$ या $2(\pi^2 + 4)^{1/2} \ cm$।

(C) लुढ़कते हुए ठोस गोले की कुल गतिज ऊर्जा उसकी स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग होती है।
$KE_{total} = \frac{1}{2} m V^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$
एक ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} m r^2$ और लुढ़कने की स्थिति $V = r \omega$ है।
$KE_{total} = \frac{1}{2} m V^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} m r^2) (\frac{V}{r})^2 = \frac{1}{2} m V^2 + \frac{1}{5} m V^2 = \frac{7}{10} m V^2$.
जब गोला स्प्रिंग को अधिकतम दूरी $x$ तक संकुचित करता है,तो उसकी पूरी गतिज ऊर्जा स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है $(U = \frac{1}{2} k x^2)$।
$\frac{1}{2} k x^2 = \frac{7}{10} m V^2$
$x^2 = \frac{14}{10} \frac{m V^2}{k} = \frac{1.4 \times 2 \times 6^2}{36} = \frac{1.4 \times 2 \times 36}{36} = 2.8$.
$x = \sqrt{2.8} \approx 1.67 \ m$.

(A) बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु की कुल गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$ है।
चूंकि वस्तु बिना फिसले लुढ़क रही है,$v = R\omega$,इसलिए $\omega^2 = \frac{v^2}{R^2}$ होगा।
रिंग के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I_{ring} = mR^2$ है। अतः,$K.E._{ring} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(mR^2)(\frac{v^2}{R^2}) = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$।
दिया गया है कि $K.E._{ring} = 4 \ J$,इसलिए $mv^2 = 4 \ J$ प्राप्त होता है।
डिस्क के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I_{disc} = \frac{1}{2}mR^2$ है। अतः,$K.E._{disc} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v^2}{R^2}) = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$।
$mv^2 = 4 \ J$ का मान रखने पर,$K.E._{disc} = \frac{3}{4} \times 4 \ J = 3 \ J$ प्राप्त होता है।

(C) शुद्ध लोटनिक गति में किसी वस्तु की कुल गतिज ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है:
$E = \frac{1}{2} m v_{cm}^{2} \left(1 + \frac{k^{2}}{R^{2}}\right)$
जहाँ $k$ घूर्णन त्रिज्या है,$R$ त्रिज्या है और $m$ वस्तु का द्रव्यमान है।
दिया गया है $m = 1 \ kg$,अतः समीकरण होगा:
$\frac{E}{v_{cm}^{2}} = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{k^{2}}{R^{2}}\right) \quad ...(i)$
दिए गए ग्राफ से,रेखा की ढाल $\frac{E}{v_{cm}^{2}} = \frac{3}{4}$ है।
इस मान को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{3}{4} = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{k^{2}}{R^{2}}\right)$
$\frac{3}{2} = 1 + \frac{k^{2}}{R^{2}}$
$\frac{k^{2}}{R^{2}} = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$
हम जानते हैं कि एक चक्रिका (disc) के लिए जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} m R^{2}$ होता है,इसलिए $k^{2} = \frac{1}{2} R^{2}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{k^{2}}{R^{2}} = \frac{1}{2}$।
अतः,वस्तु एक चक्रिका (disc) है।

(C) शुद्ध लोटनिक गति में,कुल गतिज ऊर्जा,स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग होती है।
स्थानांतरण $KE = \frac{1}{2}mv^2$.
घूर्णन $KE = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(mK^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2(\frac{K^2}{R^2})$.
कुल $KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2(\frac{K^2}{R^2}) = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{K^2}{R^2}) = \frac{1}{2}mv^2(\frac{R^2+K^2}{R^2})$.
घूर्णन से संबंधित कुल ऊर्जा का अंश $\frac{Rotational \ KE}{Total \ KE} = \frac{\frac{1}{2}mv^2(\frac{K^2}{R^2})}{\frac{1}{2}mv^2(\frac{R^2+K^2}{R^2})} = \frac{K^2}{K^2+R^2}$ है।

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली डिस्क के लिए,जो $v$ वेग और $\omega = v/R$ कोणीय वेग से लुढ़क रही है,स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $K_t = \frac{1}{2} Mv^2$ है।
द्रव्यमान केंद्र के परितः घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
डिस्क के लिए जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} MR^2$ है।
$I$ और $\omega = v/R$ का मान रखने पर,$K_r = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2) (v/R)^2 = \frac{1}{4} Mv^2$ प्राप्त होता है।
कुल गतिज ऊर्जा $K = K_t + K_r = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{4} Mv^2 = \frac{3}{4} Mv^2$ है।
$K$ की तुलना $K_r$ से करने पर: $K = \frac{3/4 Mv^2}{1/4 Mv^2} K_r = 3 K_r$।
अतः,कुल गतिज ऊर्जा इसकी घूर्णन गतिज ऊर्जा की $3$ गुनी है।

(C) बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु की कुल गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{R^2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ घूर्णन त्रिज्या है।
वृत्ताकार डिस्क के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}mR^2$ है,इसलिए $k^2 = \frac{1}{2}R^2$। गतिज ऊर्जा $K_{disc} = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{1}{2}) = \frac{3}{4}mv^2 = 6 \ J$ है।
इससे,$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{6 \times 2}{3} = 4 \ J$ प्राप्त होता है।
पतली वृत्ताकार रिंग के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = mR^2$ है,इसलिए $k^2 = R^2$। गतिज ऊर्जा $K_{ring} = \frac{1}{2}mv^2(1 + 1) = mv^2$ है।
चूंकि $\frac{1}{2}mv^2 = 4 \ J$,इसलिए $mv^2 = 8 \ J$ होगा।
अतः,रिंग की कुल गतिज ऊर्जा $8 \ J$ है।

(B) एक ठोस गोले के लिए,उसके केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
चूंकि गोला बिना फिसले लुढ़क रहा है,द्रव्यमान केंद्र का वेग $v = R\omega$ है,जहाँ $\omega$ कोणीय वेग है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{2}{5}MR^2) \omega^2 = \frac{1}{5}M(R\omega)^2 = \frac{1}{5}Mv^2$ है।
स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $K_{trans} = \frac{1}{2}Mv^2$ है।
कुल गतिज ऊर्जा $K_{total} = K_{rot} + K_{trans} = \frac{1}{5}Mv^2 + \frac{1}{2}Mv^2 = \frac{2+5}{10}Mv^2 = \frac{7}{10}Mv^2$ है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा और कुल गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_{rot}}{K_{total}} = \frac{\frac{1}{5}Mv^2}{\frac{7}{10}Mv^2} = \frac{1}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{2}{7}$ है।
अतः,अनुपात $2: 7$ है।

(C) संपर्क बिंदु के परितः छल्ले का प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I_{cm} \omega_0 = m r^2 \omega_0$ है।
जब छल्ला फिसलना बंद कर देता है,तो वह बिना फिसले लुढ़कता है,इसलिए $v = r \omega$ होता है।
संपर्क बिंदु के परितः अंतिम कोणीय संवेग $L_f = I_{cm} \omega + m r v = m r^2 (v/r) + m r v = m r v + m r v = 2 m r v$ है।
चूंकि घर्षण बल संपर्क बिंदु से होकर गुजरता है,इसलिए संपर्क बिंदु के परितः कुल टॉर्क शून्य है। अतः,कोणीय संवेग संरक्षित रहता है: $L_i = L_f$.
$m r^2 \omega_0 = 2 m r v$.
इसलिए,$v / \omega_0 = r / 2 = 50 \ cm / 2 = 25 \ cm$.

(D) दिया गया है, वृत्ताकार वलय का द्रव्यमान $m = 10 \text{ kg}$ है।
द्रव्यमान केंद्र की रैखिक गति $v = 1.5 \text{ m/s}$ है।
लुढ़कती हुई वलय की कुल प्रारंभिक गतिज ऊर्जा उसकी घूर्णन और स्थानांतरण गतिज ऊर्जा का योग है:
$K_i = K_{\text{rotational}} + K_{\text{translational}} = \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} m v^2$.
वलय के लिए, जड़त्व आघूर्ण $I = m R^2$ और कोणीय वेग $\omega = \frac{v}{R}$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$K_i = \frac{1}{2} (m R^2) \left(\frac{v}{R}\right)^2 + \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m v^2 = m v^2$.
$K_i = 10 \times (1.5)^2 = 10 \times 2.25 = 22.5 \text{ J}$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, वलय को रोकने के लिए आवश्यक कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = K_f - K_i = 0 - 22.5 = -22.5 \text{ J}$.

(D) बिना फिसले लुढ़कने के लिए,वेग $v = r \omega$ है।
कुल गतिज ऊर्जा $E = K_{rot} + K_{trans} = \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} m v^2$ है।
$v = r \omega$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $E = \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} m r^2 \omega^2 = \frac{1}{2} (I + m r^2) \omega^2$।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
दिया गया है कि $K_{rot} = 50 \% \text{ of } E$,इसलिए $K_{rot} = \frac{1}{2} E$।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} [\frac{1}{2} (I + m r^2) \omega^2]$।
$I = \frac{1}{2} I + \frac{1}{2} m r^2$।
$\frac{1}{2} I = \frac{1}{2} m r^2$,जिसका अर्थ है $I = m r^2$।
जड़त्व आघूर्ण $I = m r^2$ एक पतली वृत्ताकार वलय (रिंग) के लिए होता है।

(A) सतह पर लुढ़कती हुई वस्तु का सतह पर स्थित बिंदु $O$ के सापेक्ष कोणीय संवेग,द्रव्यमान केंद्र की गति के कारण कोणीय संवेग और द्रव्यमान केंद्र के परितः घूर्णन के कारण कोणीय संवेग के योग के बराबर होता है।
$L_O = L_{\text{linear}} + L_{\text{rotational}} = MvR + I\omega$
चूंकि वस्तु बिना फिसले लुढ़क रही है,$v = R\omega$,इसलिए $\omega = \frac{v}{R}$।
$L_O = MvR + I\left(\frac{v}{R}\right) = vR \left(M + \frac{I}{R^2}\right)$
ठोस गोले के लिए,$I_1 = \frac{2}{5}MR^2$। अतः,$L_1 = vR \left(M + \frac{2}{5}M\right) = \frac{7}{5}MvR$।
ठोस बेलन के लिए,$I_2 = \frac{1}{2}MR^2$। अतः,$L_2 = vR \left(M + \frac{1}{2}M\right) = \frac{3}{2}MvR$।
अनुपात $\frac{L_1}{L_2} = \frac{\frac{7}{5}MvR}{\frac{3}{2}MvR} = \frac{7}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{14}{15}$।

(B) बिना फिसले लुढ़कने वाले एक ठोस गोले के लिए,उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(\frac{2}{5}MR^2)\omega^2 = \frac{1}{5}MR^2\omega^2$ है।
चूंकि गोला बिना फिसले लुढ़क रहा है,द्रव्यमान केंद्र का वेग $v = R\omega$ है,इसलिए $\omega = \frac{v}{R}$।
$\omega$ का मान घूर्णन गतिज ऊर्जा के व्यंजक में रखने पर: $K_{rot} = \frac{1}{5}MR^2(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{5}Mv^2$।
स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $K_{trans} = \frac{1}{2}Mv^2$ है।
घूर्णन और स्थानांतरण गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_{rot}}{K_{trans}} = \frac{\frac{1}{5}Mv^2}{\frac{1}{2}Mv^2} = \frac{2}{5}$ है।
अतः,अनुपात $2: 5$ है।

(A) लुढ़कती हुई वस्तु की कुल गतिज ऊर्जा $(KE)$ उसकी स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग होती है, जिसे निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$KE = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2$
एक ठोस गोले के लिए, उसके केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} mR^2$ है और कोणीय वेग $\omega = \frac{v}{R}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$KE = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{5} mv^2 = \frac{7}{10} mv^2$
यहाँ $m = 5 \,kg$ और $v = 4 \,m/s$ दिया गया है:
$KE = \frac{7}{10} \times 5 \times (4)^2 = \frac{7}{10} \times 5 \times 16 = 7 \times 8 = 56 \,J$
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(C) मान लीजिए गोले के केंद्र का अंतिम वेग $v$ है और जब यह बिना फिसले लुढ़कना शुरू करता है तो अंतिम कोणीय वेग $\omega$ है।
चूंकि घर्षण बल संपर्क बिंदु पर कार्य करता है,इसलिए संपर्क बिंदु के परितः कुल टॉर्क शून्य है।
इसलिए,संपर्क बिंदु के परितः कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
संपर्क बिंदु के परितः प्रारंभिक कोणीय संवेग: $L_i = m v_0 r$
संपर्क बिंदु के परितः अंतिम कोणीय संवेग: $L_f = mvr + I_{cm}\omega$
एक ठोस गोले के लिए,उसके केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5} mr^2$ होता है।
चूंकि यह बिना फिसले लुढ़कता है,इसलिए शर्त $v = r\omega$ या $\omega = \frac{v}{r}$ है।
प्रारंभिक और अंतिम कोणीय संवेग की तुलना करने पर:
$mv_0 r = mvr + (\frac{2}{5} mr^2)(\frac{v}{r})$
$mv_0 r = mvr + \frac{2}{5} mvr$
$v_0 = v + \frac{2}{5} v$
$v_0 = \frac{7}{5} v$
$v = \frac{5}{7} v_0$

(A, C, D) एक क्षैतिज फर्श पर बिना फिसले लुढ़कती हुई वृत्ताकार डिस्क के लिए, रिम पर किसी भी बिंदु का वेग केंद्र के स्थानांतरण वेग $(v)$ और घूर्णन के कारण स्पर्शरेखीय वेग $(\omega R)$ का सदिश योग होता है।
चूंकि डिस्क बिना फिसले लुढ़कती है, इसलिए $v = \omega R$ होता है।
$1$. फर्श के साथ संपर्क बिंदु $(P)$ पर, वेग $v_P = v - \omega R = v - v = 0$ होता है।
$2$. शीर्ष बिंदु $(S)$ पर, वेग $v_S = v + \omega R = v + v = 2v$ होता है।
$3$. रिम पर किसी अन्य बिंदु पर, वेग का परिमाण $0$ और $2v$ के बीच होता है। विशेष रूप से, केंद्र के स्तर पर वेग $\sqrt{v^2 + v^2} = \sqrt{2}v$ होता है।
इस प्रकार, रिम पर स्थित किसी बिंदु के वेग के संभावित मान $0$, $v$, $\sqrt{2}v$ और $2v$ हैं। दिए गए विकल्पों में से $v$, $2v$ और $0$ मान्य हैं।

(B) घर्षण बल $f = \mu_K mg$ स्थानांतरण वेग $v$ की विपरीत दिशा में कार्य करता है। रैखिक त्वरण $a = -\mu_K g$ है।
$t$ समय पर वेग $v(t) = v_0 - \mu_K gt$ द्वारा दिया जाता है।
केंद्र के परितः घर्षण के कारण टॉर्क $\tau = fR = \mu_K mgR$ है।
कोणीय त्वरण $\alpha = \tau/I = \frac{\mu_K mgR}{(1/2)mR^2} = \frac{2\mu_K g}{R}$ है।
$t$ समय पर कोणीय वेग $\omega(t) = \omega_0 + \alpha t = \frac{v_0}{4R} + \frac{2\mu_K g}{R}t$ है।
लुढ़कना तब शुरू होता है जब $v(t) = \omega(t)R$ की स्थिति संतुष्ट होती है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $v_0 - \mu_K gt = (\frac{v_0}{4R} + \frac{2\mu_K g}{R}t)R$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $v_0 - \mu_K gt = \frac{v_0}{4} + 2\mu_K gt$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{3v_0}{4} = 3\mu_K gt$.
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{v_0}{4\mu_K g}$.
मान रखने पर: $t = \frac{49}{4 \times 0.25 \times 9.8} = \frac{49}{9.8} = 5 \text{ s}$.