Rolling motion on horizontal Surface Questions in Hindi

(C) माना ठोस गोले का द्रव्यमान $m$ और त्रिज्या $R$ है। बल $F$ सबसे ऊपरी बिंदु पर लगाया गया है।
$1$. रैखिक गति का समीकरण: $F + f = ma$,जहाँ $f$ संपर्क बिंदु $A$ पर गति की दिशा में लगने वाला घर्षण बल है।
$2$. द्रव्यमान केंद्र के परितः घूर्णन गति का समीकरण: $F \times R - f \times R = I \alpha$,जहाँ $I = \frac{2}{5} mR^2$ जड़त्व आघूर्ण है और $\alpha = \frac{a}{R}$ कोणीय त्वरण है।
$I$ और $\alpha$ का मान रखने पर: $F R - f R = (\frac{2}{5} mR^2) (\frac{a}{R}) \Rightarrow F - f = \frac{2}{5} ma$.
$3$. दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(F + f) + (F - f) = ma + \frac{2}{5} ma \Rightarrow 2F = \frac{7}{5} ma \Rightarrow F = \frac{7}{10} ma$.

(C) निकाय की कुल गतिज ऊर्जा,वलय की गतिज ऊर्जा और छड़ की गतिज ऊर्जा का योग है।
बिना फिसले लुढ़कने के लिए,$\omega = \frac{v}{R}$।
वलय की गतिज ऊर्जा $(KE_{ring})$: $KE_{ring} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I_{ring}\omega^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$।
छड़ की गतिज ऊर्जा $(KE_{rod})$: छड़ वलय के केंद्र के परितः घूमती है। $2R$ लंबाई की छड़ का उसके केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{rod} = \frac{m(2R)^2}{12} = \frac{4mR^2}{12} = \frac{1}{3}mR^2$ है।
$KE_{rod} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I_{rod}\omega^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{3}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{6}mv^2 = \frac{3+1}{6}mv^2 = \frac{4}{6}mv^2 = \frac{2}{3}mv^2$।
कुल गतिज ऊर्जा = $KE_{ring} + KE_{rod} = mv^2 + \frac{2}{3}mv^2 = \frac{5}{3}mv^2$।

(C) लुढ़कती हुई डिस्क की परिधि पर स्थित बिंदु $P$ का वेग $v_p = 2v \sin(\theta/2)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v$ द्रव्यमान केंद्र का वेग है और $\theta = \omega t$ घूर्णन कोण है।
चूंकि $v = R\omega$,इसलिए $v_p = 2R\omega \sin(\omega t / 2)$ है।
एक पूर्ण घूर्णन (समय $T = 2\pi/\omega$) में बिंदु $P$ द्वारा तय की गई दूरी $s$ चाल का समाकलन है:
$s = \int_{0}^{T} v_p dt = \int_{0}^{2\pi/\omega} 2R\omega \sin(\omega t / 2) dt$
$s = 2R\omega \left[ -\frac{2}{\omega} \cos(\omega t / 2) \right]_{0}^{2\pi/\omega}$
$s = -4R [\cos(\pi) - \cos(0)] = -4R [-1 - 1] = 8R$.

(D) जमीन के साथ संपर्क बिंदु के परितः गोले का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है क्योंकि घर्षण बल संपर्क बिंदु से होकर गुजरता है,इसलिए इसके परितः कोई टॉर्क कार्य नहीं करता है।
संपर्क बिंदु के परितः प्रारंभिक कोणीय संवेग:
$L_i = M V_0 r + I_{cm} \omega = M V_0 r + (\frac{2}{5} M r^2) (\frac{V_0}{2r}) = M V_0 r + \frac{1}{5} M V_0 r = \frac{6}{5} M V_0 r$
जब शुद्ध लोटनिक गति शुरू होती है,तो अंतिम कोणीय संवेग (मान लीजिए अंतिम वेग $v'$ और कोणीय वेग $\omega' = \frac{v'}{r}$ है):
$L_f = M v' r + I_{cm} \omega' = M v' r + (\frac{2}{5} M r^2) (\frac{v'}{r}) = M v' r + \frac{2}{5} M v' r = \frac{7}{5} M v' r$
$L_i = L_f$ को बराबर करने पर:
$\frac{6}{5} M V_0 r = \frac{7}{5} M v' r$
$v' = \frac{6}{7} V_0$

(A) ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा लुढ़कते हुए बेलन की कुल गतिज ऊर्जा (स्थानांतरणीय + घूर्णी) में परिवर्तित हो जाती है।
$\frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2$
चूंकि बेलन बिना फिसले लुढ़कता है,इसलिए $\omega = \frac{v}{R}$। एक ठोस बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} MR^2$ होता है।
इन मानों को ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2) (\frac{v}{R})^2$
$\frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{4} Mv^2 = \frac{3}{4} Mv^2$
$v$ के लिए हल करने पर:
$v = \sqrt{\frac{2kx^2}{3M}} = x \sqrt{\frac{2k}{3M}}$
यहाँ $M = 3 \ kg$,$k = 8 \ N/m$,और $x = 1 \ m$ दिया गया है:
$v = 1 \times \sqrt{\frac{2 \times 8}{3 \times 3}} = \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3} \approx 1.33 \ m/s$.

(C) मान लीजिए कि डिस्क $v$ वेग और $\omega = v/R$ कोणीय वेग के साथ बिना फिसले लुढ़क रही है। संपर्क बिंदु के सापेक्ष समय $t$ पर बिंदु $P$ की स्थिति साइक्लोइड पथ द्वारा दी जाती है। बिंदु $P$ का वेग $v_p = 2v \sin(\theta/2)$ है,जहाँ $\theta = \omega t$ है।
एक पूर्ण घूर्णन में,$t$ का मान $0$ से $T = 2\pi/\omega$ तक होता है।
बिंदु $P$ द्वारा तय की गई दूरी $s$ साइक्लोइड की चाप लंबाई है:
$s = \int_{0}^{T} v_p dt = \int_{0}^{2\pi/\omega} 2v \sin(\omega t / 2) dt$.
$s = 2v [ -\frac{2}{\omega} \cos(\omega t / 2) ]_{0}^{2\pi/\omega}$.
$s = -\frac{4v}{\omega} [ \cos(\pi) - \cos(0) ] = -\frac{4v}{\omega} [ -1 - 1 ] = \frac{8v}{\omega}$.
चूंकि $v = \omega R$,इसलिए $s = 8R$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए $a$ द्रव्यमान केंद्र का रैखिक त्वरण है और $\alpha$ स्पूल का कोणीय त्वरण है।
$1$. स्थानांतरण गति के लिए बल का समीकरण:
$T - f = ma$ --- $(i)$
$2$. द्रव्यमान केंद्र के परितः टॉर्क का समीकरण:
$f R_2 - T R_1 = I \alpha$ --- $(ii)$
$3$. बिना फिसले लुढ़कने की शर्त:
$a = \alpha R_2 \implies \alpha = \frac{a}{R_2}$ --- $(iii)$
समीकरण $(iii)$ को $(ii)$ में रखने पर:
$f R_2 - T R_1 = I \left( \frac{a}{R_2} \right)$
$f R_2^2 - T R_1 R_2 = Ia$
$a = \frac{f R_2^2 - T R_1 R_2}{I}$ --- $(iv)$
समीकरण $(iv)$ को $(i)$ में रखने पर:
$T - f = m \left( \frac{f R_2^2 - T R_1 R_2}{I} \right)$
$I(T - f) = m f R_2^2 - m T R_1 R_2$
$IT - If = m f R_2^2 - m T R_1 R_2$
$IT + m T R_1 R_2 = If + m f R_2^2$
$T(I + m R_1 R_2) = f(I + m R_2^2)$
$f = \left( \frac{I + m R_1 R_2}{I + m R_2^2} \right) T$
चूंकि परिणाम धनात्मक है,इसलिए घर्षण की मानी गई दिशा (बाईं ओर) सही है।

(A) बिना फिसले लुढ़कने वाले पिंड के लिए,जमीन के संपर्क बिंदु का वेग शून्य होता है,लेकिन इसका त्वरण शून्य नहीं होता है। संपर्क बिंदु का त्वरण गोले के केंद्र की ओर निर्देशित होता है और इसे $a = \frac{v^2}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v$ द्रव्यमान केंद्र का वेग है और $R$ त्रिज्या है। अतः,यह कथन कि संपर्क बिंदु का त्वरण शून्य है,गलत है।
अन्य विकल्पों के बारे में:
$1$. $C.O.M.$ का त्वरण बाहरी बलों पर निर्भर करता है; यदि कोई बाहरी क्षैतिज बल नहीं है,तो $a_{cm} = 0$ होता है।
$2$. यदि पिंड बिना किसी बाहरी बल के क्षैतिज सतह पर स्थिर वेग से लुढ़क रहा है तो घर्षण बल शून्य होता है,लेकिन यदि कोई बाहरी बल या त्वरण है तो यह शून्य नहीं होता है।
$3$. चूंकि संपर्क बिंदु तात्क्षणिक रूप से स्थिर होता है,इसलिए बिना फिसले लुढ़कने वाले पिंड पर स्थैतिक घर्षण द्वारा किया गया कार्य हमेशा शून्य होता है।

(B) बल $F$ गोले के शीर्ष पर कार्य करता है,जो संपर्क बिंदु से $2R$ की दूरी पर है। जब द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ $S$ दूरी तय करता है,तो बल का अनुप्रयोग बिंदु $2S$ दूरी तय करता है।
अतः,बल $F$ द्वारा किया गया कार्य $W_F = F(2S) = 2FS$ है।
चूंकि गोला बिना फिसले लुढ़कता है,इसलिए स्थैतिक घर्षण द्वारा किया गया कार्य शून्य है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए: $W_F + W_{friction} = \Delta K$.
$2FS = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I_{cm}\omega^2$.
एक ठोस गोले के लिए,$I_{cm} = \frac{2}{5}MR^2$ और बिना फिसले लुढ़कने के लिए,$\omega = \frac{v}{R}$.
$2FS = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}MR^2)(\frac{v}{R})^2$.
$2FS = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{5}Mv^2 = \frac{7}{10}Mv^2$.
$v^2 = \frac{20FS}{7M} \implies v = \sqrt{\frac{20FS}{7M}}$.
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(B) माना $\vec{v}_B = \vec{v}$ गोले के केंद्र का वेग है।
एक स्थिर क्षैतिज सतह पर शुद्ध लोटनिक गति (pure rolling) के लिए,संपर्क बिंदु $A$ का वेग $\vec{v}_A = 0$ है।
सबसे ऊपरी बिंदु $C$ का वेग $\vec{v}_C = 2\vec{v}$ है।
अब,अंतर की गणना करने पर:
$\vec{v}_C - \vec{v}_B = 2\vec{v} - \vec{v} = \vec{v}$
$\vec{v}_B - \vec{v}_A = \vec{v} - 0 = \vec{v}$
अतः,$\vec{v}_C - \vec{v}_B = \vec{v}_B - \vec{v}_A$.

(C) मान लीजिए गेंद का द्रव्यमान $m$ और त्रिज्या $R$ है। गेंद का उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} mR^2$ है।
प्रारंभ में,गेंद के पास केवल स्थानांतरण वेग $v_0$ है और कोई कोणीय वेग नहीं है।
जैसे ही गेंद फिसलती है,घर्षण उस पर कार्य करता है,जो जमीन पर संपर्क बिंदु $O$ के परितः एक टॉर्क बनाता है। चूंकि बिंदु $O$ के परितः घर्षण के कारण टॉर्क शून्य है,इसलिए बिंदु $O$ के परितः गेंद का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
$O$ के परितः प्रारंभिक कोणीय संवेग: $L_i = m v_0 R$।
जब गेंद बिना फिसले लुढ़कना शुरू करती है,तो उसका वेग $v$ होता है और उसका कोणीय वेग $\omega = \frac{v}{R}$ होता है।
$O$ के परितः अंतिम कोणीय संवेग (समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करके): $L_f = I_{cm} \omega + m v R = (\frac{2}{5} mR^2) \frac{v}{R} + m v R = \frac{2}{5} m v R + m v R = \frac{7}{5} m v R$।
प्रारंभिक और अंतिम कोणीय संवेग की तुलना करने पर: $m v_0 R = \frac{7}{5} m v R$।
$v$ के लिए हल करने पर: $v = \frac{5}{7} v_0$।

(B) एक लुढ़कती हुई वस्तु को जमीन के साथ संपर्क बिंदु से गुजरने वाली अक्ष के परितः घूर्णन करती हुई कल्पना की जा सकती है। अतः,संपर्क बिंदु की तात्क्षणिक चाल शून्य होती है।
इस प्रकार,कथन $(a)$ सही है।
चूंकि वस्तु घूर्णन कर रही है,इसका तात्क्षणिक त्वरण शून्य नहीं होता है क्योंकि संपर्क बिंदु पर वस्तु के केंद्र की ओर निर्देशित अभिकेंद्र त्वरण होता है।
अतः,कथन $(b)$ गलत है।
एक बार आदर्श लोटनिक गति शुरू हो जाने पर,स्थैतिक घर्षण बल कोई कार्य नहीं करता है क्योंकि संपर्क बिंदु सतह के सापेक्ष स्थिर होता है। अतः,घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य शून्य होता है।
इस प्रकार,कथन $(c)$ सही है।
घर्षण की अनुपस्थिति में लोटनिक गति नहीं हो सकती क्योंकि घर्षण बल ही वह आवश्यक बल आघूर्ण प्रदान करता है जो वस्तु को सतह पर लुढ़काता है। जब नत समतल पूर्णतः चिकना होता है,तो पहिया अपने भार के प्रभाव में केवल फिसलेगा।
अतः,कथन $(d)$ सही है।

(C) किसी बिंदु $P$ के परितः एक पिंड का कोणीय संवेग $\vec{L}_P = \vec{L}_{cm} + \vec{r} \times \vec{p}_{cm}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{L}_{cm} = I_{cm} \vec{\omega}$ द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय संवेग है और $\vec{r} \times \vec{p}_{cm}$ द्रव्यमान केंद्र की गति के कारण कोणीय संवेग है।
एक ठोस गोले के लिए,द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5} mR^2$ है।
शुद्ध लोटनिक गति में,कोणीय वेग $\omega = \frac{v_0}{R}$ होता है।
द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय संवेग $L_{cm} = I_{cm} \omega = (\frac{2}{5} mR^2) (\frac{v_0}{R}) = \frac{2}{5} mv_0R$ है।
संपर्क बिंदु $P$ के परितः द्रव्यमान केंद्र की गति के कारण कोणीय संवेग $L_{trans} = m v_0 R$ है।
चूंकि दोनों सदिश एक ही दिशा (तल के अंदर) में हैं,इसलिए कुल कोणीय संवेग $L_P = L_{cm} + L_{trans} = \frac{2}{5} mv_0R + mv_0R = \frac{7}{5} mv_0R$ होगा।

(D) क्षैतिज सतह पर बिना फिसले लुढ़कती हुई डिस्क के लिए, डिस्क पर किसी भी बिंदु का वेग द्रव्यमान केंद्र के वेग $(v_{cm})$ और घूर्णन के कारण स्पर्शरेखीय वेग $(v_{rot} = R\omega)$ का सदिश योग होता है।
चूंकि डिस्क बिना फिसले लुढ़क रही है, जमीन के साथ संपर्क बिंदु का वेग शून्य होता है, जिसका अर्थ है $v_{cm} = R\omega$।
उच्चतम बिंदु पर, वेग $v_{top} = v_{cm} + R\omega = v_{cm} + v_{cm} = 2v_{cm}$ होता है।
संपर्क बिंदु पर, वेग $v_{contact} = v_{cm} - R\omega = v_{cm} - v_{cm} = 0$ होता है।
अतः, उच्चतम बिंदु का वेग $2v_{cm}$ है और संपर्क बिंदु का वेग शून्य है।

(B) मान लीजिए कि द्रव्यमान केंद्र $B$ का वेग $\vec{V}_B = V\hat{i}$ है।
शुद्ध लोटनिक गति (pure rolling) के लिए,संपर्क बिंदु $A$ का वेग $\vec{V}_A = 0$ है।
सबसे ऊपरी बिंदु $C$ का वेग $\vec{V}_C = \vec{V}_B + \vec{\omega} \times \vec{r}_{BC} = V\hat{i} + V\hat{i} = 2V\hat{i}$ है।
कथनों की जाँच करने पर:
$(i) \vec{V}_C - \vec{V}_A = 2V\hat{i} - 0 = 2V\hat{i}$.
$2(\vec{V}_B - \vec{V}_C) = 2(V\hat{i} - 2V\hat{i}) = -2V\hat{i}$.
चूँकि $2V\hat{i} \neq -2V\hat{i}$,कथन $(i)$ गलत है।
$(ii) \vec{V}_C - \vec{V}_B = 2V\hat{i} - V\hat{i} = V\hat{i}$.
$\vec{V}_B - \vec{V}_A = V\hat{i} - 0 = V\hat{i}$.
चूँकि $V\hat{i} = V\hat{i}$,कथन $(ii)$ सही है।
$(iii) |\vec{V}_C - \vec{V}_A| = |2V\hat{i} - 0| = 2V$.
$2|\vec{V}_B - \vec{V}_C| = 2|V\hat{i} - 2V\hat{i}| = 2|-V\hat{i}| = 2V$.
चूँकि $2V = 2V$,कथन $(iii)$ सही है।
$(iv) |\vec{V}_C - \vec{V}_A| = 2V$.
$4|\vec{V}_B| = 4V$.
चूँकि $2V \neq 4V$,कथन $(iv)$ गलत है।
अतः,कथन $(ii)$ और $(iii)$ सही हैं।

(C) बिना फिसले लुढ़कती हुई वस्तु की कुल गतिज ऊर्जा $(KE)$ उसकी स्थानांतरण गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग होती है।
$KE = KE_{trans} + KE_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
एक ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mR^2$ और $\omega = \frac{v}{R}$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{2}{5}) = \frac{1}{2}mv^2(\frac{7}{5})$.
दिया गया है: $m = 50\,g$,$v = 5\,cm/s$.
$KE = \frac{1}{2} \times 50 \times (5)^2 \times \frac{7}{5} = 25 \times 25 \times 1.4 = 875\,ergs$.

(C) बेलन के फ्री बॉडी डायग्राम से:
$1$. स्थानांतरीय गति का समीकरण है:
$ma = F - f$ ---$(i)$
जहाँ $f$ संपर्क बिंदु पर कार्य करने वाला घर्षण बल है।
$2$. द्रव्यमान केंद्र के परितः घूर्णन गति का समीकरण है:
$\tau = I\alpha$
$fR = \left(\frac{1}{2}mR^2\right)\alpha$
चूंकि बेलन बिना फिसले लुढ़क रहा है,इसलिए $a = R\alpha$ की स्थिति लागू होती है,अतः $\alpha = \frac{a}{R}$।
इसे टॉर्क समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$fR = \left(\frac{1}{2}mR^2\right)\left(\frac{a}{R}\right)$
$f = \frac{1}{2}ma$ ---(ii)
$3$. समीकरण (ii) से $f$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$ma = F - \frac{1}{2}ma$
$F = ma + \frac{1}{2}ma = \frac{3}{2}ma$

(D) मान लीजिए कि बिंदु $P$ पर कार्य करने वाला घर्षण बल $F$ है। बेलन के द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $a_{cm} = \frac{F}{M}$ है।
बेलन का अपने केंद्र के परितः कोणीय त्वरण $\alpha$,$\tau = I\alpha$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\tau = F \cdot r$ और $I = \frac{Mr^2}{2}$ है।
अतः,$F \cdot r = \frac{Mr^2}{2} \alpha \Rightarrow \alpha = \frac{2F}{Mr}$.
चूंकि बेलन गलीचे पर फिसलता नहीं है,इसलिए बेलन पर बिंदु $P$ का त्वरण गलीचे के त्वरण $a$ के बराबर होना चाहिए।
बिंदु $P$ का त्वरण $a_P = a_{cm} + \alpha r$ ($a$ की दिशा में) है।
इसलिए,$a = \frac{F}{M} + \left(\frac{2F}{Mr}\right)r = \frac{F}{M} + \frac{2F}{M} = \frac{3F}{M}$.
$F$ के लिए हल करने पर,हमें $F = \frac{Ma}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $M = 5\, kg$,त्रिज्या $R = 0.5\, m$,बल $F = 40\, N$। एक खोखले बेलन के लिए,उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ होता है।
मान लीजिए कि संपर्क बिंदु पर पीछे की दिशा में लगने वाला घर्षण बल $f$ है।
रैखिक गति के लिए समीकरण: $F + f = Ma$,जहाँ बिना फिसले लुढ़कने के लिए $a = R\alpha$ है।
अतः,$40 + f = M(R\alpha) \quad (i)$
द्रव्यमान केंद्र के परितः घूर्णन गति के लिए समीकरण: $(F \times R) - (f \times R) = I\alpha$।
$I = MR^2$ रखने पर: $(40 - f)R = (MR^2)\alpha \implies 40 - f = MR\alpha \quad (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(40 + f) + (40 - f) = MR\alpha + MR\alpha$
$80 = 2MR\alpha$
$80 = 2 \times 5 \times 0.5 \times \alpha$
$80 = 5\alpha$
$\alpha = 16\, rad/s^2$.

(A) जब किसी गोल वस्तु को खुरदरी सतह पर केवल स्थानांतरीय वेग $v$ दिया जाता है,तो संपर्क बिंदु का वेग आगे की दिशा में $v$ होता है।
चूंकि घर्षण मौजूद है,यह इस सापेक्ष गति का विरोध करने के लिए पीछे की दिशा में कार्य करता है।
यह घर्षण बल द्रव्यमान केंद्र के परितः एक टॉर्क उत्पन्न करता है,जिससे वस्तु कोणीय वेग $\omega$ के साथ घूमना शुरू कर देती है।
जैसे-जैसे $\omega$ बढ़ता है,संपर्क बिंदु का वेग $v_{contact} = v - \omega R$ कम होता जाता है।
वस्तु आगे बढ़ना जारी रखती है जबकि उसकी घूर्णी गति तब तक बढ़ती है जब तक कि शुद्ध लोटनिक गति की शर्त,$v = \omega R$,पूरी न हो जाए।
इसलिए,शुद्ध लोटनिक गति प्राप्त होने तक वस्तु आगे की दिशा में ही गति करती है।

(A) लुढ़कती हुई वस्तु की कुल गतिज ऊर्जा $(KE_{total})$ स्थानांतरणीय और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग होती है: $KE_{total} = KE_{trans} + KE_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 (1 + \frac{K^2}{R^2})$.
वृत्ताकार डिस्क के लिए,घूर्णन त्रिज्या $K$ का मान $K^2 = \frac{1}{2}R^2$ होता है,इसलिए $\frac{K^2}{R^2} = \frac{1}{2}$.
इस मान को सूत्र में रखने पर: $KE_{total} = \frac{1}{2}mv^2 (1 + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}mv^2 (\frac{3}{2}) = \frac{3}{4}mv^2$.
हम जानते हैं कि स्थानांतरणीय गतिज ऊर्जा $KE_{trans} = \frac{1}{2}mv^2$ होती है।
अतः,$KE_{trans} = \frac{2}{3} KE_{total}$.
दिया गया है कि $KE_{total} = 300 \, J$,इसलिए $KE_{trans} = \frac{2}{3} \times 300 \, J = 200 \, J$.

(C) शुद्ध स्थानांतरण गति में,किसी भी समय पर वस्तु के सभी कणों का वेग समान होता है।
हालाँकि,लुढ़कती गति में (जो स्थानांतरण और घूर्णन गति का संयोजन है),वस्तु पर किसी भी बिंदु का वेग उसके स्थानांतरण वेग और घूर्णन वेग का सदिश योग होता है।
चूंकि घूर्णन वेग घूर्णन अक्ष से बिंदु की दूरी पर निर्भर करता है,इसलिए किसी भी क्षण वस्तु के विभिन्न बिंदुओं का वेग अलग-अलग होता है।
इसलिए,बिंदुओं $P_1$ और $P_2$ के वेगों के परिमाण समान नहीं हैं,अर्थात $\left| {{{\vec v}_1}} \right| \ne \left| {{{\vec v}_2}} \right|$.

(D) घर्षण बल हमेशा सतह के सापेक्ष गोले के संपर्क बिंदु की गति की प्रवृत्ति की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
$1$. गोले $P$ के लिए: इसे दक्षिणावर्त (clockwise) स्पिन दी जाती है। गोले पर संपर्क बिंदु की बाएँ ओर जाने की प्रवृत्ति होती है। इसलिए,घर्षण बल दाएँ ओर कार्य करता है।
$2$. गोले $Q$ के लिए: इसे आगे की ओर रैखिक वेग $v$ दिया जाता है। गोले पर संपर्क बिंदु की दाएँ ओर जाने की प्रवृत्ति होती है। इसलिए,घर्षण बल बाएँ ओर कार्य करता है।
$3$. गोले $R$ के लिए: इसे आगे की ओर वेग $v$ और वामावर्त (counter-clockwise) स्पिन $\omega$ दी जाती है। संपर्क बिंदु का वेग $v_{cp} = v - R\omega$ है। चित्र के अनुसार,गोले $R$ के लिए संपर्क बिंदु की कुल प्रवृत्ति दाएँ ओर है,इसलिए घर्षण बल बाएँ ओर कार्य करता है। अतः,सही क्रम दाएँ,बाएँ,बाएँ है।

(C) जब कोई वस्तु बिना फिसले लुढ़कती है,तो उसकी कुल गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ उसकी स्थानांतरण गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग होती है।
$K.E. = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
एक ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mr^2$ होता है। बिना फिसले लुढ़कने के कारण,$\omega = \frac{v}{r}$ होता है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$K.E. = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(\frac{v}{r})^2$
$K.E. = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$
यहाँ $m = 1\, kg$ और $v = 1\, m/s$ दिया गया है:
$K.E. = \frac{7}{10} \times 1 \times (1)^2 = 0.7\, J$.

(A) बिना फिसले लुढ़कती हुई डिस्क के लिए,स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा $K_t = \frac{1}{2}mv^2$ है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_r = \frac{1}{2}I\omega^2$ है। चूंकि $I = \frac{1}{2}mR^2$ और $\omega = v/R$,इसलिए $K_r = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(v/R)^2 = \frac{1}{4}mv^2$ प्राप्त होता है।
कुल गतिज ऊर्जा $K_{total} = K_t + K_r = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$ है।
स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा और कुल गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_t}{K_{total}} = \frac{\frac{1}{2}mv^2}{\frac{3}{4}mv^2} = \frac{1/2}{3/4} = \frac{2}{3}$ है।

(A) लुढ़कने की गति को द्रव्यमान केंद्र $C$ के $V_C = R\omega$ वेग के साथ शुद्ध स्थानांतरण और केंद्र $C$ के परितः $\omega$ कोणीय वेग के साथ शुद्ध घूर्णन के संयोजन के रूप में माना जा सकता है।
केंद्र $C$ से $r$ दूरी पर स्थित किसी भी बिंदु के लिए,घूर्णन के कारण वेग $v_{rot} = r\omega$ होता है।
किसी भी बिंदु का वेग,स्थानांतरण वेग $\vec{V}_C$ और घूर्णन वेग $\vec{v}_{rot}$ का सदिश योग होता है।
क्षैतिज व्यास पर स्थित बिंदुओं $P$ और $Q$ के लिए:
$1$. बिंदु $Q$ पर,घूर्णन वेग स्थानांतरण वेग की दिशा में ही होता है। अतः,$V_Q = V_C + r\omega = R\omega + r\omega = (R+r)\omega$।
$2$. बिंदु $P$ पर,घूर्णन वेग स्थानांतरण वेग की विपरीत दिशा में होता है। अतः,$V_P = |V_C - r\omega| = |R\omega - r\omega| = (R-r)\omega$।
चूंकि $R > r$,इसलिए $V_Q > V_C > V_P$ प्राप्त होता है।

(B) बिना फिसले लुढ़कते हुए पहिये के लिए,रिम पर किसी भी बिंदु $P$ का वेग द्रव्यमान केंद्र के स्थानांतरण वेग $(v)$ और घूर्णन के कारण स्पर्शरेखीय वेग ($v$,केंद्र के सापेक्ष) का सदिश योग होता है।
स्थानांतरण वेग सदिश $\vec{v}_{cm} = v\hat{i}$ है।
बिंदु $P$ पर घूर्णन वेग सदिश $\vec{v}_{rot} = v\sin\theta\hat{i} + v\cos\theta\hat{j}$ है (ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण की ज्यामिति के अनुसार)।
परिणामी वेग $\vec{v}_P = \vec{v}_{cm} + \vec{v}_{rot} = (v + v\sin\theta)\hat{i} + v\cos\theta\hat{j}$ है।
इसका परिमाण $V_P = \sqrt{(v + v\sin\theta)^2 + (v\cos\theta)^2} = \sqrt{v^2(1 + \sin^2\theta + 2\sin\theta + \cos^2\theta)} = \sqrt{v^2(2 + 2\sin\theta)} = v\sqrt{2(1 + \sin\theta)}$ होता है।
हालाँकि,यदि $\theta$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि वेग घटक मानक रूप $2v\cos(\theta/2)$ देते हैं,तो हम $v$ परिमाण वाले दो वेगों का सदिश योग लेते हैं जिनके बीच का कोण $\theta$ है: $V_P = \sqrt{v^2 + v^2 + 2v^2\cos\theta} = \sqrt{2v^2(1 + \cos\theta)} = \sqrt{2v^2(2\cos^2(\theta/2))} = 2v\cos(\theta/2)$।

(D) एकसमान कोणीय वेग $\omega$ के साथ क्षैतिज खुरदरी सतह पर बिना फिसले लुढ़कने वाली डिस्क के लिए,संपर्क बिंदु का वेग शून्य होता है।
हालाँकि,सबसे निचले बिंदु का त्वरण शून्य नहीं होता है।
डिस्क के रिम पर किसी भी बिंदु का त्वरण दो घटकों से बना होता है: केंद्र की ओर निर्देशित अभिकेंद्री त्वरण $(a_c = \omega^2 R)$ और स्पर्शरेखीय त्वरण $(a_t = \alpha R)$।
चूंकि कोणीय वेग एकसमान है,$\alpha = 0$,इसलिए $a_t = 0$।
अभिकेंद्री त्वरण $a_c = \omega^2 R$ डिस्क के केंद्र की ओर लंबवत ऊपर की ओर निर्देशित होता है।
इसलिए,सबसे निचले बिंदु का कुल त्वरण $\omega^2 R$ (ऊपर की ओर) है,जो शून्य नहीं है।
अतः,$Assertion$ गलत है और $Reason$ सही है।

(A) डिस्क को रोकने के लिए आवश्यक कार्य उसकी कुल गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
लुढ़कती हुई डिस्क की कुल गतिज ऊर्जा $KE = KE_{translational} + KE_{rotational} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$ द्वारा दी जाती है।
डिस्क के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}mR^2$ और शुद्ध लोटनिक गति के लिए,$\omega = \frac{v}{R}$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$.
दिया गया है: $m = 100\; kg$,$v = 20\; cm/s = 0.2\; m/s$.
$KE = \frac{3}{4} \times 100 \times (0.2)^2 = 75 \times 0.04 = 3\; J$.
चूंकि वस्तु को रोकने के लिए किया गया कार्य $W = \Delta KE = 0 - KE_{initial} = -3\; J$ है,इसलिए आवश्यक कार्य का परिमाण $3\; J$ है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 500 \; g = 0.5 \; kg$,वेग $v = 5.00 \; cm/s = 0.05 \; m/s$.
बिना फिसले लुढ़कते हुए ठोस गोले के लिए,द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} mR^2$ होता है।
कुल गतिज ऊर्जा $KE$ स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है:
$KE = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$.
चूंकि $v = R\omega$,इसलिए $\omega = v/R$ है।
$KE = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} mR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{5} mv^2 = \frac{7}{10} mv^2$.
मान रखने पर:
$KE = 0.7 \times 0.5 \; kg \times (0.05 \; m/s)^2 = 0.35 \times 0.0025 \; J = 8.75 \times 10^{-4} \; J$.

(4 J) हूप की त्रिज्या,$r = 2 \; m$।
हूप का द्रव्यमान,$m = 100 \; kg$।
द्रव्यमान केंद्र का वेग,$v = 20 \; cm/s = 0.2 \; m/s$।
लुढ़कते हुए हूप की कुल गतिज ऊर्जा $(K)$,उसकी स्थानांतरण गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग होती है।
$K = K_{\text{trans}} + K_{\text{rot}} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$।
एक हूप के लिए,उसके केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = mr^2$ होता है।
चूंकि हूप बिना फिसले लुढ़क रहा है,$v = r\omega$,जिसका अर्थ है $\omega = v/r$।
$I$ और $\omega$ के मानों को ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(mr^2)(v/r)^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$।
हूप को रोकने के लिए आवश्यक कार्य उसकी कुल गतिज ऊर्जा के बराबर होता है।
$W = K = mv^2 = 100 \; kg \times (0.2 \; m/s)^2 = 100 \times 0.04 = 4 \; J$।

(N/A) डिस्क की कोणीय गति $\omega_{o}$ है और इसकी त्रिज्या $R$ है। केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित एक बिंदु का रैखिक वेग $v = r \omega_{o}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $A$ के लिए (केंद्र से $R$ दूरी पर,शीर्ष पर): $v_{A} = R \omega_{o}$,दाईं ओर स्पर्शरेखीय दिशा में।
बिंदु $B$ के लिए (केंद्र से $R$ दूरी पर,नीचे): $v_{B} = R \omega_{o}$,बाईं ओर स्पर्शरेखीय दिशा में।
बिंदु $C$ के लिए (केंद्र से $R/2$ दूरी पर): $v_{C} = (R/2) \omega_{o}$,दाईं ओर स्पर्शरेखीय दिशा में।
डिस्क नहीं लुढ़केगी। लुढ़कने की गति के लिए आवश्यक टॉर्क प्रदान करने और $v_{cm} = R \omega$ की स्थिति को पूरा करने के लिए घर्षण की उपस्थिति अनिवार्य है। चूंकि मेज पूरी तरह से घर्षण रहित है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र की स्थानांतरीय गति के लिए कोई बाहरी बल नहीं है,और इस प्रकार डिस्क केवल अपने स्थिर केंद्र के चारों ओर घूमती रहेगी।

(N/A) डिस्क को लुढ़काने के लिए,उसके कोणीय वेग को बदलने के लिए एक बाहरी टॉर्क की आवश्यकता होती है। घर्षण यह आवश्यक टॉर्क प्रदान करता है।
$(a)$ संपर्क बिंदु $B$ का प्रारंभिक घूर्णन $\omega_0$ के कारण सतह के सापेक्ष वेग होता है। चूंकि डिस्क दक्षिणावर्त (clockwise) घूम रही है,इसलिए बिंदु $B$ का रैखिक वेग बाईं ओर होता है। घर्षण सापेक्ष वेग की विपरीत दिशा में कार्य करता है,इसलिए $B$ पर घर्षण बल दाईं ओर स्पर्शरेखीय रूप से कार्य करता है। डिस्क के केंद्र के परितः इस घर्षण के कारण टॉर्क डिस्क के तल के लंबवत बाहर की ओर होता है,जो कोणीय वेग को कम करने का कार्य करता है।
$(b)$ पूर्ण लुढ़कन तब शुरू होती है जब संपर्क बिंदु $B$ का सतह के सापेक्ष वेग शून्य हो जाता है $(v = r\omega)$। एक बार पूर्ण लुढ़कन प्राप्त हो जाने के बाद,संपर्क बिंदु और सतह के बीच कोई सापेक्ष गति नहीं होती है। इसलिए,गतिज घर्षण बल कार्य करना बंद कर देता है और घर्षण बल शून्य हो जाता है।

(B) दिया गया है: त्रिज्या $r = 10\; cm = 0.1\; m$,प्रारंभिक कोणीय गति $\omega_0 = 10\pi\; rad\; s^{-1}$,गतिज घर्षण गुणांक $\mu_k = 0.2$,प्रारंभिक रैखिक वेग $u = 0$.
घर्षण बल $f = \mu_k mg$ रैखिक त्वरण $a = \mu_k g$ प्रदान करता है। $v = u + at$ का उपयोग करने पर,$v = \mu_k gt$ प्राप्त होता है।
टॉर्क $\tau = -f r = -I\alpha$ कोणीय मंदन $\alpha = \frac{\mu_k mgr}{I}$ उत्पन्न करता है। $\omega = \omega_0 - \alpha t$ का उपयोग करने पर,$\omega = \omega_0 - \frac{\mu_k mgr}{I}t$ प्राप्त होता है।
लुढ़कना तब शुरू होता है जब $v = r\omega$ हो। समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\mu_k gt = r(\omega_0 - \frac{\mu_k mgr}{I}t) \implies \mu_k gt = r\omega_0 - \frac{\mu_k mgr^2}{I}t$.
रिंग के लिए $(I = mr^2)$:
$\mu_k gt_r = r\omega_0 - \mu_k gt_r \implies 2\mu_k gt_r = r\omega_0 \implies t_r = \frac{r\omega_0}{2\mu_k g} = \frac{0.1 \times 10\pi}{2 \times 0.2 \times 9.8} \approx 0.80\; s$.
डिस्क के लिए $(I = \frac{1}{2}mr^2)$:
$\mu_k gt_d = r\omega_0 - 2\mu_k gt_d \implies 3\mu_k gt_d = r\omega_0 \implies t_d = \frac{r\omega_0}{3\mu_k g} = \frac{0.1 \times 10\pi}{3 \times 0.2 \times 9.8} \approx 0.53\; s$.
चूंकि $t_d < t_r$,इसलिए डिस्क रिंग की तुलना में पहले लुढ़कना शुरू कर देगी।

(B, D, E) असत्य: घर्षण बल वस्तु के द्रव्यमान केंद्र की गति की विपरीत दिशा में कार्य करता है। लुढ़कने के मामले में,आवश्यक टॉर्क प्रदान करने के लिए घर्षण बल आगे की दिशा में कार्य करता है,जबकि द्रव्यमान केंद्र आगे बढ़ता है।
$(b)$ सत्य: लुढ़कने की गति को वस्तु के जमीन के साथ संपर्क बिंदु से गुजरने वाली धुरी के चारों ओर घूर्णन गति के रूप में माना जा सकता है। इसलिए,इसकी तात्क्षणिक गति शून्य होती है।
$(c)$ असत्य: जब कोई वस्तु लुढ़क रही होती है,तो संपर्क बिंदु पर वस्तु के केंद्र की ओर निर्देशित अभिकेंद्री त्वरण होता है। अतः,इसका तात्क्षणिक त्वरण शून्य नहीं होता है।
$(d)$ सत्य: पूर्ण लुढ़कती गति में,संपर्क बिंदु और सतह के बीच कोई सापेक्ष गति नहीं होती है। चूंकि संपर्क बिंदु सतह के सापेक्ष स्थिर होता है,इसलिए घर्षण द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है।
$(e)$ सत्य: किसी वस्तु का लुढ़कना तब होता है जब वस्तु और सतह के बीच घर्षण बल कार्य करता है। यह घर्षण बल लुढ़कने के लिए आवश्यक टॉर्क प्रदान करता है। घर्षण बल की अनुपस्थिति में,वस्तु अपने स्वयं के वजन के प्रभाव में आनत तल पर फिसलती है।

(N/A) जब कोई दृढ़ पिंड (जैसे गोला,वृत्ताकार डिस्क या पहिया) बिना फिसले लुढ़कता है,तो सतह के साथ संपर्क बिंदु का सतह के सापेक्ष तात्क्षणिक वेग शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए $R$ त्रिज्या की एक वृत्ताकार डिस्क एक क्षैतिज सतह पर लुढ़क रही है। मान लीजिए $v_{cm}$ द्रव्यमान केंद्र $C$ का वेग है और $\omega$ केंद्र के परितः कोणीय वेग है।
डिस्क के किनारे पर किसी भी बिंदु $P$ का वेग द्रव्यमान केंद्र के वेग और घूर्णन के कारण स्पर्शरेखीय वेग का सदिश योग होता है: $\vec{v}_P = \vec{v}_{cm} + \vec{v}_{rot}$।
जमीन के साथ संपर्क बिंदु $P_0$ पर,घूर्णन के कारण वेग $\vec{v}_{rot}$ पीछे की दिशा में $R\omega$ परिमाण का होता है। द्रव्यमान केंद्र का वेग $\vec{v}_{cm}$ आगे की दिशा में होता है।
बिना फिसले लुढ़कने की शर्त के लिए,संपर्क बिंदु $P_0$ पर वेग शून्य होना चाहिए:
$\vec{v}_{P_0} = \vec{v}_{cm} + \vec{v}_{rot} = 0$
चूंकि $P_0$ पर $\vec{v}_{cm}$ आगे की ओर और $\vec{v}_{rot}$ पीछे की ओर है:
$v_{cm} - R\omega = 0$
अतः,आवश्यक शर्त $v_{cm} = R\omega$ है।

(C) शुद्ध लोटनिक गति में,एक गोलाकार पिंड अपने द्रव्यमान केंद्र के परितः घूमता है जबकि द्रव्यमान केंद्र रैखिक गति करता है।
मान लीजिए $v_{cm}$ द्रव्यमान केंद्र का रैखिक वेग है और $\omega$ पिंड का कोणीय वेग है।
केंद्र से $R$ दूरी पर पिंड की परिधि पर किसी भी बिंदु का वेग,केंद्र के रैखिक वेग और घूर्णन के कारण स्पर्शरेखीय वेग का सदिश योग होता है।
जमीन के साथ संपर्क बिंदु के लिए,रैखिक वेग $v_{cm}$ (आगे की ओर) है और घूर्णन के कारण स्पर्शरेखीय वेग $v_{rot} = R\omega$ (पीछे की ओर) है।
शुद्ध लोटनिक गति में,शर्त $v_{cm} = R\omega$ होती है।
इसलिए,संपर्क बिंदु का कुल वेग $v_{net} = v_{cm} - R\omega = 0$ होता है।
चूंकि कुल वेग शून्य है,इसलिए संपर्क बिंदु सतह के सापेक्ष तात्क्षणिक रूप से स्थिर होता है।

(B) नहीं,$v = r\omega$ संबंध केवल शुद्ध लोटनिक गति (pure rolling) के मामले में मान्य है जहाँ सतह के साथ संपर्क बिंदु का सतह के सापेक्ष तात्क्षणिक वेग शून्य होता है।
फिसलन के साथ लुढ़कने (rolling with slipping) के मामले में,संपर्क बिंदु का वेग शून्य नहीं होता है,जिसका अर्थ है कि स्थानांतरण वेग $v$ और कोणीय वेग $\omega$ संपर्क बिंदु पर $v = r\omega$ की शर्त को पूरा नहीं करते हैं।

(N/A) मेज के संपर्क में लाने से पहले डिस्क शुद्ध घूर्णन गति में थी,इसलिए $u_{CM} = 0$ है।
$(b)$ जब डिस्क को मेज के संपर्क में रखा जाता है,तो गतिज घर्षण के विरोधी बल के कारण परिधि पर स्थित बिंदु का रैखिक वेग कम हो जाता है।
$(c)$ जब घूमती हुई डिस्क को मेज के संपर्क में रखा जाता है,तो घर्षण बल के कारण द्रव्यमान केंद्र गति की दिशा में एक रैखिक वेग प्राप्त कर लेता है।
$(d)$ इन प्रभावों के लिए गतिज घर्षण जिम्मेदार है।
$(e)$ बिना फिसले लुढ़कना तब शुरू होता है जब शर्त $v_{CM} = \omega R$ पूरी होती है।
$(f)$ घर्षण के कारण द्रव्यमान केंद्र में उत्पन्न त्वरण $a_{CM} = \frac{f}{m} = \frac{\mu_k N}{m} = \frac{\mu_k mg}{m} = \mu_k g$ है।
घर्षण के कारण टॉर्क द्वारा उत्पन्न कोणीय मंदन $\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{\mu_k mgR}{I}$ है (क्योंकि $\tau = fR = \mu_k mgR$)।
$v_{CM} = u_{CM} + a_{CM}t$ का उपयोग करने पर ($u_{CM} = 0$ के साथ),हमें $v_{CM} = \mu_k gt$ प्राप्त होता है।
$\omega = \omega_0 - \alpha t$ का उपयोग करने पर,हमें $\omega = \omega_0 - \frac{\mu_k mgR}{I}t$ प्राप्त होता है।
बिना फिसले लुढ़कने के लिए,$\frac{v_{CM}}{R} = \omega$ होना चाहिए।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\mu_k gt}{R} = \omega_0 - \frac{\mu_k mgR}{I}t$।
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{R\omega_0}{\mu_k g(1 + \frac{mR^2}{I})}$।

(D) मान लीजिए $M$ डिस्क का द्रव्यमान है। डिस्क पर कार्य करने वाले बल केंद्र पर लगाया गया बल $F$ और संपर्क बिंदु पर घर्षण बल $f$ हैं,जो $F$ की विपरीत दिशा में कार्य करते हैं।
$1$. स्थानांतरीय गति का समीकरण: $F - f = Ma$ ... $(i)$
$2$. द्रव्यमान केंद्र के परितः घूर्णी गति का समीकरण: $\tau = I\alpha$। चूंकि घर्षण बल $f$ रिम पर कार्य करता है,इसलिए टॉर्क $\tau = fR$ है। केंद्र के परितः डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ है। अतः,$fR = (\frac{1}{2}MR^2)\alpha$।
$3$. शुद्ध लोटनिक गति (pure rolling) के लिए,शर्त $a = R\alpha$ है,जिसका अर्थ है $\alpha = \frac{a}{R}$।
टॉर्क समीकरण में $\alpha$ का मान रखने पर: $fR = (\frac{1}{2}MR^2)(\frac{a}{R}) = \frac{1}{2}MaR$,जो सरल होकर $f = \frac{1}{2}Ma$ या $Ma = 2f$ हो जाता है ... $(ii)$।
$4$. समीकरण $(ii)$ को $(i)$ में रखने पर: $F - f = 2f$,जिससे $F = 3f$ प्राप्त होता है।
$5$. बिना फिसले लुढ़कने के लिए,घर्षण बल को $f \le \mu N$ को संतुष्ट करना चाहिए,जहाँ $N = Mg$ अभिलंब बल है। इसलिए,$f \le \mu Mg$।
$6$. चूंकि $F = 3f$,इसलिए $F$ का अधिकतम मान $F_{max} = 3f_{max} = 3\mu Mg$ होगा।

(D) एक लुढ़कती हुई डिस्क के लिए,कुल गतिज ऊर्जा $(K_{total})$ स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है।
$K_{total} = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
चूंकि $v = R\omega$ और डिस्क के लिए $I = \frac{1}{2}mR^2$,इसलिए $K_{rot} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{4}mv^2$ होता है।
अतः,$K_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$.
कुल गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_{total}}{K_{rot}} = \frac{\frac{3}{4}mv^2}{\frac{1}{4}mv^2} = \frac{3}{1}$ है।

(A) शुद्ध लोटनिक गति में एक रिंग के लिए,द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{CM} = MR^2$ होता है।
कोणीय वेग $\omega$ और द्रव्यमान केंद्र के वेग $V_{CM}$ के बीच का संबंध शुद्ध लोटनिक गति की शर्त के अनुसार $\omega = \frac{V_{CM}}{R}$ है।
यहाँ $V_{CM} = 2\; m/s$ और $R = 4\; m$ दिया गया है,इसलिए $\omega = \frac{2}{4} = 0.5\; rad/s$ प्राप्त होता है।
किसी बिंदु (मूल बिंदु) के परितः एक पिंड का कोणीय संवेग $L$,उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय संवेग और मूल बिंदु के परितः द्रव्यमान केंद्र के कोणीय संवेग के योग के बराबर होता है:
$L = I_{CM}\omega + M V_{CM} R$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$L = (MR^2) \omega + M V_{CM} R$
$L = (2 \times 4^2) \times 0.5 + (2 \times 2 \times 4)$
$L = (2 \times 16 \times 0.5) + 16$
$L = 16 + 16 = 32\; kg \cdot m^2/s$.

(B) बिना फिसले लुढ़कते हुए पहिये के लिए,द्रव्यमान केंद्र का वेग $v_{0} = \omega R$ होता है,जहाँ $\omega$ कोणीय वेग है और $R$ पहिये की त्रिज्या है।
केंद्र के स्तर पर रिम पर स्थित एक कण के लिए,वेग के दो घटक होते हैं:
$1$. स्थानांतरीय वेग $v_{0}$ जो क्षैतिज दिशा में है।
$2$. स्पर्शरेखीय वेग $v_{t} = \omega R$ जो ऊर्ध्वाधर दिशा में है (पक्ष के आधार पर नीचे या ऊपर)।
चूँकि $v_{0} = \omega R$,परिणामी वेग $v$ का परिमाण इस प्रकार है:
$v = \sqrt{v_{0}^{2} + v_{t}^{2}} = \sqrt{v_{0}^{2} + (\omega R)^{2}}$
$v = \sqrt{v_{0}^{2} + v_{0}^{2}} = \sqrt{2 v_{0}^{2}} = \sqrt{2} \, v_{0}$
इसे दिए गए व्यंजक $\sqrt{x} \, v_{0}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\sqrt{x} = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x = 2$।

(B) लुढ़कती हुई वस्तु की कुल गतिज ऊर्जा उसकी घूर्णन गतिज ऊर्जा और स्थानांतरण गतिज ऊर्जा का योग होती है।
$K_{\text{total}} = K_{\text{rotational}} + K_{\text{translational}}$
एक ठोस गोले के लिए,उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{cm}} = \frac{2}{5} mR^2$ होता है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{\text{rot}} = \frac{1}{2} I_{\text{cm}} \omega^2$ द्वारा दी जाती है।
$I_{\text{cm}}$ का मान रखने पर और शुद्ध लोटनिक गति की शर्त $v = R\omega$ (या $\omega = v/R$) का उपयोग करने पर:
$K_{\text{rot}} = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{5} mR^2 \right) \left( \frac{v^2}{R^2} \right) = \frac{1}{5} mv^2$.
स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $K_{\text{trans}} = \frac{1}{2} mv^2$ होती है।
कुल गतिज ऊर्जा $K_{\text{total}} = \frac{1}{5} mv^2 + \frac{1}{2} mv^2 = \left( \frac{2+5}{10} \right) mv^2 = \frac{7}{10} mv^2$ होती है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा और कुल गतिज ऊर्जा का अनुपात:
$\frac{K_{\text{rot}}}{K_{\text{total}}} = \frac{\frac{1}{5} mv^2}{\frac{7}{10} mv^2} = \frac{1}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{2}{7}$.

(C) मान लीजिए $L_{O}$ मूल बिंदु $O$ के परितः कोश का कोणीय संवेग है।
चूंकि कोश क्षैतिज तल पर बिना फिसले लुढ़क रहा है,द्रव्यमान केंद्र का वेग $V_{cm} = \omega R$ है।
मूल बिंदु $O$ के परितः कुल कोणीय संवेग,द्रव्यमान केंद्र की गति के कारण कोणीय संवेग और द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय संवेग का योग है:
$L_{O} = m V_{cm} R + I_{cm} \omega$
गोलीय कोश के लिए,उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{3} m R^{2}$ होता है।
मान रखने पर $(m = 1 \, kg)$:
$L_{O} = (1) (\omega R) R + (\frac{2}{3} (1) R^{2}) \omega$
$L_{O} = \omega R^{2} + \frac{2}{3} R^{2} \omega$
$L_{O} = (1 + \frac{2}{3}) R^{2} \omega = \frac{5}{3} R^{2} \omega$
इसे दिए गए व्यंजक $\frac{a}{3} R^{2} \omega$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{a}{3} = \frac{5}{3}$
अतः,$a = 5$.

(C) प्रारंभ में,गोले को कोणीय वेग $\omega$ और रैखिक वेग $v_{CM} = 0$ के साथ सतह पर रखा जाता है। घर्षण बल संपर्क बिंदु पर फिसलने का विरोध करने के लिए कार्य करता है।
घर्षण बल $f = \mu_k mg$ आगे की दिशा में कार्य करता है,जिससे रैखिक त्वरण $a_{CM} = \frac{f}{m} = \mu_k g$ उत्पन्न होता है।
द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष घर्षण के कारण टॉर्क $\tau = -fR = -\mu_k mgR$ है। कोणीय मंदन $\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{-\mu_k mgR}{\frac{2}{5}mR^2} = -\frac{5\mu_k g}{2R}$ है।
$t$ समय के बाद,रैखिक वेग $v_{CM} = a_{CM}t = \mu_k gt$ और कोणीय वेग $\omega_f = \omega + \alpha t = \omega - \frac{5\mu_k g}{2R}t$ होता है।
शुद्ध लोटनिक गति तब शुरू होती है जब $v_{CM} = \omega_f R$ हो। समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\mu_k gt = \left(\omega - \frac{5\mu_k g}{2R}t\right)R$
$\mu_k gt = \omega R - \frac{5}{2}\mu_k gt$
$\frac{7}{2}\mu_k gt = \omega R \implies \mu_k gt = \frac{2}{7}\omega R$.
इस मान को $\omega_f$ के समीकरण में रखने पर:
$\omega_f = \frac{v_{CM}}{R} = \frac{\mu_k gt}{R} = \frac{1}{R} \left(\frac{2}{7}\omega R\right) = \frac{2}{7}\omega$.

(B) शुद्ध लोटनिक गति (pure rolling motion) में,बेलन का सतह के साथ संपर्क बिंदु सतह के सापेक्ष तात्क्षणिक रूप से विरामावस्था में होता है।
चूंकि संपर्क बिंदु पर बेलन और सतह के बीच कोई सापेक्ष गति नहीं होती है,इसलिए एक समान वेग से लुढ़कते हुए बेलन के लिए इस बिंदु पर कार्य करने वाला स्थैतिक घर्षण बल शून्य होता है।
अतः,घर्षण बल शून्य है।

(B) बिना फिसले लुढ़क रही वस्तु की कुल गतिज ऊर्जा $(K)$ उसकी स्थानांतरण गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग होती है।
$K = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
एक वृत्ताकार डिस्क के लिए,उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}mR^2$ होता है।
चूंकि यह बिना फिसले लुढ़क रही है,इसलिए $\omega = \frac{v}{R}$ होगा।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2$
$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$
दिया गया है: $m = 2 \,kg$,$v = 2 \,m/s$.
$K = \frac{3}{4} \times 2 \times (2)^2 = \frac{3}{4} \times 2 \times 4 = 6 \,J$.